专题18函数综合应用【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题18 函数综合应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1函数关系判断 （5年3考） 2020·北京、2021·北京：列函数关系式判断变量函数关系 2022·北京：函数图象与函数的关系 函数综合应用作为中考必考题，根据实际问题列出函数关系式判断函数关系，能够结合实际问题中的数据，描绘函数图象，结合函数图象确定函数解析式，利用函数图象及性质解决问题，对不熟悉函数表达式可以通过转化解答。 考点2 函数与实际问题 （5年4考） 2024·北京：函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量 2023·北京：函数图象，描绘函数图象、函数图象信息分析 2022·北京：二次函数的应用，待定系数法求函数关系式 2020·北京：二次函数的性质、一次函数的性质、函数的最值问题 考点1函数关系判断 1. （2020·北京·中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ） - A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】B 【分析】设水面高度为 注水时间为分钟，根据题意写出与的函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：设水面高度为 注水时间为分钟， 则由题意得： 所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系， 故选B． 【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键． 2. （2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项． 【详解】解：由题意得： ，整理得：， ， ∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系； 故选A． 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键． 3. （2022·北京·中考真题）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定． 【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示； ③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为， 则矩形的面积为：， 故③不可以利用该图象表示； 故可以利用该图象表示的有：①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 考点2 函数与实际问题 4. （2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)1.0 (2)见详解 (3)1.2，8.5 【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设V与的函数关系式为：，由表格数据得：，则可求，代入即可求解； （2）画与之间的关系图象时，描点，连线即可，画与的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可； （3）①当时，，由图象可知高度差；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为． 【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为：， 由表格数据得：， 解得：， ∴， ∴当时，， ∴； （2）解：如图所示，即为所画图像， （3）解：①当时，，由图象可知高度差， 故答案为：1.2； ②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为， 故答案为：． 5. （2023·北京·中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；    结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）< 【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可； （Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小； （1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可； （2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990． 【详解】（Ⅰ）表格如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 √ 0.989 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ 0.988 0.990 √ 0.990 √ 0.990 √ （Ⅱ）函数图象如下：    由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小； （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量， 19-7.7=11.3， 即可节水约11.3个单位质量； （2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990， 第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键． 6. （2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】(1)23.20 m； (2) 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． （2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 7. （2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ． （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 1 综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象． （3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ． 【答案】（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案； （2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像； （3）根据函数图像和性质，当时，函数有最大值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，在函数中， ∵, ∴函数在中，随的增大而减小； ∵， ∴对称轴为：， ∴在中，随的增大而减小； 综合上述，在中，随的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小； （2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图： （3）由（2）可知，当时，随的增大而增大，无最大值； 由（1）可知在中，随的增大而减小； ∴在中，有 当时，， ∴m的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值． 8. （2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 【答案】D 【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系； 故选：D． 9. （2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意， 则①②符合题意， 故选：A． 10. （2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①是的反比例函数，故题不符合题意； 是的正比例函数，故②不符合题意； ③，是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 11. （2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 12. （2024·北京丰台·二模）如图，在平面直角坐标系中 ，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． 通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后可判断． 【详解】解：①：当时，或，故①错误； ②：由图象可知，当时，有最小值，故②正确； ③：将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，故③正确； ④：令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④错误； ∴正确的有②③， 故选：B． 13. （2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由图象可得， 当时，或，故①错误； 当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵ ∴点M在一次函数的图象上， 如图所示， 由图象可得，有3个交点 ∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误； ∵函数经过点 ∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④． 故选：C． 14. （2024·北京·三模）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象与性质，若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，取为中点，则，若连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，数形结合即可得到答案．分析出的几何意义是解答问题的关键． 【详解】解：若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，为中点，则， 连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，如图所示： 由过原点的直线的倾斜程度和直线与正半轴夹角大小有关， ， 关于，，大小关系是， 故选：B． 15. （2024·北京丰台·二模）某实验室在10℃~12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在10℃~12℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示： x 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 1.0 y1 1.00 1.38 1.69 2.06 2.12 2.04 1.88 1.31 y2 1.00 1.77 2.07 2.04 1.60 1.31 0.97 0.23 设营养素用量为x毫克（），10℃温度下幼苗生长速度为毫米/天，12℃温度下幼苗生长速度为毫米/天． (1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为_______毫米/天； (2)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（，），并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，回答下列问题： ①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；（结果保留小数点后两位）； ②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为______（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． （1）根据表格信息解答即可； （2）根据表格信息描点作图即可； （3）根据图象信息解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为毫米/天； （2）解：如图所示： （3）解：由图象可得：在12℃温度下，使用约毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快； 由图象可得：当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为； 16. （2024·北京石景山·二模）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； (3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 【答案】(1)见详解 (2)5.5；66.0 (3)> 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答． （2）结合图象以及题干“某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可． （3）相比较：某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，以及结合图象，进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，得与x的函数图象，如图所示： （2）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象 ∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）； 故答案为：5.5；66.0． （3）解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近， ∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则 故答案为：>． 17. （2024·北京朝阳·二模）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 【答案】(1)，，； (2)①2.2；②见解析； (3)1.9． 【分析】（1）由函数的定义可得答案； （2）①如图，当时，则是的中点，此时重合，过作交于，交于，证明，，，再进一步解答可得答案；②先描点，再用光滑的曲线连接即可； （3）结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数； （2）①如图，当时，而，， ∴是的中点， ∴， 此时重合， 过作交于，交于，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②描点画图如下：    （3）由函数图象可得：当时，； 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例的应用，三角形的中位线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 18. （2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；见解析 (2)①；②或 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； 补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 19. （2024·北京西城·二模）已知角，探究与角的关系． 两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案， 方案一：如图，点在以点为圆心，1为半径的上，，设的度数为．作于点，则线段① 的长度即为的值． 方案二：用函数的值近似代替的值．计算函数的值，并在平面直角坐标系中描出坐标为的点． 两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到）． 若记为，否则记为． 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 0 ② 1 0 或    根据以上信息，解决下列问题： (1)①为 ，②为 ； (2)补全表中的或； (3)画出关于的函数图象，并写出的近似值（精确到）， 【答案】(1)； (2)； (3)图像见解析； 【分析】本题考查了正弦的定义，特殊的直角三角函数值，描点法画出函数图象，求函数值，实数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）由判断即可； （3）根据图示的点作图，把代入计算即可． 【详解】（1）在中， ①处应填； ②处应填 故答案为：；． （2）根据题意若记为，否则记为， ， 表格中空白的两处依次填和； （3）    把代入，得 20. （2024·北京平谷·二模）商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： (1)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点；     (2)据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） (3)结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)六五折 【分析】（）根据表格，描出其余各点，再用平滑曲线连接起来即可； （）根据（）中的图形即可判断求解； （）根据表格数据得出A商品八折时的销售涨幅，再根据这个数据对照表格即可求解； 本题考查了函数的图象及应用，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：由图可知，随的增大涨幅变化很大，随的增大涨幅比较平缓， ∴商品是必需品， 故答案为：； （3）解：由图象可知商品八折时，即时的值约为，而当的值约为时，值约为，所以商品打六五折． 21. （2024·北京大兴·二模）综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为． a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到： 无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到： 无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到： 无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表： x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14 y3（cm3） 754 1562.5 2000 1687.5 1000 312.5 56 如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x，y3），并用平滑曲线连接这些点，得到了函数y3＝x（30−2x）2（1≤x≤14）的图象．    根据以上信息，解决下列问题： (1)当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______； (2)当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值； (3)下列推断合理的是______（填序号）； ①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； ②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于； ③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm． (4)当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______． 【答案】(1)100 (2)cm (3)② (4)400 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把x的值代入函数解析式计算即可； （2）把函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据函数图象和性质分别进行分析即可得到答案； （4）由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即，再代入的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）当剪去小正方形的边长x为10cm时， 故答案为：100； （2）解：∵，， 当时，取最大值，最大值为， 即当无盖纸盒的侧面积取最大值时，剪去小正方形的边长x的值为； （3）①∵，， ∴当时，随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； 故①不合理， ②由的图象可知，当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于，故②合理； ③由的图象可知，当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x除了10cm，还有一个值在1和2之间． 故③不合理； 故选：②； （4）由图象可知，当无盖纸盒的体积为时，即， 此时， 故答案为：400． 22. （2024·北京海淀·二模）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 【答案】，作图见详解，不能，（1），（2）等于 【分析】本题主要考查表格信息与函数图象的关系，理解表格信息，掌握函数图象的绘制方法，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1），根据水解率的表格即可求解；，根据表格信息描点即可，结合图象分析即可； （2）根据表格信息可得，时间为时，水解率为，由此即可求解； （3）根据菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到可得时间，结合表格信息即可求解． 【详解】解：：根据水解率的大小可得，菌剂添加量为时最佳， 故答案为：； ：根据表格信息，描点，作函数图像得， 时间的变化情况为：每次增加量为小时；水解率的变化情况：，，，，，，，，， ∴随着时间的增加，水解率的增加量逐渐减小， ∴当水解时间为时，生活垃圾水解率不能超过， 故答案为：不能； （1）根据表格信息可知，时间为时，水解率为， ∴，即； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时， ∴， ∴当菌剂添加量为时，水解小时的水解率为，即等于， 故答案为：等于． 23. （2024·北京·二模）下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间时 0 2 4 6 8 10 12 温度 6 1 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1)在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2)求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3)某种植物在气温以下持续时间超过小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 【答案】(1)见解析 (2)最高气温为 ，最低气温为 (3)需要 【分析】本题考查描点法画函数图象，待定系数法，根据图象获取信息，一次函数与二次函数的应用等知识，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）根据题意，描点连线即可； （2）运用待定系数法求函数解析式，根据图象即可得出最值； （3）求出气温以下持续时间即可得解． 【详解】（1）解：依题意描点连线，绘图如下： （2）当时， 依题意可知点是此时抛物线的顶点， 设此时解析式为： ∵5时至12时，y与t近似满足函数关系． ∴， ∴此时解析式为：， 令，得：， 由图可知：最高气温为 ，最低气温为 ， （3）当时，y与t近似满足一次函数关系， 设此时解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， 此时解析式为：， 令，解得：， 当时， 令，解得：， ∴当时，，即气温在以下， ∴气温以下持续时间为：， ∵， ∴， ∴该植物次日需要采取防霜措施． 故答案为：需要． 24. （2024·北京东城·二模）如图，在等边中，，点是的中点，点是边上一个动点，连接，．设，两点间的距离为，． 小明根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了与的几组对应值： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5 4.6 4.3 4.1 4.2 4.6 5.1 5.6 6.2 6.8 的值为 （保留一位小数）； (2)在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题（保留一位小数）： ①当时，两点间的距离约为 ； ②当时，两点间的距离约为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①或；② 【分析】本题考查了等边三角形的性质、画函数图象、三角形中位线定理、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）当时，则，由等边三角形的性质结合勾股定理得出，由三角形中位线定理即可得出，从而即可得出答案； （2）根据表格描点连线即可得出函数图象； （3）①由函数图象即可得出答案；②画出函数，与原函数的交点即为所求． 【详解】（1）解：当时，如图： ， 则， 为的中点， 是等边三角形， ， ， 点是的中点， 是的中位线， ， ， ； （2）解：画出图象如图所示： ； （3）解： ①由图象可得：当时，两点间的距离约为或； ②如图： 当时，两点间的距离约为． 25. （2024·北京房山·二模）小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值． 其中的值为______； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)4 (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查函数图象与性质： （1）由分母不能为零，即可得出自变量的取值范围； （2）把代入则可求出的值； （3）①根据描点，连线画出函数图象；②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，故可得结论 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：4； （3）（3）①描点，连线得， ②观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点， 故答案为：． 26. （2024·北京顺义·二模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15      25 35 45 55 65 y                0                          (1)通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； (3)小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)44 【分析】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象； （2）结合函数图象找到时，的值即可； （3）结合函数图象找到时，的值，再作差即可； 【详解】（1）解：函数的图象如下： （2）解：根据（1）中图象可得：当时，， 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：根据（1）中图象可得：当时，或， ， 故答案为：（答案不唯一）； 27. （2024·北京门头沟·二模）医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间x（小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量（微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量（微克），记录部分实验数据如下： x 0 0.20 0.40 1.00 1.53 2.26 2.52 3.38 4.53 5.44 … 0 0.68 1.36 3.40 3.21 2.77 2.65 2.31 1.92 1.65 … 0 0.18 0.36 9.00 5.03 2.26 1.70 0.66 0.19 0.07 … 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；    (2)如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位） (3)据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见解析 (2)5.6；0.5或2.1 (3)甲，1.5 【分析】本题考查了函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． （1）先根据对应x和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可； （2）观察图象，分别求出当时， 、的值，然后求出、的差即可； 当每毫升血液中含药量相等时，即，、交点所对应的x即为两位病人大约服药时间； （3）求出当时，两个函数图像与交点的横坐标，即可求出每毫升血液中含药量不少于2微克的时间，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：如图，根据对应x和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．    （2）解∶当时，在图象时找到，， ∴， 当每毫升血液中含药量相等时，即，在图象上找到、交点所对应的x即为两位病人大约服药时间，即x的值约为或， 故答案为：5.6；0.5或2.1； （3）解：当时，所对应的x的值约为0.7，4， ∴甲种药物持续的时间为 同理乙种药物持续的时间为， ∵， ∴每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中甲种药的药效持续时间较长，药效大约相差1.5小时， 故答案为：甲，1.5． 28. （2024·北京·一模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到距离地面处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为，（单位：），科研人员收集了，随时间x （单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示． (1)根据，随的变化规律，从 ① ；② （）；③中，选择适当的函数模型，分别求出，满足的函数关系式； (2)当时，小钢球和无人机的高度差最大是 ． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）利用待定系数法即可求出解析式， （）由题意得，再根据二次函数求最值即可； 本题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握函数图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）设关于的函数关系式为， 将点，的坐标代入得 ， 解得， ∴关于的函数关系式为 设关于的函数关系式为 将点，，坐标代入，得 解得 ， ∴关于的函数关系式为； （2）由（）得，， ∴， ∴当时，小钢球和无人机的高度差最大是， 故答案为：． 29. （2024·北京石景山·二模）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出） (1)当时， ；当时， ； (2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？ 【答案】(1) (2)该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系． （1）当时，根据若每份售价不超过10元，每天可销售400份”，列关系式即可； 当时，根据“若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份”，列关系式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得：当时，； 当时，． 即． 故答案为：； （2）当时，， 当时，，解得：（舍去）， 由（1）知，， 当时，， 解得：， 答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元． 30. （2024·北京丰台·一模）一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t天（），当日每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元． t 1 2 5 8 10 12 14 16 18 20 (1)根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元； (2)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作t的函数，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)3，14 【分析】本题考查从函数图像获取信息； （1）由表格可得，第8天每千克水果的收益为 （2）在平面直角坐标系中描点，再用平滑曲线连接这些点即可； （3）根据每千克水果的收益为，由函数图象可得答案． 【详解】（1）解：由表格可得：第8天每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元 ∴第8天每千克水果的收益为 （2）解：如图， （3）解：每千克水果的收益为，由函数图象可得，将水果保鲜存储第3天至第14天时，出售每千克水果所获得的收益超过4元 31. （2024·北京平谷·一模）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在至气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（） 呼吸作用耗氧速率（） (1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； (2)结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查了函数的应用，描点并作出函数图象是解题的关键． （1）描点并用光滑的曲线连接起来即可； （2）①根据图象，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大时对应的温度最适合草莓生长；②根据图象作答即可． 【详解】（1）解：描点及图象如图所示： （2）①由图象可知，当时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距最大， 故答案为：； ②由图象可知，当或时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率． 32. （2024·北京门头沟·一模）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求h 关 于d 的函数表达式； (4)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4)能 【分析】（1）用描点法还画出抛物线图象即可； （2）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值； （3）用待定系数法求解二次函数解析式即可； （4）令，求解，，然后作差看是否符合定义即可． 本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键． 【详解】（1）解：①建立如图所示的平面直角坐标系， ②根据表中数据描点， 水平距离米 0 2 4 6 8 垂直高度米 4 8 8 ③用平滑的曲线连接， 所画图象如图所示：    （2）解：观察图象可得：运动员滑行过程中距离地面的最大高度为米， 故答案为：； （3）解：由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入得：， 解得：， ； （4）解：能，理由见详解 令，即， 解得：， 令，即， 解得：， ， ， ， 该运动员能完成空中动作． 故答案为：能． 33. （2024·北京大兴·一模）某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 【答案】(1)②，① (2)①不能；理由见解析；② 【分析】本题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可知：顶点坐标，，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，利用关于对称轴的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，求出下边缘抛物线为：； （2）①根据，将代入上边缘抛物线的函数解析式得出，即可求解； ②当点和点重合时，有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，有最大值，；所以． 【详解】（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：， ∵， 将其代入可得：，解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为：， 解：∵关于对称轴的对称点为：， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到， ∴下边缘抛物线为：， 故答案为：②，①． （2）①不能，理由如下， 依题意， 将代入上边缘抛物线的函数解析式得 ∴绿化带不全在喷头口的喷水区域内， ∴洒水车不能浇灌到整个绿化带； ②解：设灌溉车到绿化带的距离为， 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点和点重合时，有最小值，此时； 当上边缘抛物线过点时，有最大值， ，． 令，解得：或， 结合图像可知： 的最大值为：； ∴． 故答案为：． 34. （2024·北京石景山·一模）某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为 （单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00 1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）； (3)当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见详解； (2)答案不唯一，如， (3)答案不唯一，如 【分析】本题考查了一次函数的应用，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键． （1）先根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可． （2）分别根据所求果树高度在图上水平划线，与、交点的横坐标即为生长时间． （3）当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间． 【详解】（1）解：如图，根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可． （2）解：当时，在图上找到约为， 当时，在图上找到约为，两年后即时，约为5.98． 故答案为，（答案不唯一）． （3）解：当甲、乙两种果树的平均高度相等时，即=，在图上找到、交点所对应的即为生长时间，即约为． 故答案为（答案不唯一）． 35. （2024·北京房山·一模）如图，点是半圆的直径上一动点，点是半圆内部的一定点，作射线 交于点，连接．已知，设的长度为，的长度为，的长度为．（当点与点A重合时，的值为）． 小山根据学习函数的经验，对函数，随自变量的变化而变化的规律进行探究．对于点在上的不同位置，画图、测量，得到了，，的几组值，如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.32 4.91 5.78 6.93 8.08 8.81 9.18 9.37 9.48 9.55 9.60 9.02 7.86 6.63 5.46 4.79 5.00 5.73 6.64 7.61 8.60 9.60 (1)在同一平面直角坐标系中，小山已画出函数的图象，请你画出函数的图象； (2)结合函数图象，解决问题： ① 当的长度为时，则的长度约为 （结果保留小数点后一位）． ② 当为等腰三角形时，则的长度约为 （结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)见详解 (2)① ； ② ，， 【分析】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用描点法画出图象即可； （2）当时，从图象上找出对应函数的函数值即可； （3）图中寻找长关于x的函数：直线与两个函数的交点的横坐标，以及与的交点的横坐标即可． 【详解】（1）解：函数图象如图示： （2）①：当时，由图像可知， 故答案为9.2． ②当时，即，观察两个函数图像交点的横坐标即为长，由图象得 ； 当时，即，画出函数图象，如图示： 观察图像即为直线与函数图像交点，故； 当时，即，观察图像即为直线与函数图像交点，故． 故答案为：，，． 36. （2024·北京通州·一模）某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    【答案】(1) (2)见详解 (3)①（答案不唯一，介于）；②（答案不唯一，介于） 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意并掌握描点作图的方法是解题的关键． （1）根据题意和举例的计算方法求出和的值即可； （2）将表格中数据对描点并连线即可； （3）①根据图象作答即可； ②时对应的值即为答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴当时，； 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）描点并作图如图所示：    （3）①由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值最大； ②由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值，之后利润开始降低． 故答案为：，． 37. （2024·北京顺义·一模）为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下： 衣物类别P含量 浸泡时长 甲类 乙类 0 80 79 2 37 32 4 31 25 6 29 21 8 28 18 10 27 17 12 27 16 (1)设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的．点，，并画出函数，的图象； (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为______（精确到）； (3)根据衣物中P的含量（单位：）将衣物分为A级（含量）、B级（含量）和C类（含量）．若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____（精确到）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)乙； 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息： （1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：由函数图象可知当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为， 故答案为：； （3）解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，甲含P的最低量大于20，乙的最低含量可以小于20， ∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙， 观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡， 故答案为：乙；． 38. （2024·北京西城·一模）如图，点O为边长为1的等边三角形的外心． 线段经过点O，交边于点P， 交边于点Q． 若 ，下表给出了x，，的一些数据 (近似值精确到)． x 1 1 (1)补全表格； (2)在同一平面直角坐标系中描出了部分点．请补全表格中数据的对应点，并分别画出与关于x的函数图象； (3)结合函数图象，解决下列问题： ①当是等腰三角形时，关于x的函数图象上的对应点记为，请在x轴上标出横坐标为a的点； ②当取最大值时，x的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出此时点Q在点C处，从而得出，即可得出答案； （2）根据解析（1）得出的数据，先描点，再连线即可； （3）①连接并延长交于点D，连接，根据等边三角形的性质求出，当是等腰三角形时，，根据，证明为等边三角形，解直角三角形求出，，在函数图象上描出该点即可； ②根据函数图象，得出取最大值时x的值即可． 【详解】（1）解：当时，点P为的中点， ∵点O为边长为1的等边三角形的外心， ∴此时点Q在点C处，如图所示： ∵为等边三角形，点P为的中点，点Q在点C处， ∴， ∴； 填报如下： x 1 1 （2）解：如图所示： （3）解：①连接并延长交于点D，连接，如图所示： ∵为等边三角形，点O为外心， ∴，，，， ∴，， ∴， 当是等腰三角形时，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴此时在关于x的函数图象上标出点，如图所示： ②根据函数图象可知，函数的最大值为，此时或． 39. （2024·北京东城·一模）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出击球点的高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则______（填“”，“”或“”）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）令中，求出的值即可（或由表格信息直接得出）； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，，再比较即可． 【详解】（1）当时，， 故击球点的高度为； （2）由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 过点， ， 解得， 抛物线的解析式为：； （3）第一次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， 第二次练习时，当时，． 解得，（舍去）， ， ， ， 故答案为：． 40. （2024·北京朝阳·一模）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． (1)写出表中的值； (2)根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； (3)假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 【答案】(1) (2)①图见解析；② (3)不能 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键． （1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可； （2）①描点并连线即可； ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．在这个过程中每分钟，水温升高，从而求出每增加分钟水上升的温度，据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少； （3）由表1可知，的水从加热到需要分，此时离出门还剩（分）；根据表2，计算水温从降到需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论． 【详解】（1）解：在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升， （）， ∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升， ∴， ∴． （2）解：①补全水温与时间的函数图象如图所示： ②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到． 在这个过程中每分钟，水温升高，则每1分钟水温升高（）， 由此得， 解得， （分）， 根据表2的数据可知，经过分后水温降到了， ∴当时，． 故答案为：； （3）解：由表1可知，的水从加热到需要分，（分）， 由表2可知，水温从降到需要（分）， ∵，且电源已关闭， ∴出门前，他不能喝到低于的水． 故答案为：不能． 41. （2024·北京海淀·一模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)，7 (3) 【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案； （2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案； （3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案． 【详解】（1）表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 对于方式二，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 故答案为：，． （2）由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标， 即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； 故答案为：，7． （3）该有声读物的听书时长不超过， 选择方式一只需打卡1天， 选择方式二需打卡3天， t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键． 42. （2024·北京·一模）如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，N、C之间的乡镇公路长度为千米，M、D之间的乡镇公路长度为千米．为了发展乡镇经济，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究 (1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表： x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5 (2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点； (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ ②如图3，有四个城镇M、R、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，使得S沿公路到M、R、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)①C、D之间（含C、D两点）②点D处 【分析】本题考查一次函数实际问题应用． （1）当时，，求出（千米），再令时，计算出，利用，求出，继而得到当时，； （2）将（1）中求得的数值和表中结合，再在平面直角坐标系中标出，连接各点即可得到； （3）①由图形可知，若物流基地修建在两点之外，则距离会大于， 故此得到答案；②由图3可知，D、E段上离点P，的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大，再往点以上，到P，的距离之和会变大，故此分析得到答案． 【详解】（1）解：∵A、C之间的距离为2千米，A、T之间的距离为x千米、T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米， ∵当时，，即（千米）， ∴当时，T位于中点处， 此时（千米）； ∵当时，，即（千米）； ∴当时，T位于D处， （千米）； 故答案为：8.5，6.5； （2）解：根据表中坐标画出如下函数图象： ； （3）解：①由图形可知，若物流基地修建在两点之外，则距离会大于， 故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应修建在C、D之间（含C、D两点）， 故答案为：C、D之间（含C、D两点）； ②由①可知，若要使物流基地T沿公路到M、R两个城镇的距离之和最小，物流基地T应修建在C、D之间（含C、D两点）， 由图3可知，D、E段上离点P，的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大，再往点以上，到P，的距离之和会变大， 故答案为：点D处． 43. （2024·北京·一模）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 23.5 20 14.5 7 … （克） 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；    (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足一次函数（）．则 ， ， ； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】(1)见详解 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，分别求出当时的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意，作图如下．    （2）解：由题意，场景的图象是抛物线的一部分，与之间近似满足函数关系． 又点，在函数图象上， ． 解得：． 场景函数关系式为． 对于场景的图象是直线的一部分，与之间近似满足函数关系． 又，在函数图象上， ． 解得：． 场景函数关系式为． ∴，，． （3）解：由题意，当时， 场景中，， 解得：（舍）， 即：， 场景中，， 解得：， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 函数综合应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1函数关系判断 （5年3考） 2020·北京、2021·北京：列函数关系式判断变量函数关系 2022·北京：函数图象与函数的关系 函数综合应用作为中考必考题，根据实际问题列出函数关系式判断函数关系，能够结合实际问题中的数据，描绘函数图象，结合函数图象确定函数解析式，利用函数图象及性质解决问题，对不熟悉函数表达式可以通过转化解答。 考点2 函数与实际问题 （5年4考） 2024·北京：函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量 2023·北京：函数图象，描绘函数图象、函数图象信息分析 2022·北京：二次函数的应用，待定系数法求函数关系式 2020·北京：二次函数的性质、一次函数的性质、函数的最值问题 考点1函数关系判断 1. （2020·北京·中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（    ） - A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 2. （2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 3. （2022·北京·中考真题）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 考点2 函数与实际问题 4. （2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下， 当1号杯和2号杯中都有mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：cm）和2号杯的水面高度（单位：cm），部分数据如下： /mL 0 40 100 200 300 400 500 /cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 /cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）． 5. （2023·北京·中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下． 每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为0.990 方案一：采用一次清洗的方式． 结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990． 方案二：采用两次清洗的方式． 记第一次用水量为个单位质量，第二次用水量为个单位质量，总用水量为个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下： 11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5 11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5 C 0.990 0.989 0.990 0.990 0.990 0.990 0.990 0.988 0.990 0.990 0.990 对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容． （Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”； （Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量和总用水量之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象；    结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）； （2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）． 6. （2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 7. （2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数．下面是小云对其探究的过程，请补充完整： （1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而 ． （2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 0 1 综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象． （3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数的图象有两个交点，则的最大值是 ． 8. （2024·北京·三模）已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（    ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数 9. （2024·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10. （2024·北京西城·二模）下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 11. （2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12. （2024·北京丰台·二模）如图，在平面直角坐标系中 ，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13. （2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 14. （2024·北京·三模）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 15. （2024·北京丰台·二模）某实验室在10℃~12℃温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同．现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在10℃~12℃范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度始终不变．经过进一步实验，获得了10℃和12℃温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如下表所示： x 0 0.1 0.2 0.4 0.6 0.7 0.8 1.0 y1 1.00 1.38 1.69 2.06 2.12 2.04 1.88 1.31 y2 1.00 1.77 2.07 2.04 1.60 1.31 0.97 0.23 设营养素用量为x毫克（），10℃温度下幼苗生长速度为毫米/天，12℃温度下幼苗生长速度为毫米/天． (1)在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为_______毫米/天； (2)根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（，），并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，回答下列问题： ①在12℃温度下，使用约______毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；（结果保留小数点后两位）； ②当该种幼苗的生长速度在10℃和12℃温度下均不低于1.6毫米/天时，营养素用量x的取值范围为______（结果保留小数点后两位）． 16. （2024·北京石景山·二模）中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； (3)探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 17. （2024·北京朝阳·二模）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 18. （2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 19. （2024·北京西城·二模）已知角，探究与角的关系． 两个数学兴趣小组的同学在查阅资料后，分别设计了如下两个探究方案， 方案一：如图，点在以点为圆心，1为半径的上，，设的度数为．作于点，则线段① 的长度即为的值． 方案二：用函数的值近似代替的值．计算函数的值，并在平面直角坐标系中描出坐标为的点． 两个小组同学汇总、记录的部分探究数据如下表所示（确到）． 若记为，否则记为． 0 10 20 30 40 45 50 60 70 80 90 0 ② 1 0 或    根据以上信息，解决下列问题： (1)①为 ，②为 ； (2)补全表中的或； (3)画出关于的函数图象，并写出的近似值（精确到）， 20. （2024·北京平谷·二模）商品的价格会影响消费者的购买的欲望，设商品价格减少，商品的销售量上升，商品的销售量上升，以下是某商场销售部统计的两种商品随着价格的变化销售量变化的百分比数据： (1)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作的函数，在平面直角坐标系中，已经描出表中各组数值所对应的点，补全其余各点，并用平滑曲线连接这些点；     (2)据悉对于百姓生活的必需品往往随着价格的涨幅变化不大，但奢侈品会因价格的涨幅呈现明显的变化，若中恰好有一件商品是奢侈品另一件商品为必需品，观察图中的两条曲线的变化情况推测两件商品中是必需品的是_______；（填或） (3)结合函数图象，若商场在母亲节那天对商品八折促销，若要使商品的销售增加百分数与商品接近相同，则商品打几折？（打几折就是按照商品价格的百分之几十销售） 21. （2024·北京大兴·二模）综合实践活动课上，老师给每位同学准备了一张边长为的正方形硬纸板，要求在4个角上剪去相同的小正方形（如图1），这样可制作一个如图2所示的无盖的长方体纸盒．设剪去的小正方形的边长为（），则纸盒的底面边长为． a．甲同学研究无盖纸盒的底面积，得到： 无盖纸盒的底面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； b．乙同学研究无盖纸盒的侧面积（四个侧面面积之和），得到： 无盖纸盒的侧面积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为； c．丙同学研究无盖纸盒的体积，得到： 无盖纸盒的体积与剪去小正方形的边长x的函数表达式为． 与x的几组对应值如下表： x（cm） 1 2.5 5 7.5 10 12.5 14 y3（cm3） 754 1562.5 2000 1687.5 1000 312.5 56 如图3，在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各组数值所对应的点（x，y3），并用平滑曲线连接这些点，得到了函数y3＝x（30−2x）2（1≤x≤14）的图象．    根据以上信息，解决下列问题： (1)当剪去小正方形的边长x为时，则无盖纸盒的底面积为______； (2)当无盖纸盒的侧面积取最大值时，求剪去小正方形的边长x的值； (3)下列推断合理的是______（填序号）； ①当时，无盖纸盒的体积随着剪去小正方形的边长x的增大而减小； ②当剪去的小正方形的边长x为时，无盖纸盒的体积小于； ③当无盖纸盒的体积为时，剪去的小正方形的边长x只能为10cm． (4)当无盖纸盒的体积为时，无盖纸盒的侧面积为______． 22. （2024·北京海淀·二模）生活垃圾水解法是一种科学处理生活垃圾的技术．有研究表明，在生活垃圾水解过程中添加一些微生物菌剂能够加快原料的水解．某小组为研究微生物菌剂添加量对某类生活垃圾水解率的影响，设置了六组不同的菌剂添加量，分别为，，，，，，每隔测定一次水解率，部分实验结果如下： ．不同菌剂添加量的生活垃圾，在水解时，测得的实验数据如下图所示： 为提高这类生活垃圾在水解时的水解率，在这六组不同的菌剂添加量中，最佳添加量为__________； ．当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率随时间变化的部分实验数据记录如下： 时间 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 水解率 0 通过分析表格中的数据，发现当菌剂添加量为时，可以用函数刻画生活垃圾水解率y和时间t之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当水解时，生活垃圾水解率__________超过（填“能”或“不能”）． 根据以上实验数据和结果，解决下列问题： （1）直接写出的值； （2）当菌剂添加量为时，生活垃圾水解率达到所需的时间为小时，当菌剂添加量为时，生活垃圾水解小时的水解率__________（填“大于”“小于”或“等于”）． 23. （2024·北京·二模）下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间时 0 2 4 6 8 10 12 温度 6 1 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1)在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2)求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3)某种植物在气温以下持续时间超过小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 24. （2024·北京东城·二模）如图，在等边中，，点是的中点，点是边上一个动点，连接，．设，两点间的距离为，． 小明根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了与的几组对应值： 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5 4.6 4.3 4.1 4.2 4.6 5.1 5.6 6.2 6.8 的值为 （保留一位小数）； (2)在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题（保留一位小数）： ①当时，两点间的距离约为 ； ②当时，两点间的距离约为 ． 25. （2024·北京房山·二模）小平在学习过程中遇到一个函数，下面是小平对其研究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)下表是与的几组对应值． 其中的值为______； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②过点作平行于轴的直线，结合图像解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是______． 26. （2024·北京顺义·二模）“夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日． 某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：），x与y的部分数据如下表： x 0 5 15      25 35 45 55 65 y                0                          (1)通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； (2)北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，高的物体的影长约为______（精确到）； (3)小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了高的物体的影长均为，那么他们生活的地区纬度差约是______度． 27. （2024·北京门头沟·二模）医学院某药物研究所研发了甲，乙两种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后的时间x（小时），服用甲种药物后每毫升血液中的含药量（微克），服用乙种药物后每毫升血液中的含药量（微克），记录部分实验数据如下： x 0 0.20 0.40 1.00 1.53 2.26 2.52 3.38 4.53 5.44 … 0 0.68 1.36 3.40 3.21 2.77 2.65 2.31 1.92 1.65 … 0 0.18 0.36 9.00 5.03 2.26 1.70 0.66 0.19 0.07 … 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系xOy中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；    (2)如果两位病人在同一时刻分别服用这两种药物，服药1小时后两位病人每毫升血液中含药量相差______微克；两位病人大约服药后______小时每毫升血液中含药量相等；（结果保留小数点后一位） (3)据测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时对治疗疾病有效，则两种药物中______种药的药效持续时间较长，药效大约相差______小时（结果保留小数点后一位）． 28. （2024·北京·一模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到距离地面处开始计时，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力）．记无人机和小钢球距离地面的高度分别为，（单位：），科研人员收集了，随时间x （单位：s）变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示． (1)根据，随的变化规律，从 ① ；② （）；③中，选择适当的函数模型，分别求出，满足的函数关系式； (2)当时，小钢球和无人机的高度差最大是 ． 29. （2024·北京石景山·二模）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出） (1)当时， ；当时， ； (2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？ 30. （2024·北京丰台·一模）一般来说，市面上某种水果出售量较多时，水果的价格就会降低．这时，将水果进行保鲜存储，等到价格上升之后再出售，可获得更高的出售收入．但是保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大，因此出售水果获得的收益要从出售价格中扣除保鲜存储成本．某水果公司的调研小组收集到去年一段时间内某种水果当日每千克的出售价格和保鲜存储成本的部分数据如下：设水果保鲜存储的时间为t天（），当日每千克水果出售价格为元，每千克水果保鲜存储成本为元． t 1 2 5 8 10 12 14 16 18 20 (1)根据表格中的数据，第8天每千克水果的收益为______元； (2)通过分析表格中的数据，发现，都可近似看作t的函数，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (3)结合函数图象，将水果保鲜存储第______天至第______天（结果取整数）时，出售每千克水果所获得的收益超过4元． 31. （2024·北京平谷·一模）光合作用是指在光的照射下，植物将二氧化碳和水转化为有机物，并产生氧气的过程，呼吸作用指的是植物将有机物和氧气分解成二氧化碳和水以维持植物生命所必要的过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差距越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．下表是某农科院为了更好的指导果农种植草莓，在至气温，水资源及光照充分的条件下，对温度对光合作用和呼吸作用的影响进行研究的相关数据： 温度（℃） 光合作用产氧速率（） 呼吸作用耗氧速率（） (1)通过观察表格数据可以看出，若设温度为，光合作用产氧速率、呼吸作用耗氧速率是这个自变量的函数；建立平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点，下图中已经描出部分点，请补全其余点，并画出函数图象； (2)结合函数图象，解决问题：（结果取整） ①最适合草莓生长的温度约为______℃； ②当温度约在什么范围内时，呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率，呼吸作用成为植物的主要活动，植物生长缓慢． 32. （2024·北京门头沟·一模）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；    (2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (3)求h 关 于d 的函数表达式； (4)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 33. （2024·北京大兴·一模）某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 34. （2024·北京石景山·一模）某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为 （单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 1.00 2.50 5.00 7.50 9.00 9.64 9.87 9.95 9.98 10.00 10.00 1.50 4.24 5.67 5.95 5.99 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 6.00 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． (1)可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为 米（结果保留小数点后两位）； (3)当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为 年（结果保留小数点后一位）． 35. （2024·北京房山·一模）如图，点是半圆的直径上一动点，点是半圆内部的一定点，作射线 交于点，连接．已知，设的长度为，的长度为，的长度为．（当点与点A重合时，的值为）． 小山根据学习函数的经验，对函数，随自变量的变化而变化的规律进行探究．对于点在上的不同位置，画图、测量，得到了，，的几组值，如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.32 4.91 5.78 6.93 8.08 8.81 9.18 9.37 9.48 9.55 9.60 9.02 7.86 6.63 5.46 4.79 5.00 5.73 6.64 7.61 8.60 9.60 (1)在同一平面直角坐标系中，小山已画出函数的图象，请你画出函数的图象； (2)结合函数图象，解决问题： ① 当的长度为时，则的长度约为 （结果保留小数点后一位）． ② 当为等腰三角形时，则的长度约为 （结果保留小数点后一位）． 36. （2024·北京通州·一模）某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    37. （2024·北京顺义·一模）为了去除衣物上的某种有害物质（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：）的关系，该小组选取甲，乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量，所得数据如下： 衣物类别P含量 浸泡时长 甲类 乙类 0 80 79 2 37 32 4 31 25 6 29 21 8 28 18 10 27 17 12 27 16 (1)设浸泡时长为x，甲，乙类衣物中P的含量分别为，，在平面角坐标系中，描出表中各组数值所对应的．点，，并画出函数，的图象； (2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为______（精确到）； (3)根据衣物中P的含量（单位：）将衣物分为A级（含量）、B级（含量）和C类（含量）．若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为____（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A级标准至少需要浸泡_____（精确到）． 38. （2024·北京西城·一模）如图，点O为边长为1的等边三角形的外心． 线段经过点O，交边于点P， 交边于点Q． 若 ，下表给出了x，，的一些数据 (近似值精确到)． x 1 1 (1)补全表格； (2)在同一平面直角坐标系中描出了部分点．请补全表格中数据的对应点，并分别画出与关于x的函数图象； (3)结合函数图象，解决下列问题： ①当是等腰三角形时，关于x的函数图象上的对应点记为，请在x轴上标出横坐标为a的点； ②当取最大值时，x的值为 ． 39. （2024·北京东城·一模）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 1.1 1.6 1.9 2 1.9 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出击球点的高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则______（填“”，“”或“”）． 40. （2024·北京朝阳·一模）某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据． 表1从开始加热至水量与时间对照表 表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表 煮沸模式 保温模式 … 对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数． (1)写出表中的值； (2)根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当时， ； (3) 假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水． 41. （2024·北京海淀·一模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 42. （2024·北京·一模）如图1，长度为6千米的国道两侧有M，N两个城镇，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，N、C之间的乡镇公路长度为千米，M、D之间的乡镇公路长度为千米．为了发展乡镇经济，现需要在国道上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究 (1)通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如表： x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5 (2)如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点； (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ ②如图3，有四个城镇M、R、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，使得S沿公路到M、R、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？ 43. （2024·北京·一模）学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 10 15 20 … （克） 25 23.5 20 14.5 7 … （克） 25 20 15 10 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并画出函数，的图象；    (2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分，与x之间近似满足一次函数（）．则 ， ， ； (3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为，，则 （填“”，“”或“”）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$