3.1勾股定理(1)学案 2024-2025学年苏科版数学八年级上册

教师个性化设计 （学 生 学 习 札 记） 1.勾股定义：直角三角形 等于 ， 即 . ⑴基本图形： ⑵几何语言： 错 题 订 正 3.1勾股定理⑴ 八（ ）班 【课前预习】 思考 1955年希腊发行了一枚纪念邮票， 邮票上的图案是根据一个著名的数 学定理设计的.观察这枚邮票上的 图案，数一数图案中3个正方形 内小方格的个数，你有哪些发现？ 如何验证？ 验证 如图，若将小方格的面积看作1，以BC为一边的正方形的面积是 ， 以AC为一边的正方形的面积是 .那么以AB为边的正方形的面积是多少？ 思考 图中3个正方形面积之间有怎样的数量关系？ 【课堂研学】 预习评价： 操作 在下面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这 个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法计算以 斜边为一边的正方形的面积. 思考 直角三角形三边之间有怎样的数量关系？为什么？ 练习1.求出下列图中的值. 例 1 已知一直角三角形两边长分别为5和12，求第三条边的长度？ 练习2.求下列直角三角形中未知边的长. 练习3.已知直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边长是 . 例2 如图，中，，，． ⑴用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） ⑵若（1）中所作的垂直平分线交于点D，求的长． 例 3 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定 理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉 代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵 爽弦图”，流传至今． ⑴①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半 圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形 中面积关系满足的有________个． ②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图 中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足 吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系． ⑵如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向 外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾 股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C， D的边长分别为a，b，c，d，则__________． 错 题 订 正 【课堂检测】 研学评价： 第1题 第2题 第3题 第4题 1.如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A和正方形B的面积分别为和， 则正方形C的面积为 ，正方形C的边长是 ． 2.如图，在中，，，则的值为 ． 3.如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，且每个小正方形的边长都是1， 则线段AB的长为 . 4.如图，长为2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m，则梯子顶 端的高度h是　 　． 5.如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合. ⑴AB长为 ，BE长为 ； ⑵求 BD的长. 【课后巩固】 检测评价： 第1题 第2题 第3题 1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面 积是 . 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点 D到直线AB的距离是 　 　cm． 3.如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是 . 4.已知直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长是 . 5.已知a，b，c是中，，的对边. ①若，则+；②若，则；③若， 则+；④总有+．上述说法正确的是 .（填序号） 6.有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm． ①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上， 则CD =_________cm． ②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在 AC、BC上，则、与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． ★7.如图，在中，，，，求BC边上的高AD的长．      巩固评价： 学科网（北京）股份有限公司 $$