第5章平面直角坐标系 培优题突破练习 【7个考点40题专练】【冲刺满分】2024?2025学年苏科版数学八年级上册

第5章平面直角坐标系 培优题突破练习★★★ 【7个考点40题专练】 【冲刺满分】2024−2025学年苏科版数学八年级上册 1 一．点的坐标 二．坐标确定位置 三．坐标与图形性质 四．关于x轴 五．坐标与图形变化 六．坐标与图形变化 七．坐标与图形变化 2 一．点的坐标 3 1.若点P在x轴的下方，y轴的左方，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．则点P的坐标为( ____ ) A.(-3，2) B.(-2，3) C.(-3，-2) D.(-2，-3) 【解析】解：∵点P在x轴的下方，到x轴的距离是3， ∴P点纵坐标为-3， ∵P在y轴的左方，到y轴的距离是2， ∴P点横坐标为-2， D 4 ∴P(-2，-3)， 故选：D． 5 2.已知点A(x+2，2y-3)在第二象限，则点B(1-x,4y-5)在第 ____ 象限． 【解析】解：∵A(x+2，2y-3)在第二象限， ∴x+2＜0，2y-3＞0， ∴x＜-2，y＞ ， ∴1-x＞3， 4y-5＞1， ∴点B在第一象限． 故答案为：一． 一 6 二．坐标确定位置 7 3.如图，小王家在2街与2大道的十字路口，如果用(2，2)→(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)表示小王从家到工厂上班的一条路径，那么你能用同样的方式写出由家到工厂小王走的路径吗？ _____ 试一试： _____________________________________________________ ． 【解析】解：∵(2，2)→(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)表示小王从家到工厂上班的路径∴小王家的位置为 (2，2)→(3，2)→(4，2)→(5，2)→(5，3)→(5，4) 8 (2，2)，工厂的位置为(5，4)．故答案为(2，2)→(3，2)→(4，2)→(5，2)→(5，3)→(5，4)． 9 4.在一次寻宝游戏中，寻宝人已经找到了A(3，2)和B点的坐标为(-3，2)，则宝藏的坐标(5，5)在哪里？ 【解析】解：如图，宝藏的坐标(5，5)在P点处． 10 5.如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP=a,那么我们规定用(a,β)表示点P在平面内的位置，并记为P(a,β)，例如，图2中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置，记为M(8，110)，根据图形，解答下面的问题： (1)如图3，如果点N在平面内的位置记为N(6，30)，那么ON= ____ ；∠XON= _____ ． (2)如果点A、B在平面内的位置分别记为A(5，30)，B(12，120)，试求A、B两点之间的距离并画出图． 6 30° 11 __________ 【解析】解：(1)根据点N在平面内的位置极为N(6，30)可知，ON=6，∠XON=30°． 故答案为：6，30°； (2)如图所示：∵A(5，30)，B(12，120)， ∴∠BOX=120°，∠AOX=30°， ∴∠AOB=90°， ∵OA=5，OB=12，∴在Rt△AOB中，AB= =13． 12 三．坐标与图形性质 13 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，6)、点B(0，2)，点C(4，0)、点D(5，0)，∠AEB=90°，点F为DE中点，则CF长度的最小值为( ____ ) A. B. C. D. B 14 【解析】解：如图，取点M(3，0)，H(0，4)，连接EM，则FC是△DEM的中位线，则FC= EM， ___ ∵∠AEB=90°， 15 ∴点E在以点H(0，4)为圆心，2为半径的圆上，连接DH交⊙H于点E′，点E′即为使EM最小的点． ∵OH=4，OM=3， ∴HM=5， ∵HE′=2， ∴E′M=3， ∴FC的最小值为 ， 故选：B． 16 7.如图，在平面直角坐标系中，A(-1，0)，B(2，0)，C(a,a+6)，D为线段BC的中点，线段AD交线段OC于点E，当线段OE最短时，此时点E的坐标为( ____ ) A.(- ， ) B.(-1，1) C.(- ，1) D.(- ， ) A 17 【解析】解：∵D为线段BC的中点， ∴D点坐标为( ， )， ①当a≠0时，设AD直线解析式为y=kx+b(k≠0)， 将A(-1，0)，D( ， )两点代入y=kx+b,解得k=b= ， ∴y= x+ ， 设OC直线解析式为y=kx(k≠0)， 将C(a,a+6)代入到y=kx,解得y= x, 18 联立 ，解得x= ，y= ， ∴E点坐标为( ， )， ∴OE= = ，即当a=-3时，OE最短，OE= ，即E(- ， )， ②当a=0时，即D(1，3)，AD直线解析式为y= (x+1)， 19 由于OC在y轴上， 故x=0时，y= ，即E(0， )，OE= ＞ ，故当a=-3时，OE最短，此时E(- ， )， 故选：A． 20 8.已知两点A(a,5)，B(-1，b)且直线AB∥x轴，则( ____ ) A.a可取任意实数，b=5 B.a=-1，b可取任意实数 C.a≠-1，b=5 D.a=-1，b≠5 【解析】解：∵AB∥x轴， ∴b=5，a≠-1， 故选：C． C 21 9.如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC=16，BC=6．点B到原点的最大距离为( ____ ) A.22 B.18 C.14 D.10 【解析】解：取AC的中点D，连接OD，BD，OB，如图， B 22 ___ ∵D为AC的中点，∠AOC=90°， ∴OD=CD= AC=8． ∵∠ACB=90°， ∴BD= = =10． 当O，D，B三点不在一条直线上时，OB＜OD+BD=8+10=18， 当O，D，B三点在一条直线上时，OB=OD+BD=8+10=18， ∴当O，D，B三点在一条直线上时，点B到原点的最大距离为18． 23 10.在平面直角坐标系中，点A(0，6)，点 B(-6，0)，坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有( ____ ) 个 A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】解：当BC=AB时，以点B为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C1、C2、C3(不包括点A)． C 24 ___ 25 当AC=AB时，以点A为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C4、C5、C6(不包括点B)． 当AC=BC时，点C应该在AB的垂直平分线上． ∵OA=OB， ∴点O在AB的垂直平分线上． 综上，这样的C点共有7个，分别是点C1、C2、C3、C4、C5、C6、O． 故答案为：C． 26 11.如图，在平面直角坐标系中，A(-3，0)，B(3，0)，C(3，4)，点P为任意一点，已知PA⊥PB，则线段PC的最大值为( ____ ) A.3 B.5 C.8 D.10 【解析】解：如图所示，连接OC，OP，PC， ∵PA⊥PB， ∴∠APB=90°， C 27 又∵AO=BO=3， ∴Rt△ABP中，OP= AB=3， ∵OC-OP≤CP≤OP+OC， ∴当点P，O，C在同一直线上，且点P在CO延长线上时，CP的最大值为OP+OC的长， ∴线段PC的最大值为OP+OC=3+5=8， 故选：C． 28 12.如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，B(-4，0)，C(8，8)，D(-4，12)，点E在x轴上，满足∠BED=∠DEC，则点E的坐标为( ____ ) A.(2，0) B.(6，0) C.(8，0) D.(2，0)或(8，0) 【解析】解：分两种情况： (1)如图，过D作DT⊥AC于T， ∵A(8，0)，B(-4，0)，C(8，8)，D(-4，12)， D 29 ∴∠DBA=∠BAT=∠ATD=90°，BD=BA=12， ∴四边形ABDT是正方形， 连接AD，则∠BAD=∠TAD=45°， ∴E，A重合时，有∠BED=∠DEC， ∴E点的坐标为(8，0)； 30 ___ (2)2如图，过D作DH⊥EC于H， ∵∠BED=∠DEC，DB⊥BE， 31 ∴DB=DH=12， 又∵DE=DE， ∴Rt△BDE≌Rt△HDE(HL)， ∴HE=BE， 由(1)知四边形ABDT是正方形， ∴BD=DT=AB=AT=12， ∴DH=DT=12， 又∵CD=CD， ∴Rt△DTC≌Rt△DHC(HL)， ∴CT=CH， ∵AC=8， 32 ∴CT=CH=AT-AC=4， 设BE=x,则HE=x, ∴CE=HE+CH=x+4， AE=AB-BE=12-x, 在Rt△AEC中，由勾股定理可得： AE2+AC2=CE2，即：(12-x)2+82=(x+4)2， 解得：x=6， ∴BE=6， ∴OE=BE-OB=6-4=2， 此时E(2，0)， 综上所述：E(2，0)或(8，0)， 33 故答案选：D． ___ 34 13.如图，A、B两点的坐标分别为(2，4)，(6，0)，点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为 __________________ ． 【解析】解：如图，设P点坐标为(x,0)， 根据题意得 •4•|6-x|=6， 解得x=3或9， 所以P点坐标为(3，0)或(9，0)． 故答案为：(3，0)或(9，0)． (3，0)或(9，0) 35 14.如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，3)，连接AC，BD，则AC+BD的最小值为 　　． 【解析】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． 36 ___ 则E(-2，3)，A′(0，-2)，AC+BD=CA′+CE＞EA′， EA′= = ， ∴AC+BD的最小值为 ． 故答案为： ． 37 15.已知如图，点A(-2，0)、B(4，0)、D(-5，9)，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒 个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是 _________ 时，点M在整个运动过程中用时最少． 【解析】解：M在整个过程共用时：t= =AF+ DF， 如图分别作CD∥x轴，BC∥y轴，使直线CD、BC交于C， (-2，6) 38 ___ ∵D的坐标为(-5，9)，B(4，0)， ∴BC=|yD|=9，CD=|xB-xA|=|4+5|=9， ∴BC=CD， 39 ∵∠BCD=90°， ∴△BCD为等腰直角三角形， 如图过点F作EF⊥CD于点E，连接AE， ∴△DEF也是等腰直角三角形， ∴EF= DF， ∴t=AF+ DF=AF+EF≥AE， 当AE⊥CD时，AE取得最小值，即AE=BC=9， ∴tmin=9， 此时，AE'与BD交于点F'， 40 ∴F'的横坐标等于A点的横坐标， ∴xF'=-2， 设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将点B(4，0)和点D(-5，9)代入解析式得 ， 解得 ， ∴解析式为y=-x+4， 将x=-2代入y=-x+4，得y=6， ∴当F的坐标为(-2，6)，点M在整个运动过程中用时最少， 故答案为：(-2，6)． 41 16.点A的坐标为(1，2)，C为x轴上一点，且△AOC为等腰三角形，满足条件的点C有　 　个，请写出一个满足条件的点C的坐标　 　． 【解析】解：点A的坐标为(1，2)，因而OA= ，△AOC为等腰三角形， 当OA是等腰三角形的底边时，顶点是OA的垂直平分线与x轴的交点，根据相似三角形的性质就得到点C的坐标是(2.5，0)； 当O是等腰三角形的顶角顶点时，以O为圆心， 为半径所作的圆与x轴有两个交点，坐标分别是( ，0)和(- ，0)； 当A是等腰三角形的顶角顶点时，以A为圆心， 42 为半径所作的圆与x轴有两个交点，坐标分别是(2，0)． ∴点C有4个，写出一个满足条件的点C的坐标(2，0)或( ，0)或(- ，0)或(2.5，0)只要写出一个． 43 17.如图，在平面直角坐标系中，点A(0，6)，B(a,3)(a＞0)，P为x轴上一点，∠PAB=45°，∠PBA=30°，则a的值为 　　． 【解析】_____ 解：如图：过点P作PC⊥AB，过C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，过A作AG⊥y轴，过点B作 GH⊥y轴交AG于点G， ∵点A(0，6)，B(a,3)， ∴．GB=BH=3，AO=GH=FE=6， 44 .∵∠PAC=45°，∠PBC=30°， 在Rt△ACP和RtBCP中， tan∠PAC= ，=tan45°，tan∠PBC= ∴AC=PC，BC= PC ∵∠ACP=∠DCE=90° ∴∠ACD=∠PCE 在△ADC和△PCE中， ∠ACD=∠PCE、∠ADC=∠CEP=90°、AC=CP ∴△ADC≌△PEC(AAS)， ∴CD=CE 45 ∠ADC=∠DAF=∠DCF=90° ∴四边形ADCF为矩形， ∴CD=CE=AF， ∵FC∥BG， ∴AFC=∠G，∠ACF=∠ABG， ∴△AFC∽△AGB， ∴ = = ， ∴CF= ， ∴CE=FE-FC=6- = ， 46 ∴ ， ∴AG=a= ， 故答案为：3+6 47 18.已知点P(x,y)在以原点为圆心，半径为5的圆上运动，则3x+4y的最大值为 ____ ． 【解析】解：设3x+4y=t(t＞0)， ∵点P(x,y)在以原点为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当直线3x+4y=t与圆相切时，t有最大值． 此时圆心到直线的距离等于半径R，设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 当x=0时，y= t,当y=0时，x= ． ∴A( ，0)，B(0， )． 25 48 ∴AB= = t, ∵S△OAB= OA•OB= AB•R． ∴ • = •5 ∴t=25． ∴t的最大值为25． 故答案为25． 49 19.如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，4)，连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　　． 【解析】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． 50 ___ 则E(-2，4)，A′(0，-2)，AC+BD=CA′+CE≥EA′， EA′= =2 ， ∴AC+BD的最小值为2 ． 故答案为：2 ． 51 20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，6)，点B(4，3)，P是x轴上的一个动点．作OQ⊥AP，垂足为Q，则点Q到直线AB的距离的最大值为　　． 【解析】解：∵点A(0，6)，点B(4，3)， ∴AB= =5， 如图，作BH⊥OA于H，过H作NC⊥AB于C，则H(0，3)，HC= = ， ∴H点为OA的中点， ∵OQ⊥PA， 52 ∴∠OQA=90°， ∴点Q在以OA为直径的圆上， 连接QH，则QH= AO=3， 如图，当Q，H，C在同一直线上，且QH⊥BC时，Q点到AB的距离最大， 此时，CQ=QH+CH=3+ = ， 即点Q到直线AB的距离的最大值为 ， 故答案为： ． 53 21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(4，1)，B(1，1)C(4，5)，D(6，-3)，E(-2，5) (1)在坐标系中描出各点，画出△AEC，△BCD． (2)求出△AEC的面积(简要写明简答过程)． 【解析】解：(1)如图所示： 54 ___ (2)△AEC取EC为底，则EC为6，EC边上高AC=4 所以S△AEC= ×6×4=12． 55 22.在图所示的平面直角坐标系中表示下面各点： A(0，3)，B(1，-3)，C(3，-5)，D(-3，-5)，E(3，5)，F(5，7)． (1)A点到原点O的距离是 ____ 个单位长． (2)将点C向左平移6个单位，它会与点 ____ 重合． (3)连接CE，则直线CE与y轴是什么位置关系？ (4)点F到x、y轴的距离分别是多少？ 3 D 56 【解析】解：在平面直角坐标系中表示出各点，如下所示： ___ (1)A点到原点O的距离是3个单位长； (2)将点C向左平移6个单位后的坐标为(-3，-5)，所以与点D重合； 57 (3)∵点C和点E的横坐标相等， ∴直线CE与y轴平行； (4)点F(5，7)到x轴的距离=|7|=7，到y轴的距离=|5|=5． 故答案为3，D． 58 23.如图，在平面直角坐标系中，点A(-3b,0)为x轴负半轴上一点，点B(0，4b)为y轴正半轴上一点，其中b满足方程：3(b+1)=6． (1)求点A、B的坐标； (2)点C为y轴负半轴上一点，且△ABC的面积为12，求点C的坐标； (3)在(2)的条件下，在x轴上是否存在点P，使得△PBC的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)解方程：3(b+1)=6，得：b=1， 59 ∴A(-3，0)， B(0，4)， (2)∵A(-3，0)， ∴OA=3， ∵△ABC的面积为12， ， ∴BC=8， ∵B(0，4)， ∴OB=4， ∴OC=4， ∴C(0，-4)； 60 (3)存在， ∵△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，C(0，-4)，B(0，4)， ∴BC上的高OP为 ， ∴点P的坐标( ，0)或(- ，0)． 61 24.已知点A(a,3)，点B(b,6)，点C(5，c)，AC⊥x轴，CB⊥y轴，OB在第二象限的角平分线上： (1)写出A、B、C三点坐标； (2)求△ABC的面积； (3)若点P为线段OB上动点，当△BCP面积大于12小于16时，求点P横坐标取值范围． 【解析】解：(1)如图所示： ∵AC⊥x轴，CB⊥y轴， ∴A和C的横坐标相同，B和C的纵坐标相同 62 ， ∴A(5，3)，C(5，6)， ∵B在第二象限的角平分线上， ∴B(-6，6)； (2)∵BC=5-(-6)=11， ∴△ABC的面积= ×11×(6-3)= ； (3)设P的坐标为(p,-p)， 则△BCP的面积= ×11×(6+p)， ∵△BCP面积大于12小于16， 63 ∴12＜ ×11×(6+p)＜16， 解得：- ＜p＜- ； 即点P横坐标取值范围为：- ＜p＜- ． 64 25.△ABC的边AC在正方形网格中的位置如图所示，已知每个小正方形的边长为1，顶点A坐标为(-2，-2)． (1)请在网格图中建立并画出平面直角坐标系； (2)直接写出点C的坐标为 ________ ； (3)若点B的坐标为(3，-2)，请在图中标出点B并画出△ABC； (4)求△ABC的面积． 【解析】解：(1)如图所示； (2)C的坐标为(0，2)； 故答案为：(0，2)； (0，2) 65 (3)如图所示，△ABC即为所求； (4)∵A坐标为(-2，-2)，C的坐标为(0，2)，B的坐标为(3，-2)，∴S△ABC= ×5×4=10． 66 四．关于x轴 67 26.在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上． (1)点A，B，C的坐标分别为 _________ ， _________ ， ___________ ； (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，求△A1B1C1的面积． 【解析】解：(1)(-4，3)，(-1，2)，(-3，-4)． (-4，3) (-1，2) (-3，-4) 68 故答案为：(-4，3)，(-1，2)，(-3，-4)． (2)△ABC 是直角三角形，理由如下： 因为，点A，B，C的坐标分别为 (-4，3)，(-1，2)，(-3，-4)， 所以， ， ， ， 所以，AB2+BC2=AC2， 所以，△ABC是直角三角形． (3)如图，△ABC 关于y轴对称的△A1B1C1． 由图可知： ．∴△A1B1C1 的面积为10． 69 五．坐标与图形变化 70 27.如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标(0，3)，点B坐标(4，0)，将点O沿直线y=- x+b对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O'处，则b的值为( ____ ) A. B. C. D. D 71 【解析】解：如图，设AE是△AOB的角平分线，过点E作EH⊥AB于H，过点O作OT⊥AB于T，交直线y=- x+b于J． ___ ∵A(0，3)，B(4，0)， ∴OA=3，OB=4， ∴AB= = =5，直线AB的解析式为y=- x+3， ∵AE平分∠OAB，EO⊥OA，EH⊥AB， 72 ∴OE=EH，设OE=EH=a,则BE=4-a,OA=AH=3，BH=2， 在Rt△BHE中，则有a2+22=(4-a)2， 解得a= ， ∴E( ，0)， ∴直线AE的解析式为y=-2x+3， ∵将点O沿直线y=- x+b对折，点O恰好落在∠OAB的平分线上的O'处， ∴这条直线平行AB，点O′在直线OT上， 73 ∵直线OT的解析式为t= x, 由 ，解得 ， ∴O′( ， )， ∵OJ=JO′， ∴J( ， )， 则有 =- × +b, 74 解得b= ． 故选：D． 75 28.在平面直角坐标系xOy中，点A(2+2m,1)，点B(2-m,4)，其中m为实数，点O关于直线AB的对称点为C，则AB的最小值为 　　，点P(-2，0)到点C的最大距离为 　　． 【解析】解：∵A(2+2m,1)，点B(2-m,4)， ∴点A在直线y=1上，点B在直线y=4上， ∴AB的最小值为3， 如图，设直线AB的解析式为y=kx+b. 76 ____ 则有 ， 解得 ， 77 ∴直线AB的解析式为y=- •x+3+ ， ∵x=2时，y=3， ∴直线AB经过定点D(2，3)， 连接PD，CD，OD， ∵P(-2，0)， ∵PD= =5，OD= = ， ∵O，C关于直线AB对称， ∴DC=OD= ， ∴PC≤PD+CD=5+ ， 78 ∴PC的最大值为5+ ． 故答案为：3，5+ ． 79 六．坐标与图形变化 80 29.如图，在平面直角坐标系中，AB∥DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是( ____ ) A.11.4 B.11.6 C.12.4 D.12.6 【解析】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T，连接CT． A 81 _____ ∵AD=DC=5，DJ⊥AC， ∴AJ=JC=3， ∴DJ= = =4， ∵CD∥AT． ∴∠DCJ=∠TAJ， ∵∠DJC=∠TJA， 82 ∴△DCJ≌△TAJ(ASA)， ∴CD=AT=5，DJ=JT=4， ∵∠AJT=∠ACB=90°， ∴JT∥BC， ∵AJ=JC， ∴AT=TB=5， 设OA=x,∵OD2=AD2-OA2=DT2-OT2， ∴52-x2=82-(x+5)2， 解得x=1.4， ∴OB=OA+AB=1.4+10=11.4， ∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合， 83 ∴m=OB=11.4， 故选：A． 84 30.如图，在平面直角坐标系中，A(a,-3)，B(a+3，-3)，且a＞0，P为y轴上一动点．连接AB，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段CD，则下列结论：①CD=3；②∠OBA+∠OCD=∠BOC+180°；③若△PCD的面积为6，则P点的坐标为(0，3)或(0，-5)；④若P点不在直线AB、CD上，△PCD面积为x,△PAB面积为y,四边形ABDC面积为z,则|x-y|= z. 其中正确的有( ____ ) A.①②④ D 85 B.①③④ C.①②③④ D.①②③ 【解析】解：∵A(a,-3)，B(a+3，-3)， ∴AB=a+3-a=3， ∵CD=AB， ∴CD=3故①正确， 如图，延长DC交OB于点F． 86 ___ ∵CD∥AB， ∴∠OBA=∠CFB， ∵∠OCD=∠BOC+∠CFO， ∴∠OCD=∠BOC+180°-∠OBA， ∴∠OBA+∠OCD=∠BOC+180°，故②正确， 87 设P(0，m)，则有 ×3×|m+1|=6， 解得m=3或-5， ∴P(0，3)或(0，-5)，故③正确， 结论④错误，理由：当点P在CD的上方或AB的下方时，结论成立， 当点P在AB与CD之间时，则有|x+y|= z. 故正确的有：①②③， 故选：D． 88 31.常见的图形变换与点的坐标变化规律有哪些？请阅读并补充下面的总结： (1)当横坐标乘以-1，纵坐标不变时，所得图案与原图案关于　　轴对称； (2)当横坐标不变，纵坐标乘以-1时，所得图案与原图案关于　　轴对称； (3)当横坐标都加上(或减去)某一个数，纵坐标不变时，所得图案与原图案相比整体向　　(或向　　)移动． (4)当横坐标不变，纵坐标都加上(或减去)某一个常数时，所得图案整体向　　(或向　　)移动． (5)当横坐标、纵坐标都变为原来的n倍(或n分之一)时，所得图案放大( 89 或缩小)为原来的　　倍(或　　分之一)． 【解析】解：(1)当横坐标乘以-1，纵坐标不变时，所得图案与原图案关于y轴对称； (2)当横坐标不变，纵坐标乘以-1时，所得图案与原图案关于x轴对称； (3)当横坐标都加上(或减去)某一个数，纵坐标不变时，所得图案与原图案相比整体向右(或向左)移动； (4)当横坐标不变，纵坐标都加上(或减去)某一个常数时，所得图案整体向上(或向下)移动； (5)当横坐标、纵坐标都变为原来的n倍(或n分之一)时，所得图案放大(或缩小)为原来的n2倍(或n2分之一)． 90 32.若直线外一点到这条直线的距离不大于1，则称这个点是该直线的“密接点”．在平面直角坐标系中，已知M( ，0)，A(1，a)，B(2a,b)，C(- ，b+1)，过点M作直线l1平行于y轴，将△ABC平移为△DEF，平移后点A，B，C分别对应点D，E，F． (1)点A ____ (填写“是”或“不是”)直线l1的“密接点”； (2)若点F刚好落在直线l1上，点E落在y轴上且纵坐标为2a-b,△ODE的面积为4，过点A作直线l2平行于x轴，点B是否为直线l2的“密接点”，说明理由． 【解析】解：(1)∵点A到直线l1的距离= 是 91 ＜1， ∴点A是直线l1的“密接点”． 故答案为：是． (2)∵若点F刚好落在直线l1上，C(- ，b+1)， ∴△ABC向右平移的距离为1 ∴2a=-1， ∴a=- ， ∴点D的横坐标为2， ∵△ODE的面积为4， 92 ∴ ×|-1-b|×2=4， ∴b=-5或3， 当a=- ，b=-5时，A(1，- )，B(-1，-5)，此时点B不是直线l2的“密接点”． 当a=- ，b=3时，A(1，- )，B(-1，3)，此时点B不是直线l2的“密接点”． 综上所述，点B不是直线l2的“密接点”． 93 七．坐标与图形变化 94 33.如图，指针OA，OB分别从与x轴和y轴重合的位置出发，绕着原点O顺时针转动，已知OA每秒转动45°，OB的转动速度是OA的 ，则第2020秒时，OA与OB之间夹角的度数为( ____ ) A.130° B.145° C.150° D.165° 【解析】解：设t秒第一次相遇． 由题意：270+15t=45t, C 95 解得t=9， 相遇后设m秒第二次相遇，则有45m-15m=360， 解得m=12， 以后每过12秒相遇一次， (2020-9)÷12=167…7， ∴2020秒时，7×45°-7×15°=210°， 此时OA与OB的夹角为150°． 解法二：∵已知OA每秒转动45°，360°÷45°=8， ∴OA转动一周需要8秒， 2020÷8=252…4， 4×45°=180°， 96 ∴OA2020秒后在x轴的负半轴上， 同法可得，OB2020秒后在第一象限，与y轴的夹角为60°， ∴∠AOB=90°+60°=150°． 故选：C． 97 34.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=4 ，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是( ____ ) A.3 B.6 -4 C.2 -2 D.2 A 98 【解析】 解：取OB中点N，连接MN，AN． 在Rt△OCD中，OD=4 ，∠D=30°， ∴OC=4， ∵M、N分别是BC、OB的中点， ∴MN= OC=2， 在△ABN中，AB=4，BN=3， ∴AN=5， 在△AMN中，AM＞AN-MN；当M运动到AN上时，AM=AN-MN， ∴AM≥AN-MN=5-2=3， 99 ∴线段AM的最小值是3， 故选：A． 100 35.如图，△AOB为等腰三角形，OA=AB，顶点A的坐标(2， )，底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A'O'B，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为( ____ ) A. B. C. D. D 101 【解析】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D， ∵A(2， )， ∴OC=2，AC= ， 由勾股定理得，OA= = =3， ∵△AOB为等腰三角形，OB是底边， ∴OB=2OC=2×2=4， 102 由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO， ∴sin∠ABO=sin∠O′BD， ∴ = ∴O′D= ， BD= = = ， ∴OD=OB+BD=4+ = ， ∴点O′的坐标为( ， )． 103 36.如图在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(1，2)，过点B作BA⊥y轴于点A，连接OB将△AOB绕点O按顺时针方向旋转45°，得到△A′OB′，则点B′的坐标为( ____ ) A.( ， ) B.( ， ) C.(3， ) D.( ，1) B 104 【解析】解：将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到OE．连接BE交OB′于F，作FH⊥x轴于H，B′G⊥x轴于G． ___ ∵B(1，2)，可得E(2，-1)， ∵∠BOF=∠EOF，OB=OE， ∴BF=EF， ∴F( ， )， 105 ∴OF= = ，OB=OB′= = ， ∵FH∥B′G， ∴ = = ， ∴ = = ， ∴OG= ，B′G= ， ∴B′( ， ) 106 37.如图，四边形ABCD四顶点坐标分别为(-1，0)、(0， )、(2， )、(1，0)，BE⊥DC于点E，将∠OBE以点B为旋转中心旋转，其两边BO、BE分别与直线AD、DC相交于点O′、E′，连接O′E′，当△BO′E′的面积等于6 时，则E′的坐标为　　． 【解析】解：如图， 107 ___ ∵四边形ABCD四顶点坐标分别为(-1，0)、(0， )、(2， )、(1，0)， ∴OA=1，OB= ，OD=1，BC=2， 108 ∴AB= = =2，CD= =2， ∴AB=BC=CD=AD=2， ∴四边形ABCD是菱形， ∵tan∠OAB= = ， ∴∠OAB=∠C=60°， 在Rt△BEC中，∵∠BEC=90°，BC=2，∠C=60°， ∴BE=BC•sin60°= ， ∴BE=BO， ∵∠OBE=∠O′BE′=60°， 109 ∴∠OBO′=∠EBE′， ∵∠BOO′=∠BEE′， ∴△OBO′≌△EBE′(ASA)， ∴O′B=E′B，∵∠O′BE′=60°， ∴△O′BE′是等边三角形， ∵△BO′E′的面积等于6 ， ∴ ×E′B2=6 ， ∴E′B2=24， ∴EE′= = = ， 110 ∴DE′=1+ 或 -1，可得E′( ，- )或( ， )． 故答案为( ，- )或( ， )． 111 38.如图，已知A(1，-2)，B(3，-1)，在x轴上取C，D两点，使CD=2，把线段AD绕点A沿逆时针方向旋转90°，得线段AE，把线段BC绕点B沿顺时针方向旋转90°，得线段BF，当E，F两点之间的距离最小时，点C的坐标为　　． 【解析】解：设C(m,0)，则D(m+2，0)． 由旋转的性质可知，E(-1，m-1)，F(4，2-m)， ∴EF= = ， ∵4＞0， 112 ∴当m= 时，EF的值最小，此时C( ，0)． 故答案为：( ，0)． 113 39.如图，B(0，3)，A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC，连OC，则OC的最小值为　　． 【解析】解：如图，在x轴的正半轴上取一点H，使得OH=OB=3，在OB上取一点D，使得OD=OA． ___ 114 ∵OB=OH，OD=OA， ∴BD=AH， ∵∠HAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠ABO=90°， ∴∠HAC=∠DBA， ∵BA=AC， ∵△BDA≌△AHC(SAS)， ∴∠AHC=∠ADB， ∵OD=OA，∠AOD=90°， ∴∠ADO=45°， ∴∠AHC=∠ADB=135°， ∵H(3，0)， 115 ∴直线CH的解析式为y=x-3， ∴点C在直线y=x-3上运动，作OP⊥CH于P，易知OP= ， ∴OC 的最小值=OP= ， 故答案为 ． 116 40.如图，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°，点A、B均在x轴上，边AC与y轴交于点D，连接BD，且BD是∠ABC的角平分线，若点B的坐标为( ，0)． (1)如图1，求点C的横坐标； (2)如图2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α(0°≤α≤180°)得到Rt△AB'C'，直线AC'交直线BD于点P，直线AB'交y轴于点Q，是否存在点P、Q，使△APQ为等腰三角形？若存在，直接写出∠APQ的度数；若不存在，请说明理由． 117 ______ 【解析】解：(1)如图1中，过点C作CH⊥AB于H． 118 ___ ∵∠ABC=90°，∠CAB=30°， ∴∠ABC=90°-30°=60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD= ∠ABC=30°， 119 ∴∠DAB=∠DBA=30°， ∴DA=DB， ∵DO⊥AB， ∴OA=OB， ∵B( ，0)， ∴OA=OB= ， ∴AB=2 ， ∴BC= AB= ， ∵CH⊥AB， ∴∠CHB=90°， 120 ∴BH= BC= ，CH= BH= ， ∴OH=OB-BH= ， ∴C( ， )． (2)如图2，连接PQ， 121 ___ ∵△PAQ是等腰三角形，∠PAQ=30°， ∴当AP=AQ时，∠APQ= (180°-30°)=75°， 当PA=PQ时，∠APQ=120°， 当PQ=AQ时，∠APQ=∠PAQ=30°， 122 当点Q在Y轴的负半轴上时，等腰三角形的顶角为150°，此时∠APQ=15°， 综上所述，满足条件的∠APQ的值为75°或120°或30°或15°． 123 $$