上海新高二开学摸底考试卷 （测试范围：必修二+空间直线与平面）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

2024年秋季上海新高二开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：必修二+空间直线与平面） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若复数是纯虚数，则实数　　． 2．在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是 　　． 3．设，若对任意，都有，则的最小值为 　　． 4．已知线段在平面外，、两点到平面的距离分别为1和3，则线段的中点到平面的距离为　　． 5．已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有 　　对． 6．若直线，是平面内的两条直线，且，均在平面外，则“，”是“”的 　　条件． 7．已知函数，，（其中，，为常数，且有且仅有3个零点，则的最小值是　　． 8．在的二面角内有一点，已知，，，为垂足，且，，则到棱的距离为 　　． 9．若等腰三角形顶角的正弦值为，则底角的余弦值为　　． 10．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是　　． 11．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的值为 　　． 12．已知长方体中，，，，点在线段上，过点、、三点的平面截长方体，则所得截面面积的取值范围是 　　． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．若，是异面直线，直线，则与的位置关系是　　 A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 14．设有下面四个命题： （1）若复数满足，则； （2）若复数满足，则； （3）若复数满足，则； （4）若复数、满足，则． 则正确命题的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点，分别为面和线段上动点，则周长的最小值为　　 A． B． C． D． 16．设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是　　 A． B．的图像关于直线对称 C．在，上单调递增 D．过点的直线与函数的图像必有公共点 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知复数，为虚数单位），． （Ⅰ）若，求满足的复数所组成的集合； （Ⅱ）若，试讨论复数的辐角（用表示）． 18．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路． （1）已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）； （2）若该扇形的半径为，已知某老人散步，从沿走到，再从沿走到，试确定的位置，使老人散步路线最长． 19．若函数，，，的最大值为1． （1）求的值； （2）若函数在，内没有对称轴，求的取值范围； （3）若函数满足恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求的最小值． 20．已知正方体的棱长为2，、、分别是、、的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； （3）求到平面的距离． 21．如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心），且为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点． （1）求（结果用表示）； （2）若 ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季上海新高二开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：必修二+空间直线与平面） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若复数是纯虚数，则实数　1　． 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． 【解答】解：复数是纯虚数， ，， 解得． 故答案为：1． 【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是 　平行或异面　． 【分析】根据空间中两直线的位置关系即可判断． 【解答】解：空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线． 故答案为：平行或异面． 【点评】本题主要考查了空间直线位置关系的判断，属于基础题． 3．设，若对任意，都有，则的最小值为 　　． 【分析】由解析式知周期，而对任意，都有，即，应分别为函数的最值，可知为半周期的整数倍，故． 【解答】解：的周期：， 对任意，都有， 即，应分别为函数的最小值和最大值， 所以，，故． 故答案为：． 【点评】本题考查了正弦函数的周期，结合函数周期且在上不等式恒成立，求最小值，属于基础题． 4．已知线段在平面外，、两点到平面的距离分别为1和3，则线段的中点到平面的距离为　1或2　． 【分析】根据空间中点、线、面得位置关系可得：、两点与平面的位置由两种，因此分两种情况、两点在平面的同侧与异侧讨论此问题． 【解答】解：当、两点在平面的同侧时， 因为、两点到平面的距离分别为1和3， 所以线段的中点到平面的距离为2． 当、两点在平面的异侧时， 因为、两点到平面的距离分别为1和3， 所以线段的中点到平面的距离为1． 故答案为：1或2． 【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系与距离的计算，考查学生的空间想象能力． 5．已知是边长为的正方形，点在平面外，侧棱，，则该几何体的5个面中，互相垂直的面有 　5　对． 【分析】先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可． 【解答】解：已知是边长为的正方形，侧棱，， 所以，，又， 所以平面， 因为平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 因为，，，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 同理可得平面，平面，所以平面平面， 因为，所以平面，平面，所以平面平面， 故互相垂直的面有5对． 故答案为：5． 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的结构，属于基础题． 6．若直线，是平面内的两条直线，且，均在平面外，则“，”是“”的 　必要不充分　条件． 【分析】利用直线与平面，平面与平面平行的判断与性质，再结合充分必要条件的定义判断即可． 【解答】解：①若，，当直线，是平面内的两条平行直线时，则或与相交，充分性不成立， ②若时，直线，是平面内的两条直线，，，必要性成立， ，是的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分． 【点评】本题考查了直线与平面，平面与平面平行的判断与性质，属于中档题． 7．已知函数，，（其中，，为常数，且有且仅有3个零点，则的最小值是　2　． 【分析】根据函数是偶函数，结合零点个数得到，利用函数与方程的关系转化两个图象交点个数问题即可． 【解答】解：，，是偶函数， 若，，有且仅有3个零点， 则必有一个零点是0，则，得， 由得， ，，，， 设，则，， 作出与的图象如图： 则，得， 即的最小值是2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用偶函数的性质求出的值，利用换元法结合余弦函数的图像和性质是解决本题的关键，是中档题． 8．在的二面角内有一点，已知，，，为垂足，且，，则到棱的距离为 　　． 【分析】先根据，确定即为二面角的平面角，进而得到、，在三角形中，求解的正弦函数值，然后求解即可． 【解答】解：如图所示， 与确定平面，与交于点，则，， 即为二面角的平面角，， 从而，，， 设，，则， 所以，，解得， 则到棱的距离为：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查二面角的确定和三角形的解法．考查基础知识的综合应用和灵活能力． 9．若等腰三角形顶角的正弦值为，则底角的余弦值为　或　． 【分析】设出顶角为，根据三角形的内角和定理表示出底角，由题意得到的值，由为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，表示出底角的余弦值，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简后，将求出的的值代入即可求出底角的余弦值． 【解答】解：设顶角为，则底角为， ，又为三角形的内角， ， 当时，， 当时，． 故答案为：或 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，等腰三角形的性质，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 10．设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是　　． 【分析】判断出向量的夹角为钝角的充要条件是数量积为负且不反向，利用向量的数量积公式及向量共线的充要条件求出的范围． 【解答】解：夹角为钝角 即解得 当两向量反向时，存在使 即，， 解得 所以的取值范围 故答案为． 【点评】本题考查向量夹角的范围问题．通过向量数量积公式变形可以解决．但要注意数量积为负，夹角包括钝角和平角两类． 11．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的值为 　　． 【分析】由条件利用正弦定理求得，，再由余弦定理求得 的值． 【解答】解：在中， ①，， ②， 由①②可得，． 再由余弦定理可得， 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题． 12．已知长方体中，，，，点在线段上，过点、、三点的平面截长方体，则所得截面面积的取值范围是 　　． 【分析】先确定出截面的形状，然后设，利用平面几何中的线段关系以及空间中线面垂直关系表示出，然后可表示出截面面积，构造关于的函数并结合二次函数的性质求解出截面面积的取值范围． 【解答】解：连接，，作交于点，连接， 由可知：，，，四点共面， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面平面， 所以， 所以四边形为平行四边形，且四边形即为所求截面， 过作交于，过作交于， 设，， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为， 所以， 又因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 令，记△，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，所以， 所以截面面积的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了长方体中截面面积的范围计算，属于难题． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．若，是异面直线，直线，则与的位置关系是　　 A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 【分析】若，是异面直线，直线，所以与可能异面，可能相交． 【解答】解：由、是异面直线，直线知与的位置关系是异面或相交， 故选：． 【点评】此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握． 14．设有下面四个命题： （1）若复数满足，则； （2）若复数满足，则； （3）若复数满足，则； （4）若复数、满足，则． 则正确命题的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】（1）利用复数的运算性质即可判断出正误； （2）取，即可判断出正误； （3）利用共轭复数的意义即可判断出正误； （4）取，，即可判断出正误． 【解答】解：（1）若复数满足，则，正确； （2）若复数满足，则，不正确，例如取； （3）若复数满足，则，正确； （4）若复数、满足，则，不正确，例如取，． 则正确命题的个数为2． 故选：． 【点评】本题考查了复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点，分别为面和线段上动点，则周长的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意得：周长取最小值时，在上，在平面上，设关于的对称点为，关于的对称点为，求出，即可得到周长的最小值． 【解答】解：由题意得：周长取最小值时，在上， 在平面上，设关于的对称点为，关于的对称点为， 连结，当与的交点为，与的交点为时， 则是周长的最小值， ，，， ． 周长的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 16．设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是　　 A． B．的图像关于直线对称 C．在，上单调递增 D．过点的直线与函数的图像必有公共点 【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而有，整理得，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断． 【解答】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值， 所以， 整理得，，， ，， 所以，错误； 与函数在对称轴处取得最值矛盾，不正确； ：令，， 解得，， 显然不包含区间，，不正确； 由于的定义域，最大值， 故，从而点的直线与函数的图像必有公共点，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．已知复数，为虚数单位），． （Ⅰ）若，求满足的复数所组成的集合； （Ⅱ）若，试讨论复数的辐角（用表示）． 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解． （Ⅱ），，再结合辐角的定义，即可求解． 【解答】解：， 则，其中， ， ，解得或，即或， 故满足的复数所组成的集合，，． （Ⅱ），， 当，即，此时，其辐角为任意实数， 当，即，此时其辐角为，， 当，即，此时其辐角为，， 综上所述，复数的辐角为． 【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题． 18．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路． （1）已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）； （2）若该扇形的半径为，已知某老人散步，从沿走到，再从沿走到，试确定的位置，使老人散步路线最长． 【分析】（1）连接，由知，可由余弦定理得到的长度． （2）连接，设，，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，，利用正弦函数的性质可求最大值，即可得解． 【解答】解：（1）设该扇形的半径为米，连接．由题意， 得（米，（米，， 在中，， 即，， 解得（米． （2）连接，设，， 在中，由正弦定理得：， 于是，， 则，， 所以当时，最大为，此时在弧的中点处． 【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题． 19．若函数，，，的最大值为1． （1）求的值； （2）若函数在，内没有对称轴，求的取值范围； （3）若函数满足恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求的最小值． 【分析】这道题目第一小问利用正弦函数的值域得到答案；第二小问，将括号内的式子看成一个整体，然后利用正弦函数图象得到；第三小问主要利用周期的性质． 【解答】解：（1），，， 的最大值为1， ， ，． （2） 在，内没有对称轴， ，或． 解得：，或， 即的取值范围为． （3），恒成立， 为的一个周期， 即，，① 且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点， ，且， 解得：，②，③ ①②③连立，的最小值为． 【点评】此题综合考查三角函数图象的性质，涉及到值域、对称轴、周期等方面，学生需要将正弦函数的图象熟记于心，需要时直接拿来用． 20．已知正方体的棱长为2，、、分别是、、的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由； （3）求到平面的距离． 【分析】（1）由题意证明得到，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接、、、、，由勾股定理可证明，，再由线面垂直的判定定理可证明平面，即可求出线段的长； （3）因为平面，平面，所以到平面的距离为，由（2）即可求出． 【解答】证明：（1）连结， 则为△的中位线，所以， 在正方体中，，所以， 因为平面，平面，所以平面； 解：（2）取的中点，则满足平面，且； 证明如下： 取的中点，连结、、、、、，则， 在中，由，得， 由，得，， 由，得，， 在△中，，又平面， 所以平面，且； （3）因为平面，平面，， 所以到平面的距离为，由（2）得． 【点评】本题考查了线面平行的证明和线面垂直的应用，属于中档题． 21．如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心），且为锐角）．点为单位圆上的动点，线段交线段于点． （1）求（结果用表示）； （2）若 ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域． 【分析】（1）直接利用平面向量的数量积把用表示； （2）①利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用表示，化简整理后由得范围求得的取值范围； ②设，则，，由可得，，整理得，然后把转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域． 【解答】解：（1）； （2）当时， ①． 设，由条件知，， ． ，， ，； ②设，则， ， 由可得，， 即，整理得， ， ． 即． 而． 令， 当时，； 当时，（a），利用单调性定义可证明函数在和都是递减的， 因此，或， 函数值域是． 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，难度较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$