12.4 整式的除法（2个知识点+6类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

12.4整式的除法 课程标准 学习目标 ①单项式除以单项式的运算法则； ②多项式除以单项式的运算法则. ①掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用； ②掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用. 知识点01 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 备注：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 【即学即练1】 计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 一种长方体零件体积为，底面积为，则零件的高为（     ） A． B． C． D． 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 备注：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【即学即练1】 计算（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 已知长方形的面积是，长是，则它的宽是（   ） A． B． C． D． 题型01 单项式除以单项式 【典例1】计算： ． 【变式1】计算： ． 【变式2】与的乘积是的单项式是 ． 【变式3】计算： ． 题型02 多项式除以单项式 【典例1】化简：． 【变式1】化简的结果（　　） A． B． C． D． 【变式2】计算：的结果为 ． 【变式3】先化简，后求值：，其中，． 题型03 由整式除法法则求字母的值 【典例1】xmyn÷x2y3＝xy，则有（　　） A．m＝2，n＝6 B．m＝3，n＝4 C．m＝2，n＝3 D．m＝3，n＝5 【变式1】已知28a2bm÷4anb2＝7b2，那么m、n的值为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2 【变式2】已知28a3bm÷（28anb2）＝b2，那么m，n的值分别为（　　） A．4，3 B．4，1 C．1，3 D．2，3 题型04 整式除法中错看问题 【典例1】小林同学把错抄为，抄错后算得的答案为，则正确答案为 ． 【变式1】马虎同学在计算时，由于粗心大意，把“÷”错写成“×”，计算后结果为，则 ． 【变式2】某同学在计算一个多项式除以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么原题正确的计算结果是多少？ 【变式3】小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值： ， ． (2)这道除法计算的正确结果是 ； 题型05 整式除法的应用 【典例1】长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（　　） A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1 【变式1】若长方形的面积是，长为2a，则这个长方形的周长是（ ） A． B． C． D．3 【变式2】已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a，则与这条边相邻的边的长度为______ 【变式3】一个三角形的面积为3xy﹣4y，一边长是2y，则这条边上的高为 　 　． 1．若，则括号里应填的单项式是（     ） A． B． C． D． 2．的结果是（     ） A． B． C． D． 3．一多项式除以，所得商式是，余式是，则这个多项式是（　　 ） A． B． C． D． 4．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．计算：（    ） A． B． C． D． 6．计算：（    ） A． B． C． D． 7．已知长方形的面积是，长是，则它的宽是（    ） A． B． C． D． 8．若多项式与单项式的乘积为，则多项式（    ） A． B． C． D． 9．若A与的积为，则A为（    ） A． B． C． D． 10．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（     ） A． B． C． D． 11． ． 12．光的速度每秒约米，地球和太阳的距离约是米，则太阳光从太阳射到地球需要 秒． 13．月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时．（结果用科学记数法表示） 14．火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 15．已知一个多项式乘以所得的结果是，那么这个多项式 ． 16．计算： ． 17．已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ． 18．小黄去水果店买元/斤的凤梨，共花费元，则他买了 斤凤梨． 19．计算： ． 20．计算： . 21．某市计划修建一个长为米，宽为米的矩形市民休闲广场． (1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 22．先化简，再求值：，其中，． 23．先化简，再求值，其中，． 24．先化简，再求值：，其中，． 25．先化简再求值：，其中． 26．先化简，后求值：，其中． 27．先化简，再求值：，其中． 28．已知一个长方体纸盒的体积为，若它的高为，宽为，求这个长方体纸盒的长． 29．先化简，再求值：，其中，． 30．先化简，再求值：，其中，． ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.4整式的除法 课程标准 学习目标 ①单项式除以单项式的运算法则； ②多项式除以单项式的运算法则. ①掌握单项式除以单项式的运算法则及其应用； ②掌握多项式除以单项式的运算法则及其应用. 知识点01 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 备注：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 【即学即练1】 计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算．先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可． 【详解】解： 故选：D． 【即学即练2】 一种长方体零件体积为，底面积为，则零件的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与单项式除法的应用，用体积除以单项式即可求解． 【详解】解： 故选D 知识点02 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 备注：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【即学即练1】 计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则进行即可；掌握多项式除以单项式法则是关键． 【详解】解： ； 故选：D． 【即学即练2】 已知长方形的面积是，长是，则它的宽是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是整式的除法的实际应用，根据长方形面积计算公式及整式的除法即可得解． 【详解】解：根据长方形面积计算公式可得，长方形的宽． 故选：． 题型01 单项式除以单项式 【典例1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】与的乘积是的单项式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故答案为：． 【变式3】计算： ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 【详解】， ， ， ， 故答案为：． 题型02 多项式除以单项式 【典例1】化简：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，合并同类项，多项式除以单项式，解题关键在于熟练掌握计算法则． 首先计算括号内的平方差公式和完全平方公式，然后合并同类项，然后计算多项式除以单项式． 【详解】 ． 【变式1】化简的结果（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握运算法则．根据多项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【变式2】计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式进行化简，然后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型03 由整式除法法则求字母的值 【典例1】xmyn÷x2y3＝xy，则有（　　） A．m＝2，n＝6 B．m＝3，n＝4 C．m＝2，n＝3 D．m＝3，n＝5 【分析】根据单项式相除的法则，列出方程即可得到答案． 【解答】解：∵xmyn÷x2y3＝xy， ∴m﹣2＝1且n﹣3＝1， ∴m＝3，n＝4， 故选：B． 【变式1】已知28a2bm÷4anb2＝7b2，那么m、n的值为（　　） A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2 【分析】根据单项式除单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于m、n的方程，解方程即可求出m，n的值． 【解答】解：∵28a2bm÷4anb2＝7b2， ∴2﹣n＝0，m﹣2＝2， 解得：m＝4，n＝2． 故选：A． 【变式2】已知28a3bm÷（28anb2）＝b2，那么m，n的值分别为（　　） A．4，3 B．4，1 C．1，3 D．2，3 【分析】将28a3bm÷（28anb2）依据整式的除法法则得到a3﹣nbm﹣2＝b2，易得3﹣n＝0，m﹣2＝2，即可求出m，n． 【解答】解：∵28a3bm÷（28anb2）＝（28÷28）a3﹣nbm﹣2＝b2， ∴， 解方程组得． 故选：A． 题型04 整式除法中错看问题 【典例1】小林同学把错抄为，抄错后算得的答案为，则正确答案为 ． 【答案】 【分析】将错就错根据=a求出M，代入正确式子计算． 【详解】解：由题意可得： ， ∴， ∴===， 故答案为：． 【变式1】马虎同学在计算时，由于粗心大意，把“÷”错写成“×”，计算后结果为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出A的值，再利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】由题意可得， 则． 故答案为：． 【变式2】某同学在计算一个多项式除以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么原题正确的计算结果是多少？ 【答案】 【分析】根据题意，求得原来的多项式，再根据多项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】解：∵一个多项式加上的结果是， ∴这个多项式． ∴原题正确的计算结果． 【变式3】小雅同学计算一道整式除法：，由于她把除号错写成了乘号，得到的结果为 (1)直接写出a、b的值： ， ． (2)这道除法计算的正确结果是 ； 【答案】(1)，；(2) 【分析】本题主要考查整式的乘除法运算，按照整式的乘除运算法则计算即可． （1）根据乘法运算得，再根据结果为 对应系数相等，即可求出答案； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解：由题意， ∴， 解得，， （2）由题意，得 题型05 整式除法的应用 【典例1】长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（　　） A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1 【分析】利用长方形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：由题意得： （2a2﹣4ab+2a）÷（2a）＝a﹣2b+1， ∴长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a﹣2b+1， 故选：C． 【变式1】若长方形的面积是，长为2a，则这个长方形的周长是（ ） A． B． C． D．3 【分析】先求出长方形的宽，再由整式的加法运算，即可求出答案． 【解析】解：根据题意得宽为：， 则这个长方形的周长为：．故选：A． 【变式2】已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a，则与这条边相邻的边的长度为______ 【分析】直接利用长方形面积等于长乘以宽，列式计算得出答案． 【解析】∵已知一个长方形的面积是，且它的一条边长为2a ∴与这条边相邻的边的长= 故答案为： 【变式3】一个三角形的面积为3xy﹣4y，一边长是2y，则这条边上的高为 　 　． 【分析】根据三角形的面积Sah，得到：h，代入计算即可． 【解答】解：根据题意得： 2（3xy﹣4y）÷（2y） ＝（6xy﹣8y）÷（2y） ＝3x﹣4， 故答案为：3x﹣4． 1．若，则括号里应填的单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式除法的应用．将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴括号内应填的单项式为． 故选：C． 2．的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式除以单项式的法则：多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，据此即可作答． 【详解】解： ， 故选：D． 3．一多项式除以，所得商式是，余式是，则这个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，设该多项式为A，根据题意列出等式即可求出答案． 【详解】解：设多项式为A， ∴ 故选：A． 4．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方计算，单项式除以单项式，先把原式变形为，进而得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 6．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式除以单项式，运用单项式除以单项式法则运算即可． 【详解】， 故选：C． 7．已知长方形的面积是，长是，则它的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是整式的除法的实际应用，解题关键是熟练掌握整式的除法． 根据长方形面积计算公式及整式的除法即可得解． 【详解】解：根据长方形面积计算公式可得，长方形的宽．故选：． 8．若多项式与单项式的乘积为，则多项式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意得出，结合多项式除以单项式的运算法则计算即可得解． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 9．若A与的积为，则A为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，直接列式利用多项式除以单项式进行计算即可． 【详解】解：∵A与的积为， ∴ ； 故选C 10．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式除以单项式的应用，解题的关键是掌握多项式除以单项式的法则．由长方形面积公式即可列出运算式，计算即得答案． 【详解】解：另一边长为： ， 故选：D． 11． ． 【答案】 【分析】根据单项式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12．光的速度每秒约米，地球和太阳的距离约是米，则太阳光从太阳射到地球需要 秒． 【答案】 【分析】根据时间=路程速度，列式计算即可． 【详解】解：秒． 故答案为：． 13．月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据时间路程速度，即可求解． 【详解】解：由题意得： 飞机飞行时间为：， 故答案为：． 14．火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍． 【答案】8 【分析】根据整式除法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：8． 15．已知一个多项式乘以所得的结果是，那么这个多项式 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据多项式除单项式乘的运算法则计算即可． 【详解】解：∵一个多项式乘以所得的结果是， ∴这个多项式， 故答案为：． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方以及单项式除以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可． 【详解】解： 故答案为：． 17．已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法，整式的乘除法，准确熟练地进行整式的运算是解题的关键． 根据题意可得，从而求出，然后再计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 故答案为：． 18．小黄去水果店买元/斤的凤梨，共花费元，则他买了 斤凤梨． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，多项式除以单项式，根据题意列出算式，再利用整式的除法法则计算可得． 【详解】解：， 故答案为：． 19．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据运算法则直接计算即可． 【详解】， 故答案为：． 20．计算： . 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可.将-1.8与9相除，再将根据同底数幂相除的法则进行计算，最后将所得结果相乘即可. 【详解】. 21．某市计划修建一个长为米，宽为米的矩形市民休闲广场． (1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)；(2)块 【分析】(1)根据面积公式，单项式乘以单项式法则计算即可． (2)根据总面积除以单块大理石的面积计算即可． 【详解】（1）根据题意，得（）． 答：广场的面积为． （2）∵单块大理石的面积是， ∴． 答：需要块大理石地砖． 22．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2024 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方差公式，完全平方公式对括号内进行化简，再利用多项式除以单项式进行计算，最后代入数值即可求得答案． 【详解】解：原式 当，时， 原式 23．先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，涉及多项式除以单项式，完全平方公式的运用，先根据多项式除以单项式，完全平方公式化简，再合并同类项，最后将，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，接着计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 25．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用平方差公式、完全平方差公式及单项乘以多项式的运算法则计算，再根据整式加减运算化简括号内的整式，最后利用多项式除以单项式求解即可得到化简结果，最后根据，恒等变形即可得到答案． 【详解】解： ， ， ． 26．先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代数式求值、平方差公式和完全平方公式、多项式除以单项式的法则，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 27．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整数运算的化简求值，平方差公式．熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用平方差公式，多项式乘多项式进行去括号，然后合并同类项，最后进行除法运算得到最简结果，最后将x，y的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 28．已知一个长方体纸盒的体积为，若它的高为，宽为，求这个长方体纸盒的长． 【答案】这个长方体纸盒的长为． 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据长方体的体积公式，变形计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：这个长方体纸盒的长为 ， ， ∴这个长方体纸盒的长为． 29．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；2024 【分析】此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式混合运算顺序及平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 先根据平方差公式及完全平方公式去小括号，合并同类项，再计算除法，最后代入字母的值计算． 【详解】解：原式 ， ∵x=2023,y=-1， ∴原式． 30．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先根据完全平方公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$