3.1勾股定理(2)学案 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

教师个性化设计 （学 生 学 习 札 记） 1.勾股定义的证明：无字证明 ⑴基本图形：赵爽弦图 ⑵几何语言： 2.直角三角形中的常用公式： ⑴基本图形： ⑵公式： 3.数轴上的点和 . 错 题 订 正 3.1勾股定理⑵ 八（ ）班 【课前预习】 操作 制作4张一样的直角三角形，用它们拼出两个正方形，贴在下方： 探究 分别用两种方法计算拼得的大正方形的面积，你发现什么？ 【课堂研学】 预习评价： 回顾 什么叫勾股定理？如何证明？ 例 1 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了 小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时， 都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个 全等的直角三角形按图1所示摆放，其中， 求证：    证明：连接，过点D作边上的高，则， ∵， ∴ ∴． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中．求证：． 讨论 如图，△ABC和△DEF都不是直角三角形，分别以△ABC和△DEF的各边 为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形面积的和等于大正方形的面 积吗？为什么？ 例 2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB与点D.若AC=3，BC=4，请求出 图中其他线段的长度. 练习1.直角三角形两直角边是6和8，它的面积是 ，斜边上的高线是 . 练习2.直角三角形的面积是10，斜边为5，则斜边上的高线是 . 练习3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是 . 例 3 问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这 个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小 正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小 正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计 算出它的面积． ⑴△ABC的面积是 ； 思维拓展： 错 题 订 正 ⑵我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、 ，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC． 它的面积是 ． 探索创新： ⑶若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a＞0），请利用图③的正方形网格（每 个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，它的面积是 ． 实际应用： ⑷能否在下列数轴上画出表示数、、的点，请你试一试. 【课堂检测】 研学评价： 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A．  B．  C．  D．   第2题 第3题 第4题 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC ＝ ，CD＝ ，△ABC的面积是 ． 3.如图，在数轴上点A表示的实数的平方是 ． 4.如图，把一个直立的火柴盒放倒.你能用不同的方法计算梯形ACED的面积，再次 验证勾股定理吗？ 5.如图，. ⑴数轴上点A表示的数是 ； ⑵比较点A表示的数与的大小： ； ⑶在数轴上作出到原点距离等于的点． 检测评价： 【课后巩固】 第1题 第2题 第3题 1.如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正 方形B、D的面积之和为 . 2.如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有 　 条． 3.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． ⑴在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形． ⑵把所作正方形分割成赵爽弦图． 4.如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线 长为半径画弧，与正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出 一个结论． ⑴点B表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的． ⑵若将图中数轴上标的A，C，D各点与所给的三个实数，3和对应起来，则 点A表示的实数为 ，点C表示的实数为 ，点D表示的实数为 ． ⑶在数轴上作出点E表示的数是； 5.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间 的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）． ⑴利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母 表示： ； ⑵用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足，， ，，求证（1）中的定理结论； ⑶如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，求正方形BDFA 的面积．（用m，n表示） 巩固评价： 学科网（北京）股份有限公司 $$