函数的周期性与对称性、函数的图像和零点 讲义-2025届高三数学一轮复习（适用于上海市）

函数的周期性与对称性、函数图像和零点

教学目标	1、掌握函数的对称性、周期性等性质，熟悉常考题型 2、掌握函数的图象变换的基本模型，能应用基本模型解决实际问题
重    点	1、函数的周期、对称问题的综合 2、函数图像变换的基本模型的分析
难    点	1、函数的周期、对称问题的综合 2、函数图像变换的基本模型的分析

 

 

 

（一）函数的对称性、周期性

知识梳理

一、对称性

（一）一个函数图象本身的对称性（自对称性）

1、轴对称

的图象关于直线对称

推论1、的图象关于直线对称

推论2、的图象关于直线对称

推论3、的图象关于直线对称

 

2、中心对称

的图象关于点对称

推论1、的图象关于点对称

推论2、的图象关于点对称

推论3、的图象关于点对称

 

（二）两个函数的图象对称性（互对称性）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、与图象关于轴对称

2、与图象关于原点对称

3、与图象关于轴对称

4、与其反函数图象关于直线对称

※5、函数与图象关于直线对称  

推论1、函数与图象关于直线对称

推论2、函数与图象关于直线对称

推论3、函数与图象关于直线对称

 

二、函数的周期性

对于函数，如果 存在 一个常数，使得对于定义域内的任意一个，都有，那么这个函数叫做周期函数，非零常数叫做的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做这个函数的最小正周期.

※※补充常用性质：

①若，则，即；

② 若，则，即；

③若，则，即.

④若或，

⑤如果奇函数满足则可以推出其周期是，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）

如果偶函数满足则亦可以推出周期是，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 （以上）.

⑥如果奇函数满足（），则函数是以为周期的周期性函数.如果偶函数满足（），则函数是以为周期的周期性函

数.

 

例题精讲

【例1】（1）若函数的图像关于直线对称,则        

 

 

（2）函数的图象的对称中心是　　     ．

 

 

（3）关于函数的下列判断，其中正确的是（    ）

A．函数的图像是轴对称图形 B．函数的图像是中心对称图形

C．函数有最大值 D．当时，是减函数

 

（4）函数的图象的对称中心为（    ）

A． B． C． D．

 

 

 

【例2】（1）若函数的图象关于直线对称，则的最大值是　　

A． B．4 C．4或 D．不存在

 

 

 

（2）已知对于任意给定的正实数，函数的图象都关于直线成轴对称图形，则　　       ．

 

 

 

（3）用，表示，两数中的最小值，若函数，的图象关于对称，则的值为　     　．

 

 

 

【例3】（1）若总成立，则函数的图象（    ）

A．关于点对称 B．关于对称

C．以4为周期 D．关于原点对称

 

 

（2）已知函数满足，则实数的值为　    　．