2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系讲义 -2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 【解题思路】 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【例1-1】（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（    ） A．点在圆外 B．直线平分圆 C．圆的周长为 D．直线与圆相离 【例1-2】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【例1-3】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式】 1．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 3．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是 ． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ． 知识点二 直线与圆的弦长 【解题思路】 直线与圆相交时的弦长求法 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长 弦长公式法 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝ 【例2-1】（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【例2-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 【例2-3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【例2-4】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 2．（23-24高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 4．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）直线截圆所得弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 知识点三 圆上或圆外一点求切线方程 【解题思路】 求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 【例3-1】（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【例3-2】（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【例3-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【例3-4】（23-24高二上·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 【例3-5】（2024高三·全国·专题练习）设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式】 1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 2．（23-24高二上·福建漳州·期末）圆在点处的切线方程为 . 3．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）过点与圆相切的直线方程为 ． 4．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线经过点，圆，若直线与圆C相切，则直线的方程为 5．（2024·全国·模拟预测）若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为 6．（23-24高二下·四川成都·开学考试）若点P是直线l：上的一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 7． （23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为 知识点四 判断两个圆的位置关系 【解题思路】 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 【例4-1】（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【例4-2】（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式】 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 3．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·河南·期中）（多选）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 知识点五 两个圆的公共弦 【解题思路】 1.两圆的公共弦所在直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2.公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 【例5-1】（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 知识点六 实际应用题 【解题思路】 　解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 【例6】（23-24高二上·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 【变式】 1．（23-24高二上·广东潮州·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 3．（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 知识点七 与圆有关的最值问题 【解题思路】 与圆有关的最值 1.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 2.形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． 3.形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题． 【例7-1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知直线，圆 ，则下列说法正确的是（    ） A．表示经过的所有直线 B．圆上的点到直线距离的最小值为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．若直线与圆相切，则 【例7-2】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【例7-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）（多选）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【变式】 1．（23-24高二上·山东·期中）（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的范围是 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）（多选）已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是0 B．的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（23-24高三上·广东汕头·期中）（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（    ） A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过定点 C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为2 4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【题组一 直线与圆的位置关系】 1．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 2．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（23-24高二下·广西桂林·期末）（多选）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 4．（2024·山东·二模）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大值时， 5．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【题组二 直线与圆的弦长】 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 2．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线和圆，则下列结论中错误的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 4．（23-24高二下·浙江·期中（多选）若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题组三 圆上或圆外一点求切线方程】 1．（23-24 福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ． 6．（22-23高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 7 ．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 . 【知识点四 判断两个圆的位置关系】 1．（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（）u哦下单已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（多选）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【知识点五 两个圆的公共弦】 1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）（多选）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 3．（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 【知识点六 实际应用题】 1．（22-23高二上·云南昆明·期中）如图是某圆拱桥的示意图，水面跨度为16米，拱桥顶点离河面4米，当水面上涨2米后，水面宽为（    ）米 A．8 B．10 C．12 D．14 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 3．（23-24高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 4．（23-24高二上·河北·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【知识点七 与圆有关的最值问题】 1．（23-24高二上·甘肃·期末）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦长为 C．最小时，弦所在直线的斜率为 D．四边形的面积最小值为 2．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）（多选）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 3．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）点是圆上的动点，则下面正确的有（    ） A．圆的半径为3 B．既没有最大值，也没有最小值 C．的范围是 D．的最大值为72 4．（23-24高二上·重庆·期中）（多选）直线：，圆：，P是圆M上的动点，则（    ） A．过且与直线垂直的直线方程为 B．直线与圆相交 C．点P到直线的距离最大值是5 D．点P到直线的距离最小值是1 5．（23-24高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知，圆，为圆上动点，下列正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最大时， 6（2024福建·期中）已知点在圆上. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值与最小值； （3）求的最大值与最小值 7．（2024北京）已知为圆：上任意一点. (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 【解题思路】 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【例1-1】（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（    ） A．点在圆外 B．直线平分圆 C．圆的周长为 D．直线与圆相离 【答案】D 【解析】由可知圆心坐标为，圆的半径为1． 对于选项A：由点到圆心的距离 所以点在圆外，故A正确； 对于选项B：因为圆心在直线上， 所以圆关于直线对称，故B正确； 对于选项C，圆的周长为，故C正确； 对于选项D，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故D错误． 故选：D． 【例1-2】（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交.故选:B. 【例1-3】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为直线与圆相切，所以，解得， 由直线和圆相切， 所以或，解得或， 故实数的值为或.故选：D. 【变式】 1．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线与圆的位置关系为（ ） A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】C 【解析】圆，即，其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系为相切.故选：C 2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 【答案】C 【解析】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即， 而圆的圆心为，半径为，于是得圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆相切.故选：C 3．（22-23高二上·安徽芜湖·期中）圆与直线的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关 【答案】D 【解析】直线，即， 令，解得，故直线l经过点. 又，所以点在圆外， 故直线l与圆的交点个数可能为0、1或2，即与k的取值有关. 故选：D 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】的圆心为则当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离小于半径，则解得：故答案为： 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由可得，整理可得，其中， 所以曲线表示圆的下半圆， 如图所示．当直线与曲线相切时， 由图可知，，且有，解得． 当直线过点时，则有． 由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点． 故答案为： 知识点二 直线与圆的弦长 【解题思路】 直线与圆相交时的弦长求法 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题 代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长 弦长公式法 设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝ 【例2-1】（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【解析】由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 【例2-2】（24-25高二上·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】因为圆C：，圆心，半径 所以当过点的直线l垂直于时，弦长取最小值，即. 故答案为：. 【例2-3】（23-24高二下·四川成都·阶段练习）直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线， 即，由，解得， 设，由于，所以在圆内， 圆的圆心为，半径，如图： 当时，最短，，所以弦长的最小值为.故选：C 【例2-4】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知圆心为的圆与x轴交于A、B两点，，则该圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可设圆的方程为，令，得， 设，则，，，解得， ∴圆的方程是，即.故选：C 【变式】 1．（23-24高二上·江西上饶·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【解析】圆即，故圆心为，显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为.故选：C． 2．（23-24高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心到直线的距离为，圆的半径为，易得直线方程为， 而，由勾股定理得，解得， 故圆的方程为，故C正确.故选：C 3．（23-24高二下·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【解析】将圆化为，圆心，半径， 因为，所以点在圆内，记圆心到直线的距离为，则， 由图可知，当，即时，取得最小值，因为， 所以的最小值为.故选：C. . 4．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）直线截圆所得弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线化简为，联立，得， 所以直线恒过定点， 点满足，所以点在圆内，所以当点是弦的中点时，此时弦长最短， 圆心和定点的距离为1，所以最短弦长为.故选：B 5．（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】要使直线被圆截得的弦长为， 当且仅当圆心到直线的距离.此即，即，即或，即或.显然，“”是“或”的充分不必要条件.故选：A. 知识点三 圆上或圆外一点求切线方程 【解题思路】 求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 【例3-1】（23-24高二下·上海静安·期末）圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上，又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即.故答案为：. 【例3-2】（23-24高二下·河北张家口·期中）已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【解析】由圆的方程可得圆心，半径，由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为；当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即所以，解得， 此时，切线方程为，综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 【例3-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点向圆引的切线长是（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】A 【解析】圆即圆的圆心半径分别为， 点到圆心的距离为， 所以点向圆引的切线长是.故选：A. 【例3-4】（23-24高二上·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】圆即，其圆心，半径， 则过向这个圆作两条切线，切点为，如图：又，则， 所以.故选：B. 【例3-5】（2024高三·全国·专题练习）设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】依题意，圆的圆心，半径， ，， 因此四边形的周长， 而，当且仅当垂直于直线时取等号， 所以四边形的周长的最小值为4. 故选：C 【变式】 1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：，解得，所以直线方程为：， 即.故答案为：. 2．（23-24高二上·福建漳州·期末）圆在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由题意可知：圆的圆心为， 因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线， 而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线方程为：，即. 故答案为： 3．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）过点与圆相切的直线方程为 ． 【答案】或 【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆外， 当直线过点且斜率不存在时，，显然与圆相切； 当直线过点，且斜率存在时，设方程为，即， 则，解得，故方程为； 综上所述：直线方程为或. 故答案为：或. 4．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线经过点，圆，若直线与圆C相切，则直线的方程为 【答案】或 【解析】将圆的方程化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆外， 当直线的斜率不存在时，即直线为， 圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 整理：，解得， 所以直线为，即， 综上所述：直线的方程为或. 5．（2024·全国·模拟预测）若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为 【答案】 【解析】依题意，记为坐标原点，连接，如图， 因为圆的圆心为，半径为，则， 又，所以， 因为点唯一，使得，所以直线与直线垂直，所以，即. 6．（23-24高二下·四川成都·开学考试）若点P是直线l：上的一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆心C到直线l的距离为，如图， 连接，由圆的几何性质知，， 设， 则，，， 所以， 由图可知，当时，取得最小值，即， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增， 故当即时，取得最小值，且最小值为. 7． （23-24高二上·河北邯郸·期末）过直线上的动点向圆心为，半径为2的圆引两条切线（为切点），则四边形的面积的最小值为 【答案】 【解析】由圆的切线性质，四边形的面积    。 当时，最小，所以四边形的面积最小， 此时 所以. 故选：B. 知识点四 判断两个圆的位置关系 【解题思路】 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 【例4-1】（23-24高二上·北京·期中）已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【解析】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交.故选：A. 【例4-2】（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 【变式】 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为.两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交.故选：A. 2．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）设圆：，圆：，则圆，的位置关系是（    ） A．内切 B．外切 C．相交 D．相离 【答案】B 【解析】由题可知圆的半径为，圆心；圆的半径为，圆心， 所以，，所以，故两圆外切，故选B. 3．（23-24高二上·北京·期中）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【解析】由题意，圆，则圆心，半径，圆，则圆心,半径， 所以两圆圆心距，所以两圆外切.故选：B. 4．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 5．（23-24高二下·河南·期中）（多选）已知圆，，则下列结论正确的有（    ） A．若圆和圆相交，则 B．若圆和圆外切，则 C．当时，圆和圆有且仅有一条公切线 D．当时，圆和圆相交弦长为 【答案】ABD 【解析】由题意可知：圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径；则， 对于选项A：若圆和圆相交，则，即，解得，故A正确； 对于选项B：若和外切，则，即，解得，故B正确； 对于选项C：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 所以圆和圆有且仅有2条公切线，故C错误； 对于选项D：当时，由选项A可知：圆和圆相交， 且圆，， 两圆方程作差得，即公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离，所以公共弦长为，故D正确.故选：ABD 知识点五 两个圆的公共弦 【解题思路】 1.两圆的公共弦所在直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2.公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 【例5-1】（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为.故选：A 【例5-2】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径，所以.故选：C 【变式】 1．（23-24高二上·四川成都·期末）圆和圆的公共弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两个圆的方程相减，得，故选：C 2．（2024高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两圆相减可得，经检验，该方程满足题意，故公共弦所在直线的方程为. 故选：A. 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）两圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】两圆的圆心分别为,半径均为1，故圆心距离为,故两圆相交， 圆与圆的公共弦所在的直线方程为： ，即， 圆的圆心到公共弦的距离：，圆的半径， 公共弦长．故选：B． 4．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：.故选：D 知识点六 实际应用题 【解题思路】 　解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 【例6】（23-24高二上·浙江金华·期中）台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为 小时. 【答案】 【解析】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数，得， 在中，由勾股定理，得，所以， 因为台风中心的移动速度为，所以B城市处于危险区内的时间为.故答案为：2. 【变式】 1．（23-24高二上·广东潮州·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 【答案】5.4m 【解析】 以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为．                       设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得．                             故圆拱所在的圆的方程是．                          将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.4m． 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 3．（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 知识点七 与圆有关的最值问题 【解题思路】 与圆有关的最值 1.形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 2.形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． 3.形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题． 【例7-1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知直线，圆 ，则下列说法正确的是（    ） A．表示经过的所有直线 B．圆上的点到直线距离的最小值为 C．圆上的点到直线距离的最大值为 D．若直线与圆相切，则 【答案】C 【解析】对于A，直线经过，但直线l不能表示直线，A错误； 对于B，直线表示过的动直线，当与圆相交时， 圆上的点到直线距离的最小值为0，B错误； 对于C，设为点A，当时，圆上的点到直线距离可取到最大值， 而，圆 的半径为1， 故圆上的点到直线距离的最大值为，C正确； 对于D，直线与圆相切时，有圆心到直线的距离， 即，解得或，D错误， 故选：C 【例7-2】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·期中）（多选）已知实数x和y满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AD 【解析】设，变形为，此式表示圆上一点 与点 连线的斜率， 由 ，可得，此直线与圆有公共点，则 ， 解得，故 的最大值为，最小值为.故A正确，B错误， 令并将其变形为， 问题可转化为斜率为的直线在经过圆上的点时在轴上的截距的最值. 当直线和圆相切时在轴上的截距取得最大值和最小值， 所以，解得 ， 所以的最大值为，最小值为. 故C错误； 表示圆 上的点到坐标原点的距离， 原点到圆心的距离， 故圆上的点到坐标原点的最大距离为 ，故D正确， 故选：AD. 【例7-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）（多选）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】BC 【解析】因为：，化简为：，所以：圆的圆心，半径为. 对于A项：表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示： 所以：的最大值为：，故A项错误； 对于B项：表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示： 设，由圆心到直线的距离：，即：解得：， 所以的最大值为，故B项正确； 对于C、D项：表示圆上任意一点到直线的距离的倍，如图所示： 又圆心到直线的距离，所以：圆上任意一点到直的距离的最小值为：，最大值为：， 所以：的最小值为：，最大值为：，故C项正确，D项错误.故选：BC. 【变式】 1．（23-24高二上·山东·期中）（多选）已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的范围是 【答案】ABD 【解析】因为实数x，y满足方程， 所以，得圆心为，半径为1， 对于AB，设，则两直线与圆有公共点， 所以， 解得，， 所以的最大值为，的最大值为，所以AB正确， 对于C，因为原点到圆心的距离为， 所以圆上的点到原点的距离， 所以，所以， 所以的最大值为，所以C错误， 对于D， 表示出圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即，所以D正确， 故选：ABD 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）（多选）已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是0 B．的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 当时，可看成与原点间的连线的斜率， 设，即，所以直线与圆M有交点， 由，解得，所以的最小值为，无最大值，所以A正确，B错误； 由表示点到原点的距离， 又由，所以的最大值为，所以C正确； 设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 3．（23-24高三上·广东汕头·期中）（多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（    ） A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过定点 C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为2 【答案】BC 【解析】 圆心，半径， 对A，圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线距离得最小值为， 圆上的点到直线距离得最大值为， 所以圆上恰有两个点到的距离为，A错误； 对B，设，由题意可知，都在以为直径的圆上， 又，所以为直径的圆的方程为， 整理得，， 联立可得， ，即为直线的方程， 即 令，解得，所以直线恒过定点，B正确； 对C，因为直线恒过定点， 当定点与圆心的连线垂直于时， 圆心到直线的距离最大，则最小， 定点与圆心之间的距离为， 所以，C正确； 对D，四边形的面积为, 根据切线长公式可得，， 当最小时，最小，， 所以最小值为1，即四边形面积的最小值为1，D错误； 故选:BC. 4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为0； (3)最大值，最小值为. 【解析】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 【题组一 直线与圆的位置关系】 1．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即，所以直线与圆相切.故选：A. 2．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由条件知点在圆上，所以直线的斜率为切线的斜率为， 即直线方程为，整理得：直线与 直线平行，直线方程为，则直线与的距离为，故选：A． 3．（23-24高二下·广西桂林·期末）（多选）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（    ） A．直线l的倾斜角为 B．圆C的圆心坐标为（1，0） C．当时，直线l与圆C相切 D．当时，直线l与圆C相交 【答案】BCD 【解析】直线l：的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，A选项错误； 而圆：，即，可知圆心，半径，B选项正确； 当时，直线l：， 设圆心到直线l的距离为，则， 所以直线与圆相切，故C正确； 对于D项，圆：，即，可知圆心，半径, 因为直线与圆C交于两点，所以圆心C到直线l的距离， 即，解得， 所以当时，直线l与圆C相交，故D项正确； 故选：BCD. 4．（2024·山东·二模）（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大值时， 【答案】ACD 【解析】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心、半径为， 点到直线的距离为， 从而， 取，则此时有，故B错误； 对于C，当直线平分圆时，有点在直线上， 也就是说有成立，解得，故C正确； 对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当， 而的斜率为， 所以当等号成立时有，解得，故D正确. 故选：ACD. 5．（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】依题意，由圆的圆心到直线的距离， 解得，.故答案为：. 6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】圆化为标准方程得，则圆心，半径， 圆化为标准方程得，则，半径， 因为两圆相交，所以， 即，解得（舍去），所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【题组二 直线与圆的弦长】 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知两点，以线段为直径的圆截直线所得弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【解析】依题意，以线段为直径的圆的圆心为：，半径为， 由点到直线的距离为， 则该圆截直线所得弦长为. 故选：A. 2．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线.恒过定点， 圆的圆心为，半径为，且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：D. 3．（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知直线和圆，则下列结论中错误的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆有两个交点 C．存在直线与直线垂直 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】D 【解析】对于A项，由直线方程可整理为：， 因,故需使，即直线过定点，故A项正确； 对于B项，由A项知直线过定点，而该点到圆心的距离为， 而，即点A在圆内，故直线与圆有两个交点，故B项正确； 对于C项，直线的斜率为，直线的斜率为， 由可得，即时，，故C项正确； 对于D项，如图，因直线过定点，要使直线被圆截得的弦长最短，需使弦心距最长， 易知当且仅当时弦心距最长，此时弦心距即为，最短弦长为，故D项错误. (说理如下：过点作直线，交圆于点,过点作，垂足为， 在中，显然,而, 其中为圆的半径，则易得，即是直线与圆相交最短的弦长) 故选：D. 4．（23-24高二下·浙江·期中（多选）若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BCD 【解析】设圆心到直线的距离为，由于直线恒过原点，且，故， 又，即，故选：BCD． 【题组三 圆上或圆外一点求切线方程】 1．（23-24 福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为． 故选：B． 2．（23-24高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】   由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接. 设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：， 设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故, 则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 3．（23-24高二上·河南许昌·期末）直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】设斜率为，圆心到直线的距离为， 当不存在时，直线方程为，此时与圆不相切，故排除， 即直线斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 由题意得，可得，解得或， 即切线方程为或，显然D正确. 故选：D 4．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）已知圆，直线的过点且与圆相切，则满足条件的直线有几条（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为圆心为，半径，所以到的距离为， 所以在圆外，过圆外一点作圆的切线有条，故选：B. 5．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ． 【答案】 【解析】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，即， ，解得，所以切线方程为. 故答案为：. 6．（22-23高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 【答案】或 【解析】由直线m的倾斜角为，设直线m的方程为，即， 而圆C：的圆心，半径， 由直线m与圆C相切，得，解得或， 所以切线m的方程为或. 故答案为：或. 7 ．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知圆，过点作不过圆心的直线交圆于两点，则面积的最大值是 . 【答案】 【解析】   如图，过点的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设直线方程为，即， 所以圆心到该直线的距离为易得当时，，当直线经过圆心时，，故， 又因，故. 因时，可知函数单调递增，故. 即面积的最大值是. 故答案为：. 【知识点四 判断两个圆的位置关系】 1．（22-23高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】B 【解析】的圆心为，半径为1， 的圆心为，半径为1， 可知两圆圆心距为2，恰好等于两圆半径之和，所以两圆是外切. 故选：B 2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（）u哦下单已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 3．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）（多选）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 【答案】ACD 【解析】由，可得圆心为，半径分别为， 由，可得，得圆心坐标，半径， 则两圆圆心之间的距离为， 又两圆有公共点则，解得. 故选：ACD． 4．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【解析】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 【知识点五 两个圆的公共弦】 1．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【解析】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）（多选）已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（ ） A．若，则两圆外切 B．若，直线为两圆的公切线 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则两圆外离 【答案】ABD 【解析】若r＝1，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A对； 若r＝1，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B对； 若，则，，两式相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错； 两圆心间距离为，因为两圆外离，所以，即，故D对 故选：ABD 3．（23-24高二下·广东·期中）已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【解析】圆：和圆：， 两圆作差相减，得直线方程为， 经检验，直线方程满足题意. 故答案为：. 4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意两圆，方程相减得， ，整理得，即两圆公共弦所在的直线方程为. （2）由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为， 圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 【知识点六 实际应用题】 1．（22-23高二上·云南昆明·期中）如图是某圆拱桥的示意图，水面跨度为16米，拱桥顶点离河面4米，当水面上涨2米后，水面宽为（    ）米 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解析】如图所示，设弦为水上升前的水面，弦为水上升后的水面， 为圆拱桥对应圆的圆心，为弦的中点，为弦的中点， 设圆的半径为，则， 则，解得， 所以， 所以， 即当水面上涨2米后，水面宽为米. 故选：C. 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,需要拆除工厂内一个高塔,施工单位在某平台O的北偏东方向处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.已知经过O,A,B三点的圆为圆C. (1)求圆C的方程. (2)规定圆C及其内部区域为安全预警区,经观测发现,在平台O的正南方向200m的P处,有一辆小汽车沿北偏西方向行驶,小汽车会不会进入安全预警区?说明理由. 【答案】(1)；（或） (2)小次车会进入安全预警区，理由见解析 【解析】（1）由题意得,, 设圆C的方程为,因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 所以圆C的方程为；（或） （2）圆C化成标准方程为,圆心为C,半径, 因圆C到直线的距离. 所以直线与圆C相交,即小次车会进入安全预警区. 3．（23-24高二上·重庆云阳·阶段练习）如图，已知一艘海监船 上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为. (1)求外籍船航行路径所在的直线方程； (2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 【答案】(1)； (2)能， 小时. 【解析】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立平面直角坐标系，如图所示: 则 ， 则直线，即， 外籍船航行路径所在的直线方程为: ; （2）点到直线的距离， 所以外籍轮船能被海监船监测到； 检测路线的长度， 则检测时间， 所以外籍轮船被监测到的持续时间为小时. 4．（23-24高二上·河北·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求该圆弧所在圆的方程； (2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体） 【答案】(1) (2)4辆 【解析】（1）由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上， 设该圆的半径为r米，则，解得， 故该圆弧所在圆的方程为． （2）设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则， 解得． 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车． 若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为．隧道能并排通过4辆该种汽车． 综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车． 【知识点七 与圆有关的最值问题】 1．（23-24高二上·甘肃·期末）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦长为 C．最小时，弦所在直线的斜率为 D．四边形的面积最小值为 【答案】B 【解析】由圆的方程可知，圆心，半径. ， 当时，最小，此时最小. 对于选项A，，所以，故A错误； 对于选项B，，即，解得，故B正确； 对于选项C，因为，，所以，所以，故C错误； 对于选项D，四边形的面积， 所以当最小时，四边形的面积最小，，故D错误. 故选：B 2．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）（多选）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】A选项，变形为， 圆心为，半径为， 设， 故， 故当时，取得最大值，最大值为，A错误； B选项，， 故当时，取得最大值，最大值为，B正确； C选项，设，即， 联立与得， 令，解得， 故的最大值为，C错误； D选项，， 故当时，取得最大值，最大值为 故选：ACD 3．（23-24高二上·四川成都·期中）（多选）点是圆上的动点，则下面正确的有（    ） A．圆的半径为3 B．既没有最大值，也没有最小值 C．的范围是 D．的最大值为72 【答案】BC 【解析】圆转化为， 则圆的圆心为，半径为2，选项A错误. 设，则直线与圆有交点，即， 整理得，解得或. 既没有最大值，也没有最小值，选项B正确. 设，， 则，其中. 则的取值范围为，选项C正确. 又，则， 因此 其中. 则的最大值为，选项D错误. 故选：BC. 4．（23-24高二上·重庆·期中）（多选）直线：，圆：，P是圆M上的动点，则（    ） A．过且与直线垂直的直线方程为 B．直线与圆相交 C．点P到直线的距离最大值是5 D．点P到直线的距离最小值是1 【答案】BC 【解析】直线：的斜率为， 圆：的圆心，半径， 过且与直线垂直的直线方程为，即，故A错误； 圆心直线：的距离，故直线与圆相交，故B正确； 点P到直线的距离最大值是，故C正确； 直线与圆相交，则点P到直线的距离最小值是0，故D错误. 故选：BC. 5．（23-24高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知，圆，为圆上动点，下列正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最大时， 【答案】ABC 【解析】对于A中，因为，可得， 如图所示，可得 当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确. 对于B中，设的中点为，则， 所以，所以B正确； 对于C中，令，当直线与圆相切时，取值最值， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最小值为，所以C正确； 对于D中，当与圆相切时，取得最大值， 因为，圆的圆心为，可得， 此时，所以D错误. 故选：ABC. 6（2024福建·期中）已知点在圆上. （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值与最小值； （3）求的最大值与最小值 【答案】（1）的最大值是，最小值为；（2） 的最大值为51，的最小值为11；（3）的最大值为，最小值为． 【解析】（1）圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离， 即， 平方得， 解得：， 故的最大值是，最小值为； （2）表示点与的距离的平方加上2，    连接，交圆于，延长，交圆于， 可得为最短，且为， 为最长，且为， 则 的最大值为， 的最小值为； （3）圆即为， 令，， 则， ， ， 的最大值为，最小值为． 7．（2024北京）已知为圆：上任意一点. (1)求的最大值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为. 【解析】 (1)∵的圆心，半径， 设，将看成直线方程， ∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离， 解上式得：，∴的最大值为. (2)记点，∵表示直线的斜率，设直线的方程为：，即，由直线与圆有公共点， ∴，可得， ∴的最大值为，最小值为； (3)∵设，等价于圆的圆心到原点的距离的平方， 则， ； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$