2.4 圆的方程 讲义-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2.4 圆的方程 知识点一 圆的标准方程 【解题思路】 直接法求圆的标准方程 （1） 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 ①设方程：设圆的标准方程 ②列方程组：由已知条件建立a、b、r的方程组 ③解方程组：解出a、b、r ④得圆的方程：将a、b、r代入圆的标准方程 (2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程． 【例1】（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. (3)圆心是，且过点； (4)圆心在y轴上，半径为5，且过点； (5)过点和直线相切，并且圆心在直线上. (6)经过点，圆心在轴上； (7)经过直线与的交点，圆心为点. 【变式】 （23-24高二上·广东江门·期中）求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为，经过点； (2)圆心在直线上，且与轴交于点，. (3)圆心为，过点； (4)与轴相交于、两点，且半径等于. (5)过点和点，半径为． (6)经过两点，圆心在直线上． (7)圆心为，半径； (8)圆心为，过点； (9)与轴相交于、两点，且半径等于． 知识点二 圆的一般方程 【解题思路】 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 【例2-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【例2-2】（23-241高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【变式】 1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 2．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3 ．（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程． 知识点三 圆的判断 【例3-1】（22-23高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式】 1．（2024黑龙江双鸭山 ）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（    ） A．m<1 B．m>1 C．m< D．<m<1 2．（22-23高二上·河北沧州·期中）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 3 ．（2023高二上·全国·专题练习）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 知识点四 点与圆的位置关系 【解题思路】 判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【例4-1】（2023广东东莞·阶段练习）已知点和圆的方程，则它们的位置关系是（    ） A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【变式】 1．（2023山西晋中·期中）点与圆的位置关系为 ．（填“在圆上”“在圆外”“在圆内”） 2．（2024福建厦门·期中）点与圆的的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 4．（2024·全国·高二课时练习）若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 知识点五 与圆有关的轨迹问题 【解题思路】 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 【例5】（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【题组一 圆的方程】 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆万州·期中）（多选）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 4．（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 5．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 6．（23-24高二上·全国·课后作业）写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点的单位圆； (2)圆心为，半径是5； (3)圆心为，经过点； (4)圆心在x轴上，经过与两点． 7．（22-23高二·江苏·课后作业）分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点，圆心为； (2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线上； (3)过点，，且圆心在x轴上； (4)过点，和原点． 【题组二 圆的判断】 1．（2024·全国·高二）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏·高二单元测试）已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （       ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．（2024·甘肃 ）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（22-23高二·全国·课堂例题）下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【题组三 点与圆的位置关系】 1．（2024·四川宜宾 ）若点在圆的内部，则实数a的取值范围是_____. 2．（2024安徽）若点在圆上,则实数___. 3．（2024·浙江）若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是______ 4．（2022·安徽）点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为_______ 5．（2023四川乐山·期末）点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【题组四 与圆有关的轨迹问题】 1．（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）已知圆经过点，，且圆与轴相切． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 圆的方程 知识点一 圆的标准方程 【解题思路】 直接法求圆的标准方程 （1） 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 ①设方程：设圆的标准方程 ②列方程组：由已知条件建立a、b、r的方程组 ③解方程组：解出a、b、r ④得圆的方程：将a、b、r代入圆的标准方程 (2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程． 【例1】（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. (3)圆心是，且过点； (4)圆心在y轴上，半径为5，且过点； (5)过点和直线相切，并且圆心在直线上. (6)经过点，圆心在轴上； (7)经过直线与的交点，圆心为点. 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)或 (6) (7) 【解析】（1）圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点，故半径为， 故圆的标准方程为． （3），圆的标准方程为. （4）设圆心为，则或， 圆心为或，又，圆的标准方程为或. （5）圆心在上，设圆心为， 设圆心到直线的距离为r.则，①又圆过点，② 由①②得或圆的标准方程为或. （6）设圆的方程为，由题意得：解得：，所以圆的标准方程为； （7）联立与，解得：，所以交点为， 则圆的半径为，所以圆的标准方程为. 【变式】 （23-24高二上·广东江门·期中）求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为，经过点； (2)圆心在直线上，且与轴交于点，. (3)圆心为，过点； (4)与轴相交于、两点，且半径等于. (5)过点和点，半径为． (6)经过两点，圆心在直线上． (7)圆心为，半径； (8)圆心为，过点； (9)与轴相交于、两点，且半径等于． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)或 (6) (7) (8) (9)或； 【解析】（1）由两点间的距离公式可得圆的半径， 故圆的标准方程为. （2）因为圆与轴交于点，，所以圆心在直线上. 又圆心在直线上，所以圆心的坐标为， 所以圆的半径，故圆的标准方程为. （3）由题意，圆的半径为， 又圆心为，所以圆方程为； （4）因为圆与轴相交于、两点，故圆心在线段的垂直平分线上， 又、，所以线段的垂直平分线为，不妨设圆心坐标为， 由半径为且过点可得，解得； 当圆心为时，圆方程为； 当圆心为时，圆方程为； 因此所求圆的方程为或. （5）设圆心坐标为，则圆的方程为． 因为是圆上的点，所以解得或， 因此所求圆的方程为或． （6）（方法一）设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为．由题意可得方程组． 解此方程组，得，故所求圆的方程为． （方法二）如图，由于圆心到点的距离相等（都等于半径）， 因此圆心在的垂直平分线上，并且处于直线与直线的交点处． 因为，所以是的法向量，故可设直线的方程为．① 又直线过的中点，而的坐标为，即，将其代入①式，解得． 所以直线的方程为，即．圆心的坐标是方程组的解， 解此方程组，得．所以圆心的坐标为． 圆的半径．故所求圆的方程为． （7）将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为； （8）易知圆的半径为，所以圆方程为； （9）易知圆心在线段的垂直平分线上， 不妨设圆心坐标为，由半径为可得，解得； 当圆心为时，圆方程为； 当圆心为时，圆方程为； 因此所求圆的方程为或； 知识点二 圆的一般方程 【解题思路】 圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 【例2-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点，，．那么三角形外接圆的方程是 ． 【答案】 【解析】设的外接圆方程为，则 ，解得， 所以三角形外接圆的方程为. 故答案为： 【例2-2】（23-241高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【解析】方法一：设所求圆的标准方程为， 由题意得:， 解得： 故所求圆的方程为， 即. 方法二：线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心， 联立， 得交点坐标， 又点到点的距离，即半径为， 所以圆的方程为， 即. 故答案为： 【变式】 1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【解析】由题意设所求圆的方程为， 即，圆心坐标为，代入中， 即，解得，将代入中，即，满足，故所求圆的方程为，故选：A 2．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 3 ．（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程． 【答案】 【解析】设过三点的圆的方程为：， 则解得 所求圆的方程为. 知识点三 圆的判断 【例3-1】（22-23高二上·辽宁锦州·期末）已知方程表示圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，即，解得或， 所以k的取值范围是，故选：C. 【例3-2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)表示圆，圆心为，半径为 (2)表示点 (3)表示圆，圆心为，半径为 (4)表示点 【解析】（1）对于方程， ， 所以方程表示圆， 圆心坐标为，即，半径为. （2）对于方程，即， . 方程可化为， 表示点. （3）方程，即， ， 所以方程表示圆， 圆心坐标为，即，半径为. （4）方程即， 故表示点. 【变式】 1．（2024黑龙江双鸭山 ）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是（    ） A．m<1 B．m>1 C．m< D．<m<1 【答案】A 【解析】方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0，标准形式， 表示圆的条件是，解得． 故选：A 2．（22-23高二上·河北沧州·期中）若圆的面积是，则该圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的半径，即，，则， 圆心坐标为，即. 故选：B. 3 ．（2023高二上·全国·专题练习）下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. (1). (2). (3). 【答案】(1)方程表示圆，圆心为，圆的半径2 (2)方程表示一个点 (3)方程不表示任何图形 【解析】（1）由方程可知：，, 所以方程表示圆，又, 所以圆心为，圆的半径为. （2）由方程可知：，, 所以方程表示点，又， 所以方程表示的点的坐标是. （3）原方程可化为 由方程可知：，， 所以该方程无实数解，方程不表示任何图形. 知识点四 点与圆的位置关系 【解题思路】 判断点与圆位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断． 【例4-1】（2023广东东莞·阶段练习）已知点和圆的方程，则它们的位置关系是（    ） A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【答案】D 【解析】因为 ，所以点在圆外． 故选：D． 【变式】 1．（2023山西晋中·期中）点与圆的位置关系为 ．（填“在圆上”“在圆外”“在圆内”） 【答案】在圆内 【解析】将点代入圆，可得，点在圆内，故答案为：在圆内 2．（2024福建厦门·期中）点与圆的的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】A 【解析】，因此，点在圆外.故选：A. 4．（2024·全国·高二课时练习）若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，解得或a＞3，则实数a的取值范围是， 故选：C. 知识点五 与圆有关的轨迹问题 【解题思路】 求与圆有关的轨迹问题的方程 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 【例5】（24-25高二上·上海·课后作业）点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆上任意一点为，中点为，则，可得， 代入得，化简得．故选：D． 【变式】 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由题意可知，所以， 又因为，所以，化简可得， 所以的轨迹方程为，故选：A. 2．（23-24高二上·北京大兴·期中）已知圆经过点和点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设圆的方程为， 故圆心为， 由题意得，解得， 所以圆的方程为； （2）设点的坐标是，点的坐标是． 因为点的坐标是，且是线段的中点， 所以． 故．   ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 即．     ② 把①代入②，得， 整理，得． 【题组一 圆的方程】 1．（24-25高二下·全国·期末）以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据圆的标准方程可写出，故选：A. 2．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为， 圆的圆心为， 所以、的中点坐标为，又， 则，所以直线的方程为，即. 故选：A 3．（23-24高二上·重庆万州·期中）（多选）若，，，四点共圆，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】AD 【解析】根据题意可设圆方程为， 将点，，代入可得，解得； 即圆方程为， 又点在圆上，所以，整理得， 解得或. 故选：AD 4．（22-23高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系中，以为圆心，且经过原点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的半径为，则圆的方程为， 又圆过点，所以， 所以圆的方程为. 故答案为： 6．（23-24高二上·全国·课后作业）写出下列各圆的方程： (1)圆心在原点的单位圆； (2)圆心为，半径是5； (3)圆心为，经过点； (4)圆心在x轴上，经过与两点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解析】（1）圆心为，半径为1，圆的方程为． （2）圆心为，半径为5，圆的方程为． （3）圆心为，半径为， 圆的方程为． （4）和两点构成的线段的中垂线所在的方程为， 由于圆心在轴上，所以圆心为， 所以半径为， 所以圆的方程为． 7．（22-23高二·江苏·课后作业）分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点，圆心为； (2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线上； (3)过点，，且圆心在x轴上； (4)过点，和原点． 【答案】(1) (2)或. (3) (4) 【解析】（1）解：由题意，圆过点，圆心为， 可得半径，所以圆的方程为. （2）解：由题意，圆与两坐标轴都相切，且圆心在直线上， 可设圆心为，则，解得或， 若，则圆心为，半径为，圆的方程为； 若，则圆心为，半径为，圆的方程为， 所以圆的方程为或. （3）解：由题意，圆过点，，且圆心在x轴上 可设圆心为， 由，可得，解得， 即圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为. （4）解：由题意，圆过点，和原点， 设圆的方程为， 由，解得， 所以圆的方程为. 【题组二 圆的判断】 1．（2024·全国·高二）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若表示圆，则，解得. “”是“”表示圆的必要不充分条件， 所以实数的取值范围是.故选：B 2．（2023·江苏·高二单元测试）已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （       ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由，得，易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小.故选：B 3．（2024·甘肃 ）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，则.故选：A 4．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列方程分别表示什么图形，如果是圆，求出它的圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)表示圆，圆心为,半径 (2)表示圆，圆心为,半径 (3)表示点 (4)表示圆，圆心为,半径 【解析】（1）由可得, 所以, 故表示圆，且圆心为,半径， （2）由可得, 所以, 故表示圆，且圆心为,半径 （3）由可得, 所以, 故表示一个点，不能表示圆， （4）由可得, 所以, 故表示圆，且圆心为,半径 5．（22-23高二·全国·课堂例题）下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径． (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【答案】(1)方程不表示圆 (2)方程不表示圆 (3)方程表示圆，圆心坐标为，半径 (4)方程不表示圆 【解析】（1）中与的系数不相同，故原方程不表示圆. （2）中含有项，故原方程不表示圆. （3）方法一 ：因为，所以方程表示圆， 所以圆心坐标为，即，半径； 方法二：方程可化为， 所以方程表示以为圆心，为半径的圆． （4）因为，，，则， 所以方程不表示圆． 【题组三 点与圆的位置关系】 1．（2024·四川宜宾 ）若点在圆的内部，则实数a的取值范围是_____. 【答案】 【解析】因为点在圆的内部，所以，即，解得 故答案为： 2．（2024安徽）若点在圆上,则实数___. 【答案】或 【解析】因为点在圆上,则点的坐标满足圆的方程，即，得解得：或. 故答案为或. 3．（2024·浙江）若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是______ 【答案】 【解析】由题意，解得． 4．（2022·安徽）点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为_______ 【答案】或 【解析】由题意，解得或． 5．（2023四川乐山·期末）点与圆的位置关系是 ．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【答案】在圆内 【解析】圆的圆心坐标为，半径为2点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内．故答案为：在圆内 【题组四 与圆有关的轨迹问题】 1．（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）已知圆经过点，，且圆与轴相切． (1)求圆的一般方程； (2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设圆的方程为， 因为圆过点，，又跟轴相切， 圆必在轴右侧，且跟轴的切点为， 圆心的纵坐标为． ，解得， 圆的方程为，化简得． （2）解：设．因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以，即， 所以的轨迹方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$