精品解析：山东省淄博市沂源县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

初二数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、准考证号、考场/座位号填写在答题卡和试卷规定位置，并涂写考试号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是不等式，则符号“□”不能是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列条件一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次， 当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 互余的两个角不一定相等 D. 两点之间，线段最短 5. |3x﹣y﹣4|+|4x+y﹣3|＝0，那么x与y的值分别为（　　） A. B. C. D. 6. 在关于的二元一次方程组的下列说法中，正确的是（ ） ①当时，方程的两根互为相反数： ②当且仅当时，解得与相等； ③满足关系式； ④若，则． A. ①③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 7. 如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（） A. B. C. D. 8. 一副三角板按如图所示摆放，其中，，，点A在边上，点D在边上，与相交于点G，且，则度数是（ ） A. 100° B. 105° C. 110° D. 125° 9. 如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 在，，0，1，2这五个数中，是不等式解的共有______个． 12. 如图，在边长为1的的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是格点，在格点上任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率是______． 13. 如图，已知直线与直线的交点的横坐标是，则不等式的解集是______． 14. 若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a满足的条件是______． 15. 如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为 ________ ． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组：． 17. 如图，是的角平分线，交于点D．若，，求的度数． 18. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足．求y的取值范围． 19. 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲､乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 20. 如图，点C在线段上，，，，F是的中点，求证：． 21. 世界上第一条地处高寒地区的哈大高铁正式通车运营．哈大高铁列车共8节车厢编组，可供511位乘客乘坐，每节一等座车厢有52个座位，每节二等座车厢有80个座位，其中8号车厢和4号车厢均为二等座车厢，8号车厢为观光车厢共68个座位；4号车厢为方便残疾人使用而设置了一个超大卫生间，共71个座位；5号车厢是餐车，试求该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？ 22. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 23. 已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H． （1）求证：BF＝CD+DE； （2）若∠C＝45°．求证：BD＝BG． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、姓名、准考证号、考场/座位号填写在答题卡和试卷规定位置，并涂写考试号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若是不等式，则符号“□”不能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义判断即可．熟练掌握用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，像这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式． 【详解】解：∵，，都是不等式， ∴选项B，C，D都不符合题意； ∵不是不等式， ∴选项A符合题意． 故选：A． 2. 若，则下列条件一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．根据不等式的性质以及有理数的加减法和乘除法法则，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故选项A不符合题意； ∵， ∴，故选项B不符合题意； ，当时，，故选项C不符合题意； ∵， ∴，故选项D符合题意． 故选：D． 3. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次， 当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的应用, 据此计算后选择求解. 【详解】解: 转盘被等分成红、白二个扇形，且红色区域的圆心角为， 指针落在红色区域的概率是P== 故选C. 【点睛】解决这个问题的关键之处在于认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的定义和公式的运用, 据此计算后求解. 4. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 互余的两个角不一定相等 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据内错角、对顶角、余角及线段之间的关系即可求解． 此题主要考查命题的真假，解题的关键是熟知内错角、对顶角、余角及线段之间的关系． 【详解】解：A. 内错角不一定相等，故是假命题，符合题意； B. 对顶角相等，故是真命题，不符合题意； C. 互余的两个角不一定相等，故是真命题，不符合题意； D..两点之间，线段最短，故是真命题，不符合题意． 故选：A 5. |3x﹣y﹣4|+|4x+y﹣3|＝0，那么x与y的值分别为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用绝对值的意义列出二元一次方程组，求解方程组的解即可得出结果． 【详解】解：∵|3x﹣y﹣4|+|4x+y﹣3|＝0， ∴|3x﹣y﹣4|＝0，|4x+y﹣3|＝0， 即得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】此题考查非负数的性质：利用绝对值列二元一次方程组求解方程组． 6. 在关于的二元一次方程组的下列说法中，正确的是（ ） ①当时，方程的两根互为相反数： ②当且仅当时，解得与相等； ③满足关系式； ④若，则． A. ①③ B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】用代入消元法先求出方程组的解，①根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出a即可判断；②根据x=y列出方程，求出a即可判断；③在原方程中，我们消去a，即可得到x，y的关系；④把底数统一化成a，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出a． 【详解】解：， 由①得：③， 把③代入②中，得：④， 把④代入③中，得：， 原方程组的解为． ①方程的两根互为相反数， ， 即， 解得：， ①正确； ②当与相等时，， 即， 解得：， ②正确； ③在原方程中，我们消去，得到，的关系， ②①得：， ③正确； ④， ， ， ， ， 将方程组的解代入得：， 解得：， ④正确． 综上所述，①②③④都正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，解方程组的关键是消元，消元的常用方法是代入消元法和加减消元法． 7. 如图所示，在中，平分，平分，且，交于点，若，则等于（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，可得，从而可得，然后再利用角平分线的定义以及平角定义可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：平分平分， 在中， 故选：C． 8. 一副三角板按如图所示摆放，其中，，，点A在边上，点D在边上，与相交于点G，且，则度数是（ ） A. 100° B. 105° C. 110° D. 125° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理．关键是由平行线的性质得到． 【详解】解∶ ， ， ， ， ， ． 故选∶B． 9. 如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，则可得是等边三角形，则，进而可得，则可得． 本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：B 10. 如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的判定和性质求出，并表示出，再由三角形外角的性质求出，然后在中，根据三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质和判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，本题的关键是根据三角形内角和为列式计算． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果． 11. 在，，0，1，2这五个数中，是不等式解的共有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出不等的解集，然后在，，0，1，2这五个数中找出符合条件的解，即可得解． 本题主要考查了解一元一不等式以及一元一次不等式解的定义，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 解得， 在，，0，1，2这五个数中，是不等式解的有，0，1，2，共4个． 故答案为：4 12. 如图，在边长为1的的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是格点，在格点上任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用． 由在格点中任意放置点，共有16种等可能的结果，恰好能使的面积为1的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：如图， 在格点中任意放置点，共有16种等可能的结果，恰好能使的面积为1的有4种情况， 恰好能使的面积为1的概率为：． 故答案为： 13. 如图，已知直线与直线的交点的横坐标是，则不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】从图像上找到在上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 本题主要考查一次函数的交点问题，解题的关键是利用函数图像求不等式的解集． 【详解】解：∵直线与直线的交点的横坐标是， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 14. 若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查再数轴上表示不等式的解集．利用数形结合法求解是解题的关键，先求出不等式的解集为，又由数轴可知该不等式的解集为，由此可得，即可求出a的值． 【详解】解：先解不等式，得 ， 解得， 由数轴可知，该不等式的解集为， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接CE，由线段，的垂直平分线交于点，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案． 【详解】连接CE， ∵线段，的垂直平分线交于点， ∴CA=CB，CE=CD， ∵=∠DEC， ∴∠ACB=∠ECD=36°， ∴∠ACE=∠BCD， 在∆ACE与∆BCD中， ∵， ∴∆ACE≅∆BCD（SAS）， ∴∠AEC=∠BDC， 设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x， ∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°， ∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共部分，即可得不等式组的解集．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为． 17. 如图，是的角平分线，交于点D．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，． 18. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足．求y的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】将②×3，化简得出，根据，解不等式即可求解． 本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式综合，利用加减消元法消去m和构造y的不等式是解题的关键． 【详解】解：， 将②×3得：③， 将①＋③得：， 则， 因，所以， 解得：． 19. 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲､乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 【答案】当时，甲､乙两家旅行社的收费相同；当时，选择甲旅行社费用较少；当时，选择乙旅行社费用较少． 【解析】 【分析】设该单位参加这次旅游的人数是人，选择甲旅行社时，所需的费用为元，选择乙旅行社时，所需的费用为元，根据题意求得、的函数关系式，分三种情况求得相应的的取值范围：，，． 【详解】解：设该单位参加这次旅游的人数是人，选择甲旅行社时，所需的费用为元，选择乙旅行社时，所需的费用为元，则 ， 即； ， 即． 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． 因为参加旅游的人数为10至25人，所以，当时，甲､乙两家旅行社的收费相同；当时，选择甲旅行社费用较少；当时，选择乙旅行社费用较少． 【点睛】此题考查一次函数应用问题的方案问题，利用建立一元一次不等式和一元一次方程，找到方案选择的临界数值是解题的关键． 20. 如图，点C在线段上，，，，F是的中点，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵F是的中点， ∴． 【解析】 【分析】先根据证明，则可得，再根据等腰三角形“三线合一”即可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形“三线合一”，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】略 21. 世界上第一条地处高寒地区的哈大高铁正式通车运营．哈大高铁列车共8节车厢编组，可供511位乘客乘坐，每节一等座车厢有52个座位，每节二等座车厢有80个座位，其中8号车厢和4号车厢均为二等座车厢，8号车厢为观光车厢共68个座位；4号车厢为方便残疾人使用而设置了一个超大卫生间，共71个座位；5号车厢是餐车，试求该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？ 【答案】一等车厢1节，二等车厢6节 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设一等车厢x节，二等车厢y节，根据共8个车厢其中5号车厢时餐车可得方程，再由一共有511位乘客乘坐，且8号车厢为观光车厢共68个座位；4号车厢为方便残疾人使用而设置了一个超大卫生间，共71个座位可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设一等车厢x节，二等车厢y节． 依题意得：， 解得． 答：一等车厢1节，二等车厢6节． 22. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分 ∴∠ABD=∠DBC ∴∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠ADB， ； ②， 平分 （2） 理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE， ，∠DBC=∠ABC， 又 又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE ∴∠BDC+∠ABC=∠ACE， ∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC， ∴． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键． 23. 已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H． （1）求证：BF＝CD+DE； （2）若∠C＝45°．求证：BD＝BG． 【答案】 （1）证明：∵BF∥AC， ∴∠BFO=∠CAO，∠FBO=∠ACO， 又∵AO为△ABC的中线， ∴BO=CO， 在△BOF与△COA中， ∴△BOF≌△COA（AAS）， ∴BF=CA=CD+AD， ∵AD=DE， ∴BF=CD+DE； （2）证明：∵BD是边AC的高，AD＝DE ∴BD垂直平分AE， ∴BA=BE，∠BAC=∠BEA， 又∵BF∥AC， ∴∠BEA=∠EBF=∠BAC，∠FBG=∠C=45°， 在△BAC与△EBF中， ∴△BAC≌△EBF（SAS）， ∴∠BFE=∠C=45°， 又∵∠BGE=∠FBG+∠EFB=90°=∠BDE， 在△BEG与△BED中， ∴△BEG≌△BED（AAS）， ∴BG=BD． 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质证明△BOF≌△COA，得BF=CA即可； （2）由BD是AE的垂直平分线可知BE=BA，则通过SAS证明△BAC≌△EBF，得∠BFE=∠C=45°，从而∠BGF=90°，再通过AAS证明△BEG≌△BED即可得出BD=BG． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△BAC≌△EBF得出∠BGE=90°是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $