专题04 分式方程重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题04 分式方程重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程的增根问题 题型五 分式方程的无解问题 题型六 列分式方程 题型七 分式方程的实际应用 题型八 分式方程的综合问题 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点2：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（22-23八年级下·上海·期中）在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 1．（22-23七年级·全国·单元测试）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 3．（2023八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（2024八年级下·江苏·专题练习）若关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；…，则以下说法中： ①关于x的方程的两个解为，； ②关于x的方程的两个解为，； ③关于x的方程的两个解为，． 正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2024·广东广州·一模）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·模拟预测）方程的解为 ． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）（1）解方程组：； （2）解分式方程：． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（2024·四川凉山·二模）若关于x的分式方程的解为负数，a的取值范围（    ） A．且 B．且 C． D． 1．（2024·山东济宁·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）关于的方程有增根，则的值是 ． 3．（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【经典例题四 分式方程的增根问题】 【例4】（23-24八年级上·山东烟台·期末）若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　 　） A． B． C．2 D．3 1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（   ） A．-5 B． C． D．0 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 3．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程． (1)若，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求的值． 【经典例题五 分式方程的无解问题】 【例5】（23-24八年级上·天津·期末）若分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．2 C．1或2 D．或2 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如果关于的方程增根，那么 ． 3．（23-24八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的分式方程 (1)若分式方程有增根，求m的值； (2)若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 【经典例题六 列分式方程】 【例6】（2023·福建莆田·模拟预测）某科考队分成两支小队进入沙漠采集环境信息，第一小队于早晨进入沙漠，并于在一颗枯树旁做了标记，此时第二小队进入沙漠，走到时正好经过枯树看到了标记，已知两支小队在距离出发点的位置相遇，设第一小队的平均速度是，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）甲做320个零件与乙做400个零件所用的时间相同，已知两人每天共做90个零件，若设甲每天做x个零件，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·云南楚雄·期末）开学之际，学校需采购部分课桌，现有A，B两个商家供货，A商家每张课桌的售价比B商家优惠20元，若该校花费1500元在A商家购买课桌的数量与花费2500元在B商家购买课桌的数量一样多，设A商家每张课桌的售价为x元，则可列方程为 ． 3．（22-23八年级上·湖南湘西·期末）据报道：阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序（其主要工作原理是“深度学习”），堪称人工智能发展的一个重要里程碑，也让全世界的目光聚焦在人工智能这个热门科技领域．目前人工智能应用非常广泛，其中，机器人的需求日益增大，请根据以下情境解决问题： 某工厂采用A型、B型两种机器人代替人力搬运危险产品．A型机器人比B型机器人每小时多搬运10kg产品，A型机器人搬运800kg所用时间与B型机器人搬运600kg产品所用时间相等．问B型机器人每小时搬运多少kg产品？ 根据以上信息，解答下列问题． (1)小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为　 　； 小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为　 　； (2)请你选择（1）中两位同学的其中一种解题思路或自己另想一种思路，写出完整的解答过程，解决问题． 【经典例题七 分式方程的实际应用】 【例7】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（    ） A．15元 B．元 C．10元 D．元 1．（23-24八年级上·广西玉林·期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（    ） A．30km B．36km C．40km D．46km 2．（2024八年级·全国·竞赛）为锻炼身体，小陈由开车上班改为骑自行车上班，已知小陈家距离上班地点14千米，开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米，且骑自行车上班所需时间是开车上班所需时间的倍，则小陈骑自行车上班需要 小时． 3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【经典例题八 分式方程的综合问题】 【例8】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 1．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 2．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．1 C．或0 D．0或1 2．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期中）方程 、 、、中分式方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·上海长宁·三模）用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·河南周口·模拟预测）五四青年节期间，某校组织九年级新团员赴巩义豫西抗日纪念馆开展“重温抗战历史，感悟革命精神”研学活动，已知学校距离巩义豫西抗日纪念馆20千米，师生乘大巴车前往，老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（    ） A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间 C．高铁列车的平均速度是 D．特快列车从甲地到乙地的时间是 6．（2024·北京昌平·二模）分式方程的解是 ． 7．（22-23七年级上·上海静安·课后作业） （填“是”或“不是”）方程的解. 8．（2023·山东济南·二模）代数式与代数式的和为1，则 ． 9．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的分式方程无解，则的值是 ． 10．（2024·广东广州·二模）清明缅怀英烈，某校计划组织540名学生外出祭奠．现有A，B 两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆(每辆车刚好满座)，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为 11．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程：． 12．（2023八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 13．（22-23八年级上·江西南昌·期末）已知是关于的方程． (1)当时，求这个方程的解； (2)若这个方程的解为，求的值． 14．（2023·安徽合肥·二模）某药品生产车间引进智能机器人替换人工包装药品，每台机器人每小时包装的速度是人工包装速度的5倍，经过测试，由1台智能机器人包装1600盒药品的时间，比4个工人包装同样数量的药品节省4小时．一台智能机器人每小时可以包装多少盒药品？ 15．（2023·山西晋中·一模）乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程。某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：， (1)根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是（    ） A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务 B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果推迟30天完成了这一任务 C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果推迟30天完成了这一任务 D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务 (2)在（1）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程． E．求：实际每天筑路的面积是多少万平方米？ F．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？ 我选的问题是：________________ 解：设 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 分式方程重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程的增根问题 题型五 分式方程的无解问题 题型六 列分式方程 题型七 分式方程的实际应用 题型八 分式方程的综合问题 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注意： （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）. 分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点2：分式方程的解法 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（22-23八年级下·上海·期中）在下列方程组中，（　　）是分式方程． A．＝1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式方程定义进行解答即可． 【详解】A、是分式方程，故此选项符合题意； B、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； C、不是分式方程，故此选项不符合题意； D、不是分式方程，是整式方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式方程，关键是掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 1．（22-23七年级·全国·单元测试）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义逐项判断分母中是否含有未知数即可. 【详解】A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意； D、分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握定义是关键. 2．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有 ． 【答案】3 【分析】根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④⑤分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为3． 【点睛】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 3．（2023八年级下·全国·专题练习）下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 【经典例题二 解分式方程】 【例2】（2024八年级下·江苏·专题练习）若关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；关于x的方程的两个解为，；…，则以下说法中： ①关于x的方程的两个解为，； ②关于x的方程的两个解为，； ③关于x的方程的两个解为，． 正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程的解，观察已知方程的解的特征确定出所求方程的解即可． 【详解】解：①由题意得，关于x的方程的两个解为，正确； ②关于x的方程即为， 由题意得它的两个解为或， ∴，，正确； ③关于x的方程即为， ∴， ∴， ∴它的两个解为或， ∴，，正确； 所以正确的有①②③，共3个， 故选：D． 1．（2024·广东广州·一模）分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得到， 解得． 经检验，是原方程的解． 故选：B 2．（2024·北京·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程，解方程后检验即可得到答案． 【详解】解： 两边都乘以得，， 解得，， 当时，， ∴是分式方程的解， 故答案为： 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）（1）解方程组：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键． （1）整理后②①得出，求出，把代入①求出即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1）， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解是； （2）， 方程两边都乘得：， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（2024·四川凉山·二模）若关于x的分式方程的解为负数，a的取值范围（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据解为负数列出不等式，求出不等式的解集得到的范围，再根据，得到的取值，即可确定出的范围． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 根据题意得： ， 解得：， 又∵， ∴； 又∵ ∴， 则的取值范围为且． 故选：A． 1．（2024·山东济宁·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 解分式方程得，由分式方程有增根，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵分式方程有增根， ∴， 解得，， 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）关于的方程有增根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 先将分式方程化为整式方程求解得出，根据增根的定义得出，即可解答． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号，得：， 移项合并，得：， ∵原分式方程有增根， ∴，则， ∴， 解得：， 故答案为：1． 3．（23-24八年级上·北京延庆·期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：，就是关于x的分式方程的一个“方程数对”，记为[2，]． (1)判断数对①[3，]，②[，4]中是关于的分式方程的“方程数对”的是 ；（只填序号） (2)若数对[，]是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； (3)若数对[]（且，）是关于的分式方程的“方程数对”，用含m的代数式表示k． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可； （2）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入方程中求解即可； （3）根据题意，是关于的分式方程的解，将代入分式方程中求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， ∴是关于的分式方程的“方程数对”； ②当，时，解方程得， 经检验，是该分式方程的解，又， 故不是关于的分式方程的“方程数对”， 故答案为：①； （2）解：∵数对是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 解得； （3）解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“方程数对”， ∴是关于的分式方程的解， 将代入分式方程中，得， 则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键． 【经典例题四 分式方程的增根问题】 【例4】（23-24八年级上·山东烟台·期末）若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为（　 　） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【详解】解：方程两边同乘以，得①， ∵原方程有增根， 即． 把代入①，得 故选：B． 1．（22-23七年级下·浙江金华·期末）有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（   ） A．-5 B． C． D．0 【答案】D 【分析】由该方程有增根，可得：或，代入分式方程的解，即可求出m的值，本题考查了分式方程的增根，方程解的情况，解题的关键是：熟练掌握根据分式方程解的情况求参数的值． 【详解】解：， 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项得： 当时，方程无解， 当时，， 方程有增根， 或，即：或， 或，解关于的方程，得：无解或， 故选：． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程不会产生增根，得到，即可得出k的值． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程不会有增根，得到，即， 将代入整式方程，得，无解， 将代入整式方程，得， 解得：， 综上，不会产生增根，则的取值满足的条件为， 故答案为：． 3．（2024八年级·全国·竞赛）关于的方程． (1)若，求这个方程的解； (2)若这个方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的增根问题， （1）代入后解关于x的分式方程并检验即可的答案； （2）分式方程去分母化为整式方程，再把增根代入求出k的值即可； 读懂题意，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程两边同时乘以得：， 解这个方程得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解. （2） 方程两边同时乘以得：， 原方程有增根，则或， 即或，代入整式方程得或 解得或4. 【经典例题五 分式方程的无解问题】 【例5】（23-24八年级上·天津·期末）若分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．2 C．1或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解问题，先去分母将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程无解两种情况，分别计算出k值即可． 【详解】解：， 方程去分母得：， 整理得：， 当整式方程无解时，即； 当分式方程无解时，，解得， 此时，解得， 所以或1时，原方程无解． 故选C． 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）关于的分式方程无解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，由分式方程无解得到，进而得到，然后分式方程去分母，得到关于的整式方程，把代入计算即可求出的值，掌握分式方程无解就是最简公分母的值等于零是解题的关键. 【详解】解：∵关于的分式方程无解， ∴， 解得， 分式方程去分母得，， 把代入得，， 解得， 故选：. 2．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如果关于的方程增根，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程增根的意义，先解分式方程，再根据增根的意义得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤和分式方程的增根的意义． 【详解】解：方程两边同时乘以，得： ， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴此时， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的分式方程 (1)若分式方程有增根，求m的值； (2)若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据分式方程的解确定取值范围，熟练掌握计算的基本步骤是解题的关键． (1)先化分式方程为整式方程，令分母为零，确定增根，代入整式方程，计算字母的值． (2)先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可． 【详解】（1）方程的增根为， 原方程去分母并整理得， 将代入方程得， 解这个方程得， 故m的值为7． （2）由（1）得 解这个方程得 ∵方程的解是负数 ∴， 解不等式得， ∴当时，分式方程的解是负数． 【经典例题六 列分式方程】 【例6】（2023·福建莆田·模拟预测）某科考队分成两支小队进入沙漠采集环境信息，第一小队于早晨进入沙漠，并于在一颗枯树旁做了标记，此时第二小队进入沙漠，走到时正好经过枯树看到了标记，已知两支小队在距离出发点的位置相遇，设第一小队的平均速度是，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求第二小队的速度为，再根据两队的时间差为即列分式方程即可． 【详解】解；设第一小队的平均速度是，则第二小队的速度为， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，明确题意，找出数量关系是解题的关键． 1．（22-23九年级下·广东梅州·开学考试）甲做320个零件与乙做400个零件所用的时间相同，已知两人每天共做90个零件，若设甲每天做x个零件，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做320个零件与乙做400个零件所用的时间相同，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 2．（22-23八年级上·云南楚雄·期末）开学之际，学校需采购部分课桌，现有A，B两个商家供货，A商家每张课桌的售价比B商家优惠20元，若该校花费1500元在A商家购买课桌的数量与花费2500元在B商家购买课桌的数量一样多，设A商家每张课桌的售价为x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设A商家每张课桌的售价为x元，则B商家每张课桌的售价为元，由题意：该校花费1500元在A商家购买课桌的数量与花费2500元在B商家购买课桌的数量一样多，列出分式方程即可． 【详解】解：设A商家每张课桌的售价为x元，则B商家每张课桌的售价为元， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（22-23八年级上·湖南湘西·期末）据报道：阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序（其主要工作原理是“深度学习”），堪称人工智能发展的一个重要里程碑，也让全世界的目光聚焦在人工智能这个热门科技领域．目前人工智能应用非常广泛，其中，机器人的需求日益增大，请根据以下情境解决问题： 某工厂采用A型、B型两种机器人代替人力搬运危险产品．A型机器人比B型机器人每小时多搬运10kg产品，A型机器人搬运800kg所用时间与B型机器人搬运600kg产品所用时间相等．问B型机器人每小时搬运多少kg产品？ 根据以上信息，解答下列问题． (1)小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为　 　； 小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为　 　； (2)请你选择（1）中两位同学的其中一种解题思路或自己另想一种思路，写出完整的解答过程，解决问题． 【答案】(1)， (2)B型机器人每小时搬运30kg产品 【分析】（1）小佳同学的解法根据时间相等建立等量关系，小惠同学的解法根据搬运的速度相差10千克建立等量关系； （2）从（1）中任选一种或另做解法解答出答案即可． 【详解】（1）解：小佳同学设B型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为：； 小惠同学设A型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为：； 故答案为：， （2）设B型机器人每小时搬运xkg产品，根据题意可得： ，解得：x＝30， 经检验得：x＝30是原方程的解，且符合题意. 答：B型机器人每小时搬运30kg产品． 【点睛】本题考查分式方程的建立和求解，找到等量关系是本题关键． 【经典例题七 分式方程的实际应用】 【例7】（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号的学生准备了A，B两种礼物．已知A，B两种礼物的总价分别为450元和420元．且A种礼物比B种礼物多10份，A，B两种礼物的单价分别是这一批礼物平均单价的和1.2倍，则这一批礼物的平均单价是（    ） A．15元 B．元 C．10元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合A种礼物比B种礼物多10份，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设这一批礼物平均单价是x元，则A礼物的单价是元，B礼物的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 所以，这一批礼物平均单价是15元． 故选：A． 1．（23-24八年级上·广西玉林·期末）为响应“绿色出行”的号召，小李上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小李家距上班地点20km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少12km．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，小李乘公交车上班平均每小时行驶（    ） A．30km B．36km C．40km D．46km 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键在于根据时间关系列出方程． 设小李乘公交车上班平均每小时行驶，则他自驾车平均每小时行驶，根据乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小李乘公交车上班平均每小时行驶，则他自驾车平均每小时行驶的路程，根据题意列方程， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴小李乘公交车上班平均每小时行驶36km 故选：B． 2．（2024八年级·全国·竞赛）为锻炼身体，小陈由开车上班改为骑自行车上班，已知小陈家距离上班地点14千米，开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米，且骑自行车上班所需时间是开车上班所需时间的倍，则小陈骑自行车上班需要 小时． 【答案】 【分析】设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，再根据开车每小时行驶的路程比骑自行车每小时行驶的路程的3倍还多5千米列出方程，求出解检验后即可得到答案. 本题主要考查了分式方程应用，根据数量之间的关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设小陈开车上班所需时间为x小时，小陈骑自行车上班需要小时，根据题意，得 ，      解得．                 经检验，是原方程的解且符合题意. ∴， 即小陈骑自行车上班需要小时． 故答案为： 3．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【答案】(1)甲种图书每本30元，乙种图书每本20元； (2)6种； (3)30人． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本，根据数量总价单价结合用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，且投入的经费不超过1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，再求解即可； （3）由题意直接解答即可． 【详解】（1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元本，乙种图书的单价为20元本． （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可取的值有6个． 共有6种购买方案； （3）由题意可得：此次“首届科技节”获奖学生人数为人． 【经典例题八 分式方程的综合问题】 【例8】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 1．（22-23九年级上·重庆渝中·期末）若关于的不等式组有且只有2个奇数解，且关于的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．3 B．4 C．11 D．12 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式组，再解分式方程，从而确定的值，进而解决此题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 关于的不等式组有且只有2个奇数解， ， ， ， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为非负数， ，且， 且， 所有满足条件的整数为：或或0或2或3或4或5， 所有满足条件的整数的值的和为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组、分式方程的解法是解决本题的关键． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键． 利用已知条件建立分式方程，并全面地进行分类讨论即可得出． 【详解】解：当时，， ， 不是整数，与题设矛盾， ， 令， 由题设m、n为正整数， 设， 由①得， 代入②，整理得， 是正整数， 或2或3， 又， 或， 当时， 由①②解得，（不合题意，舍去）， 当时， 由①②解得，， ． 故答案为：8. 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．1 C．或0 D．0或1 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根问题．根据题意变形为整式方程，再将增根代入即可得到本题答案． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∵是方程的增根， ∴，解得：， 故选：A． 2．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期中）方程 、 、、中分式方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义﹣﹣分母里含有字母的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：中的分母中不含表示未知数的字母；故不是分式方程； 、 、的方程分母中含未知数x，所以是分式方程． 故选：C． 【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 3．（2024·上海长宁·三模）用换元法解方程时，若设 则原方程可化为关于y 的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程变成，再去分母即可得到答案． 【详解】解： 设，则， ∴原方程为，即， 故选：A． 4．（2024·河南周口·模拟预测）五四青年节期间，某校组织九年级新团员赴巩义豫西抗日纪念馆开展“重温抗战历史，感悟革命精神”研学活动，已知学校距离巩义豫西抗日纪念馆20千米，师生乘大巴车前往，老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程，根据速度、时间、路程之间的关系，以及“同时到达”的等量关系建立方程即可． 【详解】解：由题意得，大巴车所用时间为：小时， 老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往， 老师自驾小车所用时间为：小时， 可列方程为， 故选：A． 5．（23-24八年级下·辽宁本溪·期末）下表是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（    ） A．小明设的未知数是高铁列车的平均速度 B．小红设的未知数是乘特快列车从甲地到乙地的时间 C．高铁列车的平均速度是 D．特快列车从甲地到乙地的时间是 【答案】D 【分析】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键． 由路程÷速度=时间，路程÷时间=速度，利用“乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．”得出等量关系：特快列车所需时间－高铁所需时间=9，高铁速度=2.8×特快列车速度，即可建立方程求得答案即可． 【详解】解：设特快列车的平均行驶速度为，由题意得 解得：， 经检验是原分式方程的解， 设高铁列车从甲地到乙地的时间为，由题意得 ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 则特快列车从甲地到乙地的时间是， 故选项A、B、C错误， 故选：D 6．（2024·北京昌平·二模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，正确熟知解分式方程的步骤是解题的关键． 解分式方程，先去分母，将其转化为整式方程，再求解，最后要检验是否有增根． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 当时，． 所以原方程的解为． 故答案为：． 7．（22-23七年级上·上海静安·课后作业） （填“是”或“不是”）方程的解. 【答案】是 【分析】把代入方程的左边，判断等式是否仍然成立即可． 【详解】解：把代入方程 左边， 右边 左边=右边 所以是方程的解 故答案为：是 【点睛】本题考查方程的解，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．（2023·山东济南·二模）代数式与代数式的和为1，则 ． 【答案】1 【分析】根据题意得到，然后根据分式方程的解法求出x的值，再检验方程的根即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得, ， 去括号得, ， 移项并合并同类项得, ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴, 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，理解去分母、去括号、移项并合并同类项、未知数系数化1，检验方程的根是解答关键． 9．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】 【分析】由分式方程解法，先去分母得到，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得，则， 若，即时，整式方程无解，则分式方程无解； 若，即时，整式方程解为， 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 综上所述，的值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程无解时求参数的值，涉及分式方程解法、整式方程解法、分式方程无解的条件等知识，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 10．（2024·广东广州·二模）清明缅怀英烈，某校计划组织540名学生外出祭奠．现有A，B 两种不同型号的客车可供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆(每辆车刚好满座)，设A型客车每辆坐x人，则根据题意可列方程为 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，首先根据A型客车每辆坐x人，得每辆B型客车每辆坐人，根据根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：A型客车每辆坐x人， ∵B型客车比每辆A型客车多坐15人 ∴B型客车每辆坐人 ∴根据题意的：， 故答案为． 11．（23-24八年级下·陕西西安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母、去括号、合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】解： 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 12．（2023八年级下·全国·专题练习）下列方程哪些是分式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）（a是常数）． 【答案】（1）（2）是分式方程 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的字母的方程叫做分式方程即可判断． 【详解】解：（1）是分式方程；（2）是分式方程；（3）不是分式方程；（4）（a是常数）不是分式方程， 故（1）（2）是分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是：会利用定义去判断是否为分式方程． 13．（22-23八年级上·江西南昌·期末）已知是关于的方程． (1)当时，求这个方程的解； (2)若这个方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入原方程，解关于的方程即可求解； （2）将，代入原方程，解关于的方程即可求解 【详解】（1）解：依题意，将代入 即 去分母得： 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）将，代入， 即， 解得： 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解的定义，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 14．（2023·安徽合肥·二模）某药品生产车间引进智能机器人替换人工包装药品，每台机器人每小时包装的速度是人工包装速度的5倍，经过测试，由1台智能机器人包装1600盒药品的时间，比4个工人包装同样数量的药品节省4小时．一台智能机器人每小时可以包装多少盒药品？ 【答案】100盒 【分析】设人工每小时包装盒，智能机器人每小时包装盒，则由题意得，，求出满足要求的值，进而可得结果． 【详解】解：设人工每小时包装盒，智能机器人每小时包装盒， 则由题意得，，解得， 经检验知，是原分式方程的根， ∴（盒）， 答：一台智能机器人每小时可以包装100盒药品． 【点睛】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 15．（2023·山西晋中·一模）乡村振兴战略总方针中提出，生态宜居是提高乡村发展质量的保证．生态宜居其内容涵盖村容整洁，村内水、电、路等基础设施完善，以保护自然、顺应自然、敬畏自然的生态文明理念．“村村通”公路政策是国家构建和谐社会、支持新农村建设，实现生态宜居的一项重大公共决策，是一项民心工程。某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变，……设原计划每天筑路的面积为x万平方米，列方程为：， (1)根据方程在下列四个选项中选择省略的部分是（    ） A．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务 B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果推迟30天完成了这一任务 C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果推迟30天完成了这一任务 D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，结果提前30天完成了这一任务 (2)在（1）的条件下，在下列两个选项中任选一项作为问题，写出完整的解题过程． E．求：实际每天筑路的面积是多少万平方米？ F．求：原计划完成这项筑路工程需要多少天？ 我选的问题是：________________ 解：设 【答案】(1)C (2)E；实际每天筑路的面积是0.4万平方米（答案不唯一） 【分析】（1）根据所列方程选择答案即可； （2）选择合适的问题，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据方程可知，实际工作时每天的工作效率比原计划降低了，所用天数多了30天，故C正确． 故选：C． （2）选的问题是（E）， 解：设原计划每天筑路的面积为x万平方米， 根据题意，列方程为， 解方程得， 经检验：是原方程的解， ， 答：实际每天筑路的面积是0.4万平方米； 我选的问题是（F） （天）， 答：原计划完成这项筑路工程需要120天． （可以设与原题中不同未知数，列不同的方程，只要正确即可） 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题关键是根据等量关系列出方程，注意要对方程的解进行检验． 学科网（北京）股份有限公司 $$