1.3 空间向量及其运算的坐标表示（8大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识点 1 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义：在空间选定点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分． 2、右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系． 知识点 2 空间向量的坐标表示 1、空间中点和向量的坐标的定义 （1）在空间直角坐标系中为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使． （2）在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 3、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 知识点 3 空间向量的坐标运算 1、空间向量的坐标运算 若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直 若，，则 （1），， （2） 3、空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 1、确定空间中一点的坐标的一般步骤 第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置； 第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度； 第三步：写出点的坐标． 2、空间中点的对称问题 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 3、利用坐标法解决立体几何问题的步骤 第一步建系：根据题中的几何图形的特征，建立适当的空间直角坐标系； 第二步定坐标：确定点的坐标，进而求出有关向量的坐标； 第三步向量运算：进行相关向量的坐标与运算； 第四步翻译：将向量语言“翻译”乘相应的立体几何中的语言，完成几何问题的证明或求解； 第五步的结论：得出最终结论． 题型一 点与向量的坐标表示 【例1】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23高二上·北京·期中）已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23高二上·吉林白城·月考）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 题型二 空间中点的对称点问题 【例2】（23-24高二上·江西·月考）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·河北沧州·月考）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系O-xyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型三 空间向量运算的坐标表示 【例3】（23-24高二上·北京·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二上·广东江门·期末）若，则（    ） A． B． C．8 D．10 【变式3-2】（22-23高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·河北沧州·月考）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（    ） A． B．1 C． D． 题型四 空间向量平行的坐标表示 【例4】（23-24高二上·贵州·月考）（多选）下列各组向量中互相平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知空间向量，，若，则实数（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·四川成都·月考）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】（23-24高二上·重庆·期中）已知，，且∥，则（    ） A． B． C． D． 题型五 空间向量垂直的坐标表示 【例5】（23-24高二下·湖南张家界·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B．5 C．4 D． 【变式5-1】（23-24高二上·江西上饶·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【变式5-2】（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）若向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·四川成都·月考）已知向量，，且与互相垂直，则实数 . 题型六 空间向量夹角的坐标表示 【例6】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【变式6-1】（23-24高二上·河南鹤壁·月考）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知空间三点，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·广西玉林·月考）已知． (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值． 题型七 空间向量模长的坐标表示 【例7】（23-24高二上·江苏无锡·月考）空间直角坐标系中，已知，，点关于平面对称的点为，则两点间的距离为（    ） A．6 B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·广东汕头·期中）设，，若，则 ． 【变式7-2】（23-24高二上·山东泰安·月考）设，，，且∥，则（    ） A． B． C．3 D．4 【变式7-3】（23-24高二上·新疆·月考）已知向量且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型八 投影向量的坐标表示 【例8】（23-24高二下·四川成都·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（22-23高二下·福建厦门·期中）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知，则向量在上的投影向量的坐标是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 知识点 1 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义：在空间选定点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴.轴、轴，它们都叫作坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫作原点，都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分． 2、右手直角坐标系的定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，若中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们建立的坐标系都是右手直角坐标系． 知识点 2 空间向量的坐标表示 1、空间中点和向量的坐标的定义 （1）在空间直角坐标系中为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使． （2）在单位正交基底下与向量对应的有序实数组，叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．也叫点在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 3、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 知识点 3 空间向量的坐标运算 1、空间向量的坐标运算 若，，则： （1）； （2）； （3）； （4） 2、空间向量平行和垂直 若，，则 （1），， （2） 3、空间向量的长度、夹角公式 若，，则 （1），． （2）． 【注意】（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出： ，其中θ的范围是 （2） （3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 4、空间两点的距离公式 若，，则 ① 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． ②， 或． 1、确定空间中一点的坐标的一般步骤 第一步：观察空间直角坐标系（若没有空间直角坐标系，应建立合适的空间直角坐标系，使所求点尽可能多地在坐标轴上或坐标平面内）的特点，确定所求点的坐标的位置，即判断点是在坐标轴上、坐标轴内，还是在空间中的其他位置； 第二步：根据几何图形求出所需要的相关线段的长度； 第三步：写出点的坐标． 2、空间中点的对称问题 （1）关于原点对称的点，三个坐标均变为原数的相反数； （2）关于哪条坐标轴对称，相应坐标不变，另两个坐标变为原数的相反数； （3）关于哪个坐标平面对称，点在这个平面的坐标不变，另一个坐标变为原数的相反数． 简记为：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反． 3、利用坐标法解决立体几何问题的步骤 第一步建系：根据题中的几何图形的特征，建立适当的空间直角坐标系； 第二步定坐标：确定点的坐标，进而求出有关向量的坐标； 第三步向量运算：进行相关向量的坐标与运算； 第四步翻译：将向量语言“翻译”乘相应的立体几何中的语言，完成几何问题的证明或求解； 第五步的结论：得出最终结论． 题型一 点与向量的坐标表示 【例1】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 所以，解得， 所以点坐标为.故选：B. 【变式1-1】（22-23高二上·广东·期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，所以，所以.故选：D 【变式1-2】（22-23高二上·北京·期中）已知平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 则，， 由题意得：，即，解得：， 故顶点的坐标为.故选：D 【变式1-3】（22-23高二上·吉林白城·月考）如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是 【答案】 【解析】因为，为坐标原点，所以， 又因为为正方体，所以 所以. 题型二 空间中点的对称点问题 【例2】（23-24高二上·江西·月考）在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】点关于原点对称的点的坐标为.故选：A. 【变式2-1】（23-24高二上·河北沧州·月考）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，在空间直角坐标系中， 点关于轴对称的点的坐标为.故选：C 【变式2-2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）在空间直角坐标系O-xyz中，点关于平面yOz对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点关于平面yOz对称的点的坐标为，故选：B 【变式2-3】（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，点关于平面对称的点坐标是.故选：A 【变式2-4】（23-24高二上·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，点，点A关于y轴对称的点为C，点B关于平面对称的点为D，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，点A关于y轴对称的点为， ，点B关于平面对称的点为.则.故选：B. 题型三 空间向量运算的坐标表示 【例3】（23-24高二上·北京·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可知， 根据向量减法的坐标运算法则可得， 即.故选：C 【变式3-1】（23-24高二上·广东江门·期末）若，则（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【解析】由， 得， 所以.故选：A. 【变式3-2】（22-23高二上·广东深圳·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知， 由，得，解得.故选：B. 【变式3-3】（23-24高二上·河北沧州·月考）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在第五卷《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．已知在堑堵中，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， ， ∴， ，.故选：B． 题型四 空间向量平行的坐标表示 【例4】（23-24高二上·贵州·月考）（多选）下列各组向量中互相平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于，因为，所以不平行； 对于，因为，所以； 对于，因为，所以； 对于，因为零向量与任何向量都平行，所以.故选：BCD 【变式4-1】（23-24高二下·湖北宜昌·期中）已知空间向量，，若，则实数（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由，可设，则， 所以，故选：D 【变式4-2】（23-24高二下·四川成都·月考）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，得，又，且， 则，所以.故选：B 【变式4-3】（23-24高二上·重庆·期中）已知，，且∥，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，， 因为∥， 所以，解得.故选：B． 题型五 空间向量垂直的坐标表示 【例5】（23-24高二下·湖南张家界·月考）已知向量，，若，则（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【解析】由，故，即有，解得.故选：B. 【变式5-1】（23-24高二上·江西上饶·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意可得， 因为，所以，解得.故选：D. 【变式5-2】（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）若向量，且，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】由向量，可得， 因为，所以，解得.故选：D. 【变式5-3】（23-24高二上·四川成都·月考）已知向量，，且与互相垂直，则实数 . 【答案】 【解析】由题设，， 所以，即. 题型六 空间向量夹角的坐标表示 【例6】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】因为，可得.故选：D. 【变式6-1】（23-24高二上·河南鹤壁·月考）已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得是空间的一个单位正交基底， 所以=，， 设与的夹角为，， 所以，故D项错误.故选：D. 【变式6-2】（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知空间三点，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，， 所以. 又，所以．故选：C. 【变式6-3】（23-24高二上·广西玉林·月考）已知． (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以设， 即，所以，解得， 故 又，所以，即，解得． （2）由（1）得，， 设与的夹角为， 因为， 所以与夹角的余弦值为. 题型七 空间向量模长的坐标表示 【例7】（23-24高二上·江苏无锡·月考）空间直角坐标系中，已知，，点关于平面对称的点为，则两点间的距离为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知，点关于平面对称的点的坐标为； 又，可得 所以两点间的距离为.故选：A 【变式7-1】（23-24高二上·广东汕头·期中）设，，若，则 ． 【答案】9 【解析】由，得， 解得 ，，， ． 【变式7-2】（23-24高二上·山东泰安·月考）设，，，且∥，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以，解得，所以， 又因为，且∥， 所以，所以，所以， 所以.故选：C. 【变式7-3】（23-24高二上·新疆·月考）已知向量且，则等于（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由题设， 由且，解得.故选：C 题型八 投影向量的坐标表示 【例8】（23-24高二下·四川成都·月考）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知空间向量， 则在上的投影向量为 .故选：B. 【变式8-1】（22-23高二下·福建厦门·期中）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故在上的投影向量为.故选：D 【变式8-2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴，， ∴在上的投影向量为，故选：C. 【变式8-3】（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知，则向量在上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【解析】，， 所以向量在上的投影向量的坐标是：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$