1.3.2尺规作图（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

1.3.2尺规作图 题型一 已知两边及夹角求作三角形 1．如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 2．如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 3．尺规作图：如图，已知，请根据基本事实“”作出，使．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）    题型二 已知三边求作三角形 1．已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 2．已知三边作三角形，用到的基本作图是（　　） A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一条线段等于已知线段的和 3．已知线段a，b，c,求作：△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,有下列作法：①连接AB，AC,△ABC就是所求作的三角形；②作射线BM,在射线BM上截取BC=a；③分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A．则以上作法的合理顺序为 . 4．尺规作图：（不写做法，保留作图痕迹） 已知：线段a，b．（如图所示） 求做：，使，，． 题型三 尺规作图与其他知识的综合运用 1．（1）根据图形填空： ①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若，则根据“_________”，可得________． （2）已知：．求作：，使．（保留作图痕迹，不写作法） 2．根据下列要求画图并回答问题： (1)画图（不要求写画法和结论）； ①画，使，，； ②分别画、边上的高、； (2)在（1）的图形中，可得的值为______． 1．【操作】用尺规按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹： (1)作，使，，． (2)作，使，，． (3)【应用】在中，，，．请写出的个数及相应的x的取值范围． 2．如图，已知凸五边形中，，为其对角线，， (1)如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上； (2)如图，若，，且，求证：平分． 1．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究． 探究：已知：， 求作：，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． （1）实践与操作：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹） ①画；②在线段的上方画；③画；④顺次连接相应顶点得所求三角形． （2）观察与小结：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，因此可得结论：________． （3）猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢？存在与否，请举一例尺规作图验证（提示：按照探究中的已知先构造三角形，再根据求作要求尺规作图）．    （4）归纳与总结：用一句话归纳（3）________________. 2．青岛版初中数学教科书八年级上册第21页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC． 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC． 作法：如图． （1）画B'C′＝BC； （2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′； （3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．    请你根据以上材料完成下列问题： （1）在作图过程中创造了什么条件？ （2）依据作图过程及其产生的条件证明△A′B′C′≌△ABC． 1．在中给定下面几组条件： ①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°； ②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°； ③BC=4cm，AC=5cm，AB=3cm；   ④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°． 若根据每组条件画图，则能够唯一确定的是 （填序号）. 2．根据下列已知条件，能唯一画出的是(　　) A．∠A=36°，AB=4,AC=5 B． C． D． 3．如图，在中，，D为AB边上一点、尺规作图．作，使，且，点E在外． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.2尺规作图 题型一 已知两边及夹角求作三角形 1．如图，已知，尺规作图的方法作出了，请根据作图痕迹判断的理论依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识．根据判定三角形全等． 【详解】解：由作图可知，，，， 故． 故选：A． 2．如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图，解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程，根据尺规作等腰三角形的过程逐项判断即可解答． 【详解】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是： ③在的两边上截取； ④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ①连接． 即为所求作的三角形． 画法正确的顺序是③④②①， 故选C． 3．尺规作图：如图，已知，请根据基本事实“”作出，使．（只保留作图痕迹，不要求写出作法）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作三角形与已知三角形全等．熟练掌握基本作图，三角形全等的判定和性质，是解题关键． 先作一个，然后在的两边分别截取，，连接即可得到． 【详解】①作，使， ②在的两边上分别取，，使，， ③连接． 即所求作，如图．    题型二 已知三边求作三角形 1．已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 2．已知三边作三角形，用到的基本作图是（　　） A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一条线段等于已知线段的和 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图的方法，根据三边作三角形，用到的基本作图是作一条线段等于已知线段即可得出答案，牢记几种基本作图的方法是解答本题的关键． 【详解】解：已知三角形的三边,求作符合要求的三角形,其作图依据是“”， 故用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段， 故选C． 3．已知线段a，b，c,求作：△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c,有下列作法：①连接AB，AC,△ABC就是所求作的三角形；②作射线BM,在射线BM上截取BC=a；③分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径画弧，两弧交于点A．则以上作法的合理顺序为 . 【答案】②③① 【详解】已知三条线段长，求作三角形，其作法是：先作出三角形一边，确定两个顶点，再分别以两个顶点为圆心，定长为半径画弧交于一点确定第三个顶点，作出另外两边，从而作出所求的三角形. 故题中作法合理的顺序为②③①. 4．尺规作图：（不写做法，保留作图痕迹） 已知：线段a，b．（如图所示） 求做：，使，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作三角形，先作射线，截取，然后以A为顶点以b为长度画弧，再以B为顶点为边画弧，两弧的交点为C，连接，即可得出． 【详解】解：如图．就是所求做的三角形． 题型三 尺规作图与其他知识的综合运用 1．（1）根据图形填空： ①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若，则根据“_________”，可得________． （2）已知：．求作：，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①；②两直线平行，内错角相等；；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，作三角形； （1）①根据“同旁内角互补，两直线平行”即可求解； ②根据“两直线平行，内错角相等”，即可求解． （2）根据题意作，即可求解． 【详解】（1）①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得； ②若，则根据“两直线平行，内错角相等”，可得 ． 故答案为：①；②两直线平行，内错角相等； （2） 如图所示，即为所求 2．根据下列要求画图并回答问题： (1)画图（不要求写画法和结论）； ①画，使，，； ②分别画、边上的高、； (2)在（1）的图形中，可得的值为______． 【答案】(1)①画图见解析，②画图见解析 (2) 【分析】（1）①先作射线，再在射线上截取，再以为圆心，为半径画弧，以A为圆心，为半径画弧，两弧交于点C，再顺次连接A，B，C即可；②利用三角尺画、边上的高、即可； （2）利用等面积法可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：（1）①如图，    ②如图，，即为所画的高；    （2）由等面积法可得：，而，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的画三角形，画三角形的高，等面积法的应用，熟练的画已知三边的三角形，灵活应用等面积法解决问题是解本题的关键． 1．【操作】用尺规按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹： (1)作，使，，． (2)作，使，，． (3)【应用】在中，，，．请写出的个数及相应的x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当，0个；当或时，1个；当时，2个 【分析】（1）首先以B为顶点作，再在的一边上截取，然后以A为圆心、b为半径画弧，与的另一边相交，令交点为C即可； （2）同（1），首先以E为顶点作 ，再在角E 的一边上截取，然后以D为圆心、n为半径画弧，与角E 的另一边相交，令交点为F即可； （3）由（1）的作图过程，根据AC的具体取值可确定的个数． 【详解】（1）解：如图 1，即为所求． 作法为：首先以B为顶点作，再在角B的一边上截取，然后以A为圆心、b为半径画弧，与角B的另一边相交于C即可； （2）解：如图2，△DEF 即为所求． 作法为：首先以E为顶点作，再在角E的一边上截取，然后以D为圆心、n为半径画弧，与角E的另一边相交于点F即可； （3）解：， 由（1）的作图过程可知： ①当时，以A为圆心所画弧与角B的另一边不相交，所以此时不存在，为0个； ②如图3，当时，以A为圆心所画弧与角B的另一边的交点为1个，此时三角形ABC为直角三角形，个数为1个； ③如图4，当 时，以A为圆心所画弧与角B的另一边的交点有2个，所以对应的个数为2个； ④如图5，当时，以A为圆心所画弧与角B的另一边的交点有2个，但有一个是B，所以对应的个数仍为1个； ⑤如图 6，当时，以A为圆心所画弧与角B的另一边的交点有1个，对应的个数为1个； 综上，当时，个数为0 个；当或时，个数为1个；当时，个数为2个． 2．如图，已知凸五边形中，，为其对角线，， (1)如图，若，在五边形的外部，作，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点，，三点在同一直线上； (2)如图，若，，且，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出图形，由，及，可得出，即可证得，点在同一直线上； （2）延长到，使得，连接.证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，点在同一直线上， （2）延长到，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 1．通过“三角形全等的判定”的学习，大家知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究． 探究：已知：， 求作：，使（即两边和其中一边所对的角分别相等）． （1）实践与操作：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹） ①画；②在线段的上方画；③画；④顺次连接相应顶点得所求三角形． （2）观察与小结：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有______个；其中三角形______（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，因此可得结论：________． （3）猜想与验证：猜想是否存在满足“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形全等呢？存在与否，请举一例尺规作图验证（提示：按照探究中的已知先构造三角形，再根据求作要求尺规作图）．    （4）归纳与总结：用一句话归纳（3）________________. 【答案】（1）见解析； （2）两，，结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等； （3）见解析； （4）两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等． 【分析】（1）根据步骤尺规作图，得两个三角形； （2）如图，满足条件的三角形有两个，，其中三角形与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定相等． （3）令或，作图验证，得两个三角形全等； （4）由（3）作图验证可知：两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等． 【详解】（1）作图如下，    （2）满足条件的三角形有两个，，其中三角形与△ABC明显不全等，因此可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等． （3）如图，当时，按步骤作图，可得.    另，当时，按步骤作图，也可得；    （4）结论：两个三角形，两边和其中一边所对的角分别相等，且该角为直角或钝角时，这两个三角形全等． 【点睛】本题考查尺规作图，全等三角形的判定；考虑到三角形内角为锐角、直角、钝角的三种情况是解题的关键． 2．青岛版初中数学教科书八年级上册第21页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC． 求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC． 作法：如图． （1）画B'C′＝BC； （2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′； （3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．    请你根据以上材料完成下列问题： （1）在作图过程中创造了什么条件？ （2）依据作图过程及其产生的条件证明△A′B′C′≌△ABC． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）根据题意得出证明△A′B′C′≌△ABC的条件为“”； （2）根据题意证明即可． 【详解】解：（1）根据题意可得：， ∴证明△A′B′C′≌△ABC的条件为“”； （2）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中， ， ∴△A′B′C′≌△ABC（）． 【点睛】本题考查了作图-全等三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是读懂图像信息，属于中考常考题型． 1．在中给定下面几组条件： ①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°； ②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°； ③BC=4cm，AC=5cm，AB=3cm；   ④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°． 若根据每组条件画图，则能够唯一确定的是 （填序号）. 【答案】①③④ 【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确； ②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD， 错误；    ③符合全等三角形的判定定理SSS，即能画出唯一三角形，正确； ④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确. 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系． 2．根据下列已知条件，能唯一画出的是(　　) A．∠A=36°，AB=4,AC=5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法和三角形三边之间的数量关系逐个判断即可求解．此题考查了三角形全等的判定方法和三角形三边的数量关系，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和三角形三边的数量关系． 证明三角形全等的方法有： (直角三角形)．三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：A、∵∠A=36°，AB=4,AC=5， 根据SAS判定三角形全等的方法可得，能唯一画出．符合题意； B、∵， 两边及其中一边的对角确定，三角形不唯一， ∴不能唯一画出，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴不能画出，不符合题意； D、∵， ∵的位置不固定，只有一边的长度和一角的度数确定，三角形不唯一， ∴不能唯一画出，不符合题意． 故选：A． 3．如图，在中，，D为AB边上一点、尺规作图．作，使，且，点E在外． 【答案】见解析 【分析】在∆ABC外作∠BCE=∠ACD，在CF上截取CE=CD，即可确定△BCE． 【详解】解：如图所示：在∆ABC外作∠BCE=∠ACD，在CF上截取CE=CD △BCE即为所求作 在∆ADC与∆BEC中， ， ∴∆ADC≅∆BEC． 【点睛】题目主要考查基本作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定等，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$