1.2.5 空间中的距离（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

1.2.5 空间中的距离 题型一 向量法求两点间的距离 1．（23-24高二上·北京·月考）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 2．（23-24高二上·山西临汾·月考）空间四边形的各顶点坐标分别是、、、，、分别是与的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·黑龙江大庆·月考）如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点在上，且，试求的长． 4．（23-24高二上·海南海口·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，若直线与平面AEF交于点M，则线段的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 题型二 向量法求点到直线的距离 1．（23-24高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是 A．2 B． C． D． 3．（22-23高二上·山西·期中）如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东深圳·期中）在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 题型三 向量法求点到平面的距离 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东日照·期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 3．（22-23高二下·河南安阳·开学考试）如图，已知为圆柱的母线，为圆柱的下底面直径，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 题型四 向量法求直线到平面的距离 1．（23-24高二上·宁夏银川·月考）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 3．正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，，，平面，且，E是的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型五 向量法求两个平行平面的距离 1．（22-23高二上·河北沧州·月考）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24高二上·河南·月考）已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型六 向量法求异面直线之间的距离 1．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·月考）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·月考）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是 ． 4．（23-24高二下·江苏淮安·月考）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 1．（23-24高二上·福建泉州·月考）已知是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（    ） A． B． C．4 D． 3．（23-24高二上·北京顺义·月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ． 5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 6．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 7．（23-24高二下·江苏淮安·月考）如图，圆锥是由直角旋转而成，母线，底面圆的半径为1，D是AB的中点，为底面圆上的一点且， (1)求点到平面ABC的距离； (2)求直线CD与平面AOB所成的角的正弦值； (3)求点O到直线CD的距离， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.5 空间中的距离 题型一 向量法求两点间的距离 1．（23-24高二上·北京·月考）在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】因为点关于轴的对称点, 所以，故选：A. 2．（23-24高二上·山西临汾·月考）空间四边形的各顶点坐标分别是、、、，、分别是与的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为空间四边形的各顶点坐标分别是、、、， 、分别是与的中点，则、， 由空间中两点间的距离公式可得.故选：A. 3．（22-23高二上·黑龙江大庆·月考）如图，已知正方体的棱长为，为的中点，点在上，且，试求的长． 【答案】 【解析】由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴， 建立如图空间直角坐标系，如图所示， 因为正方体棱长为，所以，，，． 由于为的中点，取中点，所以，． 因为，所以为的四等分点， 从而为的中点，故， 所以． 4．（23-24高二上·海南海口·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，若直线与平面AEF交于点M，则线段的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】如图所示，连接， 直线与都在平面内，所以直线与的交点， 即与平面的交点， 由为的中点，因为，可得，则， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得，可得， 设点，可得，解得， 即点，所以.故选：C. 题型二 向量法求点到直线的距离 1．（23-24高二下·浙江·期中）空间点，则点到直线的距离（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 所以，所以， 所以点A到直线BC的距离.故选：D. 2．（23-24高二上·山东临沂·期中）已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是 A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，在直线l上的投影向量的模长为， 所以点到直线l的距离是. 故点到直线l的距离是.故选：D 3．（22-23高二上·山西·期中）如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，则， 以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离．故选：B. 4．（23-24高二上·广东深圳·期中）在三棱锥中，两两垂直，为的中点，为上更靠近点的三等分点，为的重心，则到直线的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 得，， 取，， 则，， 所以点到直线的距离为．故选：C. 题型三 向量法求点到平面的距离 1．（23-24高二上·安徽·期末）已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得：，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为.故选：A. 2．（23-24高二上·山东日照·期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由题意以为原点，所在直线分别为轴所在直线建立如图所示的空间直角坐标系： 所以， 所以， 不妨设平面的法向量为， 则，令，解得，即取平面的法向量为， 所以点到平面的距离为.故选：A. 3．（22-23高二下·河南安阳·开学考试）如图，已知为圆柱的母线，为圆柱的下底面直径，为线段的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为圆柱的下底面直径，所以， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以 设平面的法向量为， 则有，即 取，则，，即. 则点到平面的距离为.故选：D 4．（22-23高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 因为是的中点，， 所以， 所以，． 设是平面的法向量， 则，令，得． 故点到平面的距离为．故选：B 题型四 向量法求直线到平面的距离 1．（23-24高二上·宁夏银川·月考）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】平面,平面, 平面, 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 建立直角坐标系. 则 设平面的法向量为，则 ，令，则 设点到平面的距离为，则 故直线到平面的距离为.故选：D. 2．（23-24高二上·湖南邵阳·月考）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为， 则，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 .故选：D. 3．正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设分别是的中点，连接， 根据正三棱柱的几何性质可知两两相互垂直，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则，故可设. 由于平面平面， 所以平面. 所以到平面的距离即到平面的距离， 即.故选：B 4．（23-24高二上·河南洛阳·期中）如图，四棱锥的底面是菱形，，，平面，且，E是的中点，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， 因为四边形是菱形，，所以为等边三角形， 又因为为中点，所以， 以点为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，得， 因为，所以，即， 又因为平面，所以平面， 所以到平面的距离就是点P到平面的距离 因为， 所以点P到平面的距离， 所以到平面BED的距离为，故选：A． 题型五 向量法求两个平行平面的距离 1．（22-23高二上·河北沧州·月考）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离．故选：A 2．（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则， 令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离．故选：A 3．（23-24高二上·河南·月考）已知正方体的棱长为a，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正方体的性质，∥,∥，，， 易得平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，． 连接，由，， 且，可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离．故选：D 题型六 向量法求异面直线之间的距离 1．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为，故选：A 2．（23-24高二上·福建厦门·月考）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ，.故选：D. 3．（23-24高二上·四川成都·月考）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是 ． 【答案】# 【解析】以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则,,,, ∴,, 设是，的公垂线方向上的单位向量， 则，即①， ，即②， 易知③， 联立解得，，或，，； 不妨取， 又∵, 则异面直线与的距离. 4．（23-24高二下·江苏淮安·月考）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【解析】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 1．（23-24高二上·福建泉州·月考）已知是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，，， 则，，， 故， 故到的距离.故选：B. 2．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点平面的距离为， 所以线段在平面上的射影的长度为.故选：C 3．（23-24高二上·北京顺义·月考）如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为正方体， 所以平面，， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，， 设，，， ，，， 因为∥平面，所以， 因为，所以，即， ， 所以当时，最小，最小为.故选：A. 4．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】取交点于点， 因为直四棱柱的所有棱长都为，所以， 以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有， 令，则，，所以， 因为点在四边形及其内部运动， 所以设，， 又因为，所以， 即，则， 设点到平面的距离为，则有， 又因为，所以时，， 即点到平面的距离的最小值为 . 5．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 【答案】 【解析】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，如图所示， 正方体的体对角线就是外接球的直径，则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离，所以． 6．（23-24高二上·安徽宣城·期末）如图，在直三棱柱中，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接交于，连接， 在三角形中，是三角形的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）由是直三棱柱，且， 故，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，又， 则， 则， 设平面的法向量为， 由，得到， 令，得，所以， 又，设点到平面的距离为， 则. 7．（23-24高二下·江苏淮安·月考）如图，圆锥是由直角旋转而成，母线，底面圆的半径为1，D是AB的中点，为底面圆上的一点且， (1)求点到平面ABC的距离； (2)求直线CD与平面AOB所成的角的正弦值； (3)求点O到直线CD的距离， 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）在所在平面内作， 由题意可得面OBC，因为面OBC，面OBC， 所以，， 以O为原点，以OM、OB、OA所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 由题意可得：，，， ， 则，， 设平面ABC的一个法向量， 则，即， 令，则 所以点到平面ABC的距离为. （2）设直线CD与平面AOB所成角为， 设平面AOB的一个法向量， 因为， 所以则，即， 令，则， 又因为， 所以. （3）因为，， 所以，， ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$