精品解析：山东省济宁市泗水县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

二○二四年基础教育质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟） 同学们，你们好!一转眼一个学期飞快地过去了．在这个学期里，我们又学到了许多新的数学知识，也提高了我们的数学思维能力．现在让我们在这里展示一下自己的真实水平吧!祝大家成功! 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请把正确选项前的字母填在答题纸上）注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦! 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数为边能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列判断错误的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线相互垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形 D. 对角线相互平分的四边形是平行四边形 5. 已知点在第四象限，则直线图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，若恰为等边三角形，则的长度是（　　）． A. 6 B. C. 8 D. 10 8. 蛟蛟同学在计算出6个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 9. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则不等式（ ） A. B. C. D. 10. 若一组数据a1，a2，…，an的平均数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（ ） A. 13，4 B. 23，8 C. 23，16 D. 23，19 11. 若一次函数的图象经过点、点和点，则m、n的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 12. 如图，在正方形中，，点P是对角线上一动点（不与A，C重合），连接．过点D作，且，连接． ①； ②的长度最小值为；③；④． 以上判断，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、开动脑筋，耐心填一填! 13. 已知，直角三角形的两边长分别为、，则该直角三角形的斜边长为______． 14. 盐城市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按，面试按计算总成绩．如果小王笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小王的总成绩为_____分． 15. 已知，则的值为______________． 16. 如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点与点重合，那么折叠后的长为_____． 17. 若一组数据，，，，的方差为，另一组数据，，，，的方差为，则______（，或）． 18. 如图，，是平面直角坐标系中的两点，若一次函数的图像与线段有交点，则的取值范围是______． 三、解答题（解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程） 19. 计算： （1） （2）． 20. 如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某些原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米． 21. 4月23日是世界读书日，为激发学生对阅读的热情，某校组织了一场课外知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取20名同学的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，并分为A、B、C、D四个等级：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩的数据是： 66，68，77，78，78，79，85，86，86，86，86，87，88，88，89，89，95，96，96，97． 八年级抽取的学生竞赛成绩在B等的数据是： 80，80，81，84，87，89，89，89，89． 八年级抽取的学生竞赛成绩的扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 85 a b 八年级 85 89 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b，c的值； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600人、八年级有700人参加了此次课外知识竞赛，90分及以上为优秀，请估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数共有多少？ 22. 已知：如图，一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． （3）结合图象，直接写出时x的取值范围． 23. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF． （1）求证：△AEF是等腰三角形； （2）若，求证：四边形ABCD为菱形． 24. 为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． （1）设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． （2）为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 25. 如图，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点P在平分线上，求点P的坐标； （3）连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； （4）设点Q是第二象限内的一点，且以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二四年基础教育质量检测 八年级数学试题 （时间：120分钟） 同学们，你们好!一转眼一个学期飞快地过去了．在这个学期里，我们又学到了许多新的数学知识，也提高了我们的数学思维能力．现在让我们在这里展示一下自己的真实水平吧!祝大家成功! 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项符合题意，请把正确选项前的字母填在答题纸上）注意可以用各种不同的方法来解决你面前的选择题哦! 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、被开方数含分母，不是最简二次根式； B、被开方数可以写成，含分母，不是最简二次根式； C、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式； D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 故选C. 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故不D符合题意； 故选：C． 3. 下列各组数为边能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列判断错误的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线相互垂直平分的四边形是菱形 C. 对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形 D. 对角线相互平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的判定定理、矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理分别对每个选项进行判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误； B、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，正确； C、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，正确； D、对角线相互平分的四边形是平行四边形，正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解矩形和菱形的判定定理，难度不大． 5. 已知点在第四象限，则直线图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和点的坐标特征．根据点在第四象限，可以得到m、n的正负情况，然后根据一次函数的性质即可得到直线图象经过哪几个象限． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴直线图象经过第二、三、四象限， 故选：B． 6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，若恰为等边三角形，则的长度是（　　）． A. 6 B. C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，由折叠的性质可得，由平行线的性质可得，可证，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵将纸片沿对角线对折， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故选：A． 8. 蛟蛟同学在计算出6个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查平均数、中位数、众数及方差的计算，理解题意，熟练掌握这些基础知识点的计算方法是解题关键，根据平均数、中位数、众数及方差的计算方法依次判断即可． 【详解】解：设这6个数的平均数为a， 则将这个数也混到数据中了， 重新计算平均数为：， ∴一定不变的量是平均数， 中位数、众数无法判断， 设6个数据分别为， 则 7个数据分别为， 则 差的平方和不变，分母变大了，故新方差变小了． 9. 如图，正比例函数与一次函数的图象交于点，则不等式（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的函数值小于另一一次函数的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出点坐标以及利用数形结合的思想． 先把代入，求得点A坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入，得， 解得：， ∴， 由图可知，不等式的解集为． 故选：C． 10. 若一组数据a1，a2，…，an的平均数为10，方差为4，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数和方差分别是（ ） A. 13，4 B. 23，8 C. 23，16 D. 23，19 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的概念、方差的性质解答． 【详解】数据a1，a2，…，an的平均数为10，那么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的平均数为 数据a1，a2，…，an的方差为4，么数据2a1+3，2a2+3，…，2an+3的方差为， 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数和方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍． 11. 若一次函数的图象经过点、点和点，则m、n的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质中的函数增减性的知识，解决本题的关键是根据函数的比例系数确定函数的增减性，然后确定两个未知数的大小．根据一次函数的图象经过点，，确定函数增减性，再进一步可得答案． 【详解】解：∵时，， ∴一次函数的图象经过点， ∵一次函数的图象经过，而， ∴该函数图象y随x的增大而增大， ∵一次函数的图象经过点、点， ∵， ∴， 故选：A． 12. 如图，在正方形中，，点P是对角线上一动点（不与A，C重合），连接．过点D作，且，连接． ①； ②的长度最小值为；③；④． 以上判断，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】如图：由等腰直角三角形的性质可得，再根据正方形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得；同理可得，,然后结合可判定①；先说明，即求得的最小值即可判定②；先说明，然后运用勾股定理即可判定③；先证得到，然后运用正方形的性质和勾股定理即可解答． 【详解】解：如图： ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴, ∵是正方形对角线，则, ∴, ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 由正方形的对称性可得， ∴， ∵，而P点为上的动点， ∴不一定成立，即不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即①错误； 在等腰中，，即求得最小值 当时，最小，此时， ∴的长度最小值为，即②错误； ∵，，， ∴，即, ∴,即③正确； 在和中，CD=AB ∴， ∴， ∴,即④正确； 综上，正确的为③④，共3个． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、开动脑筋，耐心填一填! 13. 已知，直角三角形的两边长分别为、，则该直角三角形的斜边长为______． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，非负性的应用，解题的关键是利用非负性正确求出a、b的值.先由非负数的性质求出a、b的值，然后对斜边进行分类讨论，即可求出斜边长． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，； 当是斜边时，由勾股定理得， 第三边为：； 此时该直角三角形的斜边长为； 当第三边是斜边时，有：； 此时该直角三角形的斜边长为， ∴该直角三角形的斜边长为4或； 故答案为：4或． 14. 盐城市拟实施“引进人才”招聘考试，招聘考试分笔试和面试，其中笔试按，面试按计算总成绩．如果小王笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小王的总成绩为_____分． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 【详解】解：分， ∴小王的总成绩为88分， 故答案为：88． 15. 已知，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的运算．根据二次根式有意义的条件，求出的值，代入代数式进行求解即可．解题的关键是掌握被开方数为非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，矩形纸片的长，宽，将其折叠，使点与点重合，那么折叠后的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理，由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】∵点与点重合， ∴由折叠的性质得：，，， 设长为，则， ∵四边形是矩形， ∴，， 根据勾股定理得：，即， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 17. 若一组数据，，，，的方差为，另一组数据，，，，的方差为，则______（，或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算，掌握方程的计算公式是解题的关键．分别计算和，即可进行比较． 【详解】解：数据：，，，，的平均数为：， ； 数据：，，，，的平均数为：， ； ， 故答案为：． 18. 如图，，是平面直角坐标系中的两点，若一次函数的图像与线段有交点，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数图像与系数的关系：当时，图像过第一、三象限，随的增大而增大，越靠近轴正半轴值越大；当时，图像过二、四象限，随的增大而减小，越靠近轴正半轴值越小．将、点坐标分别代入计算出对应的值，然后利用一次函数图像与系数的关系确定的范围． 【详解】解：当直线过点时， 得， 解得：， 当直线过点时， 得， 解得：， 一次函数的图像与线段有交点， 或， 故答案为：或． 三、解答题（解答题要求写出必要的计算步骤或证明过程） 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可求解； （2）利用完全平方公式和平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某些原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）新路比原路少千米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）先根据勾股定理的逆定理说明即可作出判断； （2）设千米，借助勾股定理建立方程求解，再计算与的差即可． 【小问1详解】 解：是，理由： 在中， ∴是从村庄到河边的最近路． 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 由（1）及勾股定理得 解得：， ， ∴ 新路比原路少千米． 21. 4月23日是世界读书日，为激发学生对阅读的热情，某校组织了一场课外知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取20名同学的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，并分为A、B、C、D四个等级：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩的数据是： 66，68，77，78，78，79，85，86，86，86，86，87，88，88，89，89，95，96，96，97． 八年级抽取的学生竞赛成绩在B等的数据是： 80，80，81，84，87，89，89，89，89． 八年级抽取的学生竞赛成绩的扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 七年级 85 a b 八年级 85 89 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b，c的值； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的课外知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有600人、八年级有700人参加了此次课外知识竞赛，90分及以上为优秀，请估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数共有多少？ 【答案】（1） （2）八年级学生的课外知识掌握较好，理由见解析 （3）330人 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数的求解，由众数做决策，由样本估计总体，扇形统计图的应用，正确应用扇形统计图是解题关键． （1）根据众数，中位数的定义分别进行求解即可； （2）八年级抽取的学生竞赛成绩的众数89大于七年级的众数86，故八年级学生的课外知识掌握较好； （3）由成绩为A的学生数除以20人，乘以七八年级的学生总数即可求解． 【小问1详解】 解：由七年级抽取的学生竞赛成绩的数据可知，取得86分的人最多有4人， ， 七年级抽取的20名学生，第十名与十一名都是86分， ， 八年级B等成绩的学生有9人，故所占比例为， C等成绩的学生所占比例为， 等成绩的学生所占比例为， 等成绩的学生有人， 八年级抽取的20名学生，第十名与十一名分别是分84分，87分， 【小问2详解】 八年级抽取的学生竞赛成绩的众数89大于七年级的众数86，故八年级学生的课外知识掌握较好； 【小问3详解】 由（1）可知等成绩的学生有6人， （人）． 答：估计七、八年级参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数共有330人． 22. 已知：如图，一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积． （3）结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【小问1详解】 解：联立，解得， ∴点A坐标为． 【小问2详解】 解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． 【小问3详解】 解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 23. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，连接EF． （1）求证：△AEF是等腰三角形； （2）若，求证：四边形ABCD为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用AAS证明△ABE≌△ADF得出结果； （2）先利用两组对边分别平行证明四边形ABCD为平行四边形，再结合AB＝AD得出菱形. 【小问1详解】 证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形； 【小问2详解】 ∵， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠D+∠C＝180°， ∴， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD为菱形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，掌握全等三角形和菱形的判定方法是解决问题的关键. 24. 为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． （1）设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． （2）为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】（1），最少总运费为10040元； （2）城运往乡200吨，总运费最少． 【解析】 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【小问1详解】 设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； 【小问2详解】 设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 25. 如图，矩形的顶点A，C分别在y，x轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边，分别交于点D，E，并且满足，点P是线段上的一个动点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点P在平分线上，求点P的坐标； （3）连接，若把四边形面积分成两部分，求点P的坐标； （4）设点Q是第二象限内的一点，且以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， （4）Q的坐标是或 【解析】 【分析】（1）先令，即可求得，然后利用求出E的坐标，代入一次函数解析式求得m的值即可求解； （2）过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，先证明矩形是正方形，即有，再根据，即可作答； （3）先求得四边形的面积，然后分两种情况求解即可； （4）分四边形是菱形和四边形是菱形两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：对于，令，解得， 则D的坐标是，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴，则E的坐标是， 把E的坐标代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 过点P作轴于点M，轴于点N，连接，直线交x轴于点H，如图， ∵点P在平分线上， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴平分，轴，轴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 设， ， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知，点P的坐标为： 或； 【小问4详解】 当四边形是菱形时，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵P的纵坐标是3，把代入， 得， 解得：， 则P的坐标是， ∴Q的坐标是； 当四边形是菱形时，如图 ∵四边形是菱形， ∴，， 设P的横坐标是n，则纵坐标是， 则， 解得：或0（舍去）， 则P的坐标是 ∴Q的横坐标是，Q的纵坐标是， ∴Q的坐标是， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $