12.5 因式分解（3个知识点+5类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

12.5因式分解 课程标准 学习目标 ①掌握因式分解的基本方法： ②利用因式分解解决问题. 1.会用提公因式法和公式法分解因式； 2.利用因式分解化解求值. 知识点01 因式分解的定义及与整式乘法的关系 1、因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。 一个多项式→几个整式的积→因式分解 2、 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互逆运算。整式乘法的运算过程是将乘积形式化成和差形式而 因式分解的运算过程是将和差形式化成乘积形式； 因式分解的最终结果只能是整式积的形 式；每个因式都要分解到不能再分解为止；若出现相同因式的积的形式要写成幂的形式。 注意：（1）因式分解针对的是多项式，而不是单项式； （2）因式分解结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解要彻底。 【即学即练1】 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的定义以及因式分解遵循的基本原则．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解，遵循的原则：多项式是恒等变形；结果必须是积的形式；分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能在分解为止等． 根据因式分解的定义以及其所遵循的原则逐项判断即可． 【详解】解：A、运用平方差公式进行的因式分解，故是因式分解； B、右边不是积的形式，故不是因式分解； C、右边不是积的形式，故不是因式分解； D、右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选：A． 【即学即练2】 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴，∴，故选：D． 知识点02 公因式与提公因式法 1、公因式的定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 注意：(1)公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式； (2)善于发现较隐蔽的公因式，如：(x－y) 与 (y－x) 是一对相反数，但它们可以变形为相同的因式． 2、找最大公因式的一般步骤 (1)各项系数的最大公约数(2)各项都含有的相同字母(3)相同字母的最低次幂 3、提公因式法的定义 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提前出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法. 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=m(a+b+c)． 提公因式的实质是乘法分配律的逆用. 4、提公因式法的因式分解的步骤（找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号） (1) 确定最大公因式 (2) 确定提出公因式后的因式 (3) 将多项式写成因式相乘的形式 5、提公因式法需要注意的问题 (1)当多项式的第一项是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。 在提出“-”号时，多项式的各项都要变号 (2)某项与公因式相同时，该项所保留的是“1”，而不是“0” (3)多项式的各项公因式要注意提尽，即公因式为最大公因式 【即学即练1】 多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， 多项式的公因式是，故选：D． 【即学即练2】 因式分解： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查因式分解， （1）先提公因式，然后再根据平方差公式继续进行分解即可； （2）将原式转化为，然后提取即可； 解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】（1）解： ； （2） ． 知识点03 公式法 1、公式法的定义 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。 ①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 【提醒：1、用公式法进行因式分解要掌握两个公式的形式特点，2、找准里面a与b，套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式】 2、（1）能用平方差公式进行因式分解的多项式的结构特征：① 多项式有两项 ② 这两项符号相反 ③ 这两项分别可以化为一个数（或整式）的平方的形式 （2）能用完全平方公式进行因式分解的多项式的结构特征：① 多项式有三项 ② 两个平方项同号，都是正号或都是负号 ③另外一项为平方项底数乘积的2倍 3、运用公式法进行因式分解的一般步骤 （1）一提：如果多项式各项有公因式，先要提取公因式； （2）二用：如果多项式没有公因式，即尝试运用公式法或十字相乘法来分解； （3）三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能分解为止。 【提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，做题时要特别注意。另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【即学即练1】 下列各式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两个平方项，符号相反；能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：两个平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，由此即可判断． 【详解】解：A、，只能提公因式分解因式，故选项不符合题意； B、有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，故选项不符合题意； C、不能继续分解因式，故选项不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，故选项符合题意． 故选：D． 【即学即练2】 （1）因式分解：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式利用平方差公式分解即可； （2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 题型01 因式分解的定义及与整式法的关系 【典例1】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式”，逐项判断即可，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、，原式不是多项式，不是因式分解，不符合题意； C、，是因式分解，符合题意； D、，等号的右边不是积的形式，且等式不成立，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的定义．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断． 【详解】解：①，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，符合题意； ②，原变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； ③，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； ④，原变形是整式乘法，多项式乘多项式，不是因式分解，不符合题意， 综上所述，属于因式分解的有：①， 故选：A． 【变式2】已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解的应用，利用多项式乘多项式的法则，将展开，求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴； 故答案为：1． 题型02 公因式与提公因式法 【典例1】多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式因式分解法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 运用提公因式因式分解法进行求解． 【详解】解：系数的最大公约数是3，字母的公因式为， ∴多项式的公因式是， 故答案为：． 【变式1】把多项式分解因式，应提的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公因式的定义，一个多项式各项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：多项式的公因式为． 故选：D． 【变式2】下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据提公因式法逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； B、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； C、，不能用提公因式法因式分解，符合题意； D、，故能用提公因式法因式分解，不符合题意； 故选：C． 【变式3】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 题型03 公式法 【典例1】在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法分解因式的方法是解题的关键． 根据乘法公式，分解因式的概念“把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做分解因式”进行判定即可求解． 【详解】解：①，不能用公式法分解因式，不符合题意； ②，能用公式法分解因式，符合题意； ③，不能用公式法分解因式，不符合题意； ④，不能用公式法分解因式，不符合题意； ⑤，能用公式法分解因式，符合题意； 综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个，故选：A ． 【变式1】因式分解的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查因式分解： （1）先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可； （2）先提负号，再用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先用完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 题型04 因式分解在有理数简算中的应用 【典例1】利用乘法公式计算：． 【答案】100 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行简算即可．掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式1】计算： ． 【答案】199 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，正确理解用平方差公式因式分解是解题的关键．用平方差公式因式分解化简计算即可． 【详解】． 故答案为：199． 【变式2】计算∶ ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，把原式化为，再计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1；(2)80 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型05 因式分解的应用 【典例1】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =．故答案为：． 【变式1】农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（    ） A．6 B．10 C．3 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解．根据题意得出，再得出，即可解答． 【详解】解：∵鸡舍周长为10， ∴， ∵，即， ∴， ∴鸡舍的面积为6，故选：A． 【变式2】若，则代数式的值为 ． 【答案】81 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．先计算的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 【变式3】请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式即可解决． 【详解】解：， ∴当n为任意正整数时，能被8整除． 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，结合因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式，进行判断即可． 本题考查的是因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义． 【详解】解：A、最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解，故不符合题意； B、最后结果不是乘积的形式，不属于因式分解，故不符合题意； C、运用完全平方公式进行的因式分解，符合题意； D、，选项错误，不合题意； 故选：C． 2．把分解因式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式进行分解因式，根据的公因式是，则把分解因式，应提取的公因式是，即可作答． 【详解】解：∵的公因式是 ∴把分解因式，应提取的公因式是， 故选：B 3．若，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，正确找出公因式是解题关键．将提取公因式，进而将已知代入求值即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．已知多项式分解因式为，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义． 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：由多项式分解因式为，得 ． ，， 故选：D． 5．下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案． 【详解】解：∵， ∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵， ∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵，即不符合完全平方公式， ∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意； ∵， ∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 6．已知的三边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，由得，从而，由两边之和大于第三边可得，即，进而，故可得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴, , ∴． 又∵，即， ∴，即． ∴是等腰三角形． 故选：A． 7．运用因式分解计算：的结果为（     ） A．314 B．264 C．256 D．300 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可． 【详解】解： ．故选：A． 8．把因式分解得，则m的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘多项式，先求出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵ ， 又∵把因式分解得， ∴，故选：B． 9．下列各式中不能用平方差公式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 10．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式是解答的关键．利用完全平方公式和平方差公式进行逐项判断即可． 【详解】解：A、在实数范围内不能用公式法因式分解，符合题意； B、，在实数范围内能用完全平方公式因式分解，不符合题意； C、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； D、，在实数范围内能用平方差公式因式分解，不符合题意； 故选：A． 11．如果，，那么代数式的值是 ． 【答案】-64 【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式，然后将已知整体代入求值，即可． 【详解】解：= = ∵，， ∴原式=2×(-4)×8=-64，故答案是：-64． 12．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是，故答案为：． 13．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值也为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴，故答案为：． 14．若能分解为，则p为 ；为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式的乘法，因式分解，明确题意，求得p和q的值是解此题的关键． 将等式右边去括号整理即可得p和q的值，计算即可． 【详解】∵ ∵能分解为， ∴， ∴． 故答案为：2，． 15．将因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；直接提取公因式即可． 【详解】解：，故答案为：． 16．已知实数满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，提公因式因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将原式提公因式变形为，再将，整体代入计算，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 将，代入上式， 可得， ∴的值为，故答案为：． 17．若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴，解得．故答案为：． 18．若，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查分解因式的应用，先得到，然后代入合并，然后再提取公因式即可解题． 【详解】解：因为， 所以，故答案为：4． 19．若，，则代数式 ． 【答案】-36 【详解】解析： 20．已知a，b，c为的三边， 且满足则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，根据已知等式因式分解，得出或，即可求解． 【详解】解：∵ ∴，即，解得：或， ∴是是等腰三角形，故答案为：等腰． 21．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式3a，进而利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接提取公因式2，进而利用平方差公式、完全平方公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 22．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握利用平方差公式进行因式分解，综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可； （3）利用综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 23．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先提取公因式，再计算即可； （2）先把前面两个数提取公因式，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 24．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 【答案】(1)；(2)；(3)5或或1或 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法，解题的关键是： （1）模仿例题即可求解； （2）先提公因式法，然后模仿例题即可求解； （3）将常数进行分解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：原式， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴或或或 因此整数p的值可能为5或或1或． 25．【阅读理解】 以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组． 【问题解决】 (1)分解因式：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1)；(2)是等腰三角形 【分析】本题考查因式分解及因式分解的应用， （1）根据上述的分组分解法将原式进行因式分解即可； （2）先将原式进行因式分解，得：，根据题意可知，，即，即可得出结果；解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式，如果剩余的是四项或四项以上，考虑分组；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 26．下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 【答案】(1)A；(2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）根据提公因式法即可求解； （2）根据题意中的分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）解：，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了提公因式法进行因式分解：故选：A． （2）解： 27．利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)仿照例题分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1)；(2)；(3)12 【分析】本题考查配方法，因式分解的应用，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）配方法，进行因式分解即可； （2）先配方，根据完全平方的非负性，进行求解即可； （3）配方后，利用非负性进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 28．我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请尝试解决下列问题： (1)试用上述方法分解因式：． (2)已知，且，求． (3)我们可以通过“拆项”后再分组分解的方式对多项式进行因式分解．利用这样的思路，可以因式分解为____________________． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确理解题目所给的因式分解的方法，以及熟练掌握因式分解的方法和步骤． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）将原式改写为，再根据题目中分组分解法进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ，且， ， ； （3）解： ； 故答案为：． 29．如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，…因此4，12，20…都是“神秘数”． (1)设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ (2)在正整数中，两个连续奇数的平方差是4的倍数吗？为什么？（皆用因式分解的方法解答） 【答案】(1)“神秘数”是4的倍数．证明见解析；(2)两个连续的奇数的平方差是4的倍数．理由见解析 【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键． （1）运用平方差公式进行计算，进而判断即可； （2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可． 【详解】（1）解：“神秘数”是4的倍数．理由如下： ， ∴“神秘数”是4的倍数； （2）解：是，理由如下： 设两个连续的奇数为：， 则， ∴两个连续的奇数的平方差是4的倍数． ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.5因式分解 课程标准 学习目标 ①掌握因式分解的基本方法： ②利用因式分解解决问题. 1.会用提公因式法和公式法分解因式； 2.利用因式分解化解求值. 知识点01 因式分解的定义及与整式乘法的关系 1、因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为分解因式。 一个多项式→几个整式的积→因式分解 2、 因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互逆运算。整式乘法的运算过程是将乘积形式化成和差形式而 因式分解的运算过程是将和差形式化成乘积形式； 因式分解的最终结果只能是整式积的形 式；每个因式都要分解到不能再分解为止；若出现相同因式的积的形式要写成幂的形式。 注意：（1）因式分解针对的是多项式，而不是单项式； （2）因式分解结果仍是整式； （3）因式分解的结果必是一个积； （4）因式分解要彻底。 【即学即练1】 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 公因式与提公因式法 1、公因式的定义 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 注意：(1)公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式； (2)善于发现较隐蔽的公因式，如：(x－y) 与 (y－x) 是一对相反数，但它们可以变形为相同的因式． 2、找最大公因式的一般步骤 (1)各项系数的最大公约数(2)各项都含有的相同字母(3)相同字母的最低次幂 3、提公因式法的定义 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提前出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法. 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=m(a+b+c)． 提公因式的实质是乘法分配律的逆用. 4、提公因式法的因式分解的步骤（找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号） (1) 确定最大公因式 (2) 确定提出公因式后的因式 (3) 将多项式写成因式相乘的形式 5、提公因式法需要注意的问题 (1)当多项式的第一项是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数。 在提出“-”号时，多项式的各项都要变号 (2)某项与公因式相同时，该项所保留的是“1”，而不是“0” (3)多项式的各项公因式要注意提尽，即公因式为最大公因式 【即学即练1】 多项式的公因式是（     ） A． B． C． D． 【即学即练2】 因式分解： (1) (2) 知识点03 公式法 1、公式法的定义 将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。 ①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 【提醒：1、用公式法进行因式分解要掌握两个公式的形式特点，2、找准里面a与b，套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式】 2、（1）能用平方差公式进行因式分解的多项式的结构特征：① 多项式有两项 ② 这两项符号相反 ③ 这两项分别可以化为一个数（或整式）的平方的形式 （2）能用完全平方公式进行因式分解的多项式的结构特征：① 多项式有三项 ② 两个平方项同号，都是正号或都是负号 ③另外一项为平方项底数乘积的2倍 3、运用公式法进行因式分解的一般步骤 （1）一提：如果多项式各项有公因式，先要提取公因式； （2）二用：如果多项式没有公因式，即尝试运用公式法或十字相乘法来分解； （3）三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能分解为止。 【提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，做题时要特别注意。另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】 【即学即练1】 下列各式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】 （1）因式分解：； （2）因式分解：． 题型01 因式分解的定义及与整式法的关系 【典例1】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．②④ D．①②③④ 【变式2】已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 题型02 公因式与提公因式法 【典例1】多项式的公因式是 ． 【变式1】把多项式分解因式，应提的公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】下列代数式中，不能用提公因式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】因式分解： ． 题型03 公式法 【典例1】在因式①；②；③；④；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】因式分解的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】因式分解： ． 【变式3】分解因式： (1)． (2)． (3)． 题型04 因式分解在有理数简算中的应用 【典例1】利用乘法公式计算：． 【变式1】计算： ． 【变式2】计算∶ ． 【变式3】用简便方法计算： (1)； (2)． 题型05 因式分解的应用 【典例1】若，则 ． 【变式1】农场里有一个长方形鸡舍，长和宽分别为a，b，其周长为10，且，则鸡舍的面积为（    ） A．6 B．10 C．3 D．8 【变式2】若，则代数式的值为 ． 【变式3】请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 1．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．把分解因式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 4．已知多项式分解因式为，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 6．已知的三边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．运用因式分解计算：的结果为（     ） A．314 B．264 C．256 D．300 8．把因式分解得，则m的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．下列各式中不能用平方差公式分解的是（     ） A． B． C． D． 10．下列多项式在实数范围内不能用公式法因式分解的是（     ） A． B． C． D． 11．如果，，那么代数式的值是 ． 12．将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ． 13．若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个一次因式为，则的值为 ． 14．若能分解为，则p为 ；为 ． 15．将因式分解的结果为 ． 16．已知实数满足，，则的值为 ． 17．若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 18．若，则的值是 ． 19．若，，则代数式 ． 20．已知a，b，c为的三边， 且满足则是 三角形． 21．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 22．因式分解： (1)； (2)； (3)． 23．简便计算： (1)； (2)． 24．阅读与思考 整式乘法与因式分解是方向相反的变形， 即由，得． 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解， 例如：将分解因式． 解：因为，所以． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)分解因式：． (3)若可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值． 25．【阅读理解】 以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组． 【问题解决】 (1)分解因式：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 26．下面是小宇同学的学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． “拆项法”因式分解 在多项式乘法运算中，经过整理，化简，将几个同类项合并为一项或相互抵消为零．反过来，同样可以对某些多项式恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项(拆项)，我们称此方法为“拆项法”．利用这种方法可以对多项式进行因式分解． 【例题分析】因式分解： 解：原式 …………………………第一步 ………………………………第二步 ………………………………第三步 ……………………………………第四步 任务： (1)上述材料中，多项式的变形过程中第三步到第四步运用了______进行因式分解： A．提公因式法        B．平方差公式         C．完全平方公式           D．整式乘法 (2)请类比材料中的例题分析，将多项式 因式分解． 27．利用公式法，可以将一些形如（）的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)仿照例题分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 28．我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解，下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法．请尝试解决下列问题： (1)试用上述方法分解因式：． (2)已知，且，求． (3)我们可以通过“拆项”后再分组分解的方式对多项式进行因式分解．利用这样的思路，可以因式分解为____________________． 29．如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，…因此4，12，20…都是“神秘数”． (1)设两个连续偶数为和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ (2)在正整数中，两个连续奇数的平方差是4的倍数吗？为什么？（皆用因式分解的方法解答） ( 24 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$