专题17圆的综合题【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题17 圆的综合题 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1圆的综合 （5年5考） 2024·北京：圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算 2023·北京：弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补 2022·北京：三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式 2021·北京：垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定 2020·北京：平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90° 在中考中，圆的综合大题不仅需要掌握圆的基本性质、圆切线的判定和性质，及圆中的一些计算，还需要我们熟练的结合全等三角形、相似三角形、特殊四边形、特殊三角形、三角函数、解三角形等综合分析问题，并需要考生注意几何大题的逻辑语言使用，在解答时，思路要清晰、书写要工整，做到每一步都有理有据。 考点1圆的综合 1．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 2．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 3．（2022·北京·中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接 (1)求证： (2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 4．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长． 5．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 6．（2024·北京朝阳·二模）如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 7．（2024·北京·三模）如图，为的直径，点C在上，连接，D为的中点，过点C作的切线与射线交于点E． (1)求证：； (2)若延长与交于点F，若，，求的面积． 8．（2024·北京·三模）如图，是的直径，点P是外一点，，点M在上，连接交于点N，使得． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 9．（2024·北京西城·一模）如图，为的直径，弦于点H，的切线与的延长线交于点E，，与的交点为F． (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 10．（2024·北京西城·二模）如图，是的直径，交于点，点是的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 11．（2024·北京顺义·二模）如图，是的外接圆，AB是的直径，过BC上一点作于点E，过点作的切线交ED的延长线于点F． (1)求证：； (2)若D为BC的中点，的半径为5，求CF的长． 12．（2024·北京平谷·二模）如图，点A、C是上两点，过点A作的切线与的延长线交于点B，过点C作的平行线与交于点D，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（2024·北京·二模）如图，为四边形的外接圆，平分，于点E．    (1)求证：； (2)延长交于点F，连接，若，，求的长． 14．（2024·北京门头沟·二模）如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，，连接并延长交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值． 15．（2024·北京石景山·二模）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长． 16．（2024·北京房山·二模）如图，是的直径，点在上，且，连接并延长到点，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 17．（2024·北京东城·二模）如图，在中，，于点，交的外接圆于点．连接，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，时，求线段的长及的外接圆的半径长． 18．（2024·北京·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是弧的中点，弦，垂足为点F． (1)求证：； (2)P是上一点，，，求的长度． 19．（2024·北京大兴·二模）如图，在中，，是边上一点，以为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，且    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 20．（2024·北京东城·二模）如图，已知及外一点．    求作：的切线，． 作法： ①连接； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点； ③以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，（点位于的上方）； ④作直线，； 则直线，就是所求作的直线． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)设线段交于点，连接，，．若，则 °， °． 21．（2024·北京海淀·二模）如图，是外一点，分别切于点，与交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作的平行线，与的另一个交点为，连接．若，求的半径和的值． 22．（2024·北京昌平·二模）如图，是的直径，点C在上，若弦平分，交于点E，过点C作的切线，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，若，，求半径的长． 23．（2024·北京丰台·一模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 24．（2024·北京·模拟预测）如图，为直径，，为上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与相交于点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长. 25．（2024·北京·一模）如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 26．（2024·北京房山·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点，过点作，与交于点，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（2024·北京大兴·一模）如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 28．（2024·北京石景山·一模）如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． (1)求证：； (2)连接．若，求的长． 29．（2024·北京平谷·一模）如图，内接于，，连接，过B作的切线交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 30．（2024·北京通州·一模）如图，为的直径，过点A作的切线，C是半圆上一点（不与点A、B重合），连结，过点C作于点E，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 31．（2024·北京顺义·一模）如图，是的直径，，与交于点E，的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接并延长，交的延长线于点G．若E为的中点，的半径为4，求的长． 32．（2024·北京朝阳·一模）如图，是的直径，点在上，是的中点，的延长线与过点的切线交于点，与的交点为．    (1)求证：； (2)若的半径是，，求的长． 33．（2024·北京海淀·一模）如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 34．（2024·北京东城·一模）如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交AB的延长线于点F．    (1)求证：直线为的切线； (2)当，时，求的长． 35．（2024·北京·一模）如图，是的直径，是上一点，连接． (1)使用直尺和圆规，在图中过点A作的切线，补全图形（点P在上方，保留作图痕迹）； (2)点D是弧的中点，连接并延长，分别交，于点E，F，若，，求线段的长． 36．（2024·北京朝阳·一模）如图，是的一条弦，E是的中点，过点B作的切线交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，求的半径． 37．（2024·北京东城·一模）如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 圆的综合题 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1圆的综合 （5年5考） 2024·北京：圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算 2023·北京：弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补 2022·北京：三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式 2021·北京：垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定 2020·北京：平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90° 在中考中，圆的综合大题不仅需要掌握圆的基本性质、圆切线的判定和性质，及圆中的一些计算，还需要我们熟练的结合全等三角形、相似三角形、特殊四边形、特殊三角形、三角函数、解三角形等综合分析问题，并需要考生注意几何大题的逻辑语言使用，在解答时，思路要清晰、书写要工整，做到每一步都有理有据。 考点1圆的综合 1．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，点，在上，平分.    (1)求证：； (2)延长交于点，连接交于点，过点作的切线交的延长线于点.若，，求半径的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得，结合，得到，继而得到，根据平分，得到，继而得到，可证； （2）不妨设，则，求得，证明，，求得，取的中点M，连接，则，求得，，结合切线性质，得到，解答即可. 【详解】（1）根据题意，得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 不妨设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得， 取的中点M，连接， 则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 解得， 故半径的长为.    【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键. 2．（2023·北京·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．        (1)求证平分，并求的大小； (2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，即平分． ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直径， ∴； （2）解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2022·北京·中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接 (1)求证： (2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到； （2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线． 【详解】（1）证明：设交于点，连接， 由题可知， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明： 连接， ， ， 同理可得：,， ∵点H是CD的中点，点F是AC的中点， ， ， ， ， 为的直径，   ， ， ， ， ， ， 直线为的切线． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键． 4．（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点． （1）求证：； （2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长． 【答案】（1）见详解；（2）， 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴； （2）解：由题意可得如图所示： 由（1）可得点E为BC的中点， ∵点O是BG的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F． （1）求证：∠ADC=∠AOF； （2）若sinC=，BD=8，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）2． 【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明； （2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴OD⊥CD， ∴∠ADC+∠ODA=90°， ∵OF⊥AD， ∴∠AOF+∠DAO=90°， ∵OD=OA， ∴∠ODA=∠DAO， ∴∠ADC=∠AOF； （2）设半径为r， 在Rt△OCD中，， ∴， ∴， ∵OA=r， ∴AC=OC-OA=2r， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 又∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴， ∴OE=4， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键． 6．（2024·北京朝阳·二模）如图，是的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D的直线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，添加辅助线构造直角三角形是关键； （1）连接．证明，，可得，进而得到结论； （2） 先推出，再在中，由，列出比例式即可求解 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴．                                ∴． ∵是的直径， ∴．                            ∵， ∴． ∴． 即． ∴直线是的切线．                    （2）解：∵， 设的半径为r，则． ∵， ∴．                            ∵， 在中，． 即． ∴．                                    ∴． ∴． 在中，由勾股定理得． 7．（2024·北京·三模）如图，为的直径，点C在上，连接，D为的中点，过点C作的切线与射线交于点E． (1)求证：； (2)若延长与交于点F，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据题意得出，再由圆周角定理确定，根据切线的性质及等量代换即可证明； （2）根据题意设，得出，再由相似三角形的判定和性质得出，设，利用三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵D为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，切于C， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在中，， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∵D为的中点，O为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 8．（2024·北京·三模）如图，是的直径，点P是外一点，，点M在上，连接交于点N，使得． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据圆周角定理得到，然后等量代换得到，然后结合得到，即，进而证明即可； （2）过点M作，首先得到，设，，根据勾股定理求出，，然后求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵点M在上， ∴是的切线； （2）如图所示，过点M作 ∵， ∴ ∴设， ∵若的半径为5， ∴ ∵，．即 解得（负值舍去） ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 解得 ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形． 9．（2024·北京西城·一模）如图，为的直径，弦于点H，的切线与的延长线交于点E，，与的交点为F． (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为12． 【分析】此题考查圆周角定理、切线的性质定理、垂径定理、锐角三角函数，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质证明，而为的直径，所以，由，得，则，由垂径定理得，则，可证明，所以； （2）由的半径为6，，得到，求得，因为，所以，进而即可求解． 【详解】（1）解：连接，则， ∵与相切于点C， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的半径为6，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为12． 10．（2024·北京西城·二模）如图，是的直径，交于点，点是的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)12 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及．求得，则，根据切线的判定定理可得证； （2）利用锐角三角函数可求的长，由角平分线的性质可得，由锐角三角函数可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的中点， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于，而， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质定理，熟练掌握运用三角函数的计算技巧，正确添加辅助线是解题的关键． 11．（2024·北京顺义·二模）如图，是的外接圆，AB是的直径，过BC上一点作于点E，过点作的切线交ED的延长线于点F． (1)求证：； (2)若D为BC的中点，的半径为5，求CF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由切线的性质得出再证明，再由，得出，即可得出结论； （2）先证明，得，再解，求得即可求解． 【详解】（1）证明：连接 是的切线， ∵于E， ∴ 在中， ∴ 又∵交于点D． ∴． ∴． ∵ ∴ ∴． （2）解：是的直径， 又 ， 半径是5， 在中， 为中点， 即， 【点睛】本题考查切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定与性质．本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键． 12．（2024·北京平谷·二模）如图，点A、C是上两点，过点A作的切线与的延长线交于点B，过点C作的平行线与交于点D，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等； （1）连接交于E，由切线的性质得，由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由垂径定理得，由正切函数得，可求出，设，由勾股定理得可求出、，由平行线，由相似三角形的性质得，即可求解； 掌握相关的判定方法及性质，能根据切线的性质作出圆中的常用辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接交于E， 是的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， 解得． 13．（2024·北京·二模）如图，为四边形的外接圆，平分，于点E．    (1)求证：； (2)延长交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义和垂径定理求证即可； （2）连接，，由圆周角定理和垂径定理可得，由勾股定理可得，再证，可得，由勾股定理求解即可； 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴＝， ， 在中，， ； 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的作出辅助线； 14．（2024·北京门头沟·二模）如图，是的直径，切于点A，连接交于点D，，连接并延长交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的直径得到，即，由是切线得到，即，由得到，从而得证； （2）连接，在中，根据勾股定理求得，根据三角形的面积公式有，求得，根据，得到，从而求得，，在中，根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ， ， 切于点A， ， ， ， ， （2）解：连接， ，， ∴在中，， 是的直径， ， 由（1）可得， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，即， ， ∴在中，． 【点睛】本题考查切线的性质，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质．综合运用相关知识是解题的关键． 15．（2024·北京石景山·二模）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质和切线长定理得到，，利用等腰三角形性质和等量代换得到，利用等量代换即可证明； （2）连接，，在中，利用，得到设，．则，．在中，利用建立等式算出的值，进而得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似三角形的性质即可求出． 【详解】（1）证明：连接，如图1． ，是的切线，，是的半径， ，， ，． ， ， ， ． 又， ． （2）解：连接，，如图2． 在中，， 设，．则，． 在中，，即．解得． ，． 是的直径， ． ，， ． ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、熟练掌握切线的性质，能够正确作出辅助线是解答问题的关键． 16．（2024·北京房山·二模）如图，是的直径，点在上，且，连接并延长到点，连接，若． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，则，，，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）由，可得，则，，由，可得，如图2，过点作于点，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接，           图1 ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图2，过点作于点，         图2 ∴，， ∴， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，正弦，正切，余弦等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，正弦，正切，余弦是解题的关键． 17．（2024·北京东城·二模）如图，在中，，于点，交的外接圆于点．连接，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，时，求线段的长及的外接圆的半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，的外接圆的半径长为 【分析】（1）证明，结合，可得，再结合等腰三角形的性质可得结论； （2）如图，过作于，证明，设，而，求解，可得，可得，设，由，可得，可得，再证明，再进一步可得答案． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， 设，而 ∴， ∵， ∴，而， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴的外接圆的半径长为． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18．（2024·北京·二模）如图，为的直径，C是圆上一点，D是弧的中点，弦，垂足为点F． (1)求证：； (2)P是上一点，，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，关键是由垂径定理推出，得到；由勾股定理求出的长． （1）由垂径定理推出，得到，推出； （2）由锐角的正切求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到由勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ， ， ， ， ； （2）解：连接， ∵是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（2024·北京大兴·二模）如图，在中，，是边上一点，以为直径作交于点，连接并延长交的延长线于点，且    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）连接．利用等腰三角形的性质及平行线的判定证．得．从而即可得证． （）连接，由，得．然后证．得．从而．在和中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，   ， ， 在中， ， ， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直角三角形的性质，圆周角定理的推论，切线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握解直角三角形，直角三角形的性质以及圆周角定理的推论是解题的关键． 20．（2024·北京东城·二模）如图，已知及外一点．    求作：的切线，． 作法： ①连接； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点； ③以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，（点位于的上方）； ④作直线，； 则直线，就是所求作的直线． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)设线段交于点，连接，，．若，则 °， °． 【答案】(1)画图见解析 (2)， 【分析】（1）根据题意，画出图形即可；根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论． （2）如图，连接，，，再结合圆周角定理，切线的性质与切线长定理可得答案． 【详解】（1）解：补全图形如图：    理由如下： ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线． （2）解：如图，连接，，，    ∵， ∴， ∵，为的切线， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是画圆的切线，四边形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，切线的性质，切线长定理的应用，熟练的作线段 垂直平分线是解本题的关键． 21．（2024·北京海淀·二模）如图，是外一点，分别切于点，与交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作的平行线，与的另一个交点为，连接．若，求的半径和的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为， 【分析】（1）连接，根据可得，根据切线的性质，切线长定理即可求得，由此即可求解； （2）作，根据等边三角形的判和性质可得是直径，可得是直角三角形，根据垂径定理，含角的直角三角形的性质可得半径，根据解直角三角形的方法即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴，即是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，则，且， ∴是等边三角形； （2）解：如图所示，延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由（1）可知，， ∵， ∴，且， ∴，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴点三点共线，即点与点重合， ∴是的直径， ∴是直角三角形， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴，， ∴中，， ∴，， ∴，即的半径为， ∴， 在中，， ∴， 综上所述，的半径为，． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，含角的直角三角形的性质，解直角三角形的计算方法等知识是解题的关键． 22．（2024·北京昌平·二模）如图，是的直径，点C在上，若弦平分，交于点E，过点C作的切线，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接，若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）连接.证明，，又由，即可得到； （2）证明为等边三角形，则，在中，得到设，则，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接. 平分 ∴ 是直径， 在中， 是切线 （2）解：连接， 是直径， ∴， ， 为等边三角形， 中， 设，则 ， ∴， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 即半径的长为2． 23．（2024·北京丰台·一模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质推出，由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，得到，推出，即可证明； （2）由圆周角定理得到，由勾股定理求出，证明可求出，证明四边形是矩形得，，从而，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】（1）连接， ∵为的切线， ∴． ∴． ∵C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵为直径， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，关键是掌握圆周角定理． 24．（2024·北京·模拟预测）如图，为直径，，为上不同于，的两点，，连接．过点作，垂足为，直线与相交于点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定方法，解直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，由圆周角定理结合已知得出，得出，由平行线的性质得出，即可证明为的切线； （2）连接，，由圆周角定理得出，由，得出，由三角形内角和定理及，得出，利用解直角三角形求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：如图，连接，， 为直径， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 25．（2024·北京·一模）如图，为的直径，弦，过点A作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的 ． （1）先证明，则，由，得到，继而求证； （2）连接，为的直径，，则，，先求，再证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵为的直径，， ∴，， ∵半径为5 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴ ， ∴， ∴． 26．（2024·北京房山·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点，过点作，与交于点，连接，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据， 得出，根据，得出，即可证明结论； （2）连接，交于点，根据切线的性质得出，证明为的中位线，得出，解直角三角形得出，．最后根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴． ∴． （2）解：连接，交于点，如图所示：    ∵是的切线，切点为， ∴， ∵， ∴， ∴⊥， ∴为中点． ∵为直径中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中 ∵， ∴， 由勾股定理得． ∴． ∴． ∵为中点， ， ∴． 在中， 由勾股定理得 ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，中位线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 27．（2024·北京大兴·一模）如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由切线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于得出，由等边对等角得出，等量代换得出，由同弧所对的圆周角相等得出， 进而可得出 ，由等角对等边得出． （2）连接，先证明，设，则，解直角三角形得出，再证明，得出，进一步得出，即，解出x即可求解． 【详解】（1）证明：为的切线， ． ． 为的直径， ． ． ， ． ． 又， ． ． （2）连接． 为的切线， ． ，． ， ． ． ． 设，则． 在中， ，， ． 为直径， ． ，， ． ． 在中， ， ． ， ． 解得． ． 半径的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的定义，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形的相关计算，等角对等边等知识，掌握这些性质是解题的关键． 28．（2024·北京石景山·一模）如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． (1)求证：； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）由垂径定理可得，则，，进而可得． （2）如图，连接，连接，设的半径为，由是的直径，可得，由，可得，，则，证明，则，即，可求，则，，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接，连接， 设的半径为， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 解得， ∴，， 由勾股定理得，， ∵是的直径，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 29．（2024·北京平谷·一模）如图，内接于，，连接，过B作的切线交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，求半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，然后利用平行线的性质即可解答； （2）过点B作于点H，直角三角形的性质以及勾股定理，得，再证明即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线，   ，   ， ， ， ∴  ； （2）解：过点B作于点H， ， ∵，， ，    ，， ， ， ，， ， ， ， ，     设的半径为x， ， ， 解得， 半径的长． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角函数，掌握切线的判定方法和性质，圆周角定理正确解答的关键． 30．（2024·北京通州·一模）如图，为的直径，过点A作的切线，C是半圆上一点（不与点A、B重合），连结，过点C作于点E，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键． （1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论； （2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线， ， 于点， ， ， ， ， ． （2）解：连结， 于点，是的直径， ， 是的垂直平分线， ， 的半径为5， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 31．（2024·北京顺义·一模）如图，是的直径，，与交于点E，的切线交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接并延长，交的延长线于点G．若E为的中点，的半径为4，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理的推论，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定： （1）由垂径定理的推论可得，再由切线的性质得到，据此可证明结论； （2）连接，先解直角三角形得到，则可求出，则由垂径定理的推论可得；证明是等边三角形，得到，可求出，证明，求出，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵的切线交的延长线于点F， ∴， ∵是的直径， ∴三点共线， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵E为的中点，的半径为4， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 32．（2024·北京朝阳·一模）如图，是的直径，点在上，是的中点，的延长线与过点的切线交于点，与的交点为．    (1)求证：； (2)若的半径是，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，根据对顶角相等可得，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，根据等角的余角相等可得，根据等角对等边即可证明； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，根据等角的余角相等可得，根据题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据锐角三角形函数的定义可求得，根据等腰三角形底边上的高与底边上的中点重合可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，如图：    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径是， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，等角的余角相等等，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 33．（2024·北京海淀·一模）如图，、均为的直径．点E在上，连接，交于点F，连，，点G在的延长线上，． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，结合已知可得，再根据等腰三角形的性质得出，求出即可得出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质求出，进而可得，的长，然后根据三角函数的定义和勾股定理求出，再在中，根据三角函数的定义和勾股定理求出，进而可得的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ，即， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 为的直径， 与相切； （2）解：连接，如图， ，，， ． 在中，，， ∴， ， ， ， 为的直径， ． ∴在中，， ∴， 由勾股定理得． ， ， ． ， ∴在中，， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，切线的判定等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 34．（2024·北京东城·一模）如图，为的直径，点C在上，，直线于点D，交AB的延长线于点F．    (1)求证：直线为的切线； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）设，则，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线为的切线； （2）解：， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 35．（2024·北京·一模）如图，是的直径，是上一点，连接． (1)使用直尺和圆规，在图中过点A作的切线，补全图形（点P在上方，保留作图痕迹）； (2)点D是弧的中点，连接并延长，分别交，于点E，F，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作垂线，切线的性质，相似三角形的判定与性质： （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧交和的延长线玩点为M，N，分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，将于两点，过两点作直线，则为的切线； （2）由切线的性质得，求出，由垂径定理和勾股定理可求出，再证明，可求出，从而可求出的长 【详解】（1）解：如图，为的切线： （2）解：∵是的直径， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴即 ∴ ∴ ∴ ∴， 又 ∴AB=10， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ 36．（2024·北京朝阳·一模）如图，是的一条弦，E是的中点，过点B作的切线交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线，可知，即，由，可得，由三角形内角和、对顶角相等可得，进而结论得证； （2）如图，连接，作于，则，，，由勾股定理得，，证明，则，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，作于， ∵E是的中点，，， ∴，，， 由勾股定理得，， ∵，， ， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦等知识．熟练掌握切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正弦是解题的关键． 37．（2024·北京东城·一模）如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3.5 【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质等知识： （1）连接，得，再由可得，故可证明是的切线； （2）运用勾股定理求出，再，可求出,从而求出 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是劣弧的中点， ∴，平分， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）∵是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$