专题01 二次函数与反比例函数拓展之几何篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题01二次函数与反比例函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，连结，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，写出不等式的解集： ． (4)点是轴上的一个动点，连结、，当是等腰三角形时，直接写出点坐标． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 3．如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，结合函数图象，请直接写出不等式的解集； (3)点为轴上一个点，连接，当为以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标，不必写出理由． 类型二、二次函数与反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴相交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线L的表达式； (2)将抛物线L向左或向右平移m（）个单位长度，得到抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与y轴交于点，当为等腰直角三角形时，求m的值． 【融会贯通】 1．综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积是的面积的2倍，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，以点D为直角顶点作等腰直角三角形．当顶点F恰好落在直线上时，求M的坐标． 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作，，垂足分别为点E，F，连接，． (1)求点A，B的坐标． (2)求证：为等腰三角形． (3)当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 类型三、二次函数与反比例函数中的直角三角形 【解惑】如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为． (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； (3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 3．如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于，两点，点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，连接，，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标． 类型四、二次函数与反比例函数中的全等三角形 【解惑】抛物线交轴正半轴于两点（点在点的左边），交轴于点； (1)如图①．连接，，若面积为3， ①求抛物线解析式； ②抛物线上存在点（不与重合），使得与全等，直接写出点坐标________． (2)如图②、若点为点右侧抛物线上的动点，直线、分别交轴于点、，判断是否为定值，请说明理由． (3)如图②，在第（2）的条件下，线段的延长线交于点，点恰好为的中点，求点的横坐标． 【融会贯通】 1．如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 2．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 3．如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9． （1）求一次函数解析式； （2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标； （3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由． 类型五、二次函数与反比例函数中的平行四边形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边作矩形，点为边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，； (4)若点在（2）中的抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【融会贯通】 1．如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线的图象经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线交抛物线于点D，直线交于点E，若直线将的面积分为两部分，求点E的坐标； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内． (1)点的坐标____； (2)将正方形以每秒个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 类型六、二次函数与反比例函数中的菱形 【解惑】在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上. (1)如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______； (2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由； (3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系. 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点C，连接，求的面积； (3)点P为y轴上任意一点，点Q为平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． 2．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，． (1)______，______，点坐标为______． (2)不等式的解集是______． (3)已知轴，以，为边作菱形，求菱形的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 类型七、二次函数与反比例函数中的矩形 【解惑】在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形的“美好矩形”．例如：如图1，已知，矩形，轴，点在上，点在上，则矩形为的美好矩形． (1)如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若函数图象在之间的图形的美好矩形面积为9，求的值； (3)对于实数，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在轴上的正方形，请求出的值． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，直线交y轴于点C，点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作轴，垂足为G，分别交直线于点F，H． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，连接，求的面积； (3)若点Q是y轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点Q的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点不与点重合． (1)求的值； (2)设点是抛物线的顶点，过点作直线轴交轴于点，当时，求的值； (3)将抛物线上两点之间的部分（包括端点）记作图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差小于4时，直接写出的取值范围； (4)设点，以为对角线构造矩形，使点A在该矩形的内部或边上，当抛物线在该矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 3．阅读理解： 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若、为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为、的“相关矩形”.如图①中的矩形为点、的“相关矩形”． (1)已知点的坐标为． ①若点的坐标为，则点、的“相关矩形”的面积为 ； ②若点在直线上，且点在y轴左侧，当点、的“相关矩形”为正方形时，求过点的反比例函数关系式和直线的解析式． (2)已知点的坐标为，点的坐标为，若使函数 的图象与点、的“相关矩形”有两个公共点，请直接写出的取值范围． 类型八、二次函数与反比例函数中的正方形 【解惑】如图，点是轴上的点，线段轴，是的中点，连接并延长交轴于点，二次函数的图象经过的三点，与轴的另一交点为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求二次函数的表达式； (3)在线段上有动点（不与重合），过作轴交直线于，以为边在的右侧作正方形，当点在抛物线上时，求点的坐标 【融会贯通】 1．已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． (1)若，请直接写出当时，x的取值范围； (2)如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值； (3)在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离． 2．综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 3．抛物线：交y轴于A点，点B为点A上方y轴上一点，将抛物线绕动点旋转后得到抛物线交y轴于点C，交抛物线于点D，E． (1)如图①，当点B坐标为，求出此时抛物线的表达式； (2)如图②，顺次连接A，E，C，D四点，请证明四边形为菱形，并说明当m为何值时四边形为正方形； (3)如图③，过点B作直线l：交抛物线，于P，Q，M，N，若在点B的运动过程中始终保持，求出此时k和m的数量关系. 类型九、二次函数与反比例函数中的圆 【解惑】如图(1)所示，关于的二次函数 图象的顶点为，图象交轴于、两点，交轴正半轴于点．以为直径作圆，圆心为．定点的坐标为，连接． (1)写出、、三点的坐标； (2)当为何值时点在直线上?判定此时直线与圆的位置关系； (3)当变化时，用表示的面积，并在给出的直角坐标系中画出关于的函数图象的示意图． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于､两点，与轴交于点，连接，      (1)求抛物线的解析式与顶点坐标： (2)如图，在对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图，若点是抛物线上的一个动点，且，请直接写出点的横坐标 (4)如图，以为直径画交，为圆上一动点，抛物线顶点为，连接，点为的中点，请直接写出的最小值． 2．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知两点的坐标为．点是抛物线上第一象限内一个动点， (1)求抛物线的解析式，并求出的坐标； (2)如图1，轴上有一点，连接DP交于点，若恰好平分， 求点的坐标； (3)如图2，连接交于点，以为直径作圆交于点，若 关于直线轴对称，求点的坐标． 3．定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”． 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”． （1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长； A　 　，B　 　，C　 　，CD＝　 　； （2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线． ①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式； ②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式； （3）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S△CDE＝S△CDF，若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC＝60°，当BP最大时，请直接写出点P的坐标． 类型十、二次函数与反比例函数中的相似三角形 【解惑】如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第三象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．抛物线交轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； (3)如图（2），将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点G，求点G的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标； (3)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数y＝交于点A，B，点A的坐标为（6，3），以AB为一边作△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，AC交y轴于点D，BC交x轴于点E，点P从A出发，沿A﹣C﹣B的路线运动． （1）求点C的坐标及AC对应的函数表达式； （2）点P运动过程中，当以点O，D，P为顶点的三角形与△ADO相似时（全等除外），求点P坐标； （3）如图③，连接OP，OC，M是OC中点，连接BM，过点C作CQ⊥OP于点Q，连接BQ，在点P的整个运动过程中，的最小值是　 　． 【一览众山小】 1．如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 2．如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为 ． 6．如图，在x轴的上方作正方形，其对角线交点在第一象限，双曲线经过点P和点C，则的值是 ． 7．点，在反比例函数的图象上，且． (1)直接写出，的大小关系； (2)如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接． ①求证：三点共线； ②若，，求的度数（用的代数式表示）． 8．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； (3)点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 9．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    10．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数与反比例函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，连结，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，写出不等式的解集： ． (4)点是轴上的一个动点，连结、，当是等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：； (2) (3)或 (4)点坐标为或或或或． 【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，分类讨论是解答本题的关键． （1）将，坐标代入两个函数解析式即可得到两个解析式； （2）设直线与轴交于点，利用代入数据计算即可； （3）根据函数图象直接写出不等式的解集即可； （4）分三种情况①当时，②当时，③当时，利用勾股定理建立方程求出点横坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ，，， ，，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：； （2）解：设直线与轴交于点，令，则， ， ． （3）解：根据函数图象，不等式的解集为：或． 故答案为：或； （4）解：，， ， 分三种情况讨论， ①当时，设则有： 整理得：，解得，即，， 或； ②当时，，设，则有： ， ， 解得，， 或； ③当时，设，则有，则有： ， 整理得：， ． 综上分析，点坐标为或或或或． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；面积最大值为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点， （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论，即可求解； 熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时，由四边形为矩形知，，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，， 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)，或 (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）分情况讨论当为腰时点D坐标即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵  ，   ∴， ∴， ∵为等腰三角形，点Q在y轴上（不与点O重合）， 当时， ， 或； 当时， ， ， ； 综上所述，，或； （3）解：∵在中，， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 3．如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，结合函数图象，请直接写出不等式的解集； (3)点为轴上一个点，连接，当为以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标，不必写出理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入计算即可； （2）根据函数图象写出结果即可； （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴； （2）由函数图象可知，当时，成立； （3）当时，作轴于点D，      ∵， ∴． 当时，， ∴， ∴． ∵，轴 ∴， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 综上可知，或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，求反比例函数解析式，利用函数图象解不等式，等腰三角形的性质，分类讨论是解（3）的关键． 类型二、二次函数与反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴相交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线L的表达式； (2)将抛物线L向左或向右平移m（）个单位长度，得到抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与y轴交于点，当为等腰直角三角形时，求m的值． 【答案】(1)抛物线L的表达式为 (2)m的值为2或4 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定． （1）根据抛物线L的对称轴可得，从而求出b的值，把点代入，即可求出c的值，从而解答； （2）由可知当为等腰直角三角形时，只需．分两种情况讨论：①将抛物线L向右平移m（）个单位长度后得到抛物线的表达式为，得到．由可得，求解即可；②将抛物线L向左平移m（）个单位长度后得到抛物线，同①思路即可解答． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴． 将点代入中，得，解得 ∴抛物线L的表达式为； （2）∵， ∴当为等腰直角三角形时，只需． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴． 由（1）得， 分两种情况讨论： ①将抛物线L向右平移m（）个单位长度后得到抛物线的表达式为， ∴． ∵ ∴ 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去）， ∴m的值为2或4； ②将抛物线L向左平移m（）个单位长度后得到抛物线的表达式为， ∴． ∵ ∴ 当时，解得（舍去）或； 当时，解得（舍去）或； 当时，点，均与点O重合， 此时不存在为等腰直角三角形． 综上所述，m的值为2或4． 【融会贯通】 1．综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． (3)如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最小值时点的坐标 (3)存在；或或 【分析】（1）先求出，，然后代入反比例函数解析式，得出答案即可； （2）求出直线的解析式为，得出，作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据，得出，说明当最小时，最小，根据两点间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线的解析式为，再求出点P的坐标即可； （3）先求出，再求出直线的解析式为：，得出，，分三种情况：当，时，当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，， ∴A与B关于原点对称， ∵点的横坐标为，点的纵坐标为 ∴点的纵坐标为3，点的横坐标为2， 即，， 把代入得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向上平移4个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示： 则点， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴取得最小值时点P的坐标为． （3）解：∵以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴， ∴， ∵边交轴于点， ∴, ∵是的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，过点N作于点I，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知：点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积是的面积的2倍，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，以点D为直角顶点作等腰直角三角形．当顶点F恰好落在直线上时，求M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出C的坐标，然后把C的坐标代入求解即可； （2）在x轴正半轴，D的右侧取点G，使，则可得出，，过G作交反比例函数图象于E，连接，，则，利用待定系数法求出直线解析式为，联立方程组求出公共解即可； （3）设，，分M在D的左侧和右侧两种情况讨论，利用证明，得出，，则可得出关于m，n的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，则，解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， 在x轴正半轴，D的右侧取点G，使， ∴， ∴， 过G作交反比例函数图象于E，连接，， 则， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：设，， ①如图，当M在D的左侧时， 过D作轴，过M作轴，过F作轴，则， ∵以点D为直角顶点作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ②如图，当M在D的右侧时， 过M作轴，过F作轴，则， ∵以点D为直角顶点作等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，M的坐标为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作，，垂足分别为点E，F，连接，． (1)求点A，B的坐标． (2)求证：为等腰三角形． (3)当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）令，建立一元二次方程求解，即可解题； （2）延长交于点M．利用平行线的性质和判定，以及抛物线的对称性，证明，得到，利用直角三角形性质得到，进而得到，即可证明为等腰三角形； （3）设与抛物线的对称轴交于点N．利用等腰直角三角形性质，证明，进而得到点的坐标，利用抛物线得到点的坐标，设直线的表达式为．利用待定系数法求得直线的表达式，再联立抛物线求解，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得，． 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为． （2）证明：如图，延长交于点M． ，， ， ． 由抛物线的对称性，可知． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， ， 为等腰三角形． （3）解：点P的坐标为． 如图，设与抛物线的对称轴交于点N． ， 抛物线的对称轴为直线． 点D的坐标为． ， ． 是等腰直角三角形，且， ． ， ． ， ． ， ． ， ． ，即． 在和中， ， ． ， ． 对于，令，得． ． 设直线的表达式为． 将，代入，得，解得． 直线的表达式为． 联立方程组，得． 解得（舍去），， 点P的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、平行线的性质和判定、直角三角形性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、解方程等知识点．运用数形结合的数学思想解答是关键． 类型三、二次函数与反比例函数中的直角三角形 【解惑】如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，使是直角三角形，点坐标为或或或 【分析】（1）先求出，，，，求出直线的解析式为，作轴交于，则，，再根据，即可得解； （2）设，则，，，分三种情况分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交于，    当时，，即， ∴， ∴； （2）解：存在点E，使是直角三角形，理由如下： 设， ∴，，， 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴或； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—面积问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【融会贯通】 1．如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或或或 【分析】（1）抛物线的表达式为：，即，解方程即可得到答案； （2）①将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；②根据题意，分为直角、为直角、为直角三种情况，由勾股定理分别列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线解析式为， 则，即， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与x轴交于点，， 函数的对称轴为，故点； 设直线的表达式为：， 将点、的坐标代入得，解得， 直线的表达式为， 设点， ∵，则点， ①将点的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故点的坐标为或； ②点，点的坐标分别为、，则，，， 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为或； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定二次函数表达式、待定系数法确定一次函数表达式、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握二次函数图象与性质及二次函数综合问题解法是解决问题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为． (1)求过点B的反比例函数的解析式； (2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标； (3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)； (2)或或或 (3)或 【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2））根据勾股定理得到，①当O为顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论； （3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，即得出，．设，则，．分类讨论：①以为斜边时，②以为斜边时和③以为斜边时，根据勾股定理分别列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】（1）解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，轴, ∴， ∴， ∴． ∵过B点的反比例函数解析式为， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ①当O为顶点时，， ∴或； ②当D为顶点时，， ∵四边形是菱形， ∴是的垂直平分线， ∴点D与C重合， ∴； ③当B为顶点时，，则， ∴， ∴； 综上所述：D的坐标为或或或； （3）解：如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ①以为斜边时，， ∴， 解得， ∴Q或； ②以为斜边时，， ∴， 解得， ∴； ③以为斜边时，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，Q的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键． 3．如图，正比例函数与反比例函数 的图象交于，两点，点的横坐标为． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，连接，，当是直角三角形且以为直角边时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合题． （1）根据正比例函数的表达式求出点的坐标，再将点坐标代入反比例函数表达式求出的值，即可得出反比例函数的表达式；根据与关于原点对称，点横坐标与纵坐标分别与点横坐标与纵坐标互为相反数； （2）根据图象分析，不等式即的解集即为一次函数图象位于反比例函数图象上方所对应的x的取值范围； （3）设，根据勾股定理表示出，，进而根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为，代入正比例函数， 得， ∴, ∴，解得： ∴反比例函数， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于，两点， ∴与关于原点对称，则； （2）解：根据函数图象可知，不等式，即的解集为：或； （3）解：设， ∵,， ∴，，， 当是直角三角形且以为直角边时，则 或 即或， 解得：或， ∴或 ． 类型四、二次函数与反比例函数中的全等三角形 【解惑】抛物线交轴正半轴于两点（点在点的左边），交轴于点； (1)如图①．连接，，若面积为3， ①求抛物线解析式； ②抛物线上存在点（不与重合），使得与全等，直接写出点坐标________． (2)如图②、若点为点右侧抛物线上的动点，直线、分别交轴于点、，判断是否为定值，请说明理由． (3)如图②，在第（2）的条件下，线段的延长线交于点，点恰好为的中点，求点的横坐标． 【答案】(1)①；② (2)是定值 (3)点的横坐标为6 【分析】（1）①令，解得：或3，令，则，则点、、的坐标分别为、、，再根据即可求解； （2）设点，点，，把点P、A坐标代入一次函数表达式求得，确定点D坐标为，同理可得点，代入求解即可确定结果； （3）求出，由中点坐标公式得：，即可求解． 【详解】（1）解：①令， 解得：或3， 令，则， 则点、、的坐标分别为、、， ， 解得：， 故抛物线的表达式为：； ②当与全等时， 则点、关于抛物线的对称轴对称， 则点， 故答案为：； （2）的值是定值；理由如下： 设点，点，， 把点、坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴的函数表达式为：， 即点D坐标为， 把点、坐标代入一次函数表达式：得： ， 解得：， ∴的函数表达式为：， ∴点E的坐标为， ∴为定值； （3）由点、的坐标同上得，直线的表达式为：， 同理可得，直线的表达式为：， 联立上式两式得：， 解得：， 由（3）知，，， ∵恰好为的中点， 由中点坐标公式得：， 解得：，即点的横坐标为6． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、全等三角形等知识，作出求出对应函数的函数解析式是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查二次函数的图像和性质、待定系数法求二次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）将和代入，用待定系数法即得抛物线的表达式； （2）由得对称轴为直线，，，即知是等腰直角三角形，根据以、、为顶点的三角形与全等，得，即可求得或． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图： 由得对称轴为直线，，， ， 是等腰直角三角形， 在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ， 或， 或； 2．已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．    (1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标． (2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由． (3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值． 【答案】(1)，，； (2)不变， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． （1）根据题意可得点，由轴，轴，在反比例函数的图像上即可求解； （2）由题意得，分别表示出，即可求解； （3）由题意分类讨论，，两种情况，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数图形上的动点， ∴， ∴点， ∵轴，轴， ∴，， ∵在反比例函数的图像上， ∴，， 即：点，点； （2）解：的面积不变，为，理由如下： ∵轴，轴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴； （3）解：若以为直角边的和全等， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴， 解得：，（舍）， ，，如图所示：    此时， 即：点， ∵点C是直线上的一点， ∴，解得：，（舍）， 综上所述：或时，以为直角边的和全等． 3．如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9． （1）求一次函数解析式； （2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标； （3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线AP解析式为y＝x+2；（2）Q（0.8，0）；（3）R坐标为（4，1.5）． 【分析】（1）由直线AP解析式得到直线恒过A（-4，0），得到OA=4，设OB=a，PB=b，由P在反比例图象上得到ab=6，再由OA+OB表示出AB，根据AB与PB乘积的一半表示出三角形PAB面积，根据已知三角形PAB的面积求出a与b的值，确定出P坐标，将P代入直线AP解析式求出k的值即可； （2）找出C关于x轴的对称点C′，连接PC′与x轴交于点Q，确定出直线PC′解析式，求出与x轴交点即可确定出Q坐标； （3）由直线AP解析式求出OA与OC的长，若△BTM与△AOC全等，则有BT=OC，MT=OA，确定出M坐标，代入直线AP检验即可得到结果． 【详解】（1）直线AP解析式y＝kx+4k＝k（x+4）， 得到A（﹣4，0），即OA＝4， 设OB＝a，PB＝b，即P（a，b）， 代入反比例解析式得：ab＝6， ∵S△PAB＝AB•PB＝9， ∴（a+4）b＝9，即ab+4b＝6+4b＝18， 解得：a＝2，b＝3，即P（2，3）， 将P（2，3）代入直线y＝kx+4k中得：3＝2k+4k， 解得：k＝， 则直线AP解析式为y＝x+2； （2）对于直线y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即C（0，2），OC＝2， 找出C关于x轴的对称点C′（0，﹣2），连接PC′，交x轴与Q点，此时QC+QP最短， 设直线C′P解析式为y＝mx+n， 将P（2，3）与C′（0，﹣2）代入得：， 解得：m＝2.5，n＝﹣2， ∴直线C′P解析式为y＝2.5x﹣2， 令y＝0，得到x＝0.8，即Q（0.8，0）； （3）若△BTM≌△COA，则有BT＝OC＝2，MT＝OA＝4， ∴OT＝OB+BT＝2+2＝4，即M（4，4）， 将x＝4代入直线OP解析式得：y＝×4+2＝2+2＝4，即M在直线AP上， 将x＝4代入反比例解析式得：y＝＝1.5， 此时R坐标为（4，1.5）． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 类型五、二次函数与反比例函数中的平行四边形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边作矩形，点为边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． (1)求经过三点的抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，； (4)若点在（2）中的抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3) (4)当点的坐标为、、时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式即可． （2）由折叠的性质可求得、，在中，由勾股定理可求得即可得出点E坐标，利用代入数据解答即可； （3）用t表示出、的长，可证明，可得到，即可求得t的值； （4）分三种情况∶①当点在对称轴右侧，即为点，当且时，四边形为平行四边形，过作垂直对称轴于点，，则，又对称轴为直线，最后根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当点在对称轴左侧，即为，当且时，四边形为平行四边形，过作垂直对称轴于点，则，则，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；③当点在抛物线的顶点上，即为点，当且时，四边形为平行四边形，与相交于点，则为线段的中点，点在对称轴上，则的横坐标为，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】（1）解：设过，，三点的抛物线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴经过，，三点的抛物线的解析式为； （2）点，，以、为边作矩形， ∴，， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴ ； （3）由运动时间为秒，则，，则 ∵沿直线折叠得到， ∴， 若， 则， ∴，即． ∴， 解得； （4）①如下图，当点在对称轴右侧，即为点， 当且时，四边形为平行四边形， 过作垂直对称轴于点，则， ∴，又对称轴为直线， ∴此时点的横坐标为2， 对于， 当时，， ∴点的坐标为； ②如下图，当点在对称轴左侧，即为， 当且时，四边形为平行四边形， 过作垂直对称轴于点，则， ∵，对称轴直线， ∴此时点的横坐标为． 对于， 当时，， ∴点的坐标为； ③如解图，当点在抛物线的顶点上，即为点， 当且时，四边形为平行四边形， 与相交于点，则为线段的中点， 又∵点在对称轴上，则的横坐标为， 对于， 当时，， ∴点的坐标为． 综上所述，当点的坐标为、、时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、矩形的性质等知识，平行四边形的性质，分类讨论的思想，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【融会贯通】 1．如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．    (1)求的值． (2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标． (3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)点坐标为或 (3)点的坐标为或或或或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点坐标，代入解析式可求解； （2）分两种情况讨论，由正方形的性质可求解； （3）由平行四边形的面积为14，可求点坐标，再分为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【详解】（1）解：，， 点，点，点， 反比例函数的图象过点， ； （2）， 反比例函数解析式为：， 设点， 四边形是正方形， ， 当点在第一象限时， ， ，（舍去）， 点； 当点在第三象限， ， （舍去），， 点； 综上所述：点坐标为或； （3）设点坐标为， 若为边， 以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14， ， ，， 点或， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， ，， 点或或或； 若为对角线， 设点， 以、、、为顶点组成的四边形是平行四边形， 与互相平分， ，或，， ，，或，， 点或， 综上所述：点的坐标为或或或或或． 2．如图，抛物线的图象经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线交抛物线于点D，直线交于点E，若直线将的面积分为两部分，求点E的坐标； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2)或 (3)存在，当点P坐标为或或时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）把，两点代入，可求解； （2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求解析式，联立方程组可求点D坐标，可求，设点，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解； （3）分两种情况讨论，当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，再利用平行四边形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为， ∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称， ∴点， 设直线解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立方程组得：， 解得：，， ∴点， ∴， 设点， ∵直线将的面积分为两部分， ∴或， ∴或， ∴或3， ∴点或； （3）当为平行四边形的边， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴，而，，， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或； 当为平行四边形的对角线， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴， ∴， ∴点P坐标为， 综上所述：当点P坐标为或或时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内． (1)点的坐标____； (2)将正方形以每秒个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，反比例函数解析式为 (3)存在，或或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出；（2）找出关于的方程；（3）分类讨论，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键． （1）过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出，从而得出，再结合点的坐标即可求出点B的坐标； （2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的二元一次方程组，解方程组解得出结论； （3）先求出点的坐标，再分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，如图所示． ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵点、， ∴， ∴点B的坐标为，即． 故答案为． （2）由知，， 运动秒时，点， 设反比例函数解析式为， 点，在反比例函数图象上， ， ，， 反比例函数解析式为； （3）存在，理由： 由知，点、，， 、， 由知，反比例函数解析式为， 设点，点， 以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形， 当与是对角线时， ，， ，， ，， 当与是对角线时， ，， ，， ， 当与是对角线时， ，， ，， ，， 综上：，或，或， ． 类型六、二次函数与反比例函数中的菱形 【解惑】在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上. (1)如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______； (2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由； (3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系. 【答案】(1)－1；－1 (2)不存在，理由见解析 (3)，满足的等量关系为或 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入函数解析式即可求出a、m的值； （2） 假设存在，由，，可知，因为四边形为菱形，所以，可求出，因此可求得点的坐标，根据轴，亦可求出点的坐标，又已知点在抛物线上，而，因此假设不成立，即不存在四边形为菱形； （3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，然后分情况讨论：①当点B，均在轴左侧时，②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，③当点B，均在轴右侧时，证明，因此利用，，即可得出结论． 【详解】（1）解：，在抛物线上， 将代入，得， ， 将代入，得， （2）不存在． 理由如下： 假设存在，由（1）得，， ， 设与轴交于点， ， 四边形为菱形， ， ． 点的坐标为， 轴， 点的坐标为， 又点在抛物线上，而， 假设不成立， 不存在四边形为菱形； （3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，， ①当点B，均在轴左侧时，如图1， ，，，， ，， ， 又， ， ，， ， 化简得， ， ； ②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，如图2， ，，，， 同理可得， ，， ， 化简得， 或； ③当点B，均在轴右侧时，如图3， ，，，， 同理可得， ，， ， 化简得， ， ， 综上所述，，满足的等量关系为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，正方形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，本题的关键是熟练运用二次函数的性质解题． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点C，连接，求的面积； (3)点P为y轴上任意一点，点Q为平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）联立反比例函数与一次函数的解析式即可求解； （2）连接，作轴，轴，可得；根据可推出，据此即可求解； （3）设点，分类讨论三种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得， 解得：或 ∴ （2）解：连接，作轴，轴，如图所示： 由题意得：点为的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∴ ∴ （3）解：设点 则 时， ， 解得：或 ∴或 时，此种情况不成立； 时， ， 解得： ∴ 综上所述：点Q的坐标为或或 【点睛】本题考查了一次函数 与反比例函数综合问题，涉及了交点的求解、面积问题，以及特殊四边形的存在性问题，熟记相关结论是解题关键． 2．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，． (1)______，______，点坐标为______． (2)不等式的解集是______． (3)已知轴，以，为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1)；3； (2)或 (3)20 【分析】（1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出、的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象下方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得，解得， ， 将代入得， 点与关于原点对称， ； 故答案为：；3；； （2）解：不等式的解集是指反比例函数图象在直线上方的图象对应的的范围， 由图象知，当或时，，反比例函数图象在直线上方， 故答案为：或； （3）解：作于，如图所示： ，， ，， 在中，由勾股定理得， 四边形是菱形， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，菱形的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 类型七、二次函数与反比例函数中的矩形 【解惑】在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形上的所有点都在一个矩形的内部或边界上（该矩形的一条边平行于轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形的“美好矩形”．例如：如图1，已知，矩形，轴，点在上，点在上，则矩形为的美好矩形． (1)如图2，矩形是函数图象的美好矩形，求出矩形的面积； (2)如图3，点的坐标为，点是函数图象上一点，且横坐标为，若函数图象在之间的图形的美好矩形面积为9，求的值； (3)对于实数，当时，函数图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在轴上的正方形，请求出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，矩形的性质，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，正确理解题干给出的新定义是本题解题的关键． （1）根据x的取值范围可以求出A点和C的坐标，从而推出B点和D的坐标，然后根据矩形面积公式求解即可； （2）函数图象在A、B之间的图形的美好矩形即以为对角线的矩形，据此求出m的值即可； （3）根据二次函数的对称轴是否在x的取值范围内分类讨论，当对称轴在x取值范围内，顶点在x轴上，端点纵坐标是或端点在x轴上，顶点纵坐标是，当对称轴不在取值范围内时，两个端点一个在x轴上，一个纵坐标是据此解答． 【详解】（1）解： （2）解：设矩形是其美好矩形， ， 或． （3）解：∵美好矩形恰好是面积为3，且一边在x轴上的正方形， ∴正方形的边长为二次函数 的对称轴为直线 当 时，即 ①顶点在x轴上，端点纵坐标是即 或 解得：或均符合题意； ②端点在x轴上，顶点纵坐标是即 或 ， 解得：或 (舍去，不符合a，b大小关系)或或或 (舍去，不满足a，b大小关系)； 当对称轴不在x的取值范围内时，有： 或 ， 解得：或 综上所述，或或． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，直线交y轴于点C，点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作轴，垂足为G，分别交直线于点F，H． (1)求点A，B的坐标； (2)当时，连接，求的面积； (3)若点Q是y轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式、二次函数的性质、矩形的判定和性质，锐角三角函等知识点，学会利用三角函数的关系设参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）把代入抛物线中可得，然后令，再求解方程即可； （2）先求出直线的解析式为，然后由，则，从而得出，得出，，最后根据三角形面积公式即可解答； （3）根据矩形的性质，再结合可得，由正切的定义可得，设则，，由列方程可得n的值，从而得点Q的坐标． 【详解】（1）解：把代入抛物线中得：，解得， ∴该抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ∴，． （2）解：设直线的解析式为． 把，代入，得解得 ∴直线AD的解析式为． 设，则， ∴． 由，得，解得， ∴，， ∴， ∴的面积为． （3）如图．∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵直线AC的解析式为， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 设则，， ∴． ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在抛物线上，横坐标为，点不与点重合． (1)求的值； (2)设点是抛物线的顶点，过点作直线轴交轴于点，当时，求的值； (3)将抛物线上两点之间的部分（包括端点）记作图象，当图象的最高点与最低点的纵坐标之差小于4时，直接写出的取值范围； (4)设点，以为对角线构造矩形，使点A在该矩形的内部或边上，当抛物线在该矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)或 【分析】（1）运用待定系数法把代入即可解答； （2）由题意得，根据建立方程求解即可； （3）分、、、四种情况，分别画出图像，根据图像列不等式求解或图像法求解即可； （4）分两种情况：当点Q在直线上或左侧，点P在x轴上或下方时，当点P在直线左侧，点Q在x轴上或下方时，利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴，解得：． （2）解：当时，， ∴抛物线的顶点， 如图：设，则，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：． （3）解：如图：当时，最高点为，最低点为， ∵图象的最高点与最低点的纵坐标之差小于4时， ∴，解得：， ∵， ∴ 当，点A和点P重合，即图象的最高点与最低点的纵坐标之差为0，不符合题意； 如图:当时，最高点为，最低点为， ∵图象的最高点与最低点的纵坐标之差小于4时， ∴，解得：， ∵， ∴． 如图：当时，最高点为，最低点为，此时图象的最高点与最低点的纵坐标之差横为4，不符合题意； 综上所述，m的取值范围为且． （4）解：∵设点，以为对角线构造矩形，点A在矩形边上或内，矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而减小时， ∴如图：分两种情况：当点Q在直线上或左侧，点P在x轴上或下方时，则，解得：； 当点P在直线左侧，点Q在x轴上或下方时，如图： 当时，， ∴，解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 3．阅读理解： 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若、为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为、的“相关矩形”.如图①中的矩形为点、的“相关矩形”． (1)已知点的坐标为． ①若点的坐标为，则点、的“相关矩形”的面积为 ； ②若点在直线上，且点在y轴左侧，当点、的“相关矩形”为正方形时，求过点的反比例函数关系式和直线的解析式． (2)已知点的坐标为，点的坐标为，若使函数 的图象与点、的“相关矩形”有两个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②过点的反比例函数关系式为，直线的解析式为； (2) 【分析】（1）①由相关矩形的定义可知，利用点，点的坐标求出“相关矩形”的边长即可；②由“相关矩形”的定义知，可得点坐标，设过点的反比例函数关系式为，设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定、的“相关矩形”的另两个顶点坐标，函数的图像与点、的“相关矩形”有两个公共点，求出的最大值和最小值即可得到结论． 【详解】（1）解：①点的坐标为，点的坐标为， 点、的“相关矩形”的边长为：、， 点、的“相关矩形”的面积为：， 故答案为：； ②设点， 又点、的“相关矩形”为正方形， ， ， 点在y轴左侧， ， ， 设过点的反比例函数关系式为，将代入得：， 过点的反比例函数关系式为； 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）如图： 当的图像经过时，函数的图像与点、的“相关矩形”有一个公共点， ， 当的图像经过时，函数的图像与点、的“相关矩形”有一个公共点， ， 当时，函数的图像与点、的“相关矩形”有两个公共点． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，解题的关键是灵活运用这些知识． 类型八、二次函数与反比例函数中的正方形 【解惑】如图，点是轴上的点，线段轴，是的中点，连接并延长交轴于点，二次函数的图象经过的三点，与轴的另一交点为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)求二次函数的表达式； (3)在线段上有动点（不与重合），过作轴交直线于，以为边在的右侧作正方形，当点在抛物线上时，求点的坐标 【答案】(1)， (2)抛物线的解析式为； (3)点坐标． 【分析】（1）对于抛物线，令得，可得，由题意、关于对称轴对称，由此可以求出坐标． （2）由，得到，把代入抛物线的解析式即可求出，解决问题． （3）如图2中，设．根据条件可推出，把坐标代入抛物线解析式求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， 对于抛物线，令得， ， 对称轴， ∵轴， 、关于对称轴对称， ，， 故答案为：，； （2）解：∵， ， 在和中， ， ， ， ， 把代入得 ， ， 抛物线的解析式为； （3）解：如图2中，设． ，， 直线的解析式为， ， 四边形是正方形， ， ， 点在抛物线上， ， 整理得到， 解得或（舍弃）， 点坐标． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用参数解决问题． 【融会贯通】 1．已知直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． (1)若，请直接写出当时，x的取值范围； (2)如图，以为边在直线l上方作正方形，点D恰好落在反比例函数的图象上，求k的值； (3)在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时，试求出此时的平移距离． 【答案】(1)或 (2)15 (3)． 【分析】（1）依题意，列式，进行计算，得出，运用数形结合思想，得出当时，x的取值范围为或，即可作答． （2）结合正方形的性质以及角的等量代换，得证，表达出以及结合在直线上，得出，因为点和点在上，则，列式 进行计算，即可作答． （3）结合正方形的性质，以及一次函数的性质得出此时的平移距离．结合（2）得出，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点B． ∴ 整理得 ∴ 解得 经检验，是原方程的解， 记直线与x轴相交于点A，与双曲线相交于点E(第三象限) ∴结合图象，当时，x的取值范围为或 （2）解：分别过点作轴、轴，如图所示： 当时，则，解得 ∴点的坐标为 ∵轴、轴， ∴， ∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴ 则 ∴ ∵在直线上 ∴ ∴ ∵点和点在上 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 把代入 解出； （3）解：∵在（2）的条件下，将正方形沿着射线的方向平移，当点C落在反比例函数的图象上时， ∴此时的平移距离． ∵，， ∴， 在中， 即此时的平移距离为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为； (2)最大值为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形周长为， ∵， ∴当时，四边形周长有最大值， 最大值为； （3）解：当为正方形时，如图， ∵点和点， ∴， ∴点与点关于对称轴对称， ∴点， ∴点， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， ∵，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，即，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， 显然点与点关于对称轴对称， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． 3．抛物线：交y轴于A点，点B为点A上方y轴上一点，将抛物线绕动点旋转后得到抛物线交y轴于点C，交抛物线于点D，E． (1)如图①，当点B坐标为，求出此时抛物线的表达式； (2)如图②，顺次连接A，E，C，D四点，请证明四边形为菱形，并说明当m为何值时四边形为正方形； (3)如图③，过点B作直线l：交抛物线，于P，Q，M，N，若在点B的运动过程中始终保持，求出此时k和m的数量关系. 【答案】(1) (2)见解析，时，四边形为正方形 (3) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法求解析式、菱形的性质、二次函数与一元二次方程综合等知识点，掌握相关知识点是解题关键 （1）根据求出A坐标为，进而得即可求解； （2）联立，可得，；根据四边形为菱形当时，四边形为正方形即可求解； （3）分别联立l，，联立l，可得，，，，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵： ∴A坐标为 ∵B坐标为 ∴ ∴： （2）解：∵A坐标为，B坐标为 ∴ ∴： 联立， 得 解得， ∴， ∴D，B，E共线且 ∴四边形为菱形 当时，四边形为正方形 即 解得（舍）， ∴时，四边形为正方形 （3）解：联立l， 得 解得，， 联立l， 得 解得，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 类型九、二次函数与反比例函数中的圆 【解惑】如图(1)所示，关于的二次函数 图象的顶点为，图象交轴于、两点，交轴正半轴于点．以为直径作圆，圆心为．定点的坐标为，连接． (1)写出、、三点的坐标； (2)当为何值时点在直线上?判定此时直线与圆的位置关系； (3)当变化时，用表示的面积，并在给出的直角坐标系中画出关于的函数图象的示意图． 【答案】(1)，， (2) 时，直线与相切相切，理由见解析 (3)，图像见解析 【分析】（1）根据轴，轴上点的坐标特征代入即可求出、、三点的坐标； （2）待定系数法先求出直线的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系； （3）分当时，当时两种情况讨论求得关于的函数． 【详解】（1）解：令，则，解得，； 令，则． 故，，． （2）解：设直线的解析式为，将，代入得： 解得，，． 直线的解析式为． 将化为顶点式：． 顶点的坐标为．代入得： ， ．所以，当时，点在直线上． 连接，为中点，点坐标为， ，， ，点在圆上 又，， ，， ． 直线与相切； （3）解：当时， ． 当时，． 即． 关于的函数图象的示意图如右： 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有轴，轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．注意分析题意分情况讨论结果． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于､两点，与轴交于点，连接，      (1)求抛物线的解析式与顶点坐标： (2)如图，在对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图，若点是抛物线上的一个动点，且，请直接写出点的横坐标 (4)如图，以为直径画交，为圆上一动点，抛物线顶点为，连接，点为的中点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）运用待定系数方法即可求解抛物线的解析式，把抛物线解析变形为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据抛物线可知对称轴为直线，，设，根据两点间的距离公式即可求解； （3）在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴于轴交于点，如图所示，可得或，分类讨论：当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点，设，根据两点间的距离公式即可求解；当点在轴下方时，，点在轴下方时不存在；当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有；由此即可求解； （4）连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如图所示，分类讨论：①当点Q不与B重合时；②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点；根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：（1）将､代入 ∴，解得：， ∴抛物线的解析式， ∴顶点坐标为． （2）解：存在点，使，理由如下： ， 对称轴为直线，令，则， ，设， ， ，解得， ． （3）解：在对称轴上取点，使是等腰直角三角形，对称轴与轴交于点，如图所示：    ， 或， 当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点为点， ， ，设， ， 或，解得（舍）或（舍）或或， 当点在轴下方时，，此时 或，解得（舍）或（舍）， 点在轴下方时不存在； 当时，以为圆心，为半径作圆，与抛物线的交点只有， 此时不存在点使； 综上所述：或． （4）解：连接，并延长至，使，过点作轴于点，连接，如下图，    ①当点Q不与B重合时， ∵，为的中点， ∴，， ∴当最小时，即三点共线是时，有最小值， ∵， ∴， ∵为直径，点抛物线顶点， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时有最小值为． ②当点与重合，此时点为的中点，此时，点为的中点，如下图    ∵， ， 综上所述：， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的变换，掌握二次函数图像的性质，几何图形的变换，等腰三角形的性质，两点之间的距离公式的计算方法，勾股定理等知识是解题的关键． 2．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知两点的坐标为．点是抛物线上第一象限内一个动点， (1)求抛物线的解析式，并求出的坐标； (2)如图1，轴上有一点，连接DP交于点，若恰好平分， 求点的坐标； (3)如图2，连接交于点，以为直径作圆交于点，若 关于直线轴对称，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）过点P作轴交于G．设，则，利用全等三角形的性质证明，构建方程求出即可． （3）连接．想办法证明，再证明，求出即可解决问题． 【详解】（1）∵抛物线经过， ∴， 解得， ∴， 令，得到， 解得或3， ∴； （2）如下图，过点P作轴交于G．设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得或2， ∴或． （3）如下图，连接． ∵是直径， ∴， ∴， ∵关于直线轴对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质和轴对称的性质，解决本题的关键是利用参数构建方程解决问题． 3．定义：把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”． 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B，与y轴交于点D，以AB为直径，在x轴上方作半圆交y轴于点C，半圆的圆心记为M，此时这个半圆与这条抛物线x轴下方部分组成的图形就称为“蛋圆”． （1）直接写出点A，B，C的坐标及“蛋圆”弦CD的长； A　 　，B　 　，C　 　，CD＝　 　； （2）如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线． ①求经过点C的“蛋圆”切线的解析式； ②求经过点D的“蛋圆”切线的解析式； （3）由（2）求得过点D的“蛋圆”切线与x轴交点记为E，点F是“蛋圆”上一动点，试问是否存在S△CDE＝S△CDF，若存在请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （4）点P是“蛋圆”外一点，且满足∠BPC＝60°，当BP最大时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，），CD＝3+；（2）①；②y＝﹣2x﹣3；（3）F′（，），F′′（，）；（4）点P的坐标为（1，2）． 【分析】（1）根据抛物线与一元二次方程的关系以及勾股定理解答； （2）运用待定系数法求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式；运用二元二次方程组、一元二次方程根的判别式求出过点D的“蛋圆”切线的解析式； （3）根据题意求出点E的坐标，根据同底等高的两个三角形面积相等解答； （4）根据∠BPC＝60°保持不变，点P在一圆弧上运动和直径是最大的弦进行解答即可． 【详解】（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 当x＝0时，y＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），OD＝3， 如图1，连接MC，由题意得，OM＝1，MC＝2，    ∴OC＝， ∴C（0，），CD＝3+， 故答案为：（﹣1，0）；（3，0）；（0，）；3+； （2）①如图2，NC⊥CM，    ∵∠CMO=∠NMC， ∴， ∴，即， ∴， ∴N的坐标为（﹣3，0）， 设NC的解析式为， ∴， ∴， ∴经过点C的“蛋圆”切线的解析式为：， ②过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝kx﹣3， 由， 得：x2﹣（2+k）x＝0，即：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴，即k＝﹣2， ∴经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝﹣2x﹣3． （3）如图3，∵经过点D的“蛋圆”切线的解析式为：y＝﹣2x﹣3，    ∴E点坐标为（，0）， ∵S△CDE＝S△CDF， ∴F点的横坐标为， 在Rt△MQF1中 ，， ∴，    把x＝代入y＝x2﹣2x﹣3，可求得y＝． ∴F′（，），F′′（，）； （4）如图4，∵∠BPC＝60°保持不变， 因此点P在一圆弧上运动． 此圆是以K为圆心（K在BC的垂直平分线上，且∠BKC＝120°），BK为半径． 当BP为直径时，BP最大． ∵B（3，0），C（0，）， ∴OB=，OC， ∴， ∵BP为直径， ∴∠PCB＝90°， ∵∠BPC＝60° ∴ ，，即：， ∴， 过点P作PR⊥y轴于点R， ∵∠RCP+∠PCB+∠OCB＝180， ∴∠RCP+∠OCB＝90， ∠OBC+∠OCB＝90， ∴∠RCP＝∠OBC， ∴ ∴ ∴ ∴PR＝1，RC＝． 所以点P的坐标为（1，2）． 【点睛】本题考查的是圆与二次函数知识的综合运用，正确理解“蛋圆”的概念、掌握圆周角定理、二次函数的图象和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，注意辅助线的作法要正确． 类型十、二次函数与反比例函数中的相似三角形 【解惑】如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第三象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，此时的值为或或或 【分析】（1）点A、B的坐标分别为，则，求出点A、B的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则点，则，即可求解； （3）以点O，D，E为顶点的三角形与相似，则或，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设则 ∴点A、B的坐标分别为， 又抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴点A、B的坐标分别为， 代入，得：， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，当时， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点，则点， ∴ ∴ ∵ ∴当时，线段的长度最大， 此时，点的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵点， ∴ ∵， ∴ 当时，， 即， 整理得， 解得，，； 当时，， 即， 整理得， 解得，，； 综上所述，存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，此时的值为或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【融会贯通】 1．抛物线交轴于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； (3)如图（2），将抛物线在上方的图象沿折叠后与y轴交于点G，求点G的坐标． 【答案】(1)，， (2)2或 (3) 【分析】（1）分别令、解方程即可求解； （2）分两种情况：若时，根据坐标与图形得和C的纵坐标相等，进而列方程求解即可；若时，过作轴于T，证明，根据相似三角形的性质和坐标与图形性质列方程求解即可； （3）先求得直线的表达式，设，，证明，得到，，解得，即H的横坐标为，进而求得点H的坐标为，利用对称性质和中点坐标公式求得，代入抛物线解析式中求解m值即可上． 【详解】（1）解：当时，由得，， 当时，， ∴，，； （2）解：如图，根据题意，设， 若时，则， ∴，解得或（舍去）； 若时，则，过作轴于T， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，，又，， ∴，解得或（舍去）， 综上，满足题意的t值为2或； （3）解：设直线的表达式为， 将，代入得，解得， ∴直线的表达式为， 作G关于直线的对称点，连接交于H，过H作轴于T， 设，， ∴，又， ∴，， ∴，，又， ∴，， 解得，即H的横坐标为， 将代入得， ∴点H的坐标为， ∵G关于直线的对称点为， ∴，则， ∴， ∵在抛物线上， ∴，整理得， 解得或， 由题意，点G在C的下方， ∴，则． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求二次函数图象与坐标轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、对称性质、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关联知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，以、、为顶点的三角形与相似时，求点的坐标； (3)点是直线下方反比例函数图象上一点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为、 (3)点的坐标为、 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确地求出函数的解析式是解题的关键．（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把代入得到点的坐标为，解方程组得到一次函数的解析式为；（2）设，解方程得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）设点的坐标为，当点在第四象限时，当点在第二象限时，根据三角形的面积列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把点代入得， 反比例函数的解析式为； 把代入得， 点的坐标为， 把和点代入， 解得， 一次函数的解析式为； （2）设， 在中，令，则，令，则， ，， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ， ， ， ，，， ， 解得（不合题意舍去）， 当，， ， 轴， ， 即， 点的坐标为、； （3）设点P的坐标为， ，， 当点在第四象限时，的面积， 解得（不合题意舍去）， 当点在第二象限时，的面积， 解得（不合题意舍去）， 综上所述，点的坐标为、． 3．如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数y＝交于点A，B，点A的坐标为（6，3），以AB为一边作△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，AC交y轴于点D，BC交x轴于点E，点P从A出发，沿A﹣C﹣B的路线运动． （1）求点C的坐标及AC对应的函数表达式； （2）点P运动过程中，当以点O，D，P为顶点的三角形与△ADO相似时（全等除外），求点P坐标； （3）如图③，连接OP，OC，M是OC中点，连接BM，过点C作CQ⊥OP于点Q，连接BQ，在点P的整个运动过程中，的最小值是　 　． 【答案】（1）C（﹣3，6），y＝﹣+5；（2）点P（，）或（﹣，﹣）；（3） 【分析】（1）点C作CF∥y轴，过点A作AH⊥CF于H，过点B作BF⊥CF于F，由“AAS”可证△ACH≌△CBF，可得AH＝CF，CH＝BF，可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）分两种情况讨论，利用相似三角形的相似和两点距离公式可求解； （3）由勾股定理可求BM的长，由题意可得点Q在以CO为直径的圆上，点Q在BM上时，BQ有最小值为，即可求解． 【详解】解：（1）如图①，点C作CF∥y轴，过点A作AH⊥CF于H，过点B作BF⊥CF于F， ∴∠AHC＝∠BFC＝90°＝∠ACB， ∴∠ACH+∠CAH＝90°，∠BCF+∠ACH＝90°， ∴∠BCF＝∠CAH， 又∵AC＝BC， ∴△ACH≌△CBF（AAS）， ∴AH＝CF，CH＝BF， ∵过原点的直线与反比例函数y＝交于点A（6，3），B， ∴点B（﹣6，﹣3）， 设点C（x，y）， ∴6﹣x＝y+3，y﹣3＝x+6， ∴x＝﹣3，y＝6， ∴点C（﹣3，6）， 设直线AC解析式y＝kx+b， 由题意可得：， ∴， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x+5； （2）如图②，连接DE， ∵直线AC与y轴交于点D， ∴点D（0，5）， ∵点D（0，5），点O（0，0），点A（6，3）， ∴AD＝2，OD＝5，AO＝3， ∵点B（﹣6，﹣3），点C（﹣3，6）， ∴直线BC解析式为y＝3x+15， ∴点E（﹣5，0）， ∴OD＝OE＝5， ∴∠EDO＝45°， 当点P在AD上时，设点P（m，﹣m+5）， ∴PD＝， 当∠POD＝∠A＝45°，且∠ADO＝∠PDO， ∴△ADO∽△OPD， ∴， ∴， ∴m＝， ∴点P（，）； 当点P在CD上时，则∠PDO＞90°， ∴△ADO和△PDO不相似， 当点P'在BC上时，设点P'（a，3a+15）， ∴P'D＝， ∵以点O，D，P为顶点的三角形与△ADO相似， ∴∠P'DO＝∠CAB＝45°或∠P'DO＝∠ADO或∠P'DO＝∠AOD， 若∠P'DO＝∠CAB＝45°，则点P'与点E重合，不合题意舍去， 若∠P'DO＝∠ADO，∠P'OD＝∠DAO时，则， ∴， ∴a1＝﹣（不合题意舍去），a2＝﹣， ∴点P（﹣，﹣）； 若∠P'DO＝∠ADO，∠P'OD＝∠AOD时，则△AOD≌△POD（不合题意舍去）， 若∠P'DO＝∠AOD，∠P'OD＝∠AOD时，则△AOD≌△PDO（不合题意舍去）， 若∠P'DO＝∠AOD，∠P'OD＝∠OAD＝45°时， ∴OP'解析式为：y＝﹣x， ∴， ∴， ∴点P（﹣，﹣）； 综上所述：点P（，）或（﹣，﹣）； （3）∵点A的坐标为（6，3），点B（﹣6，﹣3）， ∴AB＝6， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AO＝BO， ∴CO＝BO＝AO＝3， ∵M是OC中点， ∴OM＝， ∴BM＝， 如图， ∵CQ⊥OP， ∴∠CQO＝90°， ∴点Q在以CO为直径的圆上， ∴点Q在BM上时，BQ有最小值为， ∴的最小值＝． 【点睛】本题主要考查了函数图像综合，准确利用相似、勾股定理知识点进行计算是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，直线与反比例函数交于，两点，若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立直线与反比例函数得到，设方程的两个根为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，利用完全平方公式变形得到，再结合直线与轴交于点与建立等式求解，即可解题． 【详解】解：联立，得到， ， 设方程的两个根为，， ，， ， ， ， 直线与轴交于点， ， ． 故选：B． 2．如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意根据角平分线的性质可知，进而可得，勾股定理求得，进而求得，进而求得点的坐标，即可求得 【详解】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，， 平分，平分， , , ， 四边形是正方形 ，， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正方形的判定，角平分线的性质，判定三角形全等以及全等的性质，勾股定理，理解角平分线的性质是解题的关键． 3．如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数及二次函数与几何动点问题的综合运用．熟练掌握动点产生的三角形面积计算方法，是解题关键． 根据题意，当Q点分别在、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用x将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可． 【详解】正方形的边长为，点P的速度为，点Q的速度为，P，Q两点同时出发，运动的时间为， ①当时，如下图， ，， ∴， ∵的面积为， ∴， 是开口向下顶点为的抛物线， ∴B、D符合； ②当时，如下图， ， 是y随x增大而减小的线段， ∴只有B符合． 故选：B． 4．如图，正方形的顶点，分别在轴正半轴和轴正半轴上，过点的反比例函数的图象交正方形对角线于点．若正方形的面积为40，且点是的中点，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质．依据题意，作轴于，设，又由四边形为正方形，进而证明，可得，，故，，从而，则，结合四边形为正方形，对角线与互相平分，可得为的中点，故，又在反比例函数，则，即，又正方形的面积为，且，最后列出，进而建立，计算即可得解． 【详解】解：作轴于，设， 又由四边形为正方形， ，． ． 又， ， ． 又， ． ，． 又，， ． ． 四边形为正方形， 对角线与互相平分． 为的中点， 为的中点． ， 又在反比例函数， ． ． 又正方形的面积为， 且， ． ． ． ． 故答案为：16． 5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在反比例函数的图象上，点是对角线与的交点且在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，勾股定理，过点作轴于，设，则，，由菱形的性质可得，，在中，由勾股定理可得，解得，即得，利用中点坐标公式可得，代入反比例函数即可求解，掌握菱形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于，则， 设，则，， ∵菱形的边长为， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， ∴， 解得或， ∵点位于第二象限， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∵点为菱形对角线的交点， ∴点为线段的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 6．如图，在x轴的上方作正方形，其对角线交点在第一象限，双曲线经过点P和点C，则的值是 ． 【答案】4 【分析】过点A作轴于点D，于点E，于点F，由正方形的性质易证，得出，，，从而可证，得出，，进而可证为等腰直角三角形，得出，即得出，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征可得出，整理即可求解． 【详解】解：过点A作轴于点D，于点E，于点F， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵双曲线经过点P和点C， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题为反比例函数综合题，考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形等知识．正确作出辅助线是解题关键． 7．点，在反比例函数的图象上，且． (1)直接写出，的大小关系； (2)如图，过点作矩形，为对角线的交点，且轴于，连接． ①求证：三点共线； ②若，，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②． 【分析】（）根据反比例函数的性质即可判断求解； （）①由，，四边形为矩形，可得，，设直线的解析式为，把代入可得，再把代入得，得到点在直线上，即可求证； ②由矩形的性质可得，，进而得，再由轴于，得到轴，即得，即可得到，进而由三角形外角性质得到，又由可得，得到，最后根据角的和差关系即可求解； 本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，正比例函数图象上点的坐标特征，平行的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，掌握反比例函数与正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴在每一象限内，的值随的增大而减小， ∵， ∴； （2）解：①证明：∵，，四边形为矩形，轴于， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴点在直线上， ∴点三点共线； ②解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵轴于， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， (1)求反比例函数的表达式； (2)如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； (3)点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 【答案】(1) (2) (3)的值为1或 【分析】（1）将代入得，于是得到结论； （2）由轴，得到，根据点是的中点，得到，得到点和点横坐标相等，将代入得到，求得点坐标为，解方程得到的解析式为，得到点坐标为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①当在轴正半轴时，如图1，在延长线上取点，使得，在延长线上取点使得，过点作轴于点1，得到，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到(负值舍去)，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到点坐标为，解方程得到； ②当在轴负半轴时，如图2在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点，根据等边三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到(负值舍去)，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入，得，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵轴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∵轴于点， ∴点和点横坐标相等， 将代入得， ∴点坐标为， 设的解析式为，将代入得，解得， ∴的解析式为， 将代入，得， ∴点坐标为， ∴， ∴； （3）解：①当在轴正半轴时，如图1 在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点，                图1 ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上的点， ∴， 即， ∵为整数且在轴正半轴上， ∴； ②当在轴负半轴时，如图2                  图2 在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得， 过点作轴于点， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， 即，解得（负值舍去）， ∴，，， 同理可证：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上的点， ∴，即， ∵为整数且在轴负半轴上， ∴， ∴综上所述，的值为1或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 10．我们定义：把叫做函数的伴随函数．比如：就是的伴随函数．数形结合是学习函数的一种重要方法，对于二次函数（的常数），若点在函数的图象上，则点也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于轴对称．解答下列问题： (1)的图象关于 轴对称； (2)直接写出函数的伴随函数的表达式 ； 在如图所示的平面直角坐标系中画出的伴随函数的大致图象； (3)若直线与的伴随函数图象交于、两点（点在点的上方），连接、，且的面积为12，求的值； 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3) 【分析】（1）根据点和点都在的图象上即可得解； （2）①由伴随函数的定义即可得出答案；②描点连线画出函数图象即可； （3）由，消去得到，由一元二次方程根与系数的关系，，推出，求出，再由，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点和点都在的图象上， ∴的图象关于轴对称； （2）解：①由伴随函数的定义可得：函数的伴随函数的表达式； ②在中， 当时，； 当时，， 当时，， 描点连线绘制函数图象如下： （3）解：如图： 由，消去得到， ∴，， ∴， 在中，令，则， 解得， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、伴随函数的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$