数学（广东专用）-2024年新高二开学摸底考试卷

高二开学摸底考试卷（广东专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围： 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 2．如果复数满足，那么复数可能是（    ） A． B． C． D． 3．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．有一组样本数据：，，，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，，，2，那么这两组样本数据一定有相同的（    ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．极差 5．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知向量，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D． 10．若，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形 C．存在唯一的点，使得 D．与平面所成的角为定值 3、 填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．某科技攻关青年团队共有人，他们的年龄分别是，，，，，，，，则这人年龄的分位数是 ． 13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为 平方分米． 14．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围 . 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分） 15．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)在上的表达式； (2)求方程f(x)＝的解． 16．为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成六组进行统计，得到如图所示的统计图. （1）估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)； （2）从样本中重量不小于克的水果中任取个，求至少有个水果的重量不小于克的概率. 17．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若是线段上一点，求三棱锥的体积. 18．在中，角所对的边分别为，已知． (1)若的外接圆半径为，且，求； (2)若，求锐角的面积的取值范围． 19．如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”. (1)已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，.若函数有8个零点，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二开学摸底考试卷（广东专用） 数学·答案及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．BCD 10．BCD 11．AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 12． 13． 14． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） (1);(2)∴x＝－或－或－或． 【详解】试题分析：解：(1)当x∈时，A＝1，＝－，T＝2π，ω＝1. 且f(x)＝sin(x＋φ)过点， 则＋φ＝π，φ＝. f(x)＝sin. 当－π≤x＜－时，－≤－x－≤， f＝sin， 而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称， 则f(x)＝f， 即f(x)＝sin＝－sin x，－π≤x＜－. ∴ (2)当－≤x≤时，≤x＋≤π， 由f(x)＝sin＝， 得x＋＝或，x＝－或. 当－π≤x＜－时，由f(x)＝－sin x＝，sin x＝－， 得x＝－或－. ∴x＝－或－或－或. 考点：三角函数的图像与解析式 点评：解决的关键是根据三角函数的性质来结合图像来得到参数的求解，同事解三角方程，属于基础题． 16．（15分）（1）18.45；（2）. 【分析】（1）取中间值与该组频数相乘，除以总数，即得平均数. （2）列出所有基本事件，找出所求事件包含多少个基本事件，按照古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】解：（1）设该农场的水果重量的平均数为，则 （2）重量不小于克的水果有个，记为 其中重量不小于克的水果有个，记为 从中任取个，有 ，共种情况 至少有个水果的重量不小于克的有 ，共种情况 则至少有个水果的重量不小于克的概率 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 17．（15分）（1）证明见解析；（2） ． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出平面．在中根据中位线定理，证出，从而平面，结合面面垂直的判定定理，可得平面平面； （2）根据线面平行判定定理，得到平面，推出三棱锥的体积等于三棱锥的体积．再由面面垂直的性质证出点到平面的距离等于正的高，算出的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥的体积，即可得到三棱锥的体积． 【详解】（1）平面平面，平面平面，平面， 平面， 又中，、分别是、的中点， ，可得平面 平面，平面平面； （2），平面，平面， 平面， 因此上的点到平面的距离等于点到平面的距离， ， 取的中点，连接、，则， 平面，平面，，而 , 于是， 平面平面，平面平面， 由题意知 , 是正三角形，则,是正三角形， 点到平面的距离等于正的高，即为， 因此，三棱锥的体积． 18．（17分）(1) (2) 【分析】（1）先由已知及正弦定理得到，然后据（1）的条件得到，进一步可得到，最后使用余弦定理解出； （2）先由已知及是锐角三角形，得到，再对任意的构造满足题目条件且面积等于的，即可得到的面积的取值范围是. 【详解】（1）由及正弦定理得. 故，得. 所以，知. 记的外接圆半径为，则，且，故. 又有， 所以，即. 故， 解得. （2）我们已有，记的外接圆半径为，则. 是锐角三角形当且仅当，即，故的范围是. 又因为 . 故由的范围是，知的范围是，所以的范围是. 而，所以的面积的取值范围是. 19．（17分）(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据给定的性质，求出函数在的解析式，再分类讨论求出最大值. （2）根据给定的性质，求出函数的解析式，并分析函数性质作出图象，令，把函数的零点问题转化为一元二次方程实根分布求解. 【详解】（1）由具有“性质”，得对恒成立，则函数是上的偶函数， 当时，，， 则当时，；当时，， 所以当，最大值为；当时，最大值为. （2）函数具有“性质”，则，即， 而当时，，则当时，，， 于是，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，函数的图象如图， 令，显然当时，方程无解，当或时，方程有2个解， 当时，方程有3个解，当时，方程有4个解， 函数有8个零点，则在上有两个不等的实数根， 因此，解得， 所以的取值范围为. 数学 答案及评分标准 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 高二开学摸底考试卷（广东专用） 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( ______________ 1 3 ． ______________ 14 ． ______________ 15. （ 13 ）分 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 17 分） ) ( 24 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 17 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二开学摸底考试卷（广东专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围： 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可. 【详解】，则，且，解得， 则集合， 则 故选：B. 2．如果复数满足，那么复数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项代入条件，利用模的公式进行验证. 【详解】A.时，，故A错误； B.，则，故B错误； C. ，则，故C错误； D. ，则，故D正确. 故选：D 3．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】C 【解析】由线面的位置关系，面面平行与垂直的判断定理逐一判定、排除即可得到答案. 【详解】在中，若，，则或，故错误； 在中，若，，，则与相交或平行，故错误； 在中，若，，则由面面垂直的判断得到，故正确； 在中，由，，， 故或，故 错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运空间想象能力，属于基础题． 4．有一组样本数据：，，，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，，，2，那么这两组样本数据一定有相同的（    ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．极差 【答案】D 【分析】 根据众数、中位数、方差以及极差的定义，结合题意，即可判断和选择. 【详解】对A：假设，，中，有两个2，两个3，其它4个数据都不相同，且这8个数据平均数为，那么众数为和； 再添加一个2后，有三个2，故众数为2，众数发生改变，故A错误； 对B：假设，，分别为：，满足平均数为，其中位数为； 添加以后，其中位数为，中位数发生改变，故B错误； 对C：，，的平均数为，方差； 添加2以后，其平均数还是，方差，故方差发生改变； 对D：若是，，的最大值或最小值，因为其平均数为，故这组数据都是2，其极差为，添加2后，极差也是0； 若不是，，的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值没有改变，极值也不发生变化，故D正确. 故选：D. 5．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性和的符号，使用排除法可得. 【详解】的定义域为R， 因为 ，所以为偶函数，故CD错误； 又因为，，所以，故B错误. 故选：A 6．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得函数关于直线，且在上单调递增，在上单调递减，又，即得. 【详解】∵函数， ∴函数关于直线，且在上单调递增，在上单调递减， 又， ∴， ∴. 故选：B. 7．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可讨论时，可看出在上单调递增，而在上不是增函数，显然不合题意；时，可看出在上单调递减，从而得出，解出a的范围即可． 【详解】解：①时，在上是增函数； ∴在R上是增函数； 显然在上不是增函数； ∴的情况不存在； ②时，在上是减函数； ∴在R上是减函数； ∴，解得； 综上得，实数a的取值范围为． 故选：C． 8．如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 所以的外接圆的圆心为的中点，且， 设的中点为，连接，则，则平面， 设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上， 设，，外接球的半径为， 因为，所以， 即，又，则， 因为，所以 所以三棱锥外接球表面积的最大值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法： （1）棱长为的正方体的外接球半径为； （2）长方体的长，宽，高分别为，则其外接球的半径为； （3）直棱柱的高为，底面多边形的外接圆半径为，则其外接球的半径为. 2、 多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知向量，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，由条件可得，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为向量，，则， 且，则，解得，故A错误； 因为，，则，故B正确； 因为，则，故C正确； 因为，则，故D正确； 故选：BCD 10．若，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于选项A B C：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D：利用作差法判断即可. 【详解】对于选项A：若， 由基本不等式得， 即， 得， 故， 当且仅当时取等号； 所以选项A不正确； 对于选项B：若， ， ， 当且仅当且， 即时取等号， 所以选项B正确； 对于选项C：由， ， 即， 由基本不等式有： ， 当且仅当且， 即时取等号， 所以选项C正确； 对于选项D：， 又，得， 所以， 所以选项D正确； 故选：BCD. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 11．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（    ） A．三棱锥的体积是定值 B．过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形 C．存在唯一的点，使得 D．与平面所成的角为定值 【答案】AC 【分析】利用，结合的面积为定值，点到平面的距离为定值，可判断A；平面的基本性质作出面与的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线性质判断B；当为中点时，可得，进而判断C；到平面的距离一定，而长度随运动会变化，结合线面角定义判断D. 【详解】因为是线段上的动点，而且， 所以的面积为定值，又点到平面的距离为定值， ，所以三棱锥的体积是定值，A正确； 过作分别交，的延长线于，，连接，，如图， 为，的交点，为，的交点，所以截面为五边形，B错误； 在上运动，当时，，而为中点， 所以当为中点时，，故存在唯一的点使得，C正确； 由，平面，平面，则平面， 所以到平面的距离一定，而长度随运动会变化， 故与平面所成的角不为定值，D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到的面积为定值，从而得解. 3、 填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．某科技攻关青年团队共有人，他们的年龄分别是，，，，，，，，则这人年龄的分位数是 ． 【答案】 【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案. 【详解】把这个数据按从小到大的顺序排列可得：，，，，，，，， ，所以这人年龄的分位数是． 故答案为：． 13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接球的表面积为 平方分米． 【答案】 【分析】首先根据棱台的对称性得到外接球的球心所在位置，根据垂直关系列出方程组，求解方程组解得外接球半径，最后求出外接球面积即可. 【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为， 由棱台的性质可知：外接球的球心落在线段上， 设外接球的半径为，，则， 因为垂直于上下底面， 所以即， 所以即， 联立解得，, 所以该方斗的外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 14．在锐角中，角所对的边分别为为的面积，且，则的取值范围 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得，再根据同角关系式可得， ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得出，结合条件可得的取值范围，进而即得. 【详解】因为，且， 所以，即， 由余弦定理得：， 所以，又， 所以， 解得：或， 因为为锐角三角形， 所以，， 所以， 因为， 所以， 由正弦定理得： ， 因为为锐角三角形， 所以，即, 所以， 所以， 所以， 所以，， 故. 故答案为：. 4、 解答题（本大题共5个小题，共77分） 15．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)在上的表达式； (2)求方程f(x)＝的解． 【答案】(1);(2)∴x＝－或－或－或． 【详解】试题分析：解：(1)当x∈时，A＝1，＝－，T＝2π，ω＝1. 且f(x)＝sin(x＋φ)过点， 则＋φ＝π，φ＝. f(x)＝sin. 当－π≤x＜－时，－≤－x－≤， f＝sin， 而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称， 则f(x)＝f， 即f(x)＝sin＝－sin x，－π≤x＜－. ∴ (2)当－≤x≤时，≤x＋≤π， 由f(x)＝sin＝， 得x＋＝或，x＝－或. 当－π≤x＜－时，由f(x)＝－sin x＝，sin x＝－， 得x＝－或－. ∴x＝－或－或－或. 考点：三角函数的图像与解析式 点评：解决的关键是根据三角函数的性质来结合图像来得到参数的求解，同事解三角方程，属于基础题． 16．为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成六组进行统计，得到如图所示的统计图. （1）估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)； （2）从样本中重量不小于克的水果中任取个，求至少有个水果的重量不小于克的概率. 【答案】（1）18.45；（2）. 【分析】（1）取中间值与该组频数相乘，除以总数，即得平均数. （2）列出所有基本事件，找出所求事件包含多少个基本事件，按照古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】解：（1）设该农场的水果重量的平均数为，则 （2）重量不小于克的水果有个，记为 其中重量不小于克的水果有个，记为 从中任取个，有 ，共种情况 至少有个水果的重量不小于克的有 ，共种情况 则至少有个水果的重量不小于克的概率 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 17．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若是线段上一点，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出平面．在中根据中位线定理，证出，从而平面，结合面面垂直的判定定理，可得平面平面； （2）根据线面平行判定定理，得到平面，推出三棱锥的体积等于三棱锥的体积．再由面面垂直的性质证出点到平面的距离等于正的高，算出的面积，利用锥体体积公式算出三棱锥的体积，即可得到三棱锥的体积． 【详解】（1）平面平面，平面平面，平面， 平面， 又中，、分别是、的中点， ，可得平面 平面，平面平面； （2），平面，平面， 平面， 因此上的点到平面的距离等于点到平面的距离， ， 取的中点，连接、，则， 平面，平面，，而 , 于是， 平面平面，平面平面， 由题意知 , 是正三角形，则,是正三角形， 点到平面的距离等于正的高，即为， 因此，三棱锥的体积． 18．在中，角所对的边分别为，已知． (1)若的外接圆半径为，且，求； (2)若，求锐角的面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由已知及正弦定理得到，然后据（1）的条件得到，进一步可得到，最后使用余弦定理解出； （2）先由已知及是锐角三角形，得到，再对任意的构造满足题目条件且面积等于的，即可得到的面积的取值范围是. 【详解】（1）由及正弦定理得. 故，得. 所以，知. 记的外接圆半径为，则，且，故. 又有， 所以，即. 故， 解得. （2）我们已有，记的外接圆半径为，则. 是锐角三角形当且仅当，即，故的范围是. 又因为 . 故由的范围是，知的范围是，所以的范围是. 而，所以的面积的取值范围是. 19．如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”. (1)已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，.若函数有8个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据给定的性质，求出函数在的解析式，再分类讨论求出最大值. （2）根据给定的性质，求出函数的解析式，并分析函数性质作出图象，令，把函数的零点问题转化为一元二次方程实根分布求解. 【详解】（1）由具有“性质”，得对恒成立，则函数是上的偶函数， 当时，，， 则当时，；当时，， 所以当，最大值为；当时，最大值为. （2）函数具有“性质”，则，即， 而当时，，则当时，，， 于是，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，函数的图象如图， 令，显然当时，方程无解，当或时，方程有2个解， 当时，方程有3个解，当时，方程有4个解， 函数有8个零点，则在上有两个不等的实数根， 因此，解得， 所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$