专题 字母在表示排列规律中的五种常见类型（专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题04字母在表示排列规律中的五种常见类型 题型01用字母表示数式的排列规律 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·河南周口·期末）观察下列等式： ； ； ； ， 这些等式反映正整数间的某种规律，设表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为 ． 【例1-2】（23-24七年级上·江西景德镇·期末）观察下列等式：①；②；③；④；⑤，则第n个等式为 . 【例1-3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列等式：；；，将这三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：_________； (2)直接写出_________； (3)探究并计算：． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23六年级下·山东泰安·期中）观察下列各式，探索规律： ；；；；； 用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析出等式中各数之间的关系 【变式1-2】（23-24七年级上·安徽黄山·期末）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： …… 按照上述规律，回答下列问题： （1）写出第8个等式： ；              （2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示）． 【变式1-3】（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）观察下列等式并回答问题． 第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：…… (1)按发现的规律分别写出第5个等式和第6个等式； (2)求． 题型02用字母表示数表的排列规律 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级上·湖北孝感·期末）新年将至，如图1是2023年1月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5个代表日期的数，如图2若设交叉框中的五个数分别为a，b，c，d，m，且，则m的值为 ． 【例2-2】（23-24七年级上·福建厦门·期中）将连续的偶数2、4、6、8、10…排列成如下的数表，用躺“”形状框出3个数（如图1）．请回答下列问题： (1)如图2，若设躺“”形状框出3个数中②位置上的数为a，请用代数式表示； ①位置上的数为 ； ③位置上的数为 ． (2)躺“L”形状框出3个数之和一定是6的整数倍吗？若是，请证明；若不是，请举出反例． 【例2-3】（23-24七年级上·北京·期末）将连续的奇数排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）． (1)若将十字框上下左右平移，使得十字框正好框住数列中的5个数．小明发现这五个数的和总等于中间数的整数倍．若设中间的数为a，则框住的5个数字之和=___________（用a的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，是否存在a的值，使得该十字框框住的5个数之和恰好等于2020？若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，十字框框住的5个数之和能等于415吗？若能，分别写出十字框框住的这5个数；若不能，请说明理由． 【变式演练】 【变式2-1】（2023七年级上·全国·专题练习）如图是一张月历卡，用形如 的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出3个数．框出的3个数的和最大是 ，一共可以框出 种不同的和．    【变式2-2】（22-23七年级上·山西大同·期中）如图所示的数阵是小明同学用一些奇数排成的，请你与小明一起探讨下列问题． (1)框中四个数有什么关系？ (2)在数阵中任意画一个类似（1）中的框，设左上角的一个数为x，那么其他三个数怎样表示？你能求出这四个数的和吗？ 【变式2-3】（23-24七年级上·广东湛江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 题型03用字母表示数阵的排列规律 【典例分析】 【例3-1】（22-23七年级上·辽宁抚顺·期中）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行                        1 第2行                    2    3    4 第3行                5    6    7    8    9 第4行            10    11    12    13    14    15    16 第5行        17    18    19    20    21    22    23    24    25 …… 若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是 ． 【例3-2】（19-20七年级上·湖北孝感·阶段练习）如图所示的数表是由1开始的连续自然数排列而成的，根据你观察的规律完成下面问题： （1）第8行最后一个数是________；第n行共有__________个数，这行第一个数是__________，这行最后一个数是______________. （2）求第10行各数的和. 【例3-3】（2023·七年级上安徽合肥·）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广东揭阳·期中）将自然数按以下规律排列： 图中数2在第二行，第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2017对应的有序数对为 ． 【变式3-2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下面三行数： ，，，，；① ，，，，；② ，，，，．③ (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第6个数，计算这三个数的和． 【变式3-3】（23-24七年级上·北京·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m行、从左到右第n个数，如表示实数5． (1)图中位置上的数是 ； (2)数据39对应的有序实数对可表示为 ； (3)写出你发现的两条关于第行的规律，其中n为自然数： ① ； ② ． 题型04用字母表示图阵中点的个数的排列规律 【典例分析】 【例4-1】（22-23七年级上·河南许昌·期末）如图所示，摆第一个“小屋”要用5枚棋子，摆第二个“小屋”要用11枚棋子，摆第三个“小屋”要用17枚棋子，则摆第20个“小屋”要用的棋子数是（　　）    A．101 B．107 C．113 D．119 【例4-2】（21-22七年级上·贵州铜仁·期末）把圆形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为 ． 【例4-3】（2022七年级上·全国·专题练习）如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，，依此类推． (1)填写下表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 (2)写出第层所对应的点数； (3)写出层的正六边形点阵的总点数； (4)如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？ 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，是由同样大小的星星按照一定的规律摆放的，第1个图中有4个星星，第2个图中有8个星星，第3个图中有13个星星，……则第5个图中星星的个数是（    ） A．26 B．28 C．30 D．33 【变式4-2】（23-24七年级上·四川资阳·期末）如图，是由大小相同的五角星摆放而得到的，其中第1个图形有5个五角星，第2个图形有10个五角星，第3个图形有17个五角星，…，按此规律，则第10个图形中五角星的个数为 ． 【变式4-3】（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空： 第1个点阵：    第2个点阵：   ______＋______ 第3个点阵：   ______＋______ （2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式． （3）根据以上猜想，求出的值． 题型05用字母表示图形个数的排列规律 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列正方形涂有黑色阴影，三角形为等边三角形，且是一组有规律的图案，它们的边长相同，观察并猜想：第（y）个图案中涂有黑色阴影的正方形的个数为（    ） A．2y B． C． D． 【例5-2】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，则第30个图中小正方形的个数是 . 【例5-3】（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，回答： (1)用含n的代数式表示操作n次后，得到的正方形的个数； (2)若要得到2021个正方形，则需要操作多少次？ 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·四川达州·期末）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，从左至右，第1个图案中有6个等边三角形和6个正方形，第2个图案中有10个等边三角形和11个正方形，第3个图案中有14个等边三角形和16个正方形，…从第2个图案开始，每个图案比前一个图案多4个等边三角形和5个正方形，则第个图案中等边三角形和正方形的个数之和为 个；第 个图案中等边三角形和正方形的个数之和为300个． 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）边长为1的正六边形拼成如图所示的图形，请解答下列问题： (1)当图形只有一个正六边形时，其周长为______；当图形由两个正六边形拼成时，其周长为______；……；当图形由n个正六边形拼成时，其周长为______． (2)2024是一个神奇的数字，因为今年刚好是2024年．小朵同学想拼成一个周长为2024的类似图形，请问她的想法能不能实现？如果能，求正六边形的个数；如果不能，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04字母在表示排列规律中的五种常见类型 题型01用字母表示数式的排列规律 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级上·河南周口·期末）观察下列等式： ； ； ； ， 这些等式反映正整数间的某种规律，设表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为 ． 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，理清序号与底数之间的关系是解题的关键． 观察发现，左边是两个平方数的差，右边是数的4倍的形式，然后根据序号写出即可． 【详解】解：； ； ； ， 依此类推，． 故答案为： 【例1-2】（23-24七年级上·江西景德镇·期末）观察下列等式：①；②；③；④；⑤，则第n个等式为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，较强的类比归纳能力是解题的关键． 根据已有等式类比归纳出第n个等式即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ⑤， …… 第n个等式为：． 故答案为： 【例1-3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）观察下列等式：；；，将这三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：_________； (2)直接写出_________； (3)探究并计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数混合运算以及数字类规律探索，读懂题目信息，理解将分数写成两个分数的差的形式的方法是解题的关键． （1）观察原题等式，得出拆项方法，即可做出猜想； （2）利用拆项法计算即可得到结果； （3）利用得出的拆项法计算即可得到结果． 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23六年级下·山东泰安·期中）观察下列各式，探索规律： ；；；；； 用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 ． 【答案】 【分析】分析前面几个等式对应数据之间的内在联系，再归纳总结即可得到规律． 【详解】解：∵，整理得：； ，整理得：； ，整理得：； ，整理得：； …， ∴其规律为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析出等式中各数之间的关系 【变式1-2】（23-24七年级上·安徽黄山·期末）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： …… 按照上述规律，回答下列问题： （1）写出第8个等式： ；              （2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了数式中的规律问题，解决这类问题的关键是找出式子中变化的数据与等式序号之间的关系． （1）根据前5个等式的关系，直接写出第8个等式； （2）第n个等式，即等式的序号是n，根据等式中被减数、减数、差的指数与序号的关系直接写出即可． 【详解】解：（1）∵第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 第4个等式为：； 第5个等式为：； ∴第8个等式为：； 故答案为：． （2）第n个等式即等式的序号为n，根据等式中被减数的指数比等式的序号大1，减数与差的指数与序号相同，其余的数值都不变可得， 第n个等式为：． 故答案为： 【变式1-3】（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）观察下列等式并回答问题． 第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：…… (1)按发现的规律分别写出第5个等式和第6个等式； (2)求． 【答案】(1)第5个等式：；第6个等式：； (2) 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现规律：等号后面的式子分子不变，均为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1． （1）根据题目式子的特点，即可得到第5个等式和第6个等式； （2）根据题目式子的特点，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式： ∴第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； （2） ． 题型02用字母表示数表的排列规律 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级上·湖北孝感·期末）新年将至，如图1是2023年1月的日历，用笔在日历中任意框出两组呈斜对角线交叉的5个代表日期的数，如图2若设交叉框中的五个数分别为a，b，c，d，m，且，则m的值为 ． 【答案】16 【分析】根据图1得出，，再根据，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：根据图1中所框出的这5个数的规律可知，，， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了日历中的方程，解题的关键是根据图1得出， 【例2-2】（23-24七年级上·福建厦门·期中）将连续的偶数2、4、6、8、10…排列成如下的数表，用躺“”形状框出3个数（如图1）．请回答下列问题： (1)如图2，若设躺“”形状框出3个数中②位置上的数为a，请用代数式表示； ①位置上的数为 ； ③位置上的数为 ． (2)躺“L”形状框出3个数之和一定是6的整数倍吗？若是，请证明；若不是，请举出反例． 【答案】(1)； (2)三数之和是6的倍数，证明见解析 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：若设躺“L”形状框出3个数中②位置上的数为a，请用代数式表示； ①位置上的数为； ③位置上的数为； 故答案为： ；； （2）解：三数之和是6的倍数， 理由：设躺“”形状框出3个数中②位置上的数为a，则①位置上的数为； 根据题意得，， 是偶数，令（n是自然数）， ， ∴三数之和是6的倍数． 【点睛】此题考查数字类规律探索，读懂题意，找到数字与数字之间的规律是解题的关键． 【例2-3】（23-24七年级上·北京·期末）将连续的奇数排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）． (1)若将十字框上下左右平移，使得十字框正好框住数列中的5个数．小明发现这五个数的和总等于中间数的整数倍．若设中间的数为a，则框住的5个数字之和=___________（用a的代数式表示）． (2)在（1）的条件下，是否存在a的值，使得该十字框框住的5个数之和恰好等于2020？若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由； (3)在（1）的条件下，十字框框住的5个数之和能等于415吗？若能，分别写出十字框框住的这5个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在，见解析； (3)不能，见解析． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，数字变化规律，理解题意能力和看表格能力，关键是找到题目的等量关系． （1）从表格可看出上下相邻相差，左右相邻相差，中间的数为，上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，这5个数的和可用来表示； （2）代入看看求出的结果是奇数就可以，不是奇数就不可以； （3）代入看看求出的结果是整数就可以，再考虑中间数的位置，即可得出答案． 【详解】（1）解：从表格知道中间的数为a，上面的为，下面的为，左面的为，右面的为， ∴， 故答案为：． （2）解：依题意有， 解得， ∵是偶数， ∴不存在． （3）解：依题意有， 解得， ∵位于一行的最右边， ∴十字框框住的5个数之和不能等于． 【变式演练】 【变式2-1】（2023七年级上·全国·专题练习）如图是一张月历卡，用形如 的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出3个数．框出的3个数的和最大是 ，一共可以框出 种不同的和．    【答案】 84 20 【分析】（1）要使框出的和最大，那么这三个数分别是27、28、29； （2）第一行框出的数有:2、3、4；3、4、5；4、5、6；5、6、7；6、7、8共5种，共有4行数，因此共可以框出20种不同的和． 【详解】解：， 第一行框出的数有：2、3、4；3、4、5；4、5、6；5、6、7；6、7、8共5种，共有4行数因此共可以框出（种）． 故答案为：84，20． 【点睛】本题考查年月日的认识和数字规律，灵活运用所学知识是关键 【变式2-2】（22-23七年级上·山西大同·期中）如图所示的数阵是小明同学用一些奇数排成的，请你与小明一起探讨下列问题． (1)框中四个数有什么关系？ (2)在数阵中任意画一个类似（1）中的框，设左上角的一个数为x，那么其他三个数怎样表示？你能求出这四个数的和吗？ 【答案】(1)两对角线数字之和相等； (2)． 【分析】（1）根据图形可知两对角线数字之和相等； （2）根据图中数字的排列规律进行解答即可． 【详解】（1）解： ， 则四个数的关系为：两对角线数字之和相等； （2）解：设左上角的一个数为x，则右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为 ， 则这四个数的和为：． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由图中的数字总结出其规律 【变式2-3】（23-24七年级上·广东湛江·期中）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数表，用十字形框任意框出5个数． (1)如图十字框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)若将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为． ①用含有的式子表示十字形框中的五个数之和； ②这五个数之和能等于2023吗？请通过计算说明． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； (2)①；②不能，理由见解析． 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，找出数字的排列规律，利用数字和建立方程求得答案即可． （1）先求出这5个数的和，用这个和去除以中间的这个数15就可以得出结论； （2）①由左右相邻两个奇数之间相差2，上下相邻两个奇数之间相差10，就可以分别表示出这5个数，进而得出结论； ②设中间的一个数为，建立方程求出的值就可以得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得． ． 因此十字框中的五个数的和是中间数15的5倍； （2）解：①设中间数为，则其余的4个数分别为，，，，由题意，得 ． 答：5个数之和为； ②不能．理由如下： 设中间的一个数为，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 解得， ∵不是整数， ∴不存在五个数之和等于2023． 题型03用字母表示数阵的排列规律 【典例分析】 【例3-1】（22-23七年级上·辽宁抚顺·期中）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 第1行                        1 第2行                    2    3    4 第3行                5    6    7    8    9 第4行            10    11    12    13    14    15    16 第5行        17    18    19    20    21    22    23    24    25 …… 若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6，则表示99的有序数对是 ． 【答案】 【分析】根据第行的最后一个数是，第行有个数即可得出答案． 【详解】解：第行的最后一个数是，第行有个数， 在第10行倒数第二个， 第10行有：个数， 的有序数对是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握第行的最后一个数是，第行有个数是解题的关键 【例3-2】（19-20七年级上·湖北孝感·阶段练习）如图所示的数表是由1开始的连续自然数排列而成的，根据你观察的规律完成下面问题： （1）第8行最后一个数是________；第n行共有__________个数，这行第一个数是__________，这行最后一个数是______________. （2）求第10行各数的和. 【答案】（1）64、（2n-1)、 (n-1)2+1 、n2 ；（2）1729. 【分析】（1）数为自然数，每行数的个数为1，3，5，…的奇数列；每行最后一个数为完全平方数，第n行最后一个数为n2.则第8行最后一个数是82；第n行共有（2n-1）个数； 第n行第一个数为(n-1)2+1；最后一个数为n2. （2）由（1）可知第10行的第一个数是第9行最后一个数的下一个自然数，即92+1=82，最后一个数为102，求和即可. 【详解】（1） 64、（2n-1)、 (n-1)2+1 、n2 （2）82+83+84+…+98+99+100 =(82+100)+(83+99)+(84+98)+…+91 =91×2+91×2+91×2+…+91 =91×18+91 =91×19 =1729 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察数字排列的规律是解题关键. 【例3-3】（2023·七年级上安徽合肥·）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 【答案】(1)11；； (2)①；② 【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可； （2）①先求第11行最后一个数，然后判断为第11行倒数第二个数即可解答； ②先根据判断2023为第45行的数字，然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2，即可判断． 【详解】（1）解：第1行有1个数， 第2行有个数， 第3行有个数， 第4行有个数， 第5行有个数， ∴第6行有个数， …… 第n行有个数； （2）解：①∵第11行有个数，且最末尾的数是， 而表示第11行的第20个数， ∴表示的数是； ②∵，， ∴， ∴2023位于第45行， ∵第45行有个数，而2023与2025相差2个数， ∴2023位于第45行的第87个数， ∴表示2023的有序数对是． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·广东揭阳·期中）将自然数按以下规律排列： 图中数2在第二行，第一列，与有序数对对应；数5与对应；数14与对应；根据这一规律，数2017对应的有序数对为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2017所在的位置． 【详解】解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方， 第一行的偶数列的数的规律，与奇数行规律相同， ∵，2017在第45行，向右依次减小， 即2025，2024，2023，2022，2021，2020，2019，2018，2017，2016，2015，2014， ∴2027在第9列， 故2017所在的位置是第45行，第9列， 即数2017对应的有序数对为， 故答案为： 【变式3-2】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察下面三行数： ，，，，；① ，，，，；② ，，，，．③ (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第6个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)第①行数的规律是，，，，…(或叙述为从第2个数起，每一个数是它前面相邻的一个数的倍) (2)第②行每一个数是第①行每个数除以得到的；第③行每个数是第①行每个数加1得到的 (3) 【分析】（1）根据已知数据可得从第2个数起，每一个数是它前面相邻的一个数的倍； （2）观察数据，对于第②行每一个数是第①行每个数除以得到的；第③行每个数是第①行每个数加1得到的． （3）根据（1）（2）的规律，取每行数的第6个数求和，进而计算即可求解． 【详解】（1）解：第①行数的规律是，，，，…(或叙述为从第2个数起，每一个数是它前面相邻的一个数的倍)． （2）第②行每一个数是第①行每个数除以得到的；第③行每个数是第①行每个数加1得到的． （3） 【点睛】本题考查了数字类规律，有理数的混合运算，找到规律，掌握有理数的运算法则是解题的关键 【变式3-3】（23-24七年级上·北京·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第m行、从左到右第n个数，如表示实数5． (1)图中位置上的数是 ； (2)数据39对应的有序实数对可表示为 ； (3)写出你发现的两条关于第行的规律，其中n为自然数： ① ； ② ． 【答案】(1)22； (2)； (3)①该行上的数字是连续的奇数； ②该行上的数字个数等于该行数． 【分析】本题考查用有序数对表示位置，以及数字类规律探究． （1）根据题意得到表示第6行，第5个数，即可得出结论； （2）先确定39所在的行数，以及所在行的第几个数，即可； （3）由已知数据，可知，奇数行的数字为连续的奇数，个数与行数相同，即可． 【详解】（1）解：由题意，表示第6行，第5个数， 由已知数据可知：奇数行的数字为连续的奇数，偶数行的数字为连续的偶数，且每一行数字的个数与行数相同， ∴第6行的第一个数为14，第5个数为：， ∴图中位置上的数是22， 故答案为：22； （2）∵第5行的最后一个数为17， ∴第7行的第一个数为19，最后一个数为， ∴第9行的第一个数为33，最后一个数为 ∵， ∴是第9行的第4个数； ∴39对应的有序实数对可表示为， 故答案为：； （3）∵为奇数， ∴该行上的数字为连续的奇数，该行上的数字的个数等于该行数． 故答案为：①该行上的数字是连续的奇数；②该行上的数字个数等于该行数 题型04用字母表示图阵中点的个数的排列规律 【典例分析】 【例4-1】（22-23七年级上·河南许昌·期末）如图所示，摆第一个“小屋”要用5枚棋子，摆第二个“小屋”要用11枚棋子，摆第三个“小屋”要用17枚棋子，则摆第20个“小屋”要用的棋子数是（　　）    A．101 B．107 C．113 D．119 【答案】D 【分析】本题考查代数式及图形的变化规律，根据前几个图形中棋子的数量，发现规律即可解决问题． 【详解】解：从图上可知： 第一个小屋所用棋子数量：， 第二个小屋所用棋子数是：， 第三个小屋所用棋子数是：， …… 第n个小屋所用棋子数是：， ∴时，． 故选：D． 【例4-2】（21-22七年级上·贵州铜仁·期末）把圆形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为 ． 【答案】55 【分析】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 由图形可得：第1个图形中圆形的个数为1；第2个图形中圆形的个数为；第3个图形中圆形的个数为；第4个图形中圆形的个数为；由此得出第个图形中圆形的个数为．据此可以求得答案． 【详解】解：第1个图形中小圆的个数为1； 第2个图形中小圆的个数为； 第3个图形中小圆的个数为； 第4个图形中小圆的个数为； 第个图形中小圆的个数为． 第7个图形中的圆形的个数为． 故答案为：55． 【例4-3】（2022七年级上·全国·专题练习）如图是一个形如正六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，，依此类推． (1)填写下表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 (2)写出第层所对应的点数； (3)写出层的正六边形点阵的总点数； (4)如果点阵中所有层的总点数为331，请求出它共有几层？ 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)共有11层 【分析】（1）观察点阵可以写出答案； （2）观察可知，从第二层开始，每增加一层就增加六个点； （3）将每一层的点数相加后即可得到答案； （4）将331代入后解方程即可． 【详解】（1）解：如表： 层数 1 2 3 4 该层对应的点数 1 6 12 18 所有层的总点数 1 7 19 37 （2）第一层上的点数为1； 第二层上的点数为； 第三层上的点数为； 第四层上的点数为； ； 第层上的点数为． （3）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即层六边形点阵的总点数为， ， ， ， ． 第层六边形的点阵的总点数为：． （4）令 解得：（舍去）或 答：共有11层． 【点睛】此题主要考查了找规律——图形的变化，学生通过特例分析从而归纳总结出一般规律的能力，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）如图，是由同样大小的星星按照一定的规律摆放的，第1个图中有4个星星，第2个图中有8个星星，第3个图中有13个星星，……则第5个图中星星的个数是（    ） A．26 B．28 C．30 D．33 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据前3个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：第1个图形的星星个数为， 第2个图形的星星个数为， 第3个图形的星星个数为， …， 第n个图形的星星个数为， 则第5个图形的星星个数为， 故选：A． 【变式4-2】（23-24七年级上·四川资阳·期末）如图，是由大小相同的五角星摆放而得到的，其中第1个图形有5个五角星，第2个图形有10个五角星，第3个图形有17个五角星，…，按此规律，则第10个图形中五角星的个数为 ． 【答案】122 【分析】本题考查了图形规律的探索，根据图形求出每个图形中的五角星个数，发现规律第n个图形中五角星的个数为，即可求出第10个图形中五角星的个数． 【详解】由所给图形可知， 解：第1个图形中五角星的个数为：， 第2个图形中五角星的个数为：， 第3个图形中五角星的个数为：， 所以第n个图形中五角星的个数为：， 当时， (个)， 即第10个图形中五角星的个数为122个， 故答案为：122 【变式4-3】（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空： 第1个点阵：    第2个点阵：   ______＋______ 第3个点阵：   ______＋______ （2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式． （3）根据以上猜想，求出的值． 【答案】（1），，，；（2）；（3）20201 【分析】（1）根据点阵图即可求解； （2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第个点阵相对应的等式； （3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可． 【详解】解：（1）由图可得：，， 故答案为：，，，； （2）第1个点阵：    第2个点阵：    第3个点阵： 第个点阵相对应的等式为： ； （3）由（2）可得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过观察、分析、归纳，得出规律第个点阵相对应的等式为：，是解题的关键． 题型05用字母表示图形个数的排列规律 【典例分析】 【例5-1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）下列正方形涂有黑色阴影，三角形为等边三角形，且是一组有规律的图案，它们的边长相同，观察并猜想：第（y）个图案中涂有黑色阴影的正方形的个数为（    ） A．2y B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探究，先写出前几个图形中黑色阴影的正方形的个数，找到规律，得出第（y）图黑色阴影正方形的个数为，即可求解． 【详解】解：第（1）图黑色阴影正方形的个数为； 第（2）图黑色阴影正方形的个数为 第（3）图黑色阴影正方形的个数为 … 第（y）图黑色阴影正方形的个数为， 故选D 【例5-2】（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，则第30个图中小正方形的个数是 . 【答案】 【分析】本题考查图形规律及数字规律，根据题中所给图形，观察图形变化规律，进而用代数式表示，转化为数字规律，代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：第一个图：根据图形特征，小正方形个数为； 第二个图：根据图形特征，小正方形个数为； 第三个图：根据图形特征，小正方形个数为； 第四个图：根据图形特征，小正方形个数为； 第个图：根据图形特征，小正方形个数为； 当时，小正方形个数为； 故答案为：． 【例5-3】（21-22七年级上·陕西咸阳·阶段练习）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形……，以此类推，根据以上操作，回答： (1)用含n的代数式表示操作n次后，得到的正方形的个数； (2)若要得到2021个正方形，则需要操作多少次？ 【答案】(1) (2)若要得到2021个正方形，则需要操作505次． 【分析】此题主要考查了图形的变化类，解一元一次方程，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键． （1）根据正方形的个数变化规律即可得到第n次得到个正方形； （2）令，解方程求解即可． 【详解】（1）∵第1次：分别连接各边中点如图2，得到个正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到个正方形， … ∴第n次：得到个正方形， ∴操作n次后，得到的正方形的个数为； （2）令 解得 ∴若要得到2021个正方形，则需要操作505次． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24七年级上·四川达州·期末）观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形类规律探究，根据前几个图形中三角形的个数找到变化规律即可求解． 【详解】解：第1个图形中的三角形的个数是， 第2个图形中的三角形的个数是， 第3个图形中的三角形的个数是， ……， 第n个图形中的三角形的个数是， 故选：D 【变式5-2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）如图，从左至右，第1个图案中有6个等边三角形和6个正方形，第2个图案中有10个等边三角形和11个正方形，第3个图案中有14个等边三角形和16个正方形，…从第2个图案开始，每个图案比前一个图案多4个等边三角形和5个正方形，则第个图案中等边三角形和正方形的个数之和为 个；第 个图案中等边三角形和正方形的个数之和为300个． 【答案】 33 【分析】本题主要考查图形的变化规律，先总结规律，然后用规律分别求出第n个图案中等边三角形与正方形的个数，再相加即可完成列式．令代数式的值为300求出n即可；由所给的图形分析清楚存在的规律是解题的关键． 【详解】解：∵第1个图案中有6个等边三角形和6个正方形， 第2个图案中有10个等边三角形和11个正方形， 第3个图案中有14个等边三角形和16个正方形， …， ∴第n个图案中等边三角形的个数为：， 第n个图案中正方形的个数为：， 则其和为：， 令，解得：，即第33个图案中等边三角形和正方形的个数之和为300个． 故答案为：，33 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）边长为1的正六边形拼成如图所示的图形，请解答下列问题： (1)当图形只有一个正六边形时，其周长为______；当图形由两个正六边形拼成时，其周长为______；……；当图形由n个正六边形拼成时，其周长为______． (2)2024是一个神奇的数字，因为今年刚好是2024年．小朵同学想拼成一个周长为2024的类似图形，请问她的想法能不能实现？如果能，求正六边形的个数；如果不能，说明理由． 【答案】(1)6；10； (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了图形规律以及列代数式： （1）根据图形，得出只有一个正六边形时，其周长为6；找出规律，得n个正六边形拼成，其周长为，即可作答． （2）依题意，列式，解出，再作分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，只有一个正六边形时，其周长为； 当图形由两个正六边形拼成时，其周长为； ……； 当图形由n个正六边形拼成时，其周长为． （2）解：不能，理由如下: 依题意，， 解得，不是正整数， 故她的想法不能实现 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$