3.1.2椭圆的简单几何性质（3知识点+7题型+质量检测）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.1.2 椭圆的简单几何性质 明确学习目标 课标要求 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义. 2.会用椭圆的几何性质解决相关问题，会判断直线与椭圆的位置关系． 3.掌握点差法在中点弦问题的运用． 重点难点 1.会用椭圆的几何性质解决相关问题，会判断直线与椭圆的位置关系． 2.掌握点差法在中点弦问题的运用． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 椭圆的几何性质 1.椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长等于2a，长半轴长等于a，短轴长等于2b，短半轴长等于b 焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 2.理解 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 3.求椭圆的离心率及其范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 4.利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)定焦点：确定焦点位置． (2)设元：设出相应椭圆的标准方程． (3)列式：根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写结论：写出椭圆的标准方程． 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判定 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 2.直线与椭圆相交的弦长公式 (1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 3.直线与曲线相交问题的步骤 (1)设元：设直线方程，设交点为，； (2)联立：联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； (3)消元化简：得到关于x（或y）的一元二次方程 (4)列式：写出根与系数的关系； 知识点3 中点弦问题 1.中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，利用所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解 (2)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 2.中点弦的常用结论 (1)焦点在x轴上时：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有 (2)焦点在y轴上时：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 2提升学科能力 题型一 椭圆的简单几何性质 例1．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的长轴长为 C．的短轴长为 D．的离心率为 跟踪训练1 1．关于椭圆，以下说法正确的是（    ） A．长轴长为4 B．焦距为 C．离心率为 D．左顶点的坐标为 2．已知椭圆与椭圆，则（    ） A． B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 3．求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (1)； (2)． 题型二 根据几何性质求标准方程 例2．已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．已知椭圆经过点，且的离心率为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 2．与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 题型三 椭圆离心率的大小 例3．已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率为 3．已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A，B，直线与直线相交于点D，且点D到x轴的距离为a，则C的离心率为 . 题型四 离心率的范围 例4．已知椭圆，过左焦点且不与轴垂直的直线交于、两点，若直线上存在点，使得是等边三角形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ． 题型五 直线与椭圆的位置关系 例5．椭圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 跟踪训练5 1．直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 2．直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 3．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为 . 题型六 相交弦问题 例6．已知平面内两定点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求． 跟踪训练6 1．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长. 2．已知椭圆的短半轴为3，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度. 3．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当P点在圆上运动时，点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C交y轴正半轴于点A，直线l过点A且其方向向量为，直线l与曲线C交于点A、B，求A、B两点间的距离. 题型七 中点弦问题 例7．已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 跟踪训练7 1．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 2．若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．过点的直线与椭圆相交于，两点，若点恰好为线段的中点，则直线的斜率为 . 3质量检测评价 一、单选题 1．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm A．30 B．10 C．20 D． 4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 5．若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6 C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形 8．已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C．直线 与椭圆相交 D．若点在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为 三、填空题 9．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积是 10．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为 . 11．（1）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为 . （2）设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 . 四、解答题 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 13．已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 14．已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 明确学习目标 课标要求 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义. 2.会用椭圆的几何性质解决相关问题，会判断直线与椭圆的位置关系． 3.掌握点差法在中点弦问题的运用． 重点难点 1.会用椭圆的几何性质解决相关问题，会判断直线与椭圆的位置关系． 2.掌握点差法在中点弦问题的运用． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 椭圆的几何性质 1.椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长等于2a，长半轴长等于a，短轴长等于2b，短半轴长等于b 焦点 (±c,0) (0，±c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 2.理解 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 3.求椭圆的离心率及其范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 4.利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)定焦点：确定焦点位置． (2)设元：设出相应椭圆的标准方程． (3)列式：根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写结论：写出椭圆的标准方程． 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判定 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况． 2.直线与椭圆相交的弦长公式 (1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 3.直线与曲线相交问题的步骤 (1)设元：设直线方程，设交点为，； (2)联立：联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； (3)消元化简：得到关于x（或y）的一元二次方程 (4)列式：写出根与系数的关系； 知识点3 中点弦问题 1.中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，利用所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解 (2)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 2.中点弦的常用结论 (1)焦点在x轴上时：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有 (2)焦点在y轴上时：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 2提升学科能力 题型一 椭圆的简单几何性质 例1．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的长轴长为 C．的短轴长为 D．的离心率为 【答案】AB 【分析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，且，可得，求出椭圆的方程，然后逐一判断各选项即可. 【详解】由题意可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以，且，， 解得，故A正确； 所以椭圆， 所以，， 所以的长轴长为，故B正确； 所以的短轴长为，故C错误； 所以，故D错误. 故选：AB. 跟踪训练1 1．关于椭圆，以下说法正确的是（    ） A．长轴长为4 B．焦距为 C．离心率为 D．左顶点的坐标为 【答案】ABC 【分析】根据椭圆方程确定，再根据椭圆的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，，那么， 所以长轴长，焦距，离心率，左顶点， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC 2．已知椭圆与椭圆，则（    ） A． B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【答案】AC 【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论. 【详解】由题意，在中，有，，， ∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率， 在中，有，，， ∴长半轴为，短半轴为，焦距为， ，解得：，离心率， ∴AC正确，BD错误. 故选：AC. 18．求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (1)； (2)． 【答案】(1)，，焦点坐标为， (2)，，焦点坐标为， 【分析】根据椭圆的几何性质求得正确答案. 【详解】（1）由可知这个椭圆的焦点在x轴上，且， 因此长轴长，半短轴长． 又因为，即． 因此，椭圆的焦点坐标为． 离心率． （2）已知椭圆的方程可化为， 由可知这个椭圆的焦点在y轴上，且3 因此长轴长，半短轴长． 又因为，即． 因此，椭圆的焦点坐标为． 离心率． 题型二 根据几何性质求标准方程 例2．已知椭圆：的离心率，短轴的右端点为，为线段的中点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由点的坐标求得，通过离心率求得，即可求解椭圆方程. 【详解】因为为线段的中点，且，所以， 又椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B.      跟踪训练2 1．已知椭圆经过点，且的离心率为，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出即可得解. 【详解】由题可知，，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 2．与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出椭圆的焦点坐标，求出所求椭圆的长半轴长，结合椭圆的焦点位置可得出所求椭圆的标准方程. 【详解】椭圆的标准方程为，该椭圆的焦点坐标为， 设所求椭圆的长半轴长为，则， 故所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 3．已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 题型三 椭圆离心率的大小 例3．已知曲线与y轴交于A，B两点，P是曲线C上异于A，B的点，若直线AP，BP斜率之积等于，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，再利用斜率的坐标公式求出即可计算离心率. 【详解】依题意，，设点，则有，即， 由直线AP，BP斜率之积等于，得，即， 显然曲线是焦点在轴上的椭圆，， 所以C的离心率为. 故选：A 跟踪训练3 1．已知椭圆的左，右焦点分别为，点P为E的上顶点，点Q在E上且满足，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】向量坐标化得Q坐标，代入椭圆方程计算求解离心率. 【详解】由题意,其中. 设，由，得，即， 代入椭圆得，解得离心率. 故选：A 2．已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率为 【答案】/ 【分析】设，，，利用中点坐标公式得到直线斜率为，再利用得到即可求解. 【详解】由题意设，，， 则， 两式相减可得：， 因为：，，所以 即直线斜率为， 又直线斜率为，所以，即， 由，得，即，得，得. 故答案为： 3．已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A，B，直线与直线相交于点D，且点D到x轴的距离为a，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据椭圆顶点的坐标，结合直线交点，利用椭圆离心率公式，可得答案. 【详解】设直线与x轴的交点为E，如下图所示： 则，，，即,， 易知，则，所以， 即，所以. 故答案为：. 题型四 离心率的范围 例4．已知椭圆，过左焦点且不与轴垂直的直线交于、两点，若直线上存在点，使得是等边三角形，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，其中，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出的长以及等边的高，根据几何关系可得出，即可求得该椭圆离心率的取值范围. 【详解】知点，设直线的方程为，其中， 设点、，    联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以，， 设线段的中点为，则， ， 因为为等边三角形，则，且直线的斜率为， 所以，， 且，即，即， 整理可得，所以，， 故选：D. 跟踪训练4 1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆内部的特点、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：， 设，设， ， 点在椭圆内部，有， 要想该不等式恒成立，只需， 而， 故选：B 2．已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得以为直径的圆与椭圆相交，所以，即可求出答案. 【详解】解：由已知，以为直径的圆与椭圆相交，所以， 所以， 故选：D. 3．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点P都满足，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，根据得到，确定，得到离心率范围. 【详解】设，，，则，即， 故，即， ，故，，解得， ，离心率的取值范围为， 故答案为：. 题型五 直线与椭圆的位置关系 例5．椭圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据定点判断直线和椭圆的位置关系. 【详解】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交. 故选:B. 跟踪训练5 1．直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【分析】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答. 【详解】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C 2．直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【分析】方法1：先求含参直线l恒过定点M，研究定点M与椭圆的位置关系可判断直线l与椭圆的位置关系； 方法2：代数法，联立直线l与椭圆方程，消参后可由判断出直线l与椭圆的位置关系. 【详解】方法1： ∵，即：， ∴直线l恒过定点， 又∵椭圆 ∴， ∴定点M在椭圆内， ∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交. 故选：A. 3．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为 . 【答案】2个 【分析】根据直线与圆的位置关系，求得点的轨迹范围；再利用其轨迹与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系. 【详解】直线和圆没有交点， 故 点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内， 故圆=4内切于椭圆， 故点P(m,n)在椭圆内， 则过点的直线与椭圆的交点个数为2个 故答案为：个. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，属综合基础题. 题型六 相交弦问题 例6．已知平面内两定点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若直线与曲线C交于不同的两点A、B，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的定义即可得解. （2）联立直线与椭圆方程结合韦达定理、弦长公式即可得解. 【详解】（1）由椭圆的定义知，P点的轨迹为椭圆， 其中， 所以所求动点P的轨迹C的方程为． （2）设, 联立直线与椭圆的方程,消y整理得：， 所以，，， ∴. 跟踪训练6 1．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可; （2）利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）， ， 所以椭圆的标准方程为. （2）斜率为的直线过椭圆的右焦点 所以直线方程为：，联立椭圆的方程得： ，化简得： 设，则， 故. 2．已知椭圆的短半轴为3，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线交椭圆于两点，且为的中点，求弦的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程组求得的值，即可求解； （2）设，利用“点差法”求得，得到直线的方程，联立方程组，得到，结合弦长公式，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆 的短半轴为，离心率为， 可得且，即， 因为，可得，解得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）解：设，因为为的中点，可得， 则 ，两式相减得， 即，即， 所以直线的方程为，即， 联立方程组，整理得，可得， 则.    3．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当P点在圆上运动时，点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)曲线C交y轴正半轴于点A，直线l过点A且其方向向量为，直线l与曲线C交于点A、B，求A、B两点间的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用相关点法计算求轨迹方程即可； （2）利用弦长公式计算弦长即可。 【详解】（1）设， 由题意可知， 又P点在圆上， 所以 （2） 由（1）可知，结合题意可知， 联立直线与椭圆方程可得，解之得， 由弦长公式可知：，故. 题型七 中点弦问题 例7．已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设，利用点差法即可求解. 【详解】设，则①，②， 联立①②整理得， 又，， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 跟踪训练7 1．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据中点弦点差法可得弦中点和直线斜率得，进而可得. 【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得， 得，所以， 故椭圆的离心率. 故选：B. 2．若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设点、，则， 所以，，两式作差可得， 即，即， 可得直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即. 故选：B. 3．过点的直线与椭圆相交于，两点，若点恰好为线段的中点，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】 设出，两点的坐标，由点恰好为线段的中点得出，，将，两点的坐标代入椭圆方程，作差化简可得出直线的斜率. 【详解】解：设，，则直线的斜率， 点恰好为线段的中点， 所以有，， 因为直线与椭圆相交于，两点， 所以， 两式相减可得，， 即， 故， 故， 所以直线的斜率为. 故答案为：-1. 3质量检测评价 一、单选题 1．椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项. 【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 故选：D. 2．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，然后列出方程组，从而求解. 【详解】由题意得：，离心率：， 从而可得方程组：，解得：. 故椭圆的标准方程为：，故A项正确. 故选：A. 3．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为（    ）cm A．30 B．10 C．20 D． 【答案】C 【分析】求出大椭圆的离心率，根据两椭圆离心率相同，结合小椭圆短半轴长即可求得其长半轴长，即得答案. 【详解】在大椭圆中，，，则，则椭圆离心率为． ∵两椭圆扁平程度相同，∴离心率相等，∴在小椭圆中，， 结合题意知，得，∴小椭圆的长轴长为20． 故选：C 4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将方程化为标准式，即可求出焦点坐标，设所求椭圆方程为，由焦点的坐标和点在椭圆上建立关于、的方程组，解之即可得到、的值，从而得到所求椭圆的方程． 【详解】解：因为椭圆，即， ，，可得，椭圆的焦点为， 设椭圆方程是，则，解得 所求椭圆的方程为. 故选：A． 5．若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果. 【详解】直线恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即，解得， 又. 故选：D 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，结合椭圆定义，且分别在、中利用余弦定理并结合以及离心率公式即可求解. 【详解】 由题意不妨设，则， 又由椭圆定义可知，所以， 在中由余弦定理有，， 在中由余弦定理有，， 由图可知， 所以， 即，解得， 所以椭圆的离心率是. 故选：A. 二、多选题 7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6 C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的方程确定a、b、c，即可判断选项A、B、C；当点P在短轴端点时有，判断与是否相等，即可判断选项D. 【详解】由椭圆C：，可得，，则， 对于选项A，椭圆C的离心率，故A正确； 对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确； 对于选项C，的周长为，故C错误； 对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确． 故选：ABD 8．已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为 C．直线 与椭圆相交 D．若点在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为 【答案】BCD 【分析】根据待定系数法求出椭圆方程，再根据椭圆的几何性质可判断A， B是否正确；根据直线，过定点，点在椭圆的内部，即可判断C是否正确；根据点差法即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程，即可判断D是否正确. 【详解】设椭圆的方程为：， 将点，代入椭圆的方程，得，解得， 所以椭圆的方程为：， 所以椭圆的离心率为，故A错误； 椭圆的短轴长为，故B正确； 由于直线，过定点，点在椭圆的内部，所以直线 与椭圆相交，故C正确； 设， 所以，所以，即， 又中点坐标为， 所以，即， 所以直线的方程为，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积是 【答案】 【分析】根据焦点三角形的性质，结合余弦定理即可得，由面积公式即可求解. 【详解】由题意可得， 又， 所以在中，, 即， 所以，故， 故, 故答案为： 10．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，如图，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足，且，则该椭圆的短轴长为 . 【答案】6 【分析】根据点A，B，C，D在以BD为直径的圆上，设，，结合圆的性质以及所给的面积关系可得及，从而表示圆的方程，代入A点坐标计算即可得解， 【详解】连接BD，根据题意可得，， 由可得点A，B，C，D在以BD为直径的圆上， 又原点O为圆上的弦AC的中点，所以圆心在AC的垂直平分线上，可得圆心在x轴上， 设，，则，又可得， 故圆心坐标为，所以圆的方程为， 将代入化简得即，又，所以， 所以，所以该椭圆的短轴长为6. 故答案为：6. 11．（1）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则k的值为 . （2）设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 . 【答案】 / 【分析】（1）根据椭圆的离心率列方程，化简求得的值. （2）利用直角三角形的性质列方程，化简求得椭圆的离心率. 【详解】（1）依题意，，解得， 又椭圆离心率为，则有，解得， 所以k的值为. （2）如图所示， 由图知， 所以，， 又因为，， 所以， 所以在中，由得， 解得：，所以椭圆的离心率为. 故答案为：； 四、解答题 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）运用待定系数法求出，，，即可得出方程. （2）将直线方程求出来，直线曲线联立求出，运用点到直线距离公式求出到直线l的距离，即可求出面积 【详解】（1）因为，长轴的长为4， 所以，，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点. 所以l：，则点到直线l的距离为， 由得， 所以，，则， 所以． 13．已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标得到c，由椭圆的定义求出a，进而求出b的值，即可得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，消去y，直线与椭圆C有公共点即所得一元二次方程有解，计算得出m的范围. 【详解】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. 14．已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率的值可求，进而可得，从而求得椭圆的方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再由韦达定理可得的坐标，从而由直线OM斜率为解得，代入弦长公式计算可得线段的长. 【详解】（1）椭圆C的一个焦点坐标为，，又， 解得，则，所以椭圆C的方程是． （2）设， 由，消去y并整理得， 则，，， 则， 所以线段AB的中点， 直线OM斜率为，即，解得， ， 所以， 所以线段AB的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$