第05讲 有理数的乘方（5个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第05讲 有理数的乘方 课程标准 学习目标 ①有理数乘方的意义 ②有理数的乘方运算 ③有理数的混合运算 1. 掌握有理数的乘方的意义，理解幂，底数，指数的相关概念并能够熟练的指数幂中的底数和指数。 2. 掌握有理数的乘方的运算法则，能够熟练的进行乘方运算。 3. 掌握有理数的混合运算法则，能够熟练的对有理数进行混合运算。 知识点01 有理数的乘方的意义 1. 有理数的乘方的意义： 求 几个相同因数 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 的次方 。当把看做的次方的结果时，也可读作： 的次幂 ，所以乘方的结果叫做 幂 ，其中是 底数 ，是 指数 。 特别提示： （1） 当指数是 1 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 负数 或 分数 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3）任何数都可以看做是它本身的 1 次方，一个数的2次方可以读作： 平方 ，一个数3次方可以读作： 立方 。 【即学即练1】 1．（﹣3）4表示（　　） A．﹣3个4相乘 B．4个﹣3相乘 C．3个4相乘 D．4个3相乘 【分析】根据乘方的定义得出正确选项． 【解答】解：（﹣3）4表示4个﹣3相乘． 故选：B． 【即学即练2】 2．下列对于式子（﹣3）2的说法，错误的是（　　） A．指数是2 B．底数是﹣3 C．幂为﹣9 D．表示2个﹣3相乘 【分析】根据有理数乘方的定义判断． 【解答】解：（﹣3）2，指数为2，底数为﹣3，表示2个﹣3相乘，幂为9， ∴C选项错误． 故选：C． 知识点02 有理数的乘方的计算 1. 有理数的乘方的计算： （个） 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 乘法运算 ，计算时先确定幂的 符号 ，在计算幂的 绝对值 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是 正数 。 （2） 负数的奇次方是 负数 ，负数的偶次方是 正数 。 （3） 0的任何正整数次方都得 0 。 （4） 1的任何次方都得 1 ，﹣1的奇次方得 ﹣1 ，﹣1的偶次方得 1 。 【即学即练1】 3．计算： （1）（﹣1）3； （2）（﹣1）2012； （3）（﹣0.1）3； （4）（）4； （5）（﹣2）3×（﹣2）2； （6）（﹣）3×（﹣）5； （7）103； （8）02012． 【分析】分别根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解． 【解答】解：（1）（﹣1）3＝﹣1； （2）（﹣1）2012＝1； （3）（﹣0.1）3＝﹣0.001； （4）（）4＝； （5）（﹣2）3×（﹣2）2， ＝﹣8×4， ＝﹣32； （6）（﹣）3×（﹣）5， ＝（﹣）×（﹣）， ＝； （7）103＝1000； （8）02012＝0． 知识点03 有理数的偶次方 1. 有理数的偶次方： 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 大于等于0 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 非负数 ，非负数具有 非负性 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 0 。即，则 0 。 【即学即练1】 4．若|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，则ab的值为　8　． 【分析】直接利用偶次方的性质以及结合绝对值的性质分析得出答案． 【解答】解：∵|a﹣2|+（b﹣3）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝2，b＝3， 则ab的值为：23＝8． 故答案为：8． 【即学即练2】 5．当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝　2　． 【分析】根据非负数的性质可得a＝2时，式子7+（a﹣2）2有最小值． 【解答】解：∵（a﹣2）2≥0， ∴当a＝2时，（a﹣2）2有最小值， ∴当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝2． 故答案为：2． 知识点04 的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 个相乘的积 ，即 （个） ，底数是 。 表示的意义是 个相乘的积的相反数 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 相乘的积 ，即 ，底数是 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 相反数 。 【即学即练1】 6．下列各对数中，数值相等的是（　　） A．﹣27与（﹣2）7 B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣3×23与﹣32×2 D．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3 【分析】根据有理数乘方的法则对个选项的值进行逐一判断，找出数值相同的项． 【解答】解：A、根据有理数乘方的法则可知，（﹣2）7＝﹣27，故A选项符合题意； B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故B选项不符合题意； C、﹣3×23＝﹣24，﹣32×2＝﹣18，故C选项不符合题意； D、﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝8，故D选项不符合题意． 故选：A． 【即学即练2】 7．计算下列各题，并说说它们的区别． （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则进行计算； （2）根据有理数的乘方运算法则进行计算； （3）根据有理数的乘方运算法则进行计算． 【解答】解：（1）； （2）； （3）． 区别：有理数的乘方运算，底数不同，第（1）题进行有理数的乘方运算，其底数是，第（2）题分子部分进行有理数的乘方运算，其底数是3，第（3）题分母部分进行有理数的乘方运算，其底数是5． 知识点05 有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算法则： 先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 【即学即练1】 8．计算： （1）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]； （2）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣2）2]； （3）（﹣2）2﹣22﹣|﹣|×（﹣1）2； （4）（﹣2）×（﹣0.5）3×（﹣2）2×（﹣8）． 【分析】分别根据有理数的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的进行计算即可得解． 【解答】解：（1）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]， ＝﹣1﹣×（2﹣9）， ＝﹣1+， ＝； （2）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣2）2]， ＝1﹣××（2﹣4）， ＝1+， ＝； （3）（﹣2）2﹣22﹣|﹣|×（﹣1）2， ＝4﹣4﹣×1， ＝﹣； （4）（﹣2）×（﹣0.5）3×（﹣2）2×（﹣8）， ＝﹣×（﹣）×4×（﹣8）， ＝﹣××4×8， ＝﹣10． 题型01 幂的概念的理解 【典例1】118表示（　　） A．11个8连乘 B．11乘以8 C．8个11连乘 D．8个别1相加 【分析】原式利用乘方的意义判断即可． 【解答】解：118表示8个11连乘． 故选：C． 【变式1】计算＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据幂的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案． 【解答】解：原式＝， 故选：B． 【变式2】﹣25表示的意义是（　　） A．5个﹣2相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个﹣5相乘 D．2个5相乘的相反数 【分析】原式利用乘方的意义判断即可． 【解答】解：﹣25表示的意义是5个2相乘的相反数， 故选：B． 【变式3】下列对于﹣34，叙述正确的是（　　） A．读作﹣3的4次幂 B．底数是﹣3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个﹣3相乘的积 【分析】根据有理数的乘方的含义，以及各部分的名称，逐一判断即可． 【解答】解：∵﹣34读作：负的3的4次幂， ∴选项A不正确； ∵﹣34的底数是3，指数是4， ∴选项B不正确； ∵﹣34表示4个3相乘的积的相反数， ∴选项C正确； ∵﹣34表示4个3相乘的积的相反数， ∴选项D不正确． 故选：C． 【变式4】比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们底数不同，运算结果也不同 D．它们所表示的意义不相同，但运算结果相同 【分析】在an中，a叫做底数，n叫做指数． 【解答】解：（﹣4）3表示3个﹣4相乘，底数为﹣4，指数为3； ﹣43表示43的相反数，底数为4，指数为3． 故选：D． 题型02 有理数的乘方的运算 【典例1】计算：（1）（﹣）2；（2）（）4． 【分析】根据乘方的意义，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行． 【解答】解：（1）（一）2＝＝． 【变式1】计算：（1）23；（2）﹣54；（3）﹣；（4）﹣（）3． 【分析】可根据乘方的意义，先把乘方装化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算，或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值． 【解答】解：（1）23＝8； （2）﹣54＝﹣625； （3）﹣＝﹣； （4）﹣（）3＝﹣． 【变式2】计算： （1）（﹣）3 （2）﹣32×23 （3）（﹣3）2×（﹣2）3 （4）﹣2×32 （5）（﹣2×3）2 （6）（﹣2）14×（﹣）15 （7）﹣（﹣2）4 （8）（﹣1）2001 （9）﹣23+（﹣3）2 【分析】根据有理数乘方的法则和积的乘方、幂的乘方及乘方的混合运算解答． 【解答】解：（1）（﹣）3＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣； （2）﹣32×23＝﹣9×8＝﹣72； （3）（﹣3）2×（﹣2）3＝9×（﹣8）＝﹣72； （4）﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18； （5）（﹣2×3）2＝（﹣6）2＝36； （6）（﹣2）14×（﹣）15＝（﹣2）14×（﹣）14×（﹣）＝[（﹣2）×（﹣）]14×（﹣）＝﹣； （7）﹣（﹣2）4＝﹣（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣16； （8）（﹣1）2001＝﹣1； （9）﹣23+（﹣3）2＝﹣8+9＝1； 【典例1】下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 【分析】根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，然后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误； B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误； C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确； D、＝，＝，≠，故本选项错误． 故选：C． 【变式1】下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2| 【分析】根据有理数的乘方，绝对值的意义分别计算，然后作出判断． 【解答】解：A．23＝8，32＝9， ∴23≠32，故此选项不符合题意； B．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27， ∴﹣33＝（﹣3）3，故此选项符合题意； C．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4， ∴﹣22≠（﹣2）2，故此选项不符合题意； D．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2， ∴﹣|﹣2|≠|﹣2|，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列各组数中： ①﹣52和（﹣5）2； ②（﹣3）3和﹣33； ③﹣（﹣0.3）5和0.35； ④0100和0200； ⑤（﹣1）3和﹣（﹣1）2．相等的共有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【分析】首先计算出各组数的值，然后作出判断． 【解答】解：①﹣52＝﹣25，（﹣5）2＝25； ②（﹣3）3＝﹣27和﹣33＝﹣27； ③﹣（﹣0.3）5＝0.00729，0.35＝0.00729； ④0100＝0200＝0； ⑤（﹣1）3＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣1． 故②③④⑤组相等． 故选：C． 题型03 偶次方与绝对值的非负性 【典例1】若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝　9　． 【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可． 【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9． 故答案为：9． 【变式1】若（m+3）2+|n﹣2|＝0，则﹣mn＝　﹣9　 【分析】直接利用非负数的性质进而得出m，n的值，即可得出答案． 【解答】解：∵（m+3）2+|n﹣2|＝0， ∴m+3＝0，n﹣2＝0， 解得：m＝﹣3，n＝2， 则﹣mn＝﹣（﹣3）2＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【变式2】已知|3m﹣12|+＝0，则2m﹣n＝　10　． 【分析】根据非负数的性质，可求出m、n的值，然后将其代入代数式计算即可． 【解答】解：∵|3m﹣12|+＝0， ∴|3m﹣12|＝0，（+1）2＝0， ∴m＝4，n＝﹣2， ∴2m﹣n＝8﹣（﹣2）＝10， 故答案为：10． 【变式3】如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021 【分析】首先根据非负数的性质求出a、b的值，然后再代值求解． 【解答】解：由题意，得：a+2＝0，b﹣1＝0， 即a＝﹣2，b＝1； 所以（a+b）2021＝（﹣1）2021＝﹣1． 故选：B． 题型04 有理数的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （3）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可． 【解答】解：（1） ＝×（﹣78）﹣×（﹣78）﹣×（﹣78） ＝﹣12+26+13 ＝27； （2） ＝16÷8﹣ ＝2﹣ ＝； （3） ＝﹣1﹣（﹣）×+（﹣8）÷|﹣9+1| ＝﹣1+2+（﹣8）÷8 ＝﹣1+2+（﹣1） ＝0． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据有理数的四则混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的四则混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝5； （2） ＝1+（﹣10）×2×2﹣（﹣27﹣2） ＝1﹣40+29 ＝﹣10． 【变式2】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出的结果为（　　） A．15 B．13 C．11 D．﹣5 【分析】把x＝﹣1代入数值转换机中计算即可求出所求． 【解答】解：当x＝﹣1时，（﹣1）×（﹣2）+1＝2+1＝3＜10， 当x＝3时，3×（﹣2）+1＝﹣6+1＝﹣5＜10， 当x＝﹣5时，（﹣5）×（﹣2）+1＝10+1＝11＞10，输出11． 故选：C． 【变式3】如图，按图中的程序进行计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是（　　） A．﹣50 B．50 C．﹣250 D．250 【分析】根据有理数的乘法，可得答案． 【解答】解：﹣2×（﹣5）＝10，10×（﹣5）＝﹣50． 故输出的数是﹣50． 故选：A． 【变式4】定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（　　） A．7 B．1 C．1或7 D．3或﹣3 【分析】根据新定义规定的运算法则可得|2b﹣4﹣b|＝3，再利用绝对值的性质求解可得． 【解答】解：∵a★b＝3，且a＝2， ∴|2b﹣4﹣b|＝3， ∴2b﹣4﹣b＝3或2b﹣4﹣b＝﹣3， 解得b＝7或b＝1， 故选：C． 【变式5】用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝ab和a★b＝ba，那么[（﹣3）☆2]★（﹣1）＝　﹣1　． 【分析】本题考查的是有理数的乘方，根据题意把原式化为（﹣3☆2）★1＝[（﹣3）2]★（﹣1）＝9★（﹣1）＝（﹣1）9的形式是解答此题的关键． 【解答】解：∵a☆b＝ab和a★b＝ba， ∴（﹣3☆2）★（﹣1）＝[（﹣3）2]★（﹣1）＝9★（﹣1）＝（﹣1）9＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【变式6】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a．如：1☆3＝1×32+1＝10．则（﹣2）☆3的值为（　　） A．10 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣20 【分析】利用题中的新定义计算即可求出值． 【解答】解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆3＝﹣2×32﹣2＝﹣18﹣2＝﹣20， 故选：D． 题型05 乘方的实际应用 【典例1】当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　2n　个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　32000　个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【分析】（1）根据每分裂1次，数量是之前的2倍求解可得； （2）由每12分钟分裂一次知1小时分裂5次，据此求解可得； （3）两个小时后的数量是1小时后的，计算可得答案． 【解答】解：（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个， 故答案为：2n； （2）1小时后，盘子里有1000×25＝32000个细菌， 故答案为：32000； （3）两个小时后的数量是1小时后的＝25＝32倍． 【变式1】一杯饮料，第一次倒去一半，第二次倒去剩下的一半，…如此倒下去，第五次后剩下饮料是原来的几分之几？第n次后呢？ 【分析】设这杯饮料为1，根据题意得第一次后剩下饮料是原来的：＝，第二次后剩下饮料是原来的：＝，第三次后剩下饮料是原来的：＝＝，由此发现规律，写出第五次和第n次的结果． 【解答】解：设这杯饮料为1，根据题意得 第一次后剩下饮料是原来的：＝， 第二次后剩下饮料是原来的：＝， 第三次后剩下饮料是原来的：＝＝， 第五次后剩下饮料是原来的：＝＝， 第n次后剩下饮料是原来的：＝＝． 【变式2】有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？ 【分析】根据有理数的乘方的意义，列式计算即可． 【解答】解：由题意得，64×（）6＝64×＝1平方米， 答：第六次后，还剩1平方米． 1．﹣43的意义是（　　） A．3个﹣4相乘 B．3个﹣4相加 C．﹣4乘3 D．43的相反数 【分析】根据有理数的乘方的意义解答即可． 【解答】解：﹣43的意义是43的相反数， 故选：D． 2．代数式53×53×53×53×53×53可表示为（　　） A．6×53 B．53+6 C．（53）6 D．（5×6）3 【分析】求n个相同因数的积的运算叫做有理数的乘方，由此解答即可． 【解答】解：53×53×53×53×53×53＝（53）6， 故选：C． 3．﹣12024等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2024 D．2024 【分析】根据乘方的意义进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝﹣1， 故选：A． 4．下列式子计算正确的是（　　） A．（﹣1）6×32＝6 B．8÷（﹣）×5＝8×（﹣）＝﹣4 C．﹣32×＝﹣1 D．4﹣（﹣8）÷2＝4﹣4＝0 【分析】先算乘方，再算乘除，后算加减，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（﹣1）6×32＝1×9＝9，故A不符合题意； B、8÷（﹣）×5＝8×（﹣10）×5＝﹣400，故B不符合题意； C、﹣32×＝﹣9×＝﹣1，故C符合题意； D、4﹣（﹣8）÷2＝4﹣（﹣4）＝4+4＝8，故D不符合题意； 故选：C． 5．在有理数﹣12，|﹣1|，，（﹣1）2021，﹣（﹣1）中，等于1的相反数的数有（　　） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【分析】根据有理数的乘方、绝对值化简解答即可． 【解答】解：﹣12＝﹣1，|﹣1|＝1，＝﹣1，（﹣1）2021＝﹣1，﹣（﹣1）＝1， 故选：A． 6．下列四个数（﹣4）3，﹣43，（﹣8）2，﹣82中，互为相反数的是（　　） A．﹣43和（﹣4）3 B．（﹣4）3和﹣82 C．﹣82和﹣43 D．（﹣8）2和﹣43 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 【解答】解：A、﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝（﹣4）3，故此选项错误； B、（﹣4）3＝﹣64，﹣82＝﹣64，（﹣4）3＝﹣82，故此选项错误； C、﹣82＝﹣64，﹣43＝﹣64，﹣82＝﹣43，故此选项错误； D、（﹣8）2＝64，﹣43＝﹣64，（﹣8）2与﹣43互为相反数，故此选项正确． 故选：D． 7．在正数范围内定义一种运算：M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，如M（1，3）＝1﹣2×1×3+32＝4，若M（2，m）＝9，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5或﹣1 D．5 【分析】根据在正数范围内定义一种运算M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，M（2，m）＝9，可以求得m的值，注意m为正数． 【解答】解：∵在正数范围内定义一种运算M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，M（2，m）＝9， ∴22﹣2×2m+m2＝9， 解得m＝5或m＝﹣1（不符合题意）， 故选：D． 8．已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024 【分析】根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，再代入所求所占计算即可． 【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣2＝0， 解得a＝﹣2，b＝2， 所以（a+b）2024＝02024＝0． 故选：B． 9．若xm＝y，则记（x，y）＝m，例如32＝9，于是（3，9）＝2．若（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，则c的值为（　　） A．16 B．﹣2 C．2或﹣2 D．16或﹣16 【分析】根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，即可求出答案． 【解答】解：∵（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b， ∴（﹣2）2＝a，b3＝8，cb＝a， ∴a＝4，b＝2， ∴c2＝4， ∴c＝±2． 故选：C． 10．对于任意正整数a，b定义一种新运算：F（a+b）＝F（a）•F（b）．比如F（2）＝5，则F（4）＝F（2+2）＝5×5＝52，F（6）＝F（2+4）＝5×52＝53，那么F（2024）的结果是（　　） A．2024 B．52024 C．51012 D．1012 【分析】根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可 【解答】解：∵F（a+b）＝F（a）•F（b），且F（2）＝5，F（4）＝F（2+2）＝5×5＝52，F（6）＝F（2+4）＝5×52＝53， ⋯， F（2n）＝5n， ∵2024÷2＝1012， ∴F（2024）＝51012， 故选：C． 11．在﹣（﹣6），|﹣2|，（﹣2）4，（﹣1）5中，正数有　3　个． 【分析】利用有理数的定义进行判断即可． 【解答】解：﹣（﹣6）＝6；|﹣2|＝2；（﹣2）4＝16；（﹣1）5＝﹣1中正数有3个， 故答案为：3． 12．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝3，则的值为 　10　． 【分析】由题意可得：a+b＝0，cd＝1，m＝±3，从而得到m2＝9，再把相应的值代入运算即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝3， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝±3，m2＝9， ∴原式＝a+b＝0+1+9＝10． 故答案为：10． 13．若24×24＝2a，35+35+35＝3b，则a﹣b的值是 　2　． 【分析】根据乘方的定义（求几个相同因数或因式的积的一种运算）解决此题． 【解答】解：∵24×24＝2a，35+35+35＝3b， ∴2a＝28，3b＝3×35＝36． ∴a＝8，b＝6． ∴a﹣b＝8﹣6＝2． 故答案为：2． 14．利用如图所示的图形，可求的值是 　　． 【分析】根据图形，可以发现＝1﹣，然后计算即可． 【解答】解：由图可得， ＝1﹣ ＝1﹣ ＝， 故答案为：． 15．魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在1～9之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是 　7　． 【分析】先设观众选择的第一个数是x，第二个数是y，然后根据已知条件所给的步骤，列出算式，进行化简，得到关于x，y的方程，求出其整数解即可． 【解答】解：设观众选择的第一个数是x，第二个数是y，由题意得： ， 10x+y+10＝84， 10x+y＝74， ∵1≤x≤9，1≤y≤9，x，y均为整数， ∴x＝7，y＝4， ∴观众选择的第一个数是7， 故答案为：7 16．计算： （1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10； （2）； （3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4； （4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2]． 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的混合运算法则求解即可； （3）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减； （4）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【解答】解：（1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10 ＝1.5+1.6 ＝3.1； （2） ＝ ＝ ＝； （3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4 ＝﹣4×5﹣（﹣8）÷4 ＝﹣20﹣（﹣2） ＝﹣18； （4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2] ＝﹣1000+（16﹣4×2） ＝﹣1000+8 ＝﹣992． 17．刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b）（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2+2b+1，例如把（1，2）放入其中，就会得到12+2×2+1＝6． （1）把（﹣1，﹣2）放入其中，求得到的新有理数． （2）若把（﹣2，﹣n）放入其中，得到的新有理数为﹣1，则求n的值． 【分析】（1）直接根据新定义代值计算即可； （2）根据新定义可得（﹣2）2+2×（﹣n）+1＝﹣1，解方程即可． 【解答】解：（1）将（﹣1，﹣2）代入，得 a2+2b+1 ＝（﹣1）2+2×（﹣2）+1 ＝1﹣4+1 ＝﹣2； （2）将（﹣2，﹣n）代入，得（﹣2）2+2×（﹣n）+1＝﹣1， ∴n＝3． 18．如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数． （1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果； （2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？ （3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系． 【分析】（1）把﹣3和●表示的数输入计算程序中计算即可求出值； （2）设●表示的数为x，根据计算程序列出方程，求出方程的解即可得到x的值； （3）把a与b代入计算程序中计算，使其结果为0，得到a与b的数量关系即可． 【解答】解：（1）根据题意得： （﹣3）×（﹣4）÷2+（﹣1）﹣2 ＝12÷2﹣1﹣2 ＝6﹣1﹣2 ＝3； （2）设●表示的数为x， 根据题意得：4×（﹣4）÷2+（﹣1）﹣x＝8， 解得：x＝﹣17； （3）由题意得：+（﹣1）﹣b＝0， 整理得：b＝﹣2a﹣1． 19．生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数，如计算机使用的数是二进制数，二进制数可以转化为十进制数．如，二进制数1101换算成十进制数是1×23+1×22+0×21+1×20＝13． 第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 　2023　； （2）小颖设计了一个m进制数156，换算成十进制数是90，求m的值． 【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以80，81，82，83，再把所得结果相加即可得解； （2）根据m进制数和十进制数的计算方法得到关于m的方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）3747＝3×83+7×82+4×81+7×80 ＝1536+448+32+7 ＝2023． 故答案为：2023； （2）依题意有： 1×m2+5×m1+6×m0＝90， 解得m1＝7，m2＝﹣12（舍去）， 故m的值是7． 20．阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4… 回答下列三个问题： （1）验证：＝　1　，＝　1　； （2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝　anbn　；（abc）n＝　anbncn　． （3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2024×22023×42022． 【分析】（1）先算括号内的乘法，再算乘方；先乘方，再算乘法； （2）根据有理数乘方的定义求出即可； （3）根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案． 【解答】解：（1）； 故答案为：1，1； （2）（a•b）n＝anbn，（abc）n＝anbncn； 故答案为：anbn，anbncn； （3）（﹣0.125）2024×22023×42022 ＝（﹣0.125）2022×22022×42022×[（﹣0.125）×（﹣0.125）×2] ＝ ＝ ＝ ＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 有理数的乘方 课程标准 学习目标 ①有理数乘方的意义 ②有理数的乘方运算 ③有理数的混合运算 1. 掌握有理数的乘方的意义，理解幂，底数，指数的相关概念并能够熟练的指数幂中的底数和指数。 2. 掌握有理数的乘方的运算法则，能够熟练的进行乘方运算。 3. 掌握有理数的混合运算法则，能够熟练的对有理数进行混合运算。 知识点01 有理数的乘方的意义 1. 有理数的乘方的意义： 求 的积的运算叫做乘方。一般地：（个）可以记作： ，读作： 。当把看做的次方的结果时，也可读作： ，所以乘方的结果叫做 ，其中是 ，是 。 特别提示： （1） 当指数是 时，指数省略不写。即直接写成。 （2） 当底数是 或 时，要把底数用括号括起来。如－2的三次方写成 ； 的四次方写成 。 （3）任何数都可以看做是它本身的 次方，一个数的2次方可以读作： ，一个数3次方可以读作： 。 【即学即练1】 1．（﹣3）4表示（　　） A．﹣3个4相乘 B．4个﹣3相乘 C．3个4相乘 D．4个3相乘 【即学即练2】 2．下列对于式子（﹣3）2的说法，错误的是（　　） A．指数是2 B．底数是﹣3 C．幂为﹣9 D．表示2个﹣3相乘 知识点02 有理数的乘方的计算 1. 有理数的乘方的计算： 。在计算有理数的乘方时，先根据有理数的乘方的意义把有理数的乘方转化为 ，计算时先确定幂的 ，在计算幂的 。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1） 正数的任何次方都是 。 （2） 负数的奇次方是 ，负数的偶次方是 。 （3） 0的任何正整数次方都得 。 （4） 1的任何次方都得 ，﹣1的奇次方得 ，﹣1的偶次方得 。 【即学即练1】 3．计算： （1）（﹣1）3； （2）（﹣1）2012； （3）（﹣0.1）3； （4）（）4； （5）（﹣2）3×（﹣2）2； （6）（﹣）3×（﹣）5； （7）103； （8）02012． 知识点03 有理数的偶次方 1. 有理数的偶次方： 由乘方的计算可知，任何一个数的偶次方得到的结果都 ，即任何数的偶次方（常考有理数的平方）都是 ，非负数具有 。几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于 。即，则 。 【即学即练1】 4．若|a﹣2|+（b﹣3）2＝0，则ab的值为　 　． 【即学即练2】 5．当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝　 　． 知识点04 的区别与联系 1. 三者的意义（区别）： 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 表示的意义是 ，即 ，底数是 。 2. 三者的联系 （1） 当为奇数时， 和 相等，他们与互为 。 （2） 当为偶数时， 和 相等，他们与互为 。 【即学即练1】 6．下列各对数中，数值相等的是（　　） A．﹣27与（﹣2）7 B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣3×23与﹣32×2 D．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3 【即学即练2】 7．计算下列各题，并说说它们的区别． （1）； （2）； （3）． 知识点05 有理数的混合运算 1. 有理数的混合运算法则： 先算 ，再算 ，最后算 ；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 【即学即练1】 8．计算： （1）﹣14﹣×[2﹣（﹣3）2]； （2）（﹣1）4﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣2）2]； （3）（﹣2）2﹣22﹣|﹣|×（﹣1）2； （4）（﹣2）×（﹣0.5）3×（﹣2）2×（﹣8）． 题型01 幂的概念的理解 【典例1】118表示（　　） A．11个8连乘 B．11乘以8 C．8个11连乘 D．8个别1相加 【变式1】计算＝（　　） A． B． C． D． 【变式2】﹣25表示的意义是（　　） A．5个﹣2相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个﹣5相乘 D．2个5相乘的相反数 【变式3】下列对于﹣34，叙述正确的是（　　） A．读作﹣3的4次幂 B．底数是﹣3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个﹣3相乘的积 【变式4】比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们底数不同，运算结果也不同 D．它们所表示的意义不相同，但运算结果相同 题型02 有理数的乘方的运算 【典例1】计算：（1）（﹣）2；（2）（）4． 【变式1】计算：（1）23；（2）﹣54；（3）﹣；（4）﹣（）3． 【变式2】计算： （1）（﹣）3 （2）﹣32×23 （3）（﹣3）2×（﹣2）3 （4）﹣2×32 （5）（﹣2×3）2 （6）（﹣2）14×（﹣）15 （7）﹣（﹣2）4 （8）（﹣1）2001 （9）﹣23+（﹣3）2 【典例1】下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 【变式1】下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2| 【变式2】下列各组数中： ①﹣52和（﹣5）2； ②（﹣3）3和﹣33； ③﹣（﹣0.3）5和0.35； ④0100和0200； ⑤（﹣1）3和﹣（﹣1）2．相等的共有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 题型03 偶次方与绝对值的非负性 【典例1】若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝　 　． 【变式1】若（m+3）2+|n﹣2|＝0，则﹣mn＝　 　 【变式2】已知|3m﹣12|+＝0，则2m﹣n＝　 　． 【变式3】如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021 题型04 有理数的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【变式2】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出的结果为（　　） A．15 B．13 C．11 D．﹣5 【变式3】如图，按图中的程序进行计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是（　　） A．﹣50 B．50 C．﹣250 D．250 【变式4】定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（　　） A．7 B．1 C．1或7 D．3或﹣3 【变式5】用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝ab和a★b＝ba，那么[（﹣3）☆2]★（﹣1）＝　 　． 【变式6】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a．如：1☆3＝1×32+1＝10．则（﹣2）☆3的值为（　　） A．10 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣20 题型05 乘方的实际应用 【典例1】当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　 　个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　 　个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【变式1】一杯饮料，第一次倒去一半，第二次倒去剩下的一半，…如此倒下去，第五次后剩下饮料是原来的几分之几？第n次后呢？ 【变式2】有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？ 1．﹣43的意义是（　　） A．3个﹣4相乘 B．3个﹣4相加 C．﹣4乘3 D．43的相反数 2．代数式53×53×53×53×53×53可表示为（　　） A．6×53 B．53+6 C．（53）6 D．（5×6）3 3．﹣12024等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2024 D．2024 4．下列式子计算正确的是（　　） A．（﹣1）6×32＝6 B．8÷（﹣）×5＝8×（﹣）＝﹣4 C．﹣32×＝﹣1 D．4﹣（﹣8）÷2＝4﹣4＝0 5．在有理数﹣12，|﹣1|，，（﹣1）2021，﹣（﹣1）中，等于1的相反数的数有（　　） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 6．下列四个数（﹣4）3，﹣43，（﹣8）2，﹣82中，互为相反数的是（　　） A．﹣43和（﹣4）3 B．（﹣4）3和﹣82 C．﹣82和﹣43 D．（﹣8）2和﹣43 7．在正数范围内定义一种运算：M（a，b）＝a2﹣2ab+b2，如M（1，3）＝1﹣2×1×3+32＝4，若M（2，m）＝9，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5或﹣1 D．5 8．已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（　　） A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024 9．若xm＝y，则记（x，y）＝m，例如32＝9，于是（3，9）＝2．若（﹣2，a）＝2，（b，8）＝3，（c，a）＝b，则c的值为（　　） A．16 B．﹣2 C．2或﹣2 D．16或﹣16 10．对于任意正整数a，b定义一种新运算：F（a+b）＝F（a）•F（b）．比如F（2）＝5，则F（4）＝F（2+2）＝5×5＝52，F（6）＝F（2+4）＝5×52＝53，那么F（2024）的结果是（　　） A．2024 B．52024 C．51012 D．1012 11．在﹣（﹣6），|﹣2|，（﹣2）4，（﹣1）5中，正数有　 　个． 12．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，且|m|＝3，则的值为 　 ． 13．若24×24＝2a，35+35+35＝3b，则a﹣b的值是 　 　． 14．利用如图所示的图形，可求的值是 　 　． 15．魔术爱好者小丽设计了一个数学魔术．小丽请观众在1～9之间任意选择两个数，按如下步骤进行运算：①第一个数乘以第二个数的10倍；②加上第二个数的平方；③除以第二个数；④再加上10，得到结果．小丽根据结果推测观众之前选择的数，如果结果是84，那么观众选择的第一个数是 　 　． 16．计算： （1）﹣4.2+5.7﹣8.4+10； （2）； （3）﹣22×5﹣（﹣2）3÷4； （4）（﹣10）3+[（﹣4）2﹣（1﹣3）2×2]． 17．刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，b）（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2+2b+1，例如把（1，2）放入其中，就会得到12+2×2+1＝6． （1）把（﹣1，﹣2）放入其中，求得到的新有理数． （2）若把（﹣2，﹣n）放入其中，得到的新有理数为﹣1，则求n的值． 18．如图所示，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“●”表示一个有理数． （1）若●表示2，输入数为﹣3，求计算结果； （2）若计算结果为8，且输入的数字是4，则●表示的数是几？ （3）若输入数为a，●表示的数为b，当计算结果为0时，请求出a与b之间的数量关系． 19．生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数，如计算机使用的数是二进制数，二进制数可以转化为十进制数．如，二进制数1101换算成十进制数是1×23+1×22+0×21+1×20＝13． 第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份． （1）八进制数3747换算成十进制数是 　 　； （2）小颖设计了一个m进制数156，换算成十进制数是90，求m的值． 20．阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4… 回答下列三个问题： （1）验证：＝　 　，＝　 　； （2）通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝　 　；（abc）n＝　 ． （3）请应用上述性质计算：（﹣0.125）2024×22023×42022． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $