第07讲 确定圆的条件（2大考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第07讲 确定圆的条件 课程标准 学习目标 1 理解确定圆的条件； 2 会运用不在同一直线上的三点确定一个圆的方法； 3 培养学生的探究能力和逻辑思维能力。 1. 掌握确定圆的条件及相关知识； 2. 能够运用确定圆的条件解决实际问题。 知识点一、圆的确定 1.过一点作圆 经过一点A作圆，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个，如图所示： 2.过两点作圆 经过两点A、B作圆，只要以与点A、B距离相等的点为圆心（线段AB垂直平分线上任一一点），以这一点与点A（B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个，如图所示： 3.过不在同一条直线上的三个点作圆 经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，所以圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以点O为圆心，以OA（OB/OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个，如图所示： 重要结论：不在同一条直线直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. （1）过在同一条直线上的三个点不能作圆； （2）过不在同一条直线上的四个点不一定能作圆. 知识点二、三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： 是△ABC的外接圆，△ABC为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形； 3.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三个顶点的距离相等. 题型01 确定圆的条件 1．已知点A，B，且AB＜6，画经过A，B两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【分析】根据确定圆的条件以及圆的概念解答即可． 【解答】解：作线段AB的垂直平分线，以点A为圆心，3为半径作弧，于AB的垂直平分线交于两点， 以这两点为圆心，可以画出经过A，B两点且半径为3的圆 所以经过A，B两点且半径为3的圆有有两个， 故选：C． 【点评】本题考查的是确定圆的条件，正确确定圆心的位置是解题的关键． 2．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n个，则n的值不可能为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆画出图形，即可得出答案． 【解答】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时n＝1， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过A、B、C或A、C、D或A、B、D作圆，共3个圆，即n＝3， ③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过A、B、C或B、C、D或C、D、A或D、A、B作圆，共4个圆，即此时n＝4， 即n不能是2， 故选：C． 【点评】本题考查了确定圆的条件，主要考查学生的动手操作能力和画图能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目，有一定的难度． 3．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 4．平面直角坐标系内的三个点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　　确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【分析】根据点A、B、C的坐标得到点A、B、C三点在同一条直线上，再根据确定圆的条件判断即可． 【解答】解：∵点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， ∴点A、B、C三点在同一条直线上， ∴点A、B、C三点不能确定一个圆， 故答案为：不能． 【点评】本题考查的是确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆． 题型02 求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1） 【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心． 【解答】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心， ∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）． 故选：A． 【点评】此题考查了三角形外接圆与外心，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2） 【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标． 【解答】解：如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为（5，2）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键． 3．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2），则△ABC外接圆圆心的坐标为 　　． 【分析】三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设△ABC的外心为M）必在直线x＝1上；由图知：AC的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到M（1，0）． 【解答】解：设△ABC的外心为M； ∵B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2）， ∴M必在直线x＝1上， 由图知：AC的垂直平分线过（1，0）， 故M（1，0）． 故答案为：（1，0）． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，垂径定理，根据三角形外心的性质来判断出△ABC外心的位置是解题的关键． 题型03 求外接圆半径 1．边长为1的正三角形的外接圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【分析】设正△ABC的中心为O，过O点作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，把问题转化到Rt△OBD中求OB即可． 【解答】解：如图，连接OB，作OD⊥BC， ∵BC＝1， ∴BDBC1， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠OBD＝30°， ∴ODBO， ∵OB2＝OD2+BD2， ∴4OD2＝OD2， 解得：OD， ∴OB＝2OD， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，熟知等边三角形的性质及外接圆的定义是解答此题的关键． 2．△ABC的边AB＝8，边AC，BC的长是一元二次方程m2﹣16m+60＝0的两根，则△ABC的外接圆的半径是 　　． 【分析】根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得△ABC是直角三角形，且斜边长为10，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案． 【解答】解：∵m2﹣16m+60＝0， （m﹣10）（m﹣6）＝0， 解得：m1＝10，m2＝6， ∵62+82＝102， ∴△ABC是直角三角形，且斜边长为10， ∵直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点， ∴△ABC的外接圆半径为， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握其性质是解决此题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC外接圆的半径为 　　． 【分析】根据△ABC的外接圆的圆心G必在线段AB的垂直平分线上，可设O（a，2），利用GB＝GC建立方程，求的点G的坐标，进而求得△ABC外接圆的半径． 【解答】解：假设△ABC的外接圆的圆心为点G， 则点G必在线段AB的垂直平分线上，即点G的纵坐标为2， 设点G（a，2）， 由三角形外接圆性质得GB＝GC， B（1，1），C（4，4）， 由GB2＝GC2得（a﹣1）2+（2﹣1）2＝（a﹣4）+（2﹣4）2，解得：a＝3， ∴G（3，2）， ∴GB． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心、两点间的距离公式，解题关键是根据题图发现△ABC的外接圆的圆心G必在线段AB的垂直平分线上，进而设出圆心的坐标，进而利用两点间的距离公式求解． 题型04 尺规作图 1．工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． （1）请用尺规作图在图上作出该图； （2）测量直角三角形的两直角边AC＝1.2m，BC＝1.6m，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 【分析】（1）分别作线段AC，BC的垂直平分线，交AB于点O，以O为圆心，AB 长为半径画圆即可； （2）利用勾股定理求出AB＝2m，即为所需正方形的版的最小边长，即而求出面积． 【解答】解：（1）即为所作． （2）∵AC＝1.2m，BC＝1.6m，∠ACB＝90°， ∴， ∴所需要正方形板的最小面积是22＝4（m2）． 【点评】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理等知识，作垂直平分线和得出AB＝2是解题关键． 2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16． （1）试用尺规作图法作出△ABC的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求出⊙O的半径． 【分析】（1）可按尺规作图的方法进行作图．（做其中两条边的垂直平分线，以此交点为圆心，圆心到三角形任何一顶点的距离为半径作圆； （2）可通过构建直角三角形来求解．连接OA，OC，OA⊥BC．先在三角形ACD中求出AD的值，然后在三角形ODC中，用半径表示OD，OC，根据勾股定理求出半径． 【解答】解：（1）如图． （2）连接OA交BC于D，连接OC． 因为AB＝AC， 所以由垂径定理，得OA⊥BC于D，BD＝CD＝8． 在Rt△ADC中，． 设OC＝OA＝R，则OD＝R﹣6． 在Rt△OCD中，由OC2＝OD2+CD2， 得R2＝（R﹣6）2+82，解得． 【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，要注意本题中外接圆的作法． 3．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆． （1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明） （3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由． 【分析】本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答．中转站应建在△EFH的外接圆圆心处（线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处）．根据△EFH是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为△EFH的外接圆，所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处，能够符合题中要求． 【解答】解：（1）如图所示： （2）若三角形为锐角三角形或直角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆； 若钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． （3）此中转站应建在△EHF的外接圆圆心处． 理由如下： 比较△EGH，△EGF可知，应该选择△EGH， 比较△EHG，△EHF可知，应该选择△EHF， 比较△HFG和△EHF，选择△HFG． 比较△EHF和△HFG，选择△EHF． ∴中转站应建在△EHF的外接圆圆心处． 【点评】本题结合三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． 1．如图，△ABC内接于⊙O，若，∠C＝45°，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C． D． 【分析】连接BO，并延长交⊙O于点D，连接AD，由圆周角定理可得∠D与∠ABD的度数，再由勾股定理即可解答． 【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD， ∵∠C＝45°， ∴∠D＝45°， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠DBA＝∠D＝45°， ∵AB＝2， ∴AD＝2， ∴BD4， ∴⊙O的半径BO＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形． 2．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（　　） A． B． C．4 D． 【分析】根据O为△ABC的外心得到OA＝OB＝OC，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵O为△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， ∴BC2， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则弧EC的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 【分析】由正方形的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，由等边三角形的性质可得AE＝AF，∠EAF＝60°，由“SSS”可证△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAF＝15°，即可求解． 【解答】解：如图，连接BE，DF，AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BAC＝45°， ∴， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，∠EAF＝60°， ∴，∠BAE+∠DAF＝30°， ∴， ∴BE＝DF， ∴△ABE≌△ADF（SSS）， ∴∠BAE＝∠DAF， ∵∠BAE+∠DAF＝30°， ∴∠BAE＝∠DAF＝15°， ∴∠EAC＝30°， ∴弧EC的度数为60°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【解答】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）等弧所对的圆心角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 【点评】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识，经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 5．将边长相等的正方形和等边三角形按如图摆放，过A、B、E三点作圆，那么所对的圆心角的度数是（　　） A．105° B．135° C．150° D．以上都不对 【分析】连接BE，根据等边三角形的性质得到∠CDE＝60°，根据正方形的性质得到∠BCD＝∠ABC＝90°，求得∠CEB＝∠CBE（180°﹣∠BCE）＝15°，得到∠ABE＝90°﹣15°＝75°，根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：连接BE， ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴∠ECB＝150°， ∵CE＝BC， ∴∠CEB＝∠CBE（180°﹣∠BCE）＝15°， ∴∠ABE＝90°﹣15°＝75°， ∴所对的圆心角的度数＝2∠ABE＝150°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，正方形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝90°，底边BC＝2，则△ABC的面积为　1或1　． 【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在△ABC内部时．②当点O在△ABC外时．分别求解即可． 【解答】解：①当圆心O在△ABC内部时，作AE⊥BC于E． ∵OB＝OC，∠BOC＝90°， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴OB＝OC， ∴AE＝OA+OE＝1， ∴S△ABC•BC•AE2×（1）＝1． ②当点O在△ABC外时，连接OA交BC于E． S△ABC•BC•AE2×（1）1， 故答案为：1或1． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型． 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝2，则⊙O的直径为　2　． 【分析】连接OB，OC，证△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO＝CO，进而得出⊙O的直径． 【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝2∠A＝90°， ∴△BOC是等腰直角三角形， 又∵BC＝2， ∴BO＝COBC， ∴⊙O的直径为2 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为 　2　． 【分析】连接OC，OB，OD，根据圆周角定理得到△OCB是等边三角形，根据旋转的性质得到∠COD＝90°，根据勾股定理得到． 【解答】解：连接OC，OB，OD，CD， ∵∠BOC＝2∠A＝60°，OC＝OB， ∴△OCB是等边三角形， ∴， ∵△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED， ∴∠COD＝90°， 根据勾股定理． 故答案为：2． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为　（﹣1，﹣2）　． 【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可． 【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD＝DB＝DA， 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）， 【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置． 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是 　　． 【分析】连接OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，根据圆周角定理可得∠BOC＝90°，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得DG，AG，可求AD． 【解答】解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G， ∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∵BD＝4，CD＝1， ∴BC＝4+1＝5， ∴OB＝OC， ∴OA，OF＝BF， ∴DF＝BD﹣BF， ∴OG，GD， 在Rt△AGO中，AG， ∴AD＝AG+GD． 故答案为：． 【点评】考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用圆周角定理． 11．如图，菱形ABCD中，AB＝2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF．若∠AFE＝90°，则△AEF的外接圆半径为 　　． 【分析】延长EF交AD的延长线于G，由菱形的性质得出AD＝CD＝AB＝2，AD∥BC，证明△DFG≌△CFE（ASA），得出DG＝CE，GF＝EF，由线段垂直平分线的性质得出AE＝AG，设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x，由直角三角形斜边上的中线性质得出GF＝EFCD＝1，得出EG＝2EF＝2，在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，进而求出AE，即可得到△AEF的外接圆半径． 【解答】解答】解：延长EF交AD的延长线于G，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD＝AB＝2，AD∥BC， ∴∠GDF＝∠C， ∵F是CD的中点， ∴DF＝CF， 在△DFG和△CFE中， ， ∴△DFG≌△CFE（ASA）， ∴DG＝CE，GF＝EF， ∵∠AFE＝90°， ∴AF⊥EF， ∴AE＝AG， 设CE＝DG＝x，则AE＝AG＝2+x， ∵AG∥BC，DE⊥BC，F是CD的中点， ∴DE⊥AG，GF＝EFCD＝1， ∴EG＝2EF＝2， 在Rt△ADE和Rt△GDE中，由勾股定理得：DE2＝AE2﹣AD2＝EG2﹣DG2， 即（2+x）2﹣22＝22﹣x2， 解得：x1，或x1（舍去）， ∴DG1， ∴AE＝AG＝AD+DG1， ∵∠AFE＝90°， ∴AE是△AEF的外接圆的直径， ∴△AEF的外接圆半径为， 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 12．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G． （1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径； （2）设OG＝3，CD＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）由角平分线的定义和平角关系得出∠2+∠3＝90°，即∠DAE＝90°，由90°的圆周角所对的弦是直径，即可得出结论； （2）连接OC，设⊙O的半径为r，则OD＝OC＝r，DG＝r﹣3，由垂径定理得出OD⊥BC，由勾股定理得出CD2﹣DG2＝OC2﹣OG2，得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明：∵AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠EAF， ∵∠1+∠2+∠3+∠EAF＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， 即∠DAE＝90°， ∴DE是△ABC的外接圆的直径； （2）解：连接OC，如图所示： 设⊙O的半径为r， 则OD＝OC＝r，DG＝r﹣3， ∵∠1＝∠2， ∴， ∴OD⊥BC， ∴∠OGC＝∠DGC＝90°， 由勾股定理得：CG2＝CD2﹣DG2，CG2＝OC2﹣OG2， ∴CD2﹣DG2＝OC2﹣OG2， 即（2）2﹣（r﹣3）2＝r2﹣32， 解得：r＝5，或r＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为5． 【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、角平分线的定义等知识；本题综合性强，有一定难度． 13．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求； （2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R． 【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心； （2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D． ∵BC＝16cm， ∴BD＝8cm， ∵AB＝10cm， ∴AD＝6cm， 设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm， ∴R2＝82+（R﹣6）2， 解得：Rcm， ∴圆片的半径R为cm． 【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立． 14．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD． （1）求证：AD＝CE； （2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形． 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B＝∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD＝CE； （2）连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH＝CH，得出CG与AE平行且相等． 【解答】证明：（1）在⊙O中， ∵， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴∠B＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中，， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴AD＝CE； （2）连接AO并延长，交边BC于点H， ∵，OA为半径， ∴AH⊥BC， ∴BH＝CH， ∵AD＝AG， ∴DH＝HG， ∴BH﹣DH＝CH﹣GH，即BD＝CG， ∵BD＝AE， ∴CG＝AE， ∵CG∥AE， ∴四边形AGCE是平行四边形． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键． 15．已知，如图，△ABC和△DBE中，BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE，点D是△ABC的外心，试判断四边形BDCE的形状，并说明理由． 【分析】根据∠ABC＝∠DBE，得到∠ABD＝∠CBE，根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△CBE，得到AD＝CE，根据三角形外心的性质得到DA＝DB＝DC，根据菱形的判定定理得到答案． 【解答】解：四边形BDCE是菱形， ∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE， ∴AD＝CE， ∵点D是△ABC的外心， ∴DA＝DB＝DC， 又∵BD＝BE， ∴DB＝BE＝EC＝CD， ∴四边形BDCE是菱形． 【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形的外心的性质以及菱形的判定，掌握四条边都相等的四边形是菱形是解题的关键． 16．只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图①，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 　AC　． （2）在图①中线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【分析】（1）根据损矩形直径的定义，可得答案； （2）作线段AC的垂直平分线，交AC于P，以P为圆心，AP为半径作圆即可，根据直角三角形斜边上中线的性质可得答案． 【解答】解：（1）根据损矩形直径的定义，可得线段AC是损矩形ABCD的直径， 故答案为：AC； （2）如图，作线段AC的垂直平分线，交AC于P，以P为圆心，AP为半径作圆即可， ∵点P为AC中点， ∴PA＝PCAC． ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴BP＝DPAC， ∴PA＝PB＝PC＝PD， ∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定等知识，理解损矩形的定义是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 确定圆的条件 课程标准 学习目标 1 理解确定圆的条件； 2 会运用不在同一直线上的三点确定一个圆的方法； 3 培养学生的探究能力和逻辑思维能力。 1. 掌握确定圆的条件及相关知识； 2. 能够运用确定圆的条件解决实际问题。 知识点一、圆的确定 1.过一点作圆 经过一点A作圆，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个，如图所示： 2.过两点作圆 经过两点A、B作圆，只要以与点A、B距离相等的点为圆心（线段AB垂直平分线上任一一点），以这一点与点A（B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个，如图所示： 3.过不在同一条直线上的三个点作圆 经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，所以圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以点O为圆心，以OA（OB/OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个，如图所示： 重要结论：不在同一条直线直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆. （1）过在同一条直线上的三个点不能作圆； （2）过不在同一条直线上的四个点不一定能作圆. 知识点二、三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示： 是△ABC的外接圆，△ABC为的一个内接三角形，点O为△ABC的外心. 1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示： 2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形； 3.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三个顶点的距离相等. 题型01 确定圆的条件 1．已知点A，B，且AB＜6，画经过A，B两点且半径为3的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n个，则n的值不可能为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．平面直角坐标系内的三个点A（4，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　　确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 题型02 求三角形外心坐标 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，﹣3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1） 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（3，6），B（1，4），C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（4，2） B．（4，3） C．（5，3） D．（5，2） 3．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2），则△ABC外接圆圆心的坐标为 　　． 题型03 求外接圆半径 1．边长为1的正三角形的外接圆的半径为（　　） A． B． C． D． 2．△ABC的边AB＝8，边AC，BC的长是一元二次方程m2﹣16m+60＝0的两根，则△ABC的外接圆的半径是 　　． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC外接圆的半径为 　　． 题型04 尺规作图 1．工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示． （1）请用尺规作图在图上作出该图； （2）测量直角三角形的两直角边AC＝1.2m，BC＝1.6m，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少？ 2．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16． （1）试用尺规作图法作出△ABC的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求出⊙O的半径． 3．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆． （1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明） （3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由． 1．如图，△ABC内接于⊙O，若，∠C＝45°，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C． D． 2．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（　　） A． B． C．4 D． 3．如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则弧EC的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．90° 4．有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．将边长相等的正方形和等边三角形按如图摆放，过A、B、E三点作圆，那么所对的圆心角的度数是（　　） A．105° B．135° C．150° D．以上都不对 6．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝90°，底边BC＝2，则△ABC的面积为　 　． 7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝2，则⊙O的直径为　 　． 8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C，D之间的距离为 　 　． 9．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为　 　． 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是 　 　． 11．如图，菱形ABCD中，AB＝2，DE⊥BC于点E，F为CD的中点，连接AE，AF，EF．若∠AFE＝90°，则△AEF的外接圆半径为 　 　． 12．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G． （1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径； （2）设OG＝3，CD＝2，求⊙O的半径． 13．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C． （1）画出该轮的圆心； （2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R． 14．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD． （1）求证：AD＝CE； （2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形． 15．已知，如图，△ABC和△DBE中，BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE，点D是△ABC的外心，试判断四边形BDCE的形状，并说明理由． 16．只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径． （1）如图①，在损矩形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 　 　． （2）在图①中线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以点P为圆心的同一个圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．（尺规作图不要求写作法，但要保留作图痕迹） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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