2.3.1全称量词与存在量词（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

2.3.1全称量词与存在量词 新知探究 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 如果，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 问题1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (3)对所有的； (2)是整数； (4)对任意一个是整数. 新知探究 无法判断真假，不是命题 加入量词对进行限定后，可以判断真假，是命题 新知探究 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ___ 全称量词命题 含有 的命题 形式 “对中 一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” ∀ 全称量词 任意 全称量词与全称量词命题 练习巩固 辨析1.判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)； (3)对任意一个无理数，也是无理数. 解： (1)假， (2)真， (3)假 要判定全称量词命题是真命题，需要对集合中每个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 举反例 新知探究 问题2：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (3)存在一个，使； (2)； (4)至少有一个能被2和3整除. 无法判断真假，不是命题 加入量词对进行限定后，可以判断真假，是命题 新知探究 存在量词 存在、至少有一个、有一个，有些、有的、对某些 符号表示 ___ 存在量词命题 含有 的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为 “____________” ∃ 存在量词 ∃x∈M，p(x) 存在量词与存在量词命题 练习巩固 辨析2.判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数，使； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 解： (1)假， (2)假， (3)真 练习巩固 例1.判断下列全称量词命题的真假： (1)； (2)； (3)； (4)； 解： (1)真，(2)假， (3)假， (4)真， 练习巩固 练习1.下列命题是全称量词命题的个数是（    ） ①任何实数都有平方根； ②所有素数都是奇数； ③有些一元二次方程无实数根； ④三角形的内角和是． ． ． ． ． 【答案】 变式1-1.下列命题中是存在量词命题的是（    ） ．平行四边形的对边相等 ．同位角相等 ．任何实数都存在相反数 ．存在实数没有倒数 【答案】 练习巩固 变式1-2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用“”“”表示. (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数方程恰有一个解； (3)一定有整数使得成立； (4)所有的有理数都能使是有理数. 解： (1)全称量词命题，真命题. (2)全称量词命题，恰有一个解；假命题. (3)存在量词命题，；真命题. (4)全称量词命题，是有理数；真命题. 练习巩固 练习2.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. (1)是偶数； (2)存在一个使； (3)对任意实数； (4)有一个角，使. 解： (1)假， (2)假， (3)真， (4)真 练习巩固 变式2-1.下列命题中是真命题的为（ ） ．，使 ．， ．， ．，使 【答案】 变式2-2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 ．至少有一个实数，使 ．两个无理数的和必是无理数 ．存在一个负数，使 【答案】 练习巩固 练习3.若，方程恒有解，求实数的取值范围. 解：当时，方程恒有解，所以； 当时， ∵方程恒有解， ∴恒成立， 即恒成立. 又是一个关于的一元二次不等式， ∴，解得. 综上所述，的范围是. 练习巩固 练习4.已知命题是真命题，求实数的取值范围. 解：∵，∴. 由题意知又 ∴∴ 故实数的取值范围为. 练习巩固 练习5.已知命题，命题若与都是真命题，求实数的取值范围. 解：若为真命题，则对,有恒成立，∴ 若为真命题，则关于的方程有实数根，所以即或. 综上，实数的取值范围为. 小结 全称量词 定义 所有的、任意一个、一切、每一个、任给… 符号表示 全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般表示 对中任意一个，成立 符号表示 存在量词 定义 存在、至少、有一个，有些、有的、对某些… 符号表示 存在量词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般表示 存在中的元素，成立 符号表示 全称量词与存在量词 $$