函数的周期性与对称性、函数的图像和零点 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

函数的周期性与对称性、函数图像和零点 教学目标 1、掌握函数的对称性、周期性等性质，熟悉常考题型 2、掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题 重 点 1、函数的周期、对称问题的综合 2、函数图像变换的基本模型的分析 难 点 1、函数的周期、对称问题的综合 2、函数图像变换的基本模型的分析 （一）函数的对称性、周期性 知识梳理 一、对称性 （一）一个函数图象本身的对称性（自对称性） 1、轴对称 的图象关于直线对称 推论1、的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、的图象关于直线对称 2、中心对称 的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称 （二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、与图象关于轴对称 2、与图象关于原点对称 3、与图象关于轴对称 4、与其反函数图象关于直线对称 ※5、函数与图象关于直线对称 推论1、函数与图象关于直线对称 推论2、函数与图象关于直线对称 推论3、函数与图象关于直线对称 二、函数的周期性 对于函数，如果 存在 一个常数，使得对于定义域内的任意一个，都有，那么这个函数叫做周期函数，非零常数叫做的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期. ※※补充常用性质： ①若，则，即； ② 若，则，即； ③若，则，即. ④若或， ⑤如果奇函数满足则可以推出其周期是，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上） 如果偶函数满足则亦可以推出周期是，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）. ⑥如果奇函数满足（），则函数是以为周期的周期性函数.如果偶函数满足（），则函数是以为周期的周期性函数. 例题精讲 【例1】（1）若函数的图像关于直线对称,则 （2）函数的图象的对称中心是　　 ． （3）关于函数的下列判断，其中正确的是（ ） A．函数的图像是轴对称图形 B．函数的图像是中心对称图形 C．函数有最大值 D．当时，是减函数 （4）函数的图象的对称中心为（ ） A． B． C． D． 【例2】（1）若函数的图象关于直线对称，则的最大值是　　 A． B．4 C．4或 D．不存在 （2）已知对于任意给定的正实数，函数的图象都关于直线成轴对称图形，则　　 ． （3）用，表示，两数中的最小值，若函数，的图象关于对称，则的值为　 　． 【例3】（1）若总成立，则函数的图象（ ） A．关于点对称 B．关于对称 C．以4为周期 D．关于原点对称 （2）已知函数满足，则实数的值为　 　． 【例4】(1) 设偶函数对任意，都有，且当,时，，则 A．10 B． C． D． (2) 已知函数满足，当时，，则_______． (3) 是定义在R上的偶函数，，又当时，，则______． (4) 已知是上的奇函数,对都有成立,若,则_______． 【例5】（1）已知函数的周期为4，且当时，，则的值为______. （2）已知函数，则__________． （3）已知是以为周期的偶函数，且当时，，则当时，_____________. 【例6】(1) 若偶函数满足条件：，则函数的一个周期为　 　． (2) 已知定义在上的函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于直线对称，则　　 A．0 B．2 C． D． (3) 设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称， 则 【例7】（1）已知函数的定义域为, 且对任意, 都有,求证:函数是周期函数. （2）设定义域为的偶函数满足. 当时, . ①求在区间上的解析式; ②求在区间上的解析式. 巩固训练 1、定义在R上的函数，给出下列四个命题： ①若是偶函数，则的图象关于直线对称 ②若则的图象关于点对称 ③若=，且，则的一个周期为2。 ④与的图象关于直线对称。 其中正确命题的序号为 。 2、函数与的图象（ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线y=x对称 3、下列函数中，其图象与函数的图象关于点对称的是（ ） A． B． C． D． 4、 定义在上的函数满足,,则______. 5、已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则 . 6、已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（ ） A． B． C． D． 7、已知函数满足，，则等于　　 A． B．1 C．2 D．3 8、定义在上的函数满足，当时，，当时，，则（ ） A．333 B．336 C．1678 D．2015 9、已知函数是定义在上的周期为的奇函数.当时,=,则实数的值等于________. 10、设的定义域是全体实数，且的图像关于直线和对称，其中，则是（ ） A、一个以为周期的周期函数 B、一个以为周期的周期函数 C、一个非周期函数 D、以上均不对 11、若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 （二）函数的图像和零点 知识梳理 图像变换问题 注意：一切变换针对于变量本身 （1）平移变换： ⅰ．函数的图象 函数的图象； ⅱ．函数的图象 函数的图象； （2）伸缩变换： ⅰ．函数的图象 函数的图象； ⅱ．函数的图象 函数的图象； （3）对称变换： ⅰ．函数的图象 函数的图象； ⅱ．函数的图象 函数的图象； ⅲ．函数的图象 函数的图象； （4）翻折：自变量加绝对值即把轴下方部分翻折到上方即可，自变量加绝对值需把轴左侧部分清除，并画出与右侧部分图像对称的图像. i函数的图象 函数图象； ii函数的图象 函数图象； （5）顺序：针对于变量的运算，在变换过程中由外层运算向内层运算进行.但注意，由于习惯把单独放在等式左边，所以针对于的变换如在右侧进行的话，规则相反. 如：可由函数 （针对于的变换结束） （针对于的变换结束） 四、函数的零点：对于函数，如果存在实数，当时， ，那么就把叫做函数的零点.注：零点是数； 用二分法求零点的理论依据是：（零点定理）（请认真查阅课本学习求零点的精确度关于次数的问题） ①函数在闭区间上连续； ② 那么，一定存在，使得.（反之，未必） 例题精讲 【例8】由的图像, 经过如何变换可得到下列函数的图像? (1); (2). 【例9】（1）函数的大致象为（ ） A． B． C． D． （2）函数的大致图像是（ ） A．B．C． D． （3）函数的大致图像为（ ） A． B． C． D． 【例10】（1）要得到的图像，只需作关于_____轴对称的图像，再向_____平移个单位而得到. （2）若函数的图像(如右图)由图像平移所得,则_____. （3）将曲线向左平移1个单位, 再向下平移两个单位得到曲线, 如果曲线与关于原点对称, 曲线与关于直线对称, 则曲线对应的函数解析式为___________________. 【例11】关于函数，给出以下四个命题：（1）当时，单调递减且没有最值；（2）方程一定有实数解；（3）如果方程（为常数）有解，则解得个数一定是偶数；（4）是偶函数且有最小值.其中假命题的序号是____________. 【例12】(1) 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为　　 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A． B． C． D． (2) 函数的零点所在的大致区间是　　 A． B． C． D． 【例13】(1) 已知函数，，，则函数的所有零点之和等于　　 A．0 B． C． D． (2) 已知定义在上的函数满足,若函数恰有四个零点, 则这四个零点的和为________________. 【例14】(1) 若函数无零点，则的取值范围为 ． (2) 已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为　　 ． (3) 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为　 　． 巩固训练 1、函数（其中的图像不可能是　　 A． B． C． D． 2、已知函数是偶函数，的奇函数，它们的定义域为，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集为_________________． 3、若函数y＝f（2x﹣1）+1的图像按向量平移后的函数解析式为y＝f（2x+1）﹣1，则向量等于（　　） A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） 4、设,的图像与的图像关于直线对称,的图像由的图像向左平移个单位得到,则=__________． 5、在平面直角坐标系中，若点M，N满足：①点M，N都在函数的图像上；②点M，N关于原点对称，则称点M，N是函数的一对“靓点”.已知函数，则函数有_______________对“靓点”. 6、若函数满足，且，时，．则函数的图象与函数的图象的交点的个数为　　 A．3 B．4 C．6 D．8 7、已知是函数的零点，则实数　　 A． B． C． D． 8、函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于________ 9、函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是为 10、已知偶函数满足，且当时，，若函数有六个零点，则（ ） A． B． C． D． ( 实战演练 ) 一、填空题 1、已知是函数的零点，则　 　． 2、已知是偶函数，则函数的图象的对称轴方程是 ． 3、已知函数满足，且在区间，上，，则的值为　 　． 4、已知函数，则在区间上的最小值是______. 5、是定义域为的偶函数，对，都有，当时，，则　 　． 6、已知是最小正周期为2的函数，当，时，，若在区间，上有两个零点，则实数的取值范围是　　 ． 二、选择题 7、对于任意实数满足条件，若（1），则（5）　　 A． B． C． D．5 8、函数的零点的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 9、已知函数，对任意，都有为常数），且当，时，，则　　 A．1 B．2 C．4 D．5 10、设奇函数的定义域为实数集，且满足，当，时，．则的值为　　 A． B． C．0 D． 三、解答题 11、已知函数，且是偶函数. （1）求的值： （2）画出的图像，并指出其单调区间； （3）若关于的方程有实数解，求的取值范围. 12、已知函数是定义在上的周期函数，周期为5，函数是奇函数，又知在，上是一次函数，在，上是二次函数，且在时函数取得最小值， （1）求（1）（4）的值； （2）求，，上的解析式； （3）求在，上的解析式，并求函数的最大值与最小值． ( 第 1 页 共 2 页 )函数的周期性与对称性、函数图像和零点—学生版 学科网（北京）股份有限公司 $$