精品解析：山东省淄博市张店区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 使二次根式的有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：要使有意义，必须，解得：．故选C． 考点：二次根式有意义的条件． 2. 已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值，先根据，得出，再计算即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的加减乘除的运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，则不能合并，故该选项是错误的； B、不是同类二次根式，则不能合并，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C． 4. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接， 则相交于一点O， ∴这两个三角形的位似中心是点O． 故选：B． 5. 若将方程进行配方，则该方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程：配方法的应用，根据移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后化为完全平方公式，即可作答． 【详解】解： ∴ 故选：A 6. 如图，把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形．若已知该菱形的一条对角线长为6，另一条对角线长为8，则图2中小正方形（阴影部分）的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及正方形的性质，根据题意，得出，所以图2中小正方形（阴影部分）的面积为，把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵一条对角线长为6，另一条对角线长为8， ∴设菱形的对角线分别为 则 ∴ ∵将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形 ∴结合图形，得出图2中小正方形（阴影部分）的面积为 ∴ 故选：A 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，再根据题意可得、、，然后根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：，即， 故选A． 8. 如图，在中，，，点D在上，连接若，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，灵活运用相似三角形的性质成为解题的关键． 根据已知条件可得、、，则，进而得到；再证可得，进而得到求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴，即， ∴，解得：(舍弃负值) ． 故选D． 9. 如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（ ）． A. 8 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 如图：连接交于O，连接，由菱形的性质可得、、、、,再由勾股定理可得；再证明是的中位线，进而得到、三点共线、；然后证明可得，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：连接交于O，连接， ∵菱形和菱形，，， ∴，，，,, ∴， ∵， ∴ ∵, ∴是的中位线， ∴, ∵, ∴三点共线，,， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴． 故选C． 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据新定义推导一元二次方程根与系数的新关系、一元二次方程的解法等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 通过解出一元二次方程，结合“n倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“2倍根方程”的定义，得出或，进而得出、，然后再用十字相乘法分解即可判定②；通过解出一元二次方程，结合“2倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“2倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而得出，求出解即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得可得：， ∴方程不是2倍根方程，故①错误； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴，， ∴，即，故②错误； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是2倍根方程， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则，故④正确． 综上所述，关于2倍根方程的说法正确的为：③④． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分.不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 化简：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：因为32=9， 所以=3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方． 12. 已知，是关于x的一元二次方程的两个根，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个根 ∴ 故答案为：3 13. 比较大小：_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握利用平方比较无理数大小的方法是解题的关键．通过比较两个数平方后的值来判断大小． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点H处，折痕为；使边落在边上，点B落在点G处（点H在点G的左侧），折痕为.若矩形与原矩形相似，且，则原矩形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题、相似多边形的性质等知识点，掌握相似形的性质成为解题的关键． 先根据折叠的性质与矩形性质得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，可求得x，进而求得,最后求矩形的面积即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵矩形中， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴原矩形的面积为． 故答案为：． 15. 定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.如图，在筝形中，，，.将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N，证明，则当三点共线时，的值最小，结合菱形性质，得，证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N ∴ 由平移可得 在和中 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小 ∵， 且四边形为菱形 ∴ ∴， ∵， ， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴则的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质以及勾股定理，轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. （1）计算：； （2）求值：已知，，求的值. 【答案】（1）1（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算，即可作答． （2）将已知字母的值代入原式进行计算，注意先算乘方，然后算乘除，最后算加减． 本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式和平方差公式的结构是解题关键． 【详解】解：（1） （2）当，时， ， 的值为． 17. 解方程： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握换元法成为解题的关键. （1）先用直接开平方法整体求出，进而求得方程的解； （2）设，则有，然后用因式分解法求得y，进而完成解答. 【小问1详解】 解：， ， 所以. 【小问2详解】 解：设，则有， ， ∴， ∵， ∴. 18. 小刚在学习了正方形之后，给同桌小宇提出了一个问题. 如图，在中，连接对角线，，请从下列四个条件：①；②；③；④中选两个作为补充条件，使为正方形，并给予证明 请你完成小刚给小宇提出的这个问题 （1）你选择的两个补充条件是______（只填写一种所选两个补充条件的序号）； （2）请用（1）中你所选的两个补充条件作为已知条件，证明为正方形 【答案】（1）①②（答案不唯一） （2）见详解 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定以及平行四边形的性质、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． （1）依题意：选择的两个补充条件是①②； （2）先证明平行四边形是菱形，结合，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意：选择的两个补充条件是①②；（答案不唯一） 【小问2详解】 解： 四边形是平行四边形， ∵ ∴平行四边形是菱形， ∵ ∴菱形是正方形， 19. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 【答案】（1） 证明：， ， 在和中，， ， ． （2） 证明：， ， ，即， 在和中，， ， ， 由（1）已证：， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 20. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题： ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 【答案】（1） （2）10 （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知一元二次方程根的判别式大于或等于0列出不等式求解即可； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，然后运用三角形的周长公式即可解答； （3）①由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积；②根据角平分线的性质以及的面积看求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：． 【小问2详解】 解：由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：． 【小问3详解】 解：①由(2)知：的三边长为， ∴， ∴． ②过I分别作， ∵和的角平分线交于点I， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 21. 在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作探究】 同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕分别与交于点E，F； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，可得四边形. 【问题解决】 （1）在图4的中利用尺规作出折痕；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程. 【答案】 （1）如图4，，即为所求； （2）四边形为菱形， 证明：由折叠可知， 是的角平分线，是的垂直平分线， ，，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； 【解析】 【分析】（1）利用基本尺规作图作出图形； （2）根据折叠的性质、线段垂直平分线的性质得到，，证明，，根据菱形的判定定理证明结论； 本题考查的是尺规作图、菱形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：（1）略 （2）略 22. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为______个，第三周旅游纪念品销售数量为______个； （2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】（1）， （2）9元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、代数式表示量等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由第二周单价降低x元销售一周，可得出第二周的销售数量为个，用总量减去第一周和第二周的销售量即可得到第三周的销售量； （2）由第二周单价降低x元销售一周，可得第二周的每个售价为，然后根据“总利润=总售价-进货总价”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入即可求出第二周每个旅游纪念品的销售价格． 【小问1详解】 解：单价降低x元，由题意可得第二周的销售数量为个； 则第三周的销售量为：个． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由题意可得：， 整理得：，解得：， 所以第二周每个旅游纪念品的销售价格为元． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知边长为8的正方形的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上.点P是x轴正半轴上的一动点，连接，直线绕点P顺时针旋转与过A点的直线相交于点D，连接 （1）求k的值； （2）当点P在边上时（点P与点A不重合），判断形状，并说明理由； （3）如图2，取的中点E，连接，以，为邻边构造平行四边形.问是否存在点P使得平行四边形是菱形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）的值为1 （2）形状为等腰直角三角形，理由： 直线绕点P顺时针旋转与过A点的直线相交于点D， ，， 形状为等腰直角三角形． （3）存在，点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的性质与菱形的性质，正方形的性质．综合运用以上知识点是解题的关键． （1）将点坐标代入求解即可； （2）根据等腰直角三角形的判定方法判定即可； （3）利用证明，得到，，，设，则，，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，点坐标为． 代入， 可得：， 解得：． 的值为1． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在点P使得平行四边形是菱形． 则有． 理由：如图，过点作轴于点， ， ， ， 又， ， 又， ． ，， ， ， ． 设，则，， 是的中点， 是的中线， 在， ， ． 根据勾股定理： 在中，， ， 解得：，． 点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期末学业水平检测 初三数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只 有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 使二次根式的有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点R，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（ ）． A. 点R B. 点O C. 点P D. 点Q 5. 若将方程进行配方，则该方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形．若已知该菱形的一条对角线长为6，另一条对角线长为8，则图2中小正方形（阴影部分）的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步，则由题意下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D在上，连接若，且，则（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在菱形和菱形（点D在边CG上）中，连接相交于点P，连接.若，，，则的长是（ ）． A. 8 B. 9 C. D. 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的n倍（n是正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”.以下是关于“2倍根方程”的说法： ①方程是2倍根方程； ②若关于x的方程是2倍根方程（m，t为常数）， 则； ③若，则关于x的方程是2倍根方程； ④若关于x的方程是2倍根方程，且，则方程有一个根为1. 则以上关于“2倍根方程”的说法中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分.不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 化简：______． 12. 已知，是关于x的一元二次方程的两个根，则______. 13. 比较大小：_______．（填“”“”或“”） 14. 如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点H处，折痕为；使边落在边上，点B落在点G处（点H在点G的左侧），折痕为.若矩形与原矩形相似，且，则原矩形的面积为______. 15. 定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形.如图，在筝形中，，，.将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为______. 三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上） 16. （1）计算：； （2）求值：已知，，求的值. 17. 解方程： （1）； （2）. 18. 小刚在学习了正方形之后，给同桌小宇提出了一个问题. 如图，在中，连接对角线，，请从下列四个条件：①；②；③；④中选两个作为补充条件，使为正方形，并给予证明 请你完成小刚给小宇提出的这个问题 （1）你选择的两个补充条件是______（只填写一种所选两个补充条件的序号）； （2）请用（1）中你所选的两个补充条件作为已知条件，证明为正方形 19. 如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且， （1）求证： （2）若，求证： 20. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题： ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 21. 在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动. 【操作探究】 同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕分别与交于点E，F； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，可得四边形. 【问题解决】 （1）在图4的中利用尺规作出折痕；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程. 22. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为______个，第三周旅游纪念品销售数量为______个； （2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 23. 如图1，在平面直角坐标系中，已知边长为8的正方形的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上.点P是x轴正半轴上的一动点，连接，直线绕点P顺时针旋转与过A点的直线相交于点D，连接 （1）求k的值； （2）当点P在边上时（点P与点A不重合），判断形状，并说明理由； （3）如图2，取的中点E，连接，以，为邻边构造平行四边形.问是否存在点P使得平行四边形是菱形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $