3.1一元一次方程及其解法讲义-2023-2024学年沪科版数学七年级上册

一元一次方程及其解法 1. 只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 2. 等式的性质 （1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一等式，所得结果仍是等式（若a=b则a+c=b+c，a-c=b-c）； （2）等式两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式（若a=b则ac=bc，=（c≠0））； （3）若a=b则b=a（对称性）； （4）若a=b，b=c则a=c（传递性）； （5）若a-b=c-d则a+d=c+b（移项：把等式一边的某项变换符号后移动到另一边）。 3. 解一元一次方程：整理等式，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1。 4. 含有两个未知数的一次方程称为二元一次方程（ax+by=c（a≠0，b≠0））。联立在一起的几个方程称为方程组。 5. 由两个一次方程组成的含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。 6. 将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法叫做消元思想。 7. 求二元一次方程组的解 （1）将一个未知数用含有另一个未知数的式子表达出来，再带入另一个方程，实现消元，进行求解，这种方法叫代入消元法； （2）当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程两边分别相加或相减以消去这个未知数的方法叫做加减消元法。 一．选择题（共12小题） 1．下面的式子中，（　　）是方程． A．25x B．15﹣3＝12 C．6x+1＝6 D．4x+7＜9 2．“某学校七年级学生人数为n，其中男生占45%，女生共有110人”，下列方程能表示上述语句中的相等关系的有（　　） ①（1﹣45%）n＝110；②1﹣45%＝；③45%＝1﹣；④n＝；⑤1＝+45%． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知x＝3是关于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，则a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1 4．已知x＝y，字母m为任意有理数，下列等式不一定成立的是（　　） A．x+m＝y+m B．x﹣m＝y﹣m C．mx＝my D． 5．下列说法中，正确的有（　　） A．等式两边各加上一个式子，所得的结果仍是等式 B．等式两边各乘以一个数，所得的结果仍是等式 C．等式两边都除以同一个数，所得的结果仍是等式 D．一个等式的左右两边分别与另一个等式的左右两边相加，所得的结果仍是等式 6．运用等式性质的变形，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b﹣c B．如果，那么a＝b C．如果a＝b，那么 D．如果a＝3，那么a2＝3a2 7．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3＝0是一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝2 9．若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．任何数 10．已知关于x的方程（2a+b）x﹣1＝0无解，那么ab的值是（　　） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 11．适合|2a+7|+|2a﹣1|＝8的整数a的值的个数有（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 12．关于x的方程2x﹣4＝3m和x+2＝m有相同的解，则m的值是（　　） A．10 B．﹣8 C．﹣10 D．8 二．填空题（共8小题） 13．方程+3＝0中，的次数是 　　次． 14．在①2x﹣1；②2x+1＝3x；③|π﹣3|＝π﹣3；④t+1＝3中，等式有　　，方程有　　．（填入式子的序号） 15．小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1﹣，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是　　． 16．小马虎在解关于x的方程2a﹣5x＝21时，误将“﹣5x”看成了“+5x”，得方程的解为x＝3，则原方程的解为　 　． 17．一列方程如下排列： ＝1的解是x＝2， ＝1的解是x＝3， ＝1的解是x＝4， … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程：　 　． 18．比a的3倍大5的数等于a的4倍用等式表示为　 　． 19．将方程4x+3y＝6变形成用y的代数式表示x，则x＝　 　． 20．如果|x+8|＝5，那么x＝　 　． 三．解答题（共11小题） 21．在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分． ①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1． 22．已知x＝﹣1是关于x的方程8x3﹣4x2+kx+9＝0的一个解，求3k2﹣15k﹣95的值． 23．已知关于x的方程的两个解是； 又已知关于x的方程的两个解是； 又已知关于x的方程的两个解是； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． （1）关于x的方程的两个解是x1＝　 　和x2＝　 　； （2）已知关于x的方程，则x的两个解是多少？ 24．下列方程的变形是否正确？为什么？ （1）由3+x＝5，得x＝5+3． （2）由7x＝﹣4，得x＝． （3）由，得y＝2． （4）由3＝x﹣2，得x＝﹣2﹣3． 25．已知（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，求代数式的值． 26．已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程．试求： （1）m的值； （2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值． 27．已知（a2﹣1）x2﹣（a+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程． （1）求代数式2008（a+x）（x﹣2a）+3a+5的值； （2）求关于y方程a|y|＝x的解． 28．我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值； （2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 29．已知x＝3是方程的解，n满足关系式|2n+m|＝1，求m+n的值． 30．解下列一元一次方程 （1）﹣3x+7＝4x+21； （2）﹣1＝+x； （3）9y﹣2（﹣y+4）＝3； （4）﹣＝． 31．解下列方程 （1） （2）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$