第3章勾股定理 培优题突破练习★★★【5个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理 培优题突破练习★★★ 【5个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 1 一．直角三角形的性质 二．勾股定理 三．勾股定理的证明 四．勾股定理的逆定理 五．勾股定理的应用 2 一．直角三角形的性质 3 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE=32°，∠ADB=45°，则∠B的大小是( ____ ) A.32° B.64° C.77° D.87° 【解析】解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT． C 4 ____ ∵∠BAC=90°，FD⊥BC， ∴∠CAF=∠CDF=90°， ∴AT=DT= CF， ∴TD=TC=TA， ∴∠TDA=∠TAD，∠TDC=∠TCD， ∵∠ADB=45°， ∴∠ADT+∠TDC=135°， 5 ∴∠ATC=360°-2×135°=90°， ∴AT⊥CF， ∵CT=TF， ∴AC=AF， ∴∠AFC=45°， ∴∠BFD=45°-32°=13°， ∵∠BDF=90°， ∴∠B=90°-∠BFD=77°， 故选：C． 6 2.在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．有以下结论：①∠AFB=135°；②∠BDG=2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC=∠FBG．其中正确的个数是( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 7 【解析】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAF=∠CAF= ∠BAC，∠FBA=∠CBE= ∠ABC， ∵∠C=90°， ∴∠BAC+∠ABC=180°-90°=90°， ∴∠FAB+∠FBA= (∠BAC+∠ABC)=45°， ∴∠AFB=180°-(∠FAB+∠FBA)=180°-45°=135°，故①正确，符合题意； ∵DG∥AB， ∴∠BDG=∠ABC， 8 ∵∠CBE= ∠ABC， ∴∠BDG=2∠CBE，故②正确，符合题意； ∵BG⊥DG， ∴∠G=90°， ∴∠GDB+∠GBD=90°， 又∵∠GDB=∠ABC， ∴∠ABC+∠GBD=90°，无法判定∠GBD=∠ABC，故③错误，不符合题意； 又∵∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠GBD， 9 ∵∠ABF=∠EBC， ∴∠ABF+∠BAC=∠EBC+∠GBD， ∴∠BEC=∠EBG，故④正确，符合题意； 故选：C． 10 二．勾股定理 11 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD= ，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为( ____ ) A. B. +1 C. +2 D. +3 【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD= D 12 ， ∴AB=2CD= ． ∴AC2+BC2=5 又∵Rt△ABC的面积为1， ∴ AC•BC=1，则AC•BC=2． ∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC•BC=9， ∴AC+BC=3(舍去负值)， ∴AC+BC+AB=3+ ，即△ABC的周长是3+ ． 故选：D． 13 4.如图，点D是直角三角形ABC斜边AC延长线上一点，AB=CD=2，∠CBD=30°，则AC=( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：延长BC过点D作DE⊥BC于点E， D 14 ____ ∵∠ABC=90°， ∴AB2+BC2=AC2， ∴设AC=x,则BC= ， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC=∠ABC， 又∵∠DCE=∠ACB， 15 ∴△DEC∽△ABC， ∴ ， ∴ ， ∴DE= ，CE= ∴BE=BC+CE= + ， ∵∠DEB=90°，∠CBD=30°， 16 ∴tan30°= = ， ∴DE= BE， ∴ ( + )= ， 解得：x1=-4(舍)，x2= = ， 故选：D． 17 5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AC上，AB=2，BD=CD，BC=2AB．若△ABD与△EBD关于直线BD对称，则线段CE的长为( ____ ) A. B. C. D. A 18 【解析】解：如图所示，连接AE，交BD于O， ∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2AB=4， ∴AC=2 ． ∵BD=CD， ∴∠DBC=∠DCB， 又∵∠DBA+∠DBC=∠DCB+∠DAB=90°， ∴∠DBA=∠DAB， ∴DA=DB， ∴点D是AC的中点， ∴BD= AC= ． 19 由折叠可得，AD=DE=DC， ∴∠DAE=∠DEA，∠DEC=∠DCE， 又∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE=180°， ∴∠DEA+∠DEC=90°，即△ACE是直角三角形． 由折叠可得，DB垂直平分AE， ∴AE=2AO，∠AOD=90°， ∵S△ABD= BD×AO，S△ABD= S△ABC， ∴ BD×AO= S△ABC， 即 ×AO= ， 20 ∴AO= ，AE= ， ∴CE= = = ， 故选：A． 21 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，若AF=4， ，则AC=( ____ ) A.1 B.2 C. D. 【解析】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，连接CF， D 22 ___ ∵AD，BE是分别是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠ABE， ∵∠ACB=90°， ∴2(∠BAD+∠ABE)=90°， ∴∠BAD+∠ABE=45°， ∴∠EFG=∠BAD+∠ABE=45°， 23 在Rt△EFG中，EF= ， ∴FG=EG=1， ∵AF=4， ∴AG=AF-FG=3， 根据勾股定理，得AE= = ， ∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC， ∴CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACF=45°=∠AFE， ∵∠CAF=∠FAE， ∴△AEF∽△AFC， 24 ∴ = ， ∴AC= = = ， 故选：D． 25 7.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则AC边上的高BD的长为( ____ ) A.4 B. C. D.5 【解析】解：过A作AE⊥BC于点E， C 26 ___ ∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∵AE⊥BC， ∴EB=EC= CB=3， 在Rt△ABE中，AE= =4， 27 ∴S△ABC= •AC•BD= •BC•AE= ×6×4=12， ∴ 5×BD=12， 解得BD= ． 故选：C． 28 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE= + ，则CH的长为( ____ ) A. B. C.2 D. C 29 【解析】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图： ___ 设正方形JKLM边长为m, ∴正方形JKLM面积为m2， ∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5， ∴正方形ABGF的面积为5m2， 30 ∴AF=AB= m, 由已知可得：∠AFL=90°-∠MFG=∠MGF，∠ALF=90°=∠FMG，AF=GF， ∴△AFL≌△FGM(AAS)， ∴AL=FM， 设AL=FM=x,则FL=FM+ML=x+m, 在Rt△AFL中，AL2+FL2=AF2， ∴x2+(x+m)2=( m)2， 解得x=m或x=-2m(舍去)， ∴AL=FM=m,FL=2m, ∵tan∠AFL= = = = ， 31 ∴ = ， ∴AP= ， ∴FP= = = m,BP=AB-AP= m- = ， ∴AP=BP，即P为AB中点， ∵∠ACB=90°， 32 ∴CP=AP=BP= ， ∵∠CPN=∠APF，∠CNP=90°=∠FAP， ∴△CPN∽△FPA， ∴ = = ，即 = = ， ∴CN=m,PN= m, ∴AN=AP+PN= m, 33 ∴tan∠BAC= = = = ， ∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形， ∴△AEC∽△BCH， ∴ = ， ∵CE= + ， ∴ = ， ∴CH=2 ， 34 9.如图，在四边形ABCD中，已知AC⊥BD，AC=4，BD=5，则AD+BC的最小值是( ____ ) A.3 B.6 C. D. 【解析】解：方法一：设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，如图： D 35 ___ ∵AC，BD互相垂直， ∴△AOD和△BOC为直角三角形，且AD，BC分别为斜边， ∴AD=2OS，BC=2OQ， ∴AD+BC=2(OS+OQ)， ∴当OS+OQ为最小时，AD+BC为最小， 根据“两点之间线段最短”得：OQ+OS≥QS， ∴当点O在线段QS上时，OQ+OS为最小，最小值为线段QS的长， 36 ∵点P，Q分别为AB，BC的中点， ∴PQ为△ABC的中位线， ∴PQ= AC=2，PQ∥AC， 同理：QR= BD= ，QR∥BD，RS= AC=2，RS∥AC，SP= BD= ，SP∥BD， ∴PQ∥AC∥RS，QR∥BD∥SP， ∴四边形PQRS为平行四边形， ∵AC⊥BD，PQ∥AC，SP∥BD， ∴PQ⊥SP， 37 ∴四边形PQRS为矩形， 在Rt△PQS中，PQ=2，SP= ， 由勾股定理得：QS= = ， ∴OQ+OS的最小值为 ， ∴AD+BC的最小值为 ． 故选：D． 方法二：以CA，CB为邻边构造平行四边形ACBE，连接DE， 38 __ 则BE=AC=4，AE=BC， ∴AD+BC=AD+AE≥DE， ∴AD+BC的最小值为DE， ∵AC⊥BD， ∴EB⊥BD， 39 在Rt△DBE中， ∵BD=5， ∴由勾股定理，得DE= = = ， ∴AD+BC的最小值为 ． 故选：D． 40 10.如图，在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC中点，连接BD，作CE⊥BD交AB于点E，垂足为F，则CE=　　． 【解析】解：如图，过点A、B分别作AC、BC的垂线，两垂线相交于点G，延长CE交AG于点H， ___ ∵△ACB是直角三角形， ∴四边形ACBG为矩形， ∵点D为AC中点，AC=4， 41 ∴CD=AD=2， ∵BC=3， ∴BD= = = ， ∵CE⊥BD， ∴∠CDB+∠DCH=90°，∠CDB+∠DBC=90°， ∴∠DCH=∠DBC， ∴Rt△AHC∽Rt△CDB， ∴ = = ，即 = = ， ∴CH= ，AH= ； 42 在矩形ACBG中，AH∥CB， ∴△AEH∽△BEC， ∴ = = ，即 = ， 解得：CE= ． 故答案为： ． 43 11.如图，△ABE中，AB=AE=4，∠BAE=120°，点C为直线AB右侧的一动点， ∠ACB=90°，线段CE的最大值为 　　． 【解析】解：如图，取AB的中点O，连接OC、OE，作OH⊥BE于H，AF⊥BE于F． ∵AB=AE=4，∠BAE=120°，AF⊥BE， ∴∠AEB=30°，EF=FB=AE•cos30°=2 ， ∴BE=4 ， 在Rt△BOH中，∵OB=2，∠OBH=30°， 44 ∴OH= OB=1，BH= OH= ， ∴EH=BE-BH=3 ， 在Rt△EOH中，OE= =2 ， ∵点C在以AB为直径的圆上， ∴CE≤OC+OE， ∵OC= AB=2， ∴EC的最大值为2+2 故答案为2+2 ． 45 12.如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3=S4=6，则S1+S5= ____ ．(注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积) 【解析】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W． ____ 6 46 ∵∠ABM=∠CBQ=90°， ∴∠ABC=∠MBQ， ∵BA=BM，BC=BQ， ∴△ABC≌△MBQ(SAS)， ∴∠ACB=∠BQM=90°， ∵∠PQB=90°， ∴M，P，Q共线， ∵四边形CGMP是矩形， ∴MG=PC=BC， ∵∠BCT=∠MGB=90°，∠BTC+∠CBT=90°，∠BQM+∠CBT=90°， ∴∠MQG=∠BTC， 47 ∴△MGW≌△BCT(AAS)， ∴MW=BT， ∵MN=BM， ∴NW=MT，可证△NWE≌MTP， ∴S1+S5=S3=6， 解法二：∵AC2+BC2=AB2， ∴S1+S2+S左空+S右空+S5=S3+S4+S左空+S右空， ∴S1+S5=S4=6 故答案为6． 48 13.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫作常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5、6和8，因为62+82=4×52=100，所以这个三角形是常态三角形．_____ (1)若△ABC三边长分别是 和4，则此三角形 　　常态三角形(选填“是”或“不是”)； (2)若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 　　(请按从小到大排列)； 49 (3)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 【解析】解：(1)∵22+42=4×( )2=20， ∴△ABC是常态三角形， 故答案为：是； (2)∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为：a、b,斜边长为c, 则a2+b2=c2，a2+c2=4b2， ∴2a2=3b2， ∴a：b= ： ， 50 设a= x,b= x, 则c= x, ∴此三角形的三边比为： ； 故答案为：) ； (3)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点， ∴AD=BD=CD， ∵△BCD是常态三角形， 当CD2+BD2=4×62时， 解得：BD=CD=6 ， 51 则AB=12 ， ∴AC= =6 ， ∴△ABC的面积为： ×6=18 ， 当CD2+BC2=4×BD2时， 解得：BD=CD=2 ， 则AB=4 ， ∴AC=2 ， ∴△ABC的面积为： =6 ． 52 14.如图①，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 　　． 【解析】解：如图， 53 ____ ∵ADPE是筝形， ∴S四边形ADPE =18， ∴AP•DE=18， 当AP取最小值时，DE有最大值， ∵AB=6，AC=8，BC=10， ∴AB2+AC2=100，BC2=100， ∴AB2+AC2=BC2， 54 ∴△ABC是直角三角形， ∵P为BC边上的一个动点， ∴当AP⊥BC时，AP取到最小值， ∴AP的最小值为： ， ∴ =36， ∴DE= ， 在Rt△ADE中，点N为DE的中点， 55 ∴AN= ， ∴当DE取最大值时，AN有最大值， ∴AN的最大值为 ， 故答案为 ． 56 15.在四边形ABCD中，AC=AD，∠ABC=∠BDC=30°，AD=2，BD=5，则BC的长度为 　　． 【解析】解：以CD为边作等边△CDE，连接EA并延长至F，使EF=BD，连接BF、CF，如图： 57 ____ ∵AC=AD，CE=CD， ∴AE是CD的垂直平分线， ∴∠CEH=30°，H是CD中点， ∵CD=CE，∠BDC=∠CEF=30°，BD=EF， ∴△BCD≌△FCE(SAS)， 58 ∴BC=CF，∠BCD=∠FCE， ∴∠BCF=∠DCE=60°， ∴△BCF是等边三角形， ∵∠ABC=30°， ∴AB是∠FBC的平分线， ∴AB是CF的垂直平分线， ∴AF=AC=AD=2， ∵EF=BD=5， ∴AE=EF-AF=3， 设CH=x,则EH= x,AH=3- x, 59 在Rt△ACH中，x2+(3- x)2=22， 解得x= 或x= (舍去)， ∴BC2=CF2=CH2+FH2=( )2+(5- × )2= ， ∴BC= ． 故答案为： ． 60 16.如图，在四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD，∠BAD=105°，AD=4 ，CD=13，则AB= ____ ． 【解析】解：如图，将△ADB绕点D顺时针旋转90°得到△DEF，连接AF，AE，作AH⊥EF于H． __ 15 61 ∵AD=DE=4 ，∠ADE=90°， ∴AE= = =8，∠AED=∠DAE=45°， ∵∠DEF=∠BAD=105°， ∴∠AEF=60°， ∵AH⊥EF， ∴EH= AE=4，AH= EH=4 ， ∵AC⊥BD，DF⊥BD， ∴AC∥DF， 62 ∵AC=BD，BD=DF， ∴AC=DF， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴AF=CD=13， ∴FH= = =11， ∴EF=FH+EH=11+4=15， ∴AB=EF=15， 故答案为15． 63 17.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． OA22=( )2+1=2，S1= ； +1=3，S2= ； +1=4，S3= ； … (1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律． 64 (2)推算出OA10的长． (3)若一个三角形的面积是 ，计算说明它是第几个三角形？ (4)求出S12+S22+S32+…+S102的值． 【解析】解：(1)因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA1= ，OA2= ，OA3= …OAn= ，所以OAn2=n.Sn= •1• = ； (2)OA2= ，OA3= ，…OA10= ； (3)当Sn= 时，有： = ，解之得：n=20 65 即：说明它是第20个三角形． (4) = ， ， ，… ， S12+S22+S32+…+Sn2= + +…+ = ， 当n=10时，S12+S22+S32+…+S102= ． 66 18.如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒． _______ (1)求AD的长； (2)当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值； (3)动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t,使得S 67 △PMD= S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解析】解：(1)∵AB=AC=13，AD⊥BC， ∴BD=CD=5cm,且∠ADB=90°， ∴AD2=AC2-CD2 ∴AD=12cm. (2)AP=t,PD=12-t, 又∵由△PDM面积为 PD×DC=15， 解得PD=6，∴t=6． (3)假设存在t, 68 使得S△PMD= S△ABC． ①若点M在线段CD上， 即 时，PD=12-t,DM=5-2t, 由S△PMD= S△ABC， 即 ， 2t2-29t+50=0 解得t1=12.5(舍去)，t2=2．(2分) ②若点M在射线DB上，即 ． 69 由S△PMD= S△ABC 得 ， 2t2-29t+70=0 解得 ， ．(2分) 综上，存在t的值为2或 或 ，使得S△PMD= S△ABC．(1分) 70 19.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD， (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长． 【解析】(1)证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， ∴∠CFD=90°，∠CEB=90°(垂线的意义) CE=CF(角平分线的性质) ∵BC=CD(已知) ∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL) (2)解：由(1)得， 71 Rt△BCE≌Rt△DCF ∴DF=EB，设DF=EB=x, ∵∠CFD=90°，∠CEB=90°， CE=CF，AC=AC ∴Rt△AFC≌Rt△AEC(HL) ∴AF=AE 即：AD+DF=AB-BE ∵AB=21，AD=9，DF=EB=x ∴9+x=21-x解得，x=6 在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10 ∴CF=8 72 ∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+(9+6)2=289 ∴AC=17 答：AC的长为17． 73 三．勾股定理的证明 74 20.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．连结AG并延长交BC于点M．若 = ，则 的值为( ____ ) A. B. C. B 75 D. 【解析】解：如图，延长BE交AD于点N，设BE与AM交于点R， ___ 设AE=1， ∵ = ， 76 ∴BE=3， ∴EF=BE-BF=2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： AB= = = ， ∵四个全等的直角三角形， ∴AE=DH=CG=BF=1， ∴FG=EF=2， ∵AE∥FG， ∴△AER∽△GFR， ∴ = = ， 77 ∴ER= FR， ∴ER= EF= ，FR=2ER= ， ∵BN∥DG， ∴△AEN∽△AHD， ∴ = = ， ∴NE= DH= ， ∴BN=BE+NE=3+ = ， ∴AN= = 78 = ， ∵AN∥BM， ∴△ARN∽△MRB， ∴ = = = = ， ∴BM= AN= ， ∴CM=BC-BM=AB-BM= - = ， 79 ∴ = × = ． 故选：B． 80 21.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以Rt△ABC各边为边向外作正方形ABFG、正方形ACHI、正方形BCDE．连接GI、EF、DH，若 ，DH=4，则这个六边形EDHIGF的面积为( ____ ) A.28 B.26 C.32 D.30 A 81 【解析】解：设AC=a,AB=b,BC=c,过E作作FB的垂线，垂足为M，过D作HC的垂线，垂足为N， ∵∠EBM+∠CBM=90°，∠ABC+∠CBM=90°， ∴∠EBM=∠ABC， 在△BME与△BAC中， ， ∴△BEM≌△BCA(AAS)， ∴BM=AB=b,EM=AC=a, 同理可证△CND≌△CAB， 82 ∴CM=AC=a,ND=AB=b, 在△EFM中，FM2+EM2=EF2，即(2b)2+a2=34， 在△HND中，HN2+ND2=HD2，即(2a)2+b2=16， ∴a= ，b= ，c= ． ∴S六边形EDHIGF=S正方形BEDC+S正方形ABFG+S正方形ACHI+S△GAI+S△ABC+S△FBE+S△HCD =c2+b2+a2+2ab=28． 故选：A． 83 22.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为( ____ ) A.8 B.6 C.4 D.3 【解析】解：由题意可得， C 84 ， ∴小正方形的面积=(a-b)2=a2+b2-2ab=16-12=4， 故选：C． 85 23.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票，所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理，如图的勾股图中，已知∠ACB=90°，AC=4，AB=5．作四边形PQNM，满足点H、I在边MN上，点E、G分别在边PM，QN上，∠M=∠N=90°，P、Q是直线DF与PM，QN的交点．那么PQ的长等于( ____ ) A. A 86 B. C. D. 【解析】解：如图，延长FA交PM于J，过点P作PK⊥DE于K，过点Q作QW⊥FG于W． 87 ___ ∵四边形ACDE，四边形BCFG都是正方形， ∴∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF， ∵CA=CD，CB=CF，∠ACB=∠DCF=90°， ∴△DCF≌△ACB(SAS)， ∴∠DFC=∠ABC，DF=AB=5， ∵AC=4， 88 ∴BC= = =3， ∵PM∥AI，DE∥AF， ∴∠PDE=∠PFJ，∠PED=∠PJF=∠JAI， ∵∠JAI+∠BAC=90°，∠BAC+∠ABC=90°， ∴∠JAI=∠ABC， ∴∠PJF=∠PFJ， ∴∠PED=∠PDE， ∴PD=PE， ∵PK⊥DE， ∴EK=DK=2， ∵∠PKD=∠DCF=90°，∠PDK=∠DFC， 89 ∴△PKD∽△DCF， ∴ = ， ∴ = ， ∴PD= ， 同法可证，FW=WG=1.5，△QFW∽△FDC， ∴ = ， ∴ = ， 90 ∴QF= ， ∴PQ=PD+DF+FQ= +5+ = ， 故选：A． 91 四．勾股定理的逆定理 92 24.如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是( ____ ) A.△APP'是正三角形 B.△PCP'是直角三角形 C.∠APB=150° D.∠APC=135° 【解析】解：△ABC是等边三角形，则∠BAC=60°，又△AP'C≌△APB，则AP=AP′，∠PAP′=∠BAC=60°， ∴△APP'是正三角形，又PA：PB：PC=3：4：5， D 93 ∴设PA=3x,则：PP′=PA=3x,P′C=PB=4x,PC=5x, 根据勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C=90°， 又△APP'是正三角形， ∴∠AP′P=60°， ∴∠APB=150°错误的结论只能是∠APC=135°． 故选：D． 94 25.若△ABC的三边a,b,c满足a=5，b=12，c为奇数，且a+b+c能被3整除，则c= ____ ，△ABC是 _____ 三角形． 【解析】解：根据三角形的三边关系知，第三边c应满足：12-5=7＜c＜5+12=17， ∵c又为奇数，∴满足从7到17的奇数有9，11，13，15， 与a+b的和又是3的倍的只有13了，a+b+c=30，此时有52+122=132， ∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形． 故填13，直角． 13 直角 95 26.如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为 ____ ． 【解析】解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE． 得∠A=∠ABE 根据折叠，得∠ABE=∠CBE 再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30° ∴CE= BE=2 则AC=4+2=6． 6 96 27.△ABC中，三边长分别为a=6cm,b=3 cm,c=3cm,则△ABC中最小的角为 ____ 度． 【解析】解：∵△ABC中，三边长分别为a=6 cm,b=3 cm,c=3cm, ∴c2+b2=32+(3 )2=9+27=36=62=a2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵a＞b＞c, ∴△ABC中最小的角为边c所对的角， ∵a=6cm,c=3cm, ∴∠C=30°，∴△ABC中最小的角为30度． 30 97 28.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BM⊥AC，垂足为M，在下列说法中： ①以AB2，BC2，AC2为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②以 ， ， 为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以(AC+BM)，(AB+CB)，BM为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④以 ， ， 为长度的线段首尾相连不能组成直角三角形；其中正确的说法有 _____ ( ②③④ 98 填写正确说法的序号)． 【解析】解：由勾股定理得AB2+BC2=AC2， ∴以AB2，BC2，AC2为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形； ∴①不正确； ∵( + )2=AB+2 +BC，( )2=AC， 又∵AB+BC＞AC， ∴( + )2＞( )2， ∴ + ＞ ， ∴以 ， ， 99 为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形， ∴②正确． ∵(AC+BM)2=AC2+2AC•BM+BM2，(AB+CB)2=AB2+2AB•CB+CB2， ∴(AB+CB)2+BM2 =AB2+2AB•CB+CB2+BM2 =AC2+2AB•CB+BM2， ∵2AC•BM=2AB•CB， ∴(AB+CB)2+BM2=(AC+BM)2， ∴以(AC+BM)，(AB+CB)，BM为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形， ∴③正确． 100 第④个可以用特值法，当AB=BC=1时，BM= ，此时 + ≠ ， 所以，以 ， ， 为长度的线段首尾相连不能组成直角三角形， ∴④正确． 故答案为：②③④． 101 29.Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ____________________ ． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=4， ∴AB= = =3，S△ABC= AB•BC=6． 沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： __________ 3.6或4.32或4.8 102 ①当AB=AP=3时，如图①所示， S等腰△ABP= S△ABC= ×6=3.6； ②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图②所示， 作△ABC的高BD，则BD= = =2.4， ∴AD=DP= =1.8， ∴AP=2AD=3.6， ∴S等腰△ABP= S△ABC= ×6=4.32； ③当CB=CP=4时，如图③所示， 103 S等腰△BCP= S△ABC= ×6=4.8； ④当BP=CP时，点P在线段BC的垂直平分线上， 根据平行线分线段成比例定理得点P是AC的中点， ∴BP是Rt△ABC斜边上的中线， ∴BP=AP， 此时△ABP也是等腰三角形，不符合题意，舍去． 综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8． 故答案为3.6或4.32或4.8． 104 30.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c且满足(a-b)2+|a2+b2-c2|=0，则△ABC是 __________ 三角形． 【解析】解：∵(a-b)2+|a2+b2-c2|=0， ∴a-b=0，a2+b2-c2=0， ∵a2+b2-c2=0， ∴△ABC是直角三角形， ∵a=b, ∴△ABC是等腰直角三角形， 故答案为等腰直角． 等腰直角 105 31.已知△ABC的三边长为a,b,c,且满足 ．试判断△ABC的形状，并说明理由． 【解析】解：△ABC是直角三角形． 理由：∵ ， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， 106 ∴a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形． 107 五．勾股定理的应用 108 32.如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有( ____ ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【解析】解：根据题意得出最短路程如图所示， 最短路程长为 +1=2 +1， C 109 则从A点到B点的最短距离的走法共有3种， 故选：C． 110 33.如图1是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条AB=BC=28cm,CD=24cm,相连两根支撑条可绕交点转动，活动条EF，GH一端分别与支撑条BC，CD中点连接，并且可绕固定支点E与支点G转动，通过转动活动条，将末端点F与点H分别卡入支撑条AB及BC上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条GH=16cm. 将电脑支架调节到如图2所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条EF，使得∠ABC=30°，调节活动条GH使得GH⊥CD，此时活动条末端点H到桌面的距离为 　　，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即MP=NP，将其放置到上述状态电脑支架上，使点M与点C重合，此时点P恰好与点D重合，开合电脑显示屏，点N到桌面的最大高度是 　　． 111 _________ 【解析】解：①∵CG= CD=12cm,GH=16cm,GH⊥CD， ∴CH= = =20cm, ∴BH=BC-CH=28-20=8cm, 又∵∠ABC=30°， 112 ∴活动条末端点H到桌面的距离= BH=4cm； ②如图4，当DN⊥AB时，点N到桌面的高度最大， 作CL⊥AB于点L，延长ND交AB于点K，作CS⊥DK于点K，作GT⊥AB于点T，交CS于点O，交BC于点J，作GI⊥BC于点I， 在Rt△CLK中，BC=28cm,∠ABC=30°， ∴CL= BC= ×28=14cm, ∵CL⊥AB，CS⊥DK，NK⊥AB，GT⊥AB， ∴四边形CLKS为矩形，四边形CLTO为矩形， ∴CL=SK=OT=14cm, 113 ∵S△CGH= CG•GH= CH•GI，CG=12cm,GH=16cm,CH=20cm, ∴12×16=20GI， ∴GI= cm, 在Rt△CGI中，CI= = = cm, ∵GT⊥AB，CL⊥AB， ∴GT∥CL， ∴∠CJG=∠BCL=90°-30°=60°， ∵GI⊥BC， 114 ∴GJ= = cm,IJ= GJ= cm, ∴CJ=CI+IJ= cm, ∴BJ=BC-CJ=28- = cm, 在Rt△BJT中，∠ABC=30°， ∴JT= BJ= cm, ∴GT=GJ+JT= + = cm, 115 ∴GO=GT-OT= -14= cm, ∵GT⊥AB，NK⊥AB， ∴GT∥NK， ∵CG=DG， ∴CO=SO， ∴DS=2OG=2× = cm, ∵CD=MP=NP=24cm,DN=NP， ∴NK=DN+DS+SK=24+ +14= cm, 116 即点N到桌面的最大高度是 cm. 故答案为：4cm； cm. 117 34.图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知AB=AC，BD=4cm,BC=8cm,木架高AG=8Cm.按压点F旋转至点F'，抛杆EF绕点A旋转至E'F'，弹绳DE随之拉伸至DE'，测得∠CDE'=∠BAE'=90°，则抛杆EF的长为 　　cm.若弹绳自然状态时，点A，E，D在同一直线上，则此次旋转后弹绳被拉长的长度DE'-DE为 　　cm. _____ 118 【解析】解：如图， ___ 延长AB交E′D的延长线于H， 在△ABD和△HBD中， 119 ， ∴△ABG≌△HBD(ASA)， ∴DH=AG=8，BH=AB， ∵∠AGB=90°， ∴AB= = =4 ， ∴AH=AB+BH=8 ， ∵tanH= = = = ， 120 ∴AE′= =4 ， ∴EF=E′F′=2AE′=8 ， 在Rt△AHE′中， HE′= = =20， ∴DE′=HE′-DH=20-8=12， 在Rt△AGD中， AD= = =8 ， ∴DE=AD-AE=AD-AE′=8 -4 ， 121 ∴DE'-DE为=12-(8 -4 )=12-8 +4 ， 故答案为：8 ，12-8 +4 ． 122 35.一架梯子长2.5米，斜靠在一面垂直于地面的墙上，梯子底端离墙0.7米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了0.4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离BB′为多少米？ 【解析】解：(1)∵△ABC是直角三角形，AB=2.5米，BC=0.7米， ∴AC2=AB2-BC2=2.52-0.72=5.76， ∴AC=2.4(米)． 答：这个梯子的顶端距地面有2.4米； 123 (2)∵梯子的顶端下滑了0.4米到A′， ∴A′C=2.4-0.4=2米． ∵△A′B′C是直角三角形， ∴B′C2=A′B′2-A′C2=2.52-22=2.25， ∴B′C=1.5米， ∴BB′=B′C-BC=1.5-0.7=0.8(米)． 答：梯子的底端在水平方向滑动的距离BB′为0.8米． 124 36.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 【解析】解：根据题意得；AC=30海里，AB=40海里，BC=50海里； ∵302+402=502， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴180°-90°-35°=55°， ∴乙船的航行方向为南偏东55°． 125 37.将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm,在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.(彩旗完全展平时的尺寸是如图②所示的长方形．单位：cm) 【解析】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为： =150， 所以h=320-150=170cm. 彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为170cm. 126 38.小明想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆顶上的绳子BD垂到地面还多CD=1米，当他把绳子的下端D拉开5米到后，发现下端D刚好接触地面A．你能帮他把旗杆的高度求出来吗？ 【解析】解：由题意得：AC=5米，AB=(BC+1)米， ∵BC2+AC2=AB2， ∴BC2+52=(BC+1)2， 解得：BC=12． 答：旗杆的高度是12米． 127 39.如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为7米． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端沿墙垂直下滑4米至E，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？ (3)如果梯子与地面的夹角小于30°时，梯子就会滑倒，那么在第(2)问中，梯子会滑倒吗？请说明理由． 【解析】解：(1)根据题意得：AB=25，BC=7， ∴AC= =24m, 答：这个梯子的顶端距地面有24m； 128 (2)∵AE=4， ∴CE=20， ∵ED=AB=25， ∴CD= =15m,BD=CD-BC=8m, ∴梯子的底部在水平方向滑动了8米； (3)设∠E′DC=30°时， ∵E′D=25， 在Rt△E′CD中，E′C= ED=12.5m. ∵CE＞E′C， ∴梯子不会滑倒． 129 40.如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠C=90°，AB=5公里，BC=4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC凿通？ 【解析】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AB=5公理，BC=4公理， ∴AC= = =3公理， ∵每天凿隧道0.3公里，3÷0.3=10， ∴10天才能把隧道AC凿通． 130 $$