第2章轴对称图形 培优题突破练习★★★【14个考点40题专练】【冲刺满分】课件2024-2025学年苏科版数学八年级上册

第2章轴对称图形 培优题突破练习★★★ 【14个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学八年级上册 1 一．角平分线的性质 二．等腰三角形的性质 三．等腰三角形的判定 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定与性质 七．直角三角形斜边上的中线 八．生活中的轴对称现象 九．轴对称的性质 一十．轴对称图形 一十一．镜面对称 一十二．作图 一十三．剪纸问题 一十四．翻折变换 2 一．角平分线的性质 3 1.AD与BE是△ABC的角平分线，D，E分别在BC，AC上，若AD=AB，BE=BC，则∠C=( ____ ) A.69° B. ° C. ° D.不能确定 【解析】解：∵AD=AB， ∴∠ADB= (180°- ∠BAC)=90°- ∠BAC， C 4 ∴∠C=∠ADB-∠DAC= (180°- ∠BAC)=90°- ∠BAC- ∠BAC=90°- ∠BAC； ∵BE=BC， ∴∠C=∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠BAC+ (180°- ∠BAC)=∠BAC+45°- ∠BAC=45°+ ∠BAC， ∴90°- ∠BAC=45°+ ∠BAC， 解得∠BAC= ， 5 ∴∠C=90°- = ． 故选：C． 6 2.如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BDC+ ∠A=90°，∠ADB=2∠C，若AD+BD=10，BC=8，则CD的长度为 　　． 【解析】解：将△BDC沿着DC折叠，点B折叠后为点E，分别连接DE、CE，分别延长BD、CE交于点F，延长CB至点M，使得BM=BD，连接DM，在FC上截取一点N，使得FD=FN，连接DN，如图所示： 7 ___ ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵△BDC沿着DC折叠成△EDC， ∴△BDC≌△EDC， ∴∠DCB=∠DCE，∠BDC=∠EDC，BD=ED，BC=EC， 8 ∴∠FCB=∠DCB+∠DCE=2∠DCB， ∵∠ADB=2∠DCB， ∴∠ADB=∠FCB， ∴△ADB∽△FCB ∴ = ，∠A=∠F， ∵∠BDC+ ∠A=90°， ∴∠A=180°-2∠BDC， ∵∠FDE=180°-∠BDC-∠CDE=180°-2∠BDC， ∴∠A=∠FDE， ∴∠F=∠FDE， 9 ∴FE=ED， ∴BD=FE， ∴FC=FE+EC=BD+BC， ∵AD+BD=10，BC=8， ∴设BD=x时，AD=10-x,FC=x+8， ∴由 = 可得 = ， 解得：x1=4，x2=-20(不符合题意，舍去)， ∴BD=4，FC=12， ∵△BDC≌△EDC， ∴∠DCB=∠DCE，即∠MCD=∠DCN， 10 根据角平分线定理可知， = ， ∴ = ，解得：FD=6， ∵MB=BD， ∴∠DMC=∠MDB， ∴∠FBC=∠DMC+∠MDB=2∠DMC，即∠DMC= ∠FBC， ∵FD=FN， ∴∠FDN=∠FND， ∴2∠FND=∠FDN+∠FND=180°-∠F=∠FBC+∠FCB=∠FBC+2∠FCD， 11 ∴∠FND= (∠FBC+2∠FCD)， ∵∠FND=∠NDC+∠FCD， ∴∠NDC=∠FND-∠FCD= (∠FBC+2∠FCD)-∠FCD= ∠FBC， ∴∠DMC=∠NDC， ∴△DMC∽△NDC， ∴ = ， ∴CD2=MC•CN=(MB+BC)(FC-FN)=(BD+BC)(FC-FD)=BD•FC-BD•FD+BC•FC-BC•FD， 而BD•FC=BC•FD， 12 ∴CD2=BC•FC-BD•FD=8×12-4×6=72， ∴CD=6 ， 故答案为：6 ． 13 3.如图1是一款多功能儿童餐椅，有坐和躺两种模式，图2是它的横截面示意图，已知脚架AB=AC=85cm,脚垫B，C两点之间的距离为80cm,靠背DE=40cm,分离式餐盘AQ与B，C所在直线平行，固定支撑杆AE平分∠BAC，坐垫EG与AC交于点F，且AE=AF=17cm,脚踏GH始终与AC保持平行，当调到坐式时，DE∥AC，则此时点D到AQ的距离为 　　cm,当调到躺式时，坐垫EG会沿EF方向平移，从点E恰好移动到EF的中点E1，GH移动到G1H1，靠背DE向下调整到D1E1，此时∠D1E1E=∠EAF，则点D向下调整的高度为 　　cm. 【解析】解：(1)如图1，延长AE交BC于点M，作DT∥AM，ET∥BC，延长QA交DT于点R， 14 __ ∵DE∥AC，DT∥AM， ∴∠DEA=∠EAC，∠DEA=∠TDE， ∴∠TDE=∠EAC=∠MAC， ∵AE平分∠BAC，AB=AC=85，BC=80， 15 ∴AM⊥MC，MC= BC=40， ∴∠DTE=∠AMC=90°，AM= =75， ∴△TDE∽△MAC， ∴ = ，即： = ， 解得：DT= ， ∵四边形RAET是矩形， ∴RT=AE=17， 16 ∴DR=DT-RT= -17= ， 故答案为： ； (2)躺式时，如图2，连接AE1，作DJ∥AM，延长FE交DJ于点J，作EZ∥BC，E1N∥BC，分别交DJ于点Z，点N， 17 ___ ∵AE=AF=17，EE1=E1F， ∴∠EAE1= ∠EAF， ∵tan∠EAF=tan∠MAC= = = ， 18 如图3，在△AEF中，过点E作EH⊥AF交AF于点H， ___ ∴ = ， ∵AE=17， ∴EH=8，AH=15， 19 ∴HF=2， ∴EF=2 ， ∵AE=AF， ∴EE1=E1F= EF= ， ∵S△EAF= ×AF×EH= ×EF×AE1， ∴AE1= = =4 ， ∴tan∠EAE1= = = ， 在Rt△EAE1中，设EE1=x,则： 20 AE1=4x, 由勾股定理可得： AE2=EE12+AE12，即： 172=x2+(4x)2， 解得：EE1=x= ， ∴EF=2EE1=2 ， ∵∠D1E1E=∠EAF，AM∥DJ， ∴△D′JE1∽△EFA， ∴ = ，即： 21 = ， 解得：D′J= ， ∴D′N=NJ= D′J= ， ∵EZ∥E1N， ∴∠ZEJ=∠NE1J= ∠D′E1J= ∠EAF=∠EAE1， ∴△ZJE∽△EAE1， ∴ = ，即： 22 = ， 解得：ZJ= -1， ∴ZN=NJ-ZJ=1， ∴D′Z=D′N+NZ= +1， ∴点D向下调整的高度为：DT-D′Z= -( +1)= ， 故答案为： ． 23 二．等腰三角形的性质 24 4.一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是 ________________________________ ． 【解析】解：如图①所示，当∠BAC=48°时，那么它的最大内角是90° __ 当∠ACB=48°时，有以下4种情况， 88°，90°，99°，108°，116° 25 ___________ 故答案为：88°，90°，99°，108°，116° 26 5.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，E是AC上一点，连接AD、DE，若∠ADE=∠AED，∠EDC=15°，则∠BAD= _____ ． 【解析】解：∵∠AED=∠C+∠EDC=∠C+15°，∠ADE=∠AED， ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠C+30°． 又∠ADC=∠B+∠BAD，∠B=∠C， ∴∠BAD=30°． 故答案为 30°． 30° 27 6.如图，已知在四边形ABCD内，DB=DC，∠DCA=60°，∠DAC=78°，∠CAB=24°，则∠ACB= _____ ． 【解析】解：延长CA到E使AE=AB，连接DE， ∵∠DAC=78°， ∴∠DAE=102°， ∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=78°+24°=102°， ∴∠DAE=∠DAB， ∵DA=DA， ∴△DAB≌△DAE(SAS)， ∴DE=DB=DC， 18° 28 ∵∠DCA=60°， ∴△DEC是等边三角形， ∴∠EDC=60°， ∵∠ADC=180°-78°-60°=42°， ∴∠EDA=60°-42°=18°， ∴∠ADB=∠EDA=18°， ∴∠BDC=60°-2×18°=24°， ∴∠DBC=∠DCB= (180°-24°)=78°， ∴∠ACB=78°-60°=18°． 29 7.在△ABC中，AB=AC，点D是线段BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． (1)如图1，如果∠BAC=90°，则∠BCE= _____ ； (2)如图2，设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在线段BC上移动时，请写出α，β之间的数量关系，请说明理由． 【解析】解：(1)90°． 90° 30 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE=∠B+∠ACB， 又∵∠BAC=90° 31 ∴∠BCE=90°； (2)α+β=180°， 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠B=∠ACE． 32 ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB=β， ∵α+∠B+∠ACB=180°， ∴α+β=180°． 33 8.若a、b是△ABC的两边且|a-3|+(b-4)2=0 (1)试求a、b的值，并求第三边c的取值范围． (2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长． (3)若另一等腰△DEF，其中一内角为x°，另一个内角为(2x-20)°试求此三角形各内角度数． 【解析】解：(1)∵|a-3|+(b-4)2=0， ∴a=3 b=4， ∵b-a＜c＜b+a, ∴1＜c＜7； (2)当腰长为3时，此时三角形的三边为3、3、4，满足三角形三边关系 34 ，周长为10； 当腰长为4时，此时三角形的三边长为4、4、3，满足三角形三边关系，周长为11； 综上可知等腰三角形的周长为10或11； (3)当底角为x°、顶角为(2x-20)°时，则根据三角形内角和为180°可得 x+x+2x-20=180， 解得x=50， 此时三个内角分别为50°、50°、80°； 当顶角为x°、底角为(2x-20)°时，则根据三角形内角和为180°可得 x+2x-20+2x-20=180， 解得x=44， 35 此时三个内角分别为44°、68°、68°； 当底角为x°、(2x-20)°时，则等腰三角形性质可得 x=2x-20， 解得x=20， 此时三个内角分别为20°、20°、140°； 综上可知三角形三个内角为50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度． 36 9.在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE=∠AED． (1)当点D在BC(点B，C除外)边上运动时(如图1)，且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你的猜想． (2)当点D在直线BC上运动时(如图2)，且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD=25°，求∠CDE的度数(直接写出结果)． 37 _______ 【解析】解：(1)结论：∠BAD=2∠CDE．理由如下： 设∠B=x,∠ADE=y, ∵∠B=∠C， ∴∠C=x, 38 ∵∠AED=∠ADE， ∴∠AED=y, ∴∠CDE=∠AED-∠C=y-x, ∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-2y, ∴∠BAD=180°-∠B-∠C-∠DAE=180°-x-x-(180°-2y)=2(y-x)， ∴∠BAD=2∠CDE； (2)当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上， 分两种情况： 当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE=12.5°； 当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′=AE，连接DE′， 39 __ ∵∠ADE=∠AED， ∴AE=AD=AE′， 40 ∴∠ADE=∠AE′D， 由①知，∠CDE′=12.5°， ∴∠ADE+∠ADE′=∠AED+∠AE′D， ∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D=180°， ∴∠ADE+∠ADE′=∠AED+∠AE′D=90°， ∴∠CDE=90°+12.5°=102.5°． 如图3中，当点D在CB的延长线上时，同法可得∠CDE′=12.5°，∠CDE=77.5° 41 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE． 【解析】证明：∵∠CAE+∠BAD=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． ∵∠ADB=∠AEC=90°，AB=AC， ∴△ABD≌△CAE． ∴AD=CE，BD=AE． ∵AE=AD+DE=CE+DE， ∴BD=DE+CE． 42 三．等腰三角形的判定 43 11.如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=36°，在直线AC或BC上取点M，使得△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有 ____ 个． 【解析】解：如图， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，(此时AB=AM)； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6(此时BM=BA)． ③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB)，交直线BC于点M8； 8 44 ∴符合条件的点有8个． 故答案为：8． 45 四．等腰三角形的判定与性质 46 12.如图，△ABC中，AC=DC=3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值( ____ ) A.1.5 B.3 C.4.5 D.9 【解析】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O． C 47 ____ ∵AD⊥BH， ∴∠ADB=∠ADH=90°， ∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°， ∵∠BAD=∠HAD， ∴∠ABD=∠H， 48 ∴AB=AH，∵AD⊥BH， ∴BD=DH， ∵DC=CA， ∴∠CDA=∠CAD， ∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°， ∴∠CDH=∠H， ∴CD=CH=AC， ∵AE=EC， ∴S△ABE= S△ABH，S△CDH= S△ABH， ∵S△OBD-S△AOE=S△ADB-S△ABE=S△ADH-S△CDH=S△ACD， 49 ∵AC=CD=3， ∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为 ×3×3= ． 故选：C． 50 13.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE． (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)求证：∠B=∠DEF； (3)当∠A=40°时，求∠DEF的度数． 【解析】(1)证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△DBE和△ECF中， 51 ， ∴△DBE≌△ECF(SAS)， ∴DE=FE， ∴△DEF是等腰三角形； (2)∵△BDE≌△CEF， ∴∠FEC=∠BDE， ∴∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B (3)∵由(2)知△BDE≌△CEF， ∴∠BDE=∠CEF， 52 ∴∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B， ∴∠DEF=∠B， ∴AB=AC，∠A=40°， ∴∠DEF=∠B= =70°． 53 14.如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F． 试说明：EO=BE 探究一：请写出图①中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由． 54 探究二：如图②，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由． 【解析】证明：∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO=∠OBC， ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC， ∴∠ABO=∠EOB， ∴EO=BE； 探究一：EF=BE+CF． 55 理由：∵EO=BE， 同理可证：OF=CF， ∴EF=BE+CF； 探究二：EF=BE-CF． 理由：∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO=∠OBC， ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC， ∴∠ABO=∠EOB， ∴EO=BE； 同理可得：OF=CF，∴EF=OE-OF=BE-CF． 56 五．等边三角形的性质 57 15.如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN=30°．若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n为边长的三角形的形状为( ____ ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.随x,m,n的值而定 【解析】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN． C 58 ___ ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°， ∵∠MBN=30°， ∴∠ABM+∠CBN=30°， ∴∠NBH=∠CBH+∠CBN=30°， ∴∠NBM=∠NBH， 59 ∵BM=BH，BN=BN， ∴△NBM≌△NBH， ∴MN=NH=x, ∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=m, ∴∠NCH=120°， ∴x,m,n为边长的三角形△NCH是钝角三角形， 故选：C． 60 16.已知等边三角形ABC，AB=15，点D在BC上，过点D作BC的垂线，交射线BA于点E，交射线CA于点F，若DF=2EF，则CD的长为 _______ ． 【解析】解：分两种情况： ①DF与AB交于点E，与CA延长线交于点F，作FG∥BD，交BA延长线于点G， ___ ∵DF=2EF， 10或6 61 ∴EF=DE， ∵FG∥BD，DF⊥BC， ∴∠EFG=∠EDB=90°， 在△EFG和△EDB中， ， ∴△EFG≌△EDB(ASA)， ∴GE=BE， ∵ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=∠C=60°， 62 ∵DF⊥BC， ∴∠BED=30°， ∴∠FEG=∠BED=30°， ∵∠FAE=180°-60°=120°， ∴∠EFA=∠AEF=30°， ∴AE=AF， ∵FG∥BC， ∴∠G=∠B=60°，∠GFC=∠C=60°， ∴△AFG是等边三角形， ∴AF=AG， ∵AE=AF， 63 ∴AE=AF=AG= EG= BE， 设BE=x,则AE=AF=AG= x,AB= x, ∵AB=15， ∴x=10，即BE=10， 在Rt△BED中，∠BED=30°，BE=10， ∴BD= BE=5， ∴CD=BC-BD=10； ②DF与AC交于点F，与BA延长线交于点E，作EG∥BD，交CA延长线于点G， 64 ___ ∵EG∥BD， ∴∠GEF=∠FDC=90°， ∵∠EFG=∠DFC， ∴△EFG∽△DFC， ∴ = ， 设CF=x,则GF= x, 65 ∵ABC是等边三角形，EG∥BD， ∴∠EGA=∠C=60°，∠GEA=∠B=60°，AB=AC=15， ∴△AEG是等边三角形， ∴AG=AE， ∵∠GEF=90°，∠EDC=90°， ∴∠GFE=∠DFC=30°，∠BED=30°， ∴AE=AF=AG= GF，CD= CF= x, ∵GF= x, ∴AF= x, 66 ∴AC=AF+CF= x=15， ∴x=12， ∴CD= CF= x=6． 综上，CD的长为10或6． 故答案为：10或6． 67 17.在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． (1)如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 　　；此时 =　　； (2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 68 ____ 【解析】解：(1)如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN， 此时 ， 69 理由：∵DM=DN，∠MDN=60°， ∴△MDN是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵BD=CD，∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠MBD=∠NCD=90°， ∵DM=DN，BD=CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN， ∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN， ∴DM=2BM，DN=2CN， 70 ∴MN=2BM=2CN=BM+CN； ∴AM=AN， ∴△AMN是等边三角形， ∵AB=AM+BM， ∴AM：AB=2：3， ∴ = ； (2)猜想：结论仍然成立， 证明：在NC的延长线上截取CM1=BM，连接DM1， ∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD， ∴△DBM≌△DCM1， 71 ∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM， ∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC， ∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC， ∴ = ； (3)证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1， 可证△DBM≌△DCM1， 72 ∴DM=DM1， 可证∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N， ∴NC-BM=MN． 73 六．等边三角形的判定与性质 74 18.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形(如图)，…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( ____ ) A. B. A 75 C. D. 【解析】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC=∠BAF=∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD， ∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°， ∵∠AFE=∠ABC=120°， ∴∠AFD=∠ABD=90°， 76 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)， ∴∠BAD=∠FAD= ×120°=60°， ∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI=∠FAD=60°， 77 ___ ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM=60°=∠M， ∴ED=EM， 同理AF=QF， 即AF=QF=EF=EM， ∵等边三角形QKM的边长是a, 78 ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是 a,即等边三角形QKM的边长的 ， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF=ZN= a, ∵GF= AF= × a= a,∠FGI=60°(已证)， 79 ∴∠GFZ=30°， ∴GZ= GF= a, 同理IN= a, ∴GI= a+ a+ a= a,即第二个等边三角形的边长是 a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是 × a； 同理第第三个等边三角形的边长是 × a,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是 80 × × a； 同理第四个等边三角形的边长是 × × a,第四个正六边形的边长是 × × × a； 第五个等边三角形的边长是 × × × a,第五个正六边形的边长是 × × × × a； 第六个等边三角形的边长是 × × × × a,第六个正六边形的边长是 × × × × × a, 81 即第六个正六边形的边长是 × a, 故选：A． 82 七．直角三角形斜边上的中线 83 19.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A、B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是( ____ ) A. B. C.2 D. 【解析】解：取AB的中点F，连接CF、OF． C 84 ___ 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1， ∴AB=2BC=2， ∵∠AOB=90°，AF=FB， ∴OF=FC= AB=1， ∵OC≤OF+CF， ∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2． 85 故选：C． 86 八．生活中的轴对称现象 87 20.如图，以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面BC上开有一个小孔P，一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源S所发出的光线( ____ ) A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 【解析】解：有4条：分别是：由S发出的线SP； 由S发出，经过AD反射直接通过P的光线； D 88 由S发出，经过CD反射直接通过P的光线； 由S发出，经过CD反射再经过AD反射通过P的光线． 故选：D． 89 九．轴对称的性质 90 21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点P在边AB上，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，则点P到AC的距离是( ____ ) A.2.5 B. C.4 D. 【解析】解：如图：_____ C 91 作PE⊥AC于点E，设PE=x. ∵∠ACB=90°，BC=6， 将△BCP沿直线CP翻折后，点B恰好落在边AC的中点D处， ∴BC=CD=AD=6，∠BCP=∠ACP=45°， ∴PE=EC=x,DE=6-x,AE=6+6-x=12-x, ∵在Rt△APE和Rt△ABC中， tan∠A= = ， ∴ = ， 解得x=4， 故选：C． 92 22.如图，在四边形ABDE中，C是BD的中点，BD=8，AB=2，DE=8．若∠ACE=150°，则线段AE长度的最大值为　　． 【解析】解：作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．作CH⊥FG于H． ________ ∵C是BD边的中点， 93 ∴CB=CD= BD=4 ∵△ACB≌△ACF(SAS)， ∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA． 同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE ∵CB=CD，∴CG=CF ∵∠ACE=150°， ∴∠BCA+∠DCE=180°-150°=30°． ∴∠FCA+∠GCE=30°． ∴∠FCG=120°．CF=CG=4， ∵CH⊥FG， 94 ∴FH=HG=CF•sin60°=2 ， ∴FG=4 ∵AB=2，DE=8， ∴AF=AB=2，EG=ED=8 ∴AE≤AF+FG+EG=10+4 ． ∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4 ． 故答案为：10+4 ． 95 23.如图，AD，BE在AB的同侧，AD=2，BE=2，AB=4，点C为AB的中点，若∠DCE=120°，则DE的最大值是 ____ ． 【解析】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M，作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE．______ 由题意AD=EB=2，AC=CB=2，DM=CM=CN=EN=2， ∴∠ACD=∠ADC，∠BCE=∠BEC， ∵∠DCE=120°， 6 96 ∴∠ACD+∠BCE=60°， ∵∠DCA=∠DCM，∠BCE=∠ECN， ∴∠ACM+∠BCN=120°， ∴∠MCN=60°， ∵CM=CN=2， ∴△CMN是等边三角形， ∴MN=2， ∵DE≤DM+MN+EN， ∴DE≤6， ∴当D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为6， 故答案为：6． 97 一十．轴对称图形 98 24.下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是( ____ ) A.菱形 B.三角形 C.等腰梯形 D.正五边形 【解析】解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误； B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确； C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点， B 99 根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误； D、如图，正五边形中，直线l即为对称轴，故D选项错误． __ 故选：B． 100 一十一．镜面对称 101 25.有两面夹角∠AOB=11°的镜面OA、OB，从一个镜面上P点发射的光线，顺次在点C1，C2，C3…Cn，C反射，当垂直地射到镜面上的C点时，光线就会逆向从原路返回到P点，若当反射次数n为最大时，则∠OPC1的大小为 ____ 度． 【解析】解：光线由O至P在OP上的入射角分别为x,y,z… 根据角的转换 得到x=11°， ∠CCnC3=22°； 2 102 y=22°， ∠CCn-2C3=44°； z=44°， ∠C3C2C1=88°； w=88°， ∠C1PB=176°； ∵入射角此时已经不能再大． ∴∠OPC1=(180°-176°)÷2=2°， 故答案为2． 103 26.某人在照镜子时，从镜中看到后面墙上有一个五位数88018，请问原来墙上真正的数应为 ________ ． 【解析】解：根据镜面对称性质得出：实际五位数为81088， 故答案为81088． 81088 104 一十二．作图 105 27.(1)在下面的平面直角坐标系中画△ABC，使△ABC各顶点坐标分别为A(2，-1)，B(-2，0)，C(0，-2)； (2)使ABC各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，得△A1B1C1，画出△A1B1C1并说明△A1B1C1与△ABC有怎样的位置关系？ 【解析】解：(1)如图所示：△ABC即为所求； (2)如图所示：△A1B1C1即为所求，△A1B1C1与△ABC关于x轴对称． 106 28.如图所示，△ABC的顶点分别为A(-4，5)，B(-3，2)，C(4，-1)． (1)作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1； (2)写出A1、B1、C1的坐标； (3)若AC=10，求△ABC的AC边上的高． 【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求； 107 ___ (2)由图可知，A1(-4，-5)B1(-3，-2)C1(4，1 ) (3)∵AC=10， ∴△ABC的AC边上的高= 108 一十三．剪纸问题 109 29.跟我学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．若想得到一个正五角星(如图④，正五角星的5个角都是36°)，则在图③中应沿什么角度剪即∠ABC的度数为( ____ ) _______ A.126° A 110 B.108° C.90° D.72° 【解析】解：∵∠A= =36°， ∵正五角星的5个角都是36°， ∴∠ACB= ×36°=18°， ∵三角形内角和为180°， 111 ∴∠ABC=180°-18°-36°=126°． 故选：A． 112 30.如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( ____ ) ______________ A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 A 113 【解析】解：∵平角∠AOB三等分， ∴∠O=60°， ∵90°-60°=30°， ∴剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是30°的等腰三角形， 再沿另一折痕展开得到有一个角是30°的直角三角形， 最后沿折痕AB展开得到等边三角形， 即正三角形． 故选：A． 114 一十四．翻折变换 115 31.如图，一张三角形纸片ABC，其中∠BAC=60°，BC=6，点D是BC边上一动点，将BD，CD翻折使得B′，C′分别落在AB，AC边上，(B与B′，C与C′分别对应)，点D从点B运动运动至点C，△B′C′D面积的大小变化情况是( ____ ) A.一直减小 B.一直不变 C.先减小后增大 D.先增大后减小 【解析】解：如图，作B′H⊥DC′于H．设BD=DB′=x,则CD=DC′=6-x. D 116 ___ ∵∠A=60°， ∴∠B+∠C=120°， 由翻折不变性可知：∠B=∠DB′B，∠C=∠DC′C， ∴∠BDB′+∠CDC′=120°，∴∠B′DC′=60°， ∴B′H= x, ∴S△DB′C′= (6-x)=- (x-3)2+ ， 117 ∴S△DB′C′的值先增大后减小， 故选：D． 118 32.如图，P是等边△ABC边BC上一点，将△ABC折叠使点A落在点P处，折痕为MN，如果若BP：CP=1：2，那么PM：PN是( ____ ) A.1：2 B.2：3 C.3：4 D.4：5 【解析】解：∵BP：PC=1：2， ∴设BP=a,则CP=2a, ∵△ABC是等边三角形， D 119 ∴AB=BC=AC=3a,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， 由折叠的性质可知：MN是线段AP的垂直平分线， ∴AM=PM，AN=PN， ∴BM+MP+BP=5a,PN+NC+PC=7a, ∵∠MPN=∠BAC=∠ABC=60°， ∴∠NPC+∠MPB=∠BMP+∠MBP=120°， ∴∠NPC=∠BMP， ∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴△BMP∽△CPN， ∴(BM+MP+BP)：(PN+NC+CP)=PM：PN， 即PM：N=4：5， 120 33.如图是一张足够长的矩形纸条ABCD，以点A所在直线为折痕，折叠纸条，使点B落在边AD上，折痕与边BC交于点E；然后将其展平，再以点E所在直线为折痕，使点A落在边BC上，折痕EF交边AD于点F．则∠AFE的大小是( ____ ) A.22.5° B.45° C.60° D.67.5° 【解析】解：以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上， D 121 折痕与BC交于E点，∠AEB=45°， ______ ∠FEC=∠FEA= =67.5°． ∵AF∥EC， ∴∠AFE=∠FEC=67.5°． 故选：D． 122 34.如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD=AC′=2，BD=3，则点D到BC的距离为( ____ ) A. B. C. D. C 123 【解析】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H， ____ ∵AD=AC′=2，D是AC边上的中点， ∴DC=AD=2， 由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'， ∴DC=DC'=2，BC=BC'，CM=C'M， ∴AD=AC′=DC'=2， 124 ∴△ADC'为等边三角形， ∴∠ADC'=∠AC'D=∠C'AC=60°， ∵DC=DC'， ∴∠DCC'=∠DC'C= ×60°=30°， 在Rt△C'DM中， ∠DC'C=30°，DC'=2， ∴DM=1，C'M= DM= ， ∴BM=BD-DM=3-1=2， 在Rt△BMC'中， BC'= = 125 = ， ∵S△BDC'= BC'•DH= BD•CM， ∴ DH=3× ， ∴DH= ， ∵∠DCB=∠DBC'， ∴点D到BC的距离为 ， 故选：C． 126 35.如图在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB=AC．现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E'，BE′与AC边相交于D点，恰好BE′是∠ABC的角平分线，若CE=1，则BD的长为( ____ ) A.1.5 B. C.2 D. 【解析】解：如图，延长CE′和BA相交于点F， C 127 ___ 由翻折可知： ∠BE′C=∠E=90°，CE′=CE=1， ∵BE′是∠ABC的角平分线， ∴∠CBE′=∠FBE′， ∵BE′=BE′， ∴△BE′C≌△BE′F(ASA)， ∴E′F=CE′=1， 128 ∴CF=2， ∵∠FCA+∠F=90°， ∠DBA+∠F=90°， ∴∠FCA=∠DBA， ∵∠FAC=∠DAB=90°， AB=AC， ∴△FCA≌△DBA(ASA)， ∴BD=CF=2． 故选：C． 129 36.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=62°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 _____ 度． 【解析】解：如图，连接OB、OC， ___ ∵∠BAC=62°，AO为∠BAC的平分线， 124 130 ∴∠BAO= ∠BAC= ×62°=31°， ∵AB=AC， ∴∠ABC= (180°-∠BAC)= (180°-62°)=59°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=31°， ∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=59°-31°=28°， ∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC， ∴△AOB≌△AOC(SAS)， ∴OB=OC， 131 ∴点O在BC的垂直平分线上， 又∵DO是AB的垂直平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴∠OCB=∠OBC=28°， ∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE， ∴∠COE=∠OCB=28°， 在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-28°-28°=124°， 故答案为：124． 132 37.如图所示，等边△ABC中，边长为4，P、Q为AB、AC上的点，将△ABC沿着PQ折叠，使得A点与线段BC上的点D重合，且BD：CD=1：3，则AQ的长度为　　． 【解析】解：∵△ACB是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=∠PDQ=60°， ∵∠PDC=∠B+∠BPD，∠B=∠PDQ， ∴∠BPD=∠QDC， ∴△BPD∽△CDQ． ∴ = = ， 133 ∵DQ=AQ， ∴ = = ， ∵BD：DC=1：4=3，BC=4， ∴DB=1，CD=3， 设AQ=x,则CQ=4-x, ∴ = = ∴DP= ，BP= ， ∵BP+DP=4， 134 ∴ + =4， 解得x= ， ∴AQ= ， 故答案为 ． 135 38.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=5，将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕所在直线交△ABC的外角平分线CD于点E，则点E到BC的距离为　　． 【解析】解：如图，连接GB，作EF⊥BC于F，EM⊥AC于M， ___ 136 ∴∠EMC=∠EMG=∠EFC=90° ∵CD平分∠ACF， ∴EM=EF．∠ACD= ∠ACF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠CEM=45°， ∴∠CEM=∠ECM， ∴EM=MC． ∵△AGH与△BGH关于GH对称， 137 ∴AH= AB，AG=GB．∠AHG=∠BHG=90°． ∴∠EMG=∠ACB=∠AHG． ∵∠EGM=∠AGH， ∴△GEM∽△BAC， ∴ = ， ∴EM= •MG， ∴CM= •MG= (AC-AG-CM)． ∵∠A=∠A，∠ACB=∠AHG． 138 ∴△AGH∽△ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴AG= ， ∴CM= (AC- -CM)． ∴CM= - - •CM， 139 ∴2BC•CM=2AC2-AB2-2AC•CM， ∴(2BC+2AC)CM=2AC2-AB2， ∴CM= ， ∵∠ACB=90°，AC=10，BC=5， ∴由勾股定理，得 AB2=125， ∴EM= = ． 故答案为： ． 140 39.已知如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF、DC相交于点G，若DG=16，BC=24，则FH=　　． 【解析】解：连接GE． ∵E是边AD的中点， ∴DE=AE=FE， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠A=∠BFE=90°， ∴∠D=∠EFG=90°． 141 在Rt△EFG与Rt△EDG中， ， ∴Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)； ∴DG=FG=16， 设DC=x,则CG=16-x,BG=x+16 在Rt△BCG中， BG2=BC2+CG2， 即(x+16)2=(16-x)2+242， 解得x=9， ∵AD∥BC， 142 ∴∠AEB=∠CBE， ∵∠AEB=∠FEB， ∴∠CBE=∠FEB， ∴BH=EH， 设BH=EH=y,则FH=12-y, 在Rt△BFH中， BH2=BF2+FH2， 即y2=92+(12-y)2， 解得y= ， ∴12-y=12- = ． 143 40.阅读理解：在以后你的学习中，我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若点D是斜边AB的中点，则CD= AB． 灵活应用：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE． _______ (1)求AD的长： (2)判断△BCE的形状： 144 (3)请直接写出CE的长． 【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4， 由勾股定理得，BC= =5， ∵点D是BC的中点，BCRt△ABC的斜边， ∴AD= BC= ； (2)△BCE为直角三角形．理由： ∵D是BC的中点 ∴CD=BD ∵将△ABD沿AD翻折得到△AED， 145 ∴DE=DB， ∴CD=DE=DB， ∴∠DEC=∠DCE，∠DEB=∠DBE， ∵∠DEC+∠DCE+∠DEB+∠DBE=180°， ∴∠DEB+∠DEC=90°， ∴∠BEC=90°， ∴△BCE是直角三角形； (3)如图，连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H． 由题可得AD=DC=DB= ， ∵ •BC•AH= •AB•AC， 146 ∴AH= ， ∵AE=AB，DE=DB， ∴点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上， ∴AD垂直平分线段BE， ∵ •AD•BO= •BD•AH， ∴OB= ， ∴BE=2OB= ， 在Rt△BCE中，EC= = = ． 147 $$