第02讲 集合间的基本关系（七大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第02讲 集合间的基本关系 学习目标： 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集． 2.在具体情境中，了解空集的含义并会应用． 2．能用符号和Venn图表示集合间的关系． 3．掌握列举有限集的所有子集的方法． 重点难点： 重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概: 难点：属于关系与包含关系的区别 一、子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 二、集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 三、真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 四、空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 考点01 判断两个集合的包含关系 1．用正确的符号填空： ① ；② ；③1 ；④ 2．观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ①； ② C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合 ③是两条边相等的三角形}，是等腰三角形}. 3．已知集合，集合，下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 考点02 求子集(真子集)及其个数 6．已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 8．集合的所有真子集为 ． 9．已知集合，，则集合B的子集共有 个． 10．设是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合，写出的所有子集． 11．若集合⫋ ，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 12．已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 考点03 空集的概念辨析 13．下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 14．已知下面关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 15．（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 16．若集合，则实数a的值的集合为 ． 考点04 判断两个集合是否相等 17．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 18．下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 19．（多选）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 20．（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 考点05 根据两个集合相等求参数 21．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 22．已知集合，求 ． 23．已知集合，．若，则的值为 ． 24．已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 25．已知，，若，求实数和的值． 考点06 根据集合的包含关系求参数 26．（多选）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 27．集合，则实数 28．已知集合.若A⫋，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 31．已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 32．已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 考点07 新定义问题 33．定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 34．已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 35．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，，则的子集个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 36．（多选）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合的孙子集的是（    ） A． B． C． D． 基础试炼 一、单选题 1．已知集合和集合，则两个集合间的关系是（    ） A． B． C． D．，互不包含 2．下列式子表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 4．已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．集合，集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．集合间没有包含关系 6．已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 二、多选题 7．已知集合，则下列式子表示正确的是（     ） A． B． C． D． 8．已知集合有两个子集，那么的取值可以是（    ） A．－1 B．1 C．2 D． 三、填空题 9．设，则与的关系是 ． 10．已知集合与集合是两个相等的集合，求的值是 ． 四、解答题 11．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 12．已知集合，现有下列关系：①；②；③；④.若上述关系有且只有一个是正确的，请写出所有符合条件的有序数组. 高阶突破 1．（多选）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C．⫋A D．⫋A 2．（多选）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．若，则存在，满足 C．如果，那么 D．如果，那么 3．设集合，若，把中的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为 . 4．已知集合，若集合M至少有8个子集，则实数m的最小整数值为 ． 5．设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 6．已知，且满足，则的取值范围是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第一册） 第02讲 集合间的基本关系 学习目标： 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集． 2.在具体情境中，了解空集的含义并会应用． 2．能用符号和Venn图表示集合间的关系． 3．掌握列举有限集的所有子集的方法． 重点难点： 重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概: 难点：属于关系与包含关系的区别 一、子集的概念 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,称集合为集合的子集 记法与读法 记作(或),读作“包含于”(或“B包含”) 图示 或 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集,即; （2）对于集合A,B,C,若,且,则 二、集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作.也就是说，若且，则. 三、真子集的概念 定义 如果集合,但存在元素,且,我们称集合是集合的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)若且,则; (2)若且,则 四、空集的概念 定义：我们把不含任何元素的集合,叫做空集，记法： 规定：空集是任何集合的子集,即 考点01 判断两个集合的包含关系 1．用正确的符号填空： ① ；② ；③1 ；④ 【答案】 = 【详解】①集合中的元素具有无序性，故； ②空集是任何元素的子集，故； ③元素和集合之间是属于和不属于的关系，故； ④集合包含于集合，故. 故答案为：=；；；. 2．观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ①； ② C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合 ③是两条边相等的三角形}，是等腰三角形}. 【答案】答案见解析 【详解】①，因为，所以集合是集合的真子集； ②，因为，所以集合是集合的真子集； ③，因为两条边相等的三角形是等腰三角形，所以. 3．已知集合，集合，下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合，集合，所以. 故选：C. 4．下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，显然，且互不包含. 故选：A 5．已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， 故选：C 考点02 求子集(真子集)及其个数 6．已知集合，则含有元素0的A的子集个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】含有元素0的A的子集有，，，，，，，， 故含有元素0的A的子集个数为8. 故选：D. 7．集合的真子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【详解】，共有两个元素， 故其真子集的个数为. 故选：A. 8．集合的所有真子集为 ． 【答案】，， 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 9．已知集合，，则集合B的子集共有 个． 【答案】8 【详解】由题意可知，当时，；, 当时，或；或， 所以， 所以集合B的子集共有个. 故答案为：. 10．设是计算机作图的三种基本色——红、蓝、绿组成的集合，写出的所有子集． 【答案】，，，，，，，． 【详解】不含任何元素的集合：；含一个元素的子集：，，； 含两个元素的子集：，，；含三个元素的子集：， 所以的所有子集是：，，，，，，，． 11．若集合⫋ ，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】87 【详解】考虑反面的两种情况： 若中不含有奇数，则集合的个数等价于集合的子集的个数，即. 若中只含有一个奇数，则有4种可能，集合的个数等价于集合的子集的个数的4倍，即. 不考虑奇数条件时集合共，故共有个. 故答案为：87. 12．已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多为1，故或为单元素集，分情况讨论： ①当时，且，解得； ②当为单元素集时，中只有一个元素， 若，则，符合题意， 若，则，解得． 综上，的取值范围是或， 故答案为：或 考点03 空集的概念辨析 13．下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误； 对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确； 对于C，因为是集合中的元素，故C正确. 故选：A. 14．已知下面关系式：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】①，包含关系是两个集合间的一种关系， 而不是一个集合，故①错误； ②是不含任何元素的集合，，故②正确； ③是任何集合的子集，，故③正确； ④，两集合有包含关系， 且集合为数集，它只有和两个元素， 集合不是它的元素，故④错误. 故其中正确的个数为. 故选：C. 15．（多选）以下四个选项表述正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，对于方程，， 故方程无解，即，D对. 故选：BD. 16．若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 考点04 判断两个集合是否相等 17．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当时，， 所以， 所以，故A正确. 故选：A 18．下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A选项：与不是同一个点，A选项错误； B选项：集合是点集，集合是数集，B选项错误； C选项：根据集合中元素的无序性可知，是同一个集合，C选项正确； D选项：集合是数集，集合是点集，D选项错误； 故选：C. 19．（多选）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，只有当和时，，故，D正确. 故选：BD 20．（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 故选：ABC 考点05 根据两个集合相等求参数 21．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得， 所以， 故选：A 22．已知集合，求 ． 【答案】 【详解】由集合， 则方程有两个等根， 所以，解得， 所以，解得， 所以，即， 故． 故答案为：． 23．已知集合，．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知-1，2是方程的两根， 则，解得，∴． 故答案为：． 24．已知集合中有两个元素、，集合中的两个元素为0、，且，求实数的值． 【答案】 【详解】由，，可知，，解得：． 25．已知，，若，求实数和的值． 【答案】，或，． 【详解】解：由集合相等的概念可知， 或， 解得：或或， 因为当，时， 集合中，集合中，都不符合集合中元素的互异性， 所以，或，． 考点06 根据集合的包含关系求参数 26．（多选）设，若，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】ABD 【详解】因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 故选：ABD 27．集合，则实数 【答案】2 【详解】因为， 所以，解得， 故答案为：2 28．已知集合.若A⫋，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，又A⫋， 所以. 故选：A 29．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，且， 当时，即时，此时满足，符合题意； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 30．（多选）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 31．已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可知. 故答案为：. 32．已知集合，且满足，求实数可能取的一切值． 【答案】 【详解】， 可能为，，. 当时，无解，故，满足， 当时，则，解得， 当时，则，解得. 综上，实数的取值为 考点07 新定义问题 33．定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【答案】D 【详解】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 34．已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【详解】可为、，可为、，有、、， 故，所以集合的所有元素之和为6. 故选：A． 35．定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，，则的子集个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【详解】解：因为所以4是自恋数， 因为，所以26不是自恋数； 因为，所以81不是自恋数； 因为，所以153是自恋数； 因为，所以370是自恋数； 所以， 则子集个数为. 故选：B 36．（多选）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合是集合的孙子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A：为集合B的真子集，当不是非空集，不合要求； B：为集合B的真子集，且为非空集，符合要求； C：为集合B的真子集，且为非空集，符合要求； D：为集合B的子集，但不是真子集，不合要求. 故选：BC 基础试炼 一、单选题 1．已知集合和集合，则两个集合间的关系是（    ） A． B． C． D．，互不包含 【答案】D 【详解】因为集合为函数中的取值集合，为数集，而为曲线上的点的集合，为点集，因此，与互不包含． 故选：D 2．下列式子表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意非空集合的真子集，即，正确； 对于选项B，根据集合的关系知，错误； 对于选项C，根据集合的关系知，错误； 对于选项D，根据元素与集合的关系知，错误. 故选：A. 3．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故选：C. 4．已知集合，则满足条件的集合的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由可得且，根据为的真子集， 可得或或，故满足条件的集合的个数为3. 故选：A 5．集合，集合，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．集合间没有包含关系 【答案】D 【详解】由集合表示函数图象上所有的点的集合， 又由结合表示轴上方所有点的集合， 因为，但，所以集合与之间没有包含关系. 故选：D. 6．已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 二、多选题 7．已知集合，则下列式子表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为， 所以， A：，故A正确； B：是集合，不是元素，不能用，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确； 故选：ACD. 8．已知集合有两个子集，那么的取值可以是（    ） A．－1 B．1 C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为集合有两个子集，说明集合A中只有一个元素， 所以当时，解得：或， 若时，，符合题意， 若时，，不符合题意； 当时，即，且集合A有且仅有一个元素， 则，解得：（舍去）或， 综上所述，的可能取值为2或． 故选：CD． 三、填空题 9．设，则与的关系是 ． 【答案】 【详解】对于：因为，所以，所以； 对于：因为，所以， 所以， 故答案为：. 10．已知集合与集合是两个相等的集合，求的值是 ． 【答案】 【详解】因为集合与集合是两个相等的集合， 所以，，， 解得，， 所以两个集合分别为， . 故答案为：. 四、解答题 11．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 12．已知集合，现有下列关系：①；②；③；④.若上述关系有且只有一个是正确的，请写出所有符合条件的有序数组. 【答案】，，，，， 【详解】（1）时，①，正确，则②正确，不符合题意； 所以当①不正确时有： （2）时，此时③不正确，所以当②正确，④不正确时：，有序数组为； 当②不正确，④正确时：，有序数组为 （3）当时：当②正确，③不正确④不正确时：，有序数组为 当②不正确，③正确④不正确时：，有序数组为 当②不正确，③不正确④正确时：，有序数组为 （4）当时，则④正确，所以只有②不正确，③不正确，故有，有序数组为 符合条件的有序数组的个数为6.分别为(2,3,1,4) ，(2,1,4,3)，(3,2,1,4)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2) 高阶突破 1．（多选）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C．⫋A D．⫋A 【答案】ABC 【详解】集合A中含有元素0，，选项A 判断正确； 集合A中含有元素，，选项B 判断正确； 集合A是二元素非空集合，⫋，选项C判断正确； 0是元素不是集合，选项D判断错误. 故选：ABC 2．（多选）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．若，则存在，满足 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】ABC 【详解】A选项：当，时，，又，，所以，故A正确； B选项：，和同奇或同偶， 当同奇时，为奇数，为偶数； 当同偶时，能被4整除，但不一定能被4整除，所以存在，满足，故B正确； C选项：设，，则，故C正确； D选项：，故D错. 故选：ABC. 3．设集合，若，把中的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，若，则的所有偶子集的容量之和为 . 【答案】 【详解】时，，的所有偶子集为：、、、、、、 、、、、、、. 所以的所有偶子集的容量之和为. 故答案为：. 4．已知集合，若集合M至少有8个子集，则实数m的最小整数值为 ． 【答案】3 【详解】集合有n个元素，则集合有个子集，因集合至少有8个子集，则中至少有3个元素，又由，所以，则的最小整数值为3． 故答案为：3 5．设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 【答案】 【详解】由题设，的非空子集有 ， 含一个元素的子集“容量”之和为， 含两个元素的子集“容量”之和为， 含三个元素的子集“容量”之和为， 含四个元素的子集“容量”之和为， 含五个元素的子集“容量”之和为， 所以S的所有非空子集的“容量”之和为. 故答案为： 6．已知，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，且满足， 所以当时，，即，解得或， 当时，则由题意可得方程有两个正根， 所以，解得， 综上，的取值范围是， 故答案为： 2 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