2.2充分条件、必要条件、充要条件（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

2.2 充分条件、必要条件、 充要条件 小结 命题、定理和定义 定理 定义 命题 新知探究 思考1：观察下列两个真命题的条件与结论间的关系 (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则. 平行四边形的对角线互相垂直平行四边形是菱形； 平面内两条直线和均垂直于直线 思考2：观察下列两个假命题的条件与结论间的关系 (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若，则； 两个三角形的周长相等这两个三角形全等(这两个三角形未必全等)； 若(还可以为 新知探究 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 ：小明是中国人， ：小明是江苏人. ： ， ： ， 所以不是的充分条件，不是的必要条件. ， 所以是的充分条件 ，不是的必要条件. 新知探究 辨析1. 填空： 如果，则是 命题. 是的 条件， 是的 条件. 若，则是 命题. ， 是的 条件， 是的_____条件. 真 真 充分 必要 充分 必要 ⇒ ⇒ 练习巩固 例2. 下列所给的各组中，是的充分条件的有哪些? (1) ，； (2) ：四边形的对角线相等，：四边形是正方形. (3) ：同位角相等，：两条直线平行； (4) ：四边形是平行四边形，：四边形的对角线互相平分. 解： (1)，(3)， (4) 练习巩固 练习1. 下列命题中，是否是的充分条件？ (1) (2)四边形的对角线相等，四边形是矩形； (3) 解： (1)∵时，，但 ∴，即不是的充分条件. (2)∵等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形 ∴，即不是的充分条件. (3)∵当时，成立， ∴，即是的充分条件. 练习巩固 练习1. 下列命题中，是否是的充分条件？ (4)无实根； (5)设 解： (4) ∵当时， 即无实根. ∴，即是的充分条件. (5)∵当时，满足. ∴，即是的充分条件. 练习巩固 练习2.下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形； (4)若，则 (5)若，则 (6)若为无理数，则为无理数. 解： (1)， (2)， (4) 判断“若,则”形式的命题中是否为的充分条件与是否为的必要条件相同，只需判断是否有“”，即“若,则”是否是真命题. 练习巩固 例2. 下列所给的各组中，是的必要条件的有哪些? (1) ：，：； (2) ：两个直角三角形全等， ：两个直角三角形的斜边相等； (3) ：同位角相等，：两条直线平行； (4) ：四边形是平行四边形， ：四边形的对角线互相平分 解： (1)，(3)， (4) 观察例1 (3) 和 例2 (3)、例1 (4) 和 例2 (4)，可以发现，其中既有 ，也有. 新知探究 问题1：已知整数是的倍数； 整数是的倍数，请判断是的必要条件吗？ 是的充分条件吗？ ,所以是的充分条件； ,所以是的必要条件 是的充分必要条件（简称充要条件） 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 新知探究 问题2：请在横线上填写“四边形是平行四边形”的一个充分条件. 若 ，则这个四边形是平行四边形. 思考：这样的充分条件唯一吗？ 问题3：请在横线上填写“平面内两直线平行”的一个必要条件. 若平面内两直线平行，则 . 思考：这样的必要条件唯一吗？ 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 练习巩固 练习3.下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分； (2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例； (3)：， (4)：是一元二次方程的一个根，. 解： (2)， (4) 思考2：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 练习巩固 例3.指出下列命题中，是的什么条件： (1) ：两个三角形全等， ：两个三角形的对应角相等； (2) ：三角形的三边相等， ：三角形是等边三角形； (3) ：， ：； (4) ：， ：. 解： (1)因此，是的充分条件，但不是的必要条件. (2)是的充要条件 (3) ⇒ ，但 ，即是的必要条件，但不是的充分条件. (4)不是的充分条件，也不是的必要条件 练习4.已知.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ). .为二次函数 . .四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 .或 练习巩固 【答案】 变式4-1.下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)且； (2)三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形； (3) 【答案】（1），（3） 变式4-2.设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ） ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 练习巩固 【答案】 变式4-3.使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） . .或 . .或 【答案】 练习5. 已知 (1)当为何值时，是的充要条件？ 练习巩固 解：(1)∵是的充要条件， ∴，此时 ∴当时，是的充要条件. 练习5.已知 (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ 练习巩固 解：(2)∵是的充分不必要条件， ∴， ∴. ∴当时， ∴是的充分不必要条件. • • • • • 练习5.已知 (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 练习巩固 解：(3)∵是的必要不充分条件， ∴， ∴. ∴当时，是的必要不充分条件. • • • • • 变式5-1.已知 (1)当为何值时，是的充分不必要条件？ 练习巩固 解：(1)若是的充分不必要条件， 即但，亦即是的必要不充分条件， ∴，∴. ∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件. • • • • • 变式5-2.已知 (2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 练习巩固 解：(2)若是的必要不充分条件， 即但，亦即是的充分不必要条件， ∴， ∴.∴当时， ∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件. • • • • • 新知探究 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 如果，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. $$