专题19几何综合运用【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题19 几何综合运用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1几何综合题 （5年5考） 2024·北京：旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质 2023·北京：等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质 2022·北京：全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质 2021·北京：全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质 2020·北京：中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理 本题型是中考的几何压轴大题，是对学生所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力的全面考察，知识点范围广，综合性强，难度系数较大，既能考察基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，区分度较大，同学们在复习时，要注重总结常考的几何模型，举一反三。 考点1几何综合题 1．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.----    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2）； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 3．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 (1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； (2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明； （2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． （2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下： 延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM， ∵，CM＝CB， ∴ 垂直平分BM， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴ ，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ，即， ∵， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键． 4．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1），，理由见详解；（2），理由见详解． 【分析】（1）由题意及旋转的性质易得，，然后可证，进而问题可求解； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，由（1）可得，，易证，进而可得，然后可得，最后根据相似三角形的性质可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵点M为BC的中点， ∴， ∵， ∴； （2）证明：，理由如下： 过点E作EH⊥AB，垂足为点Q，交BC于点H，如图所示： ∴， 由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键． 5．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）；（2）图见解析，，证明见解析． 【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得，，，再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理即可得； （2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理、等量代换即可得证． 【详解】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点 ∴DE为的中位线，且 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴四边形DECF为矩形 ∴ ∴ 则在中，； （2）过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG ∵ ∴， ∵D是AB的中点 ∴ 在和中， ∴ ∴， 又∵ ∴DF是线段EG的垂直平分线 ∴ ∵， ∴ 在中，由勾股定理得： ∴．    【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． - 6．（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)15 (2)①；②，见解析 【分析】（1）利用正方形性质得到，利用等边三角形性质得到，进而得到，利用对称的性质得到，再利用计算求解，即可解题； （2）①利用正方形性质得到，，利用对称的性质得到，，进而得到，设，分别利用等腰三角形性质得到，，再根据计算求解，即可解题； ②过点作交于点，连接，理由直角三角形性质和正方形性质证明，进而得到，再理由勾股定理求解，即可解题， 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， 点C关于直线的对称点为F， ， ， 故答案为：． （2）解：①四边形是正方形， ，， 点C关于直线的对称点为F， ，， ， 设， ， ， ； ②解：数量关系为：， 理由如下： 过点作交于点，连接， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了正方形性质，等边三角形性质，对称的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． 7．（2024·北京平谷·二模）如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．       (1)依题意补全图形； (2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、三角形中位线定理及三角函数的应用， （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，过M作于点H，先证明，再证明得出，证明得出，通过三角函数证明． 【详解】（1）补全图形如下： （2）， 证明：连接， 过M作于点H， 在中，，F为中点， ∴， 在中，，G为中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为中点，M为中点， ，   ∵点G为中点，M为中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 8．（2024·北京丰台·二模）如图，等边中，过点在的右侧作射线，设．点与点关于直线对称，连接，且分别交射线于点．    (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)．证明见解析 【分析】（1）根据要求画出图形； （2）利用对称求解； （3）连接，在上截取，连接，证明，推出，再证明，可得结论． 【详解】（1）依题意补全图形．    （2）解：点与点关于直线对称， ． ， ， ． ． ． （3）猜想：． 证明：连接，在上截取，连接．    由（2）可知． ， 是等边三角形． ． 是等边三角形， ． ． ． ．    点与点关于直线对称， ． ， ． ． ， ． 【点睛】本题考查作图、轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．（2024·北京大兴·二模）如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】此题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质等知识，准确作图、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）按照题意补全图形即可； （2）连接．证明，即可得到结论； （3）连接并延长到F，使得，连接．证明为的中位线．则．证明．由．得到．则．证明，，由即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意补全图形如下： （2）证明：连接． ∵点D关于直线的对称点为E，， ，． ． ， ． ． ， ． ． （3）用等式表示线段与的数量关系是：． 证明：连接并延长到F，使得，连接． ∴点N是中点． ∵点D关于直线的对称点为E，与交于点M， ∴点M是中点． ∴为的中位线． ． ∵点N是中点， ． ，， ． ，． 又， ． ， ． ． ． ． ，， ． ． 10．（2024·北京·二模）如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)图见解析，，理由见解析 【分析】（1）①由平行线的定义结合角平分线的定义得出，再由等角对等边即可得证；②由平行线的性质得出，推出，由旋转的性质可得：，，求出，证明，得出，再由为的中点得出，即可得证； （2）根据题意补全图形即可，在上截取，连接，证明得出，结合平行线的性质得出，由题意得出，在上截取，由（1）可得：，求出，证明，得出，推出垂直平分，即，从而得出，最后由平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， 平分， ， ， ； ②，证明如下： 由题意得：， ， ， 由旋转的性质可得：，， ， ，即， ， ， ， 为的中点， ， ； （2）解：补全图形如图所示：     ，，理由如下： 在上截取，连接， 由（1）可得， ，， 平分， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在上截取， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11．（2024·北京顺义·二模）如图，中，，，D为上一点（不与点A、C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接．并延长到点F，使，作射线，交射线于点G． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)在射线上取点H（不与点G重合），使．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意描述作图即可； （2）根据旋转可得，证明，，根据平行线分线段成比例和得出，即可证明； （3）过点作交于点，证明，得出，从而证明，再根据且，得出，，，从而证明，即可求解； 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）． 证明：过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， 即， ， ， ， ， ， 12．（2024·北京通州·一模）如图，将线段绕点A逆时针旋转度（）得到线段，连结，点N是的中点，点D，E分别在线段，的延长线上，且．    (1)________（用含的代数式表示）； (2)连结，点F为的中点，连接，，． ①依题意补全图形； ②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了根据条件画图，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）根据旋转和题意即可得出； （2）①根据题意画出图形即可； ②延长至点，使，连接．证明四边形为平行四边形，证明，算出，，结合三角形中位线定理即可求解； 【详解】（1）∵， 由旋转得， ∴， ∵， ∴． （2）①补全图形如图： ②延长至点，使，连接．    ∵点为线段中点， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 又， ， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∵为中点，为中点， ∴是中位线， ， ∴． 13．（2024·北京朝阳·一模）在和中，，，点在的内部，连接，和，设． (1)当时，如图1，请求出值， (2)当时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当，，三点共线，且为中点时，请求出的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意得到和都是等边三角形，证明，根据全等三角形的性质解答； （2）①根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质计算； ②作于，设，证明，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算即可． 【详解】（1）解：， 理由如下：如图1，，，， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，即； （2）①值发生变化，， ，，， 和都是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ，即， ； ②作于， 设，则， 点为中点， ， 由勾股定理得，， ，， ， ，即， 解得，， ， 则． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14．（2024·北京·三模）在中，，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明： (3)若点D满足，当时，请直接写出的最值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于点，证明，根据平行线分线段成比例得出，进而根据勾股定理可得，进而根据正切的定义，即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，延长至，使得，连接，证明，，根据勾股定理以及全等三角形的性质，即可得出结论； （3）以为斜边向下作等腰直角三角形，，以为圆心，为半径作圆，是优弧上的一点，根据题意得出在上，当在上时取得最小值，最小值为，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，设，则， ∴， ∴ （2），理由如下： 如图所示，过点作，交的延长线于点，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ， 是等腰三角形， ，， 点为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图所示，以为斜边向下作等腰，， 以为圆心，为半径作圆，是优弧上的一点， ∴， ∵， ∴在上， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当在上时取得最小值，最小值为． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键． 15．（2024·北京房山·一模）在△中，，，是上的动点(不与点 重合)，且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接． (1)依题意补全图形； (2)直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． （1）根据要求作出图形； （2）证明，可得． 【详解】（1）解：依题意补全图形，如图． ； （2）解：结论：． 理由：过点作于点，设，交于点． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16．（2024·北京西城·一模）在 中， ，于点是射线上的动点 (不与点 A， B重合)， 点 E 在射线上且满足． ，过点D 作直线的垂线交直线于点F， 垂足为点 G， 直线交射线于点P．      (1)如图1， 若点D在线段上， 当 时，求 的大小； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系， 并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求得，再根据等腰三角形性质与三我内角和定理求得，然后由余角性质得出，即可求解． （2）作交于点 Q，利用相似三角形的性质求得，证明，得到，由勾股定理得，即可由，得出结论． 【详解】（1）解∶如图4．    ∵在中，， ∴，，． ∵于点 M， ∵， ∵于点 G， ∴， ∴． （2）解：补全图形，如图5．    证明∶ 如图4， 作交于点 Q． ∵， ∴ ∴， ∵BM=CM， AM⊥BC， ∴， 于点 G， ∴   即． ∴ 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线有关的角的计算，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 17．（2024·北京·模拟预测）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 【答案】(1)补全图形见详解，90． (2)①证明见详解，②， 【分析】（1）根据题意画出图形，由对称的性质得到，再由即可求得答案； （2）①连接，过点B作于点H，设，由，可得A、E、B、F四点共圆，得出，推出，再根据解直角三角形即可得出答案；②由题意可得点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，过点O作于H，交优弧于点，连接，当时，即点G位于点时，的面积最大，利用解直角三角形可得面积最大值；过点E作于K，则，，，，得出，再由，即可求得． 【详解】（1）解：补全图形如图所示∶ ∵，， ∴， ∵边关于对称的线段为， ∴， ∴， 故答案为：90． （2）①， 理由如下：如图，连接，过点B作于点H， ∵边关于对称的线段为， ∴，，， 设， ∵， ∴A、E、B、F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中， ． ， 即， ∴， ∵， ∴， ②由①知：， ∵， ∴点G在以为弦，所对的圆周角为的圆弧上运动，如图，过点O作于H，交优弧于点，连接， 当时，即点G位于点时，底边上的高最大，故的面积最大， ∵， ∴，即垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴, ∴， ∴， ∴面积最大值是． 此时，点E的位置如图所示，过点E作于K， 则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查对称的性质、四点共圆、同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是熟练对称的性质以及圆与三角形的结合，应用的变化的思维寻找最值． 18．（2024·北京海淀·一模）在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，． (1)如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)连接，依题意补全图2．若，求的大小． 【答案】(1)，证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证明是等边三角形，由等边三角形的性质与直角三角形的性质得，再根据正切三角函数定义求解即可得出结论． （2）方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2，先证明，再证明，得．从而得出．即可求解． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设．先证明，再证明．得．即可求解． 【详解】（1）解：线段与的数量关系：． 证明：连接，如图1． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ． ． ． 是等边三角形． ，． 中，，， ． 依题意，得，点在上． ． ． ． ． ． 在中，． ． ． （2）解：依题意补全图2，如图． 方法一：延长至，使，连接，，，，，如图2． ， ． ， 是等边三角形． ，． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ， ． ， ． ． ， ． ，， ． ． ． ． 方法二：如图3，取中点，连接，，，，设． 点，关于直线对称， 直线是线段的垂直平分线． ，． ． ． ， ． ． ，， ． ． ． 由（1）可得． 为中点， ． ． ，，， ． ． ． ，， ． ． ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正切三角函数，旋转的性质，全等三角形的判定与性质．掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正切三角函数等知识是解题的关键． 19．（2024·北京西城·三模）在中，，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)依据题意，补全图形； (2)求的度数； (3)作于点E，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理得，则，即可得到．进一步即可得到答案； （3）作，交于点F．证明．再证明，得到，，，，即可得到结论． 【详解】（1）补全图形，如图所示： （2）根据题意可知，， ， ， ， ， ． （3），证明如下： 如图，作，交于点F， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ． 20．（2024·北京朝阳·二模）在中，，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)依据题意，补全图形； (2)求的度数； (3)作于点E，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图形见解析； (2)； (3)，证明见解析． 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理得，则，即可得到．进一步即可得到答案； （3）作，交于点F．证明．再证明，得到，，，即可得到结论． 【详解】（1）补全图形，如图所示： （2）解：根据题意，可知，． ∴．                            ∵， ∴． ∴． ∴ （3）． 证明：作，交于点F． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴．                        ∵， ∴． ∴．                        ∴，． ∴．                            ∴ ． 21．（2024·北京·二模）在中，，，M为的中点，D为线段上的动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，点D在线段上，求证：； (2)如图2，点D在线段上，连接，取的中点F，连接并延长交的延长线于点G，若，用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转性质和斜边的中线等于斜边的一半可证为等边三角形，进而可证，即可证明结论； （2）在上截取，连接，利用证明，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可证由平行线的性质可证进而可证明结论； 【详解】（1）证明：∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段， ， ， ， ∵M为的中点， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ； （2），                      证明：如图，在上截取，连接， ∵F是的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线； 22．（2024·北京昌平·二模）如图，在中，，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，G为的中点，连接，． (1)如图1，当点D在边上时， ①根据题意，补全图1； ②直接写出：__________； (2)如图2，当点D在内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)①补图见解析； ② (2)仍成立，证明见解析 【分析】（1）①根据的外角为，得到点在直线上，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作的垂直平分线，与交于点，即可作出图形； ②设，，再表示出、即可解题； （2）延长，取，连接，证明，得到，再根据中位线定理得到，最后利用等量代换即可解题． 【详解】（1）解：①根据题意补全图形如下： ②设，， ，， ， ， ； （2）解：成立， 延长，取，连接， ，， ， ，， ， ， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理是本题解题的关键． 23．（2024·北京丰台·一模）在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点； (2)如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）依题意补全图形．连接，截取，连接交于N．根据证明得，，证明得，由三角形中位线可证，进而可得． 【详解】（1）∵，点D是中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴点G是的中点． （2）依题意补全图形． ． 证明：连接，截取，连接交于N． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴于N． ∵点D是中点， ∴， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 24．（2024·北京石景山·一模）在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接.将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)延长到点，使得，连接交于点，依题意补全图2 ．若点是的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题考查等边三角形的判断和性质、平行直线的判定、全等三角形的判定和性质和直角三角形的性质， （1）延长交于点，连接，先证明是等边三角形，得到点在线段的垂直平分线上，进一步证明，得到，最后证得； （2）延长交的延长线于点，连接，先证明，得到，进一步得到，在中，，可得，进一步证得． 【详解】（1）证明：延长交于点，连接，如下图所示， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上． ∴． ∴． ∴． （2）解：依题意补全图，如下图所示，延长交的延长线于点，连接， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴ ∴． ∴． 在中，，可得． 在中，，可得． ∴． ∵， ∴． 25．（2024·北京朝阳·一模）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，连接交于点． (1)依据题意，补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意连线即可； （2）连接，与相交于点，根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的的判定和性质可得，根据平行线的判定得出，根据平行线分线段成比例定理即可证明； （3）根据勾股定理可得，根据等边三角形的性质可得，根据锐角三角函数可求得，推得，即可求解． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：连接，与相交于点，如图： ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， 在中，， ∵是等边三角形，， ∴， ， ∴， 则， 则， ∴， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形等，解题的关键是根据全等三角形的性质和平行线的判定推得． 26．（2024·北京东城·一模）在中，，，点D，E是边上的点，，连接．过点D作的垂线，过点E作的垂线，两垂线交于点F．连接交于点G． (1)如图1，当点D与点B重合时，直接写出与之间的数量关系； (2)如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时， ①补全图形； ②与在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，直接用等式表示线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；②仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等等： （1）由三线合一定理可得，再由，得到三点共线，即可得到； （2）①根据题意画图即可；②过点A作于H，则，先证明，再证明，进而证明，得到，则，即； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，由勾股定理得，即可得到． 【详解】（1）解：∵在中，，，点D与点B重合，， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②仍然成立，证明如下： 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 27．（2024·北京大兴·一模）在中，，，点是线段上一个动点（不与点，重合），，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形见解析 (2) (3)；证明见解析 【分析】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，勾股定理等： （1）根据题目叙述作图即可； （2）由三角形外角性质得，根据可得结论； （3）过点作，交于点，交的延长线于点．证明，得出，再证明，，在中，由勾股定理得出，得出，由，可得出结论 【详解】（1）补全图形如下： （2）解：，， ． ． ， ． （3）解：用等式表示线段，，之间的数量关系是． 证明：过点作，交于点，交的延长线于点． ， ． ， ． ． 又， ． ． ，， ． ． ． 在中， ， ∴, ∴ ． ， ． ，， ． 28．（2024·北京·一模）如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，满足，与交于点F． (1)求的度数； (2)以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②若，求k的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②k的值为2 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结果； （2）①根据题意画出图形即可；②首先先作辅助线，得到，然后再作辅助线得到，证明出来，再作出辅助线得到，最后推出是等边三角形，即可得到结果． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：①依题意补全图形如图1所示； ， ②如图2中，由（1）知， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长到P，使得，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的综合题，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确找到全等三角形． 29．（2024·北京东城·一模）已知：在中，，．    (1)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，的平分线交于点，连接． 求证：； 求证：； (2)在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结，请补全图形，若，求． 【答案】(1)见解析；见解析； (2)图见解析，． 【分析】（）线段绕点逆时针旋转得到， 得，，故，且，知，而，，平分，有，，从而，可得，，即知，， 又，得； 过点作于点，由知：，由，，得，即可得，故； （）以为顶点，为一边作，设交于，可得，根据将线段绕点顺时针旋转得到得，， 可求出，，证明，即得，知是的垂直平分线，可得 ，，而是等边三角形，有 ，再证，得，即可得． 【详解】（1）证明：如图：    ∵将线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，且， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作于点，如图：    由知：， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）补全图形如下：    以为顶点，为一边作，设交于， ∵，， ∴， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 30．（2024·北京海淀·二模）在中，，，点D在边上（不与点A，C重合），连接，平移线段，使点B移到点C，得到线段，连接． (1)在图1中补全图形，若，求证：与互余； (2)连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形见详解，证明见详解 (2)，证明见详解 【分析】（1）根据题意补全图形，设，则，由三角形三角和定理以及等边对等角可得出，由平移可知，，，即可得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，即可证明． （2）先连接，再连接，交于点O，延长至F，使，连接，由(1)可得，四边形为平行四边形，则，再证明，根据全等的性质可得出，，由角平分线的定义可得出，等量代换得到，根据等角对等边得出，根据三角三角形三线合一的性质即可得出，即可证明四边形为菱形，由菱形的性质可得出，即可得出，由三角形内角和定理得出，，即可得出，等量代换即可得出． 【详解】（1）解：补全图形，如图1， 设，则， ∵， ∴， 由平移可知，，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互余． （2）与之间的数量关系为． 连接，交于点O，延长至F，使，连接，如图2， 由(1)可得，四边形为平行四边形，则． ∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形 ∴， ∴， 在中， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定以及性质，菱形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握这些定理以及性质是解题的关键． 31．（2024·北京东城·二模）如图，在中，，．点是边上的动点，，点关于直线的对称点为，连接．直线与直线交于点． (1)补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、等边对等角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据题意，补全图形即可； （2）连接，则，由轴对称的性质结合题意得出，从而得出，求出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案； （3）延长至，使，连接，证明，得出，即可得解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： ； （2）解：如图，连接， ，， ， 点关于直线的对称点为， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，延长至，使，连接， ，， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ． 32．（2024·北京东城·一模）如图，在正方形中，将边所在直线绕点逆时针旋转度得到直线，作点关于直线的对称点，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)延长分别交直线于点，试探究：线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点在线段上时，；点在线段延长线上时，；点在线段延长线上时，，见解析 【分析】本题考查四边形综合题，熟知轴对称作图及性质，根据题意分类讨论是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接即可； （2）连接，根据轴对称性质可得，，可求出，根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和可求出； （3）分三种情况，当交线段、线段延长线上、线段延长线上于点时，分别可证，进而可得，即可求证． 【详解】（1）解：如图，作点关于直线的对称点，连接； （2）连接， 点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ； （3）当交线段于点时， 延长至，使，连接， ， ， 又， 在和中 ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， 即； 当交线段延长线于点时，在延长线上截取，连接， 由同理可证， ， ， ， ， ， 即； 当交线段延长线于点时，在上截取，连接， 由题意可知，， ， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 又， ， ， ， 即． 33．（2024·北京房山·二模）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q．    (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质得，，根据轴对称得，，，根据三角形的外角性质及角的和差可得根据同角的余角相等等量代换得出，得为等腰直角三角形，得， （3）过点C作交延长线于点H，证，，根据全等三角形的性质可得，，在中，，得结论． 【详解】（1）依题意补全图形，如图．    （2）解：四边形是正方形， ，． 点B，F是关于直线对称， ，，． ． ． ， ． ， ． ，即． （3）． 证明：过点C作交延长线于点H．     ． ， ． ． ， ． ． ． ． 在中，． ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 34．（2024·北京平谷·一模）如图，在中，，，点D为边中点，于E，作的平分线交于点F，过点E作的垂线交于点G，交于点H．    (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)判断线段、与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）通过证明，得到，根据题意易得，由，可得为等腰直角三角形，于是； （3）过点作于点，得为的中位线，则，根据三角形内角和定理求得，于是，进而，以此得出，即，在中，利用勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：补全图形如图所示．    （2）证明：平分， ， ， ， 在和中， ，，， ， ， 在中，，， 为等腰直角三角形， ， 又，即， 为等腰直角三角形， ． （3）解：，证明如下： 如图，过点作于点，    则为等腰直角三角形， ， ， 又为的中点， 为的中位线， ， ， ， 平分， ， ， ，即， ， ， ，即， 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾股定理解决问题． 35．（2024·北京顺义·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G． (1)求的度数； (2)在线段EG上取点H，使得，连接，． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性质，熟练的掌握它们的性质和判定，作出合理的辅助线是解决问题的关键． （1）根据题意可得，，，，由此可证，得到，再根据，，即可得到． （2）依据题意补充图形后，过点作交于点，根据，，可得到、为等腰直角三角形，再证，即可得到线段与的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示， 为正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． ． （2）解：① 如图所示，在线段上取点H，使得，连接，， ② 过点作交于点，如图所示， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ，即， （第一问已证）， ， 又 ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 36．（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 【答案】(1)①；②，，理由见详解 (2)补全图形见详解，②的结论还成立，证明见详解 【分析】（1）①证明，得出，则可得出结论； ②连接，，证明，得出，，则可得出结论； （2）根据题意补全图形，证明，得出，，则可得出结论． 【详解】（1）解：（1）①， 为的中点， ， ，， ， ， ， ； ②，， 理由：连接，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）补全图形如下，②的结论还成立， 证明：连接，， 同①可证，， 设，则， ，， ， ，而，， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 几何综合运用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1几何综合题 （5年5考） 2024·北京：旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质 2023·北京：等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质 2022·北京：全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质 2021·北京：全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质 2020·北京：中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理 本题型是中考的几何压轴大题，是对学生所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力的全面考察，知识点范围广，综合性强，难度系数较大，既能考察基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，区分度较大，同学们在复习时，要注重总结常考的几何模型，举一反三。 考点1几何综合题 1．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.----    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 2．（2023·北京·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 3．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得 (1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：； (2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 4．（2021·北京·中考真题）如图，在中，为的中点，点在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （2）过点作的垂线，交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 5．（2020·北京·中考真题）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF． （1）如图1，当E是线段AC的中点时，设，求EF的长（用含的式子表示）； （2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．    - 6．（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 7．（2024·北京平谷·二模）如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．       (1)依题意补全图形； (2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 8．（2024·北京丰台·二模）如图，等边中，过点在的右侧作射线，设．点与点关于直线对称，连接，且分别交射线于点．    (1)依题意补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 9．（2024·北京大兴·二模）如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 10．（2024·北京·二模）如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．    (1)①直接写出线段与之间的数量关系； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系． 11．（2024·北京顺义·二模）如图，中，，，D为上一点（不与点A、C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接．并延长到点F，使，作射线，交射线于点G． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)在射线上取点H（不与点G重合），使．连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 12．（2024·北京通州·一模）如图，将线段绕点A逆时针旋转度（）得到线段，连结，点N是的中点，点D，E分别在线段，的延长线上，且．    (1)________（用含的代数式表示）； (2)连结，点F为的中点，连接，，． ①依题意补全图形； ②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 13．（2024·北京朝阳·一模）在和中，，，点在的内部，连接，和，设． (1)当时，如图1，请求出值， (2)当时： ①如图2，（1）中的k值是否发生变化，如无变化；如有变化，请求出k值并说明理由； ②如图3，当，，三点共线，且为中点时，请求出的值． 14．（2024·北京·三模）在中，，，点D为平面内一点． (1)如图1，若点D在线段上，且，求； (2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明： (3)若点D满足，当时，请直接写出的最值． 15．（2024·北京房山·一模）在△中，，，是上的动点(不与点 重合)，且，连接，将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作交射线于点，连接，在上取一点，使，连接． (1)依题意补全图形； (2)直接写出的大小，并证明． 16．（2024·北京西城·一模）在 中， ，于点是射线上的动点 (不与点 A， B重合)， 点 E 在射线上且满足． ，过点D 作直线的垂线交直线于点F， 垂足为点 G， 直线交射线于点P．      (1)如图1， 若点D在线段上， 当 时，求 的大小； (2)如图2，若点D在线段的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段，，的数量关系， 并证明． 17．（2024·北京·模拟预测）在等腰中，，，是边中点，是线段上一动点（可与点，重合），边关于对称的线段为，连接． (1)如图1若，依题意补全图形，此时__________°． (2)如图2依题意补全图后，延长，交射线于点． ①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． ②若，面积的最大值是__________，此时的长是__________． 18．（2024·北京海淀·一模）在中．，，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．点D关于直线的对称点为E．连接，． (1)如图1，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明； (2)连接，依题意补全图2．若，求的大小． 19．（2024·北京西城·三模）在中，，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)依据题意，补全图形； (2)求的度数； (3)作于点E，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 20．（2024·北京朝阳·二模）在中，，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)依据题意，补全图形； (2)求的度数； (3)作于点E，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 21．（2024·北京·二模）在中，，，M为的中点，D为线段上的动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，点D在线段上，求证：； (2)如图2，点D在线段上，连接，取的中点F，连接并延长交的延长线于点G，若，用等式表示线段的数量关系，并证明． 22．（2024·北京昌平·二模）如图，在中，，点D是平面内任意一点（不与点A，B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，G为的中点，连接，． (1)如图1，当点D在边上时， ①根据题意，补全图1； ②直接写出：__________； (2)如图2，当点D在内部时，（1）问中的比值还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 23．（2024·北京丰台·一模）在中，，，点D是中点，点E是线段上一点，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点E与点D重合时，线段，交于点G，求证：点G是的中点； (2)如图2，当点E在线段上时（不与点B，D重合），若点H是的中点，作射线交于点M，补全图形，直接写出的大小，并证明． 24．（2024·北京石景山·一模）在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接.将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，求证：； (2)延长到点，使得，连接交于点，依题意补全图2 ．若点是的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 25．（2024·北京朝阳·一模）如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，连接交于点． (1)依据题意，补全图形； (2)求证：； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系． 26．（2024·北京东城·一模）在中，，，点D，E是边上的点，，连接．过点D作的垂线，过点E作的垂线，两垂线交于点F．连接交于点G． (1)如图1，当点D与点B重合时，直接写出与之间的数量关系； (2)如图2，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时， ①补全图形； ②与在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，直接用等式表示线段之间的数量关系． 27．（2024·北京大兴·一模）在中，，，点是线段上一个动点（不与点，重合），，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28．（2024·北京·一模）如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，满足，与交于点F． (1)求的度数； (2)以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②若，求k的值． 29．（2024·北京东城·一模）已知：在中，，．    (1)如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，的平分线交于点，连接． 求证：； 求证：； (2)在图中，若将线段绕点顺时针旋转得到，连结、，连结，请补全图形，若，求． 30．（2024·北京海淀·二模）在中，，，点D在边上（不与点A，C重合），连接，平移线段，使点B移到点C，得到线段，连接． (1)在图1中补全图形，若，求证：与互余； (2)连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明． 31．（2024·北京东城·二模）如图，在中，，．点是边上的动点，，点关于直线的对称点为，连接．直线与直线交于点． (1)补全图形； (2)求的大小； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 32．（2024·北京东城·一模）如图，在正方形中，将边所在直线绕点逆时针旋转度得到直线，作点关于直线的对称点，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)延长分别交直线于点，试探究：线段和之间的数量关系，并证明． 33．（2024·北京房山·二模）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q．    (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 34．（2024·北京平谷·一模）如图，在中，，，点D为边中点，于E，作的平分线交于点F，过点E作的垂线交于点G，交于点H．    (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)判断线段、与之间的数量关系，并证明． 35．（2024·北京顺义·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在，的延长线上，且，的延长线交于点G． (1)求的度数； (2)在线段EG上取点H，使得，连接，． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 36．（2024·北京门头沟·一模）如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接． (1)如图1，当点在线段上时． ①用等式表示与的数量关系； ②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 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