专题05 平方根、立方根、实数的计算与二次根式的化简求值90道计算题专项训练（9大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题05 平方根、立方根、实数的计算与二次根式的化简求值90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 平方根的相关计算题 题型二 立方根的相关计算题 题型三 实数的计算题 题型四 新定义下的实数计算 题型五 与实数相关的规律计算题 题型六 二次根式的加减计算 题型七 二次根式的乘除计算 题型八 二次根式的混合运算 题型九 二次根式的化简求值 【经典例题一 平方根的相关计算题】 1．（2024·广西南宁·模拟预测）计算：． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算：． 3．（2024·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 4．（23-24八年级下·吉林·期末）实数m，n满足，求的值． 5．（23-24八年级下·北京通州·期末）解方程：． 6．（23-24七年级下·新疆喀什·阶段练习）分求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数． 9．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是1，求的平方根． 10．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【经典例题二 立方根的相关计算题】 11．（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，求x的值． 13．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）． 14．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）计算：． 15．（23-24七年级下·江西上饶·期末）计算：． 16．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）计算：． 17．（贵州省铜仁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）若的平方根为，． (1)求的立方根； (2)求的算术平方根． 18．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 19．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 20．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1) (2)． 【经典例题三 实数的计算题】 21．（23-24七年级下·云南昭通·期末）计算： 22．（23-24七年级下·河南周口·期末）计算： 23．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）计算： (1)； (2)． 24．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 25．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）计算． (1)； (2)； (3)． 26．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）计算： (1)； (2)． 27．（23-24七年级下·北京·期末）计算：． 28．（23-24七年级下·云南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 29．（23-24七年级下·广西玉林·期末）计算：． 30．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算 (1)； (2)． 【经典例题四 新定义下的实数计算】 31．（23-24七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 32．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 33．（23-24七年级下·山东临沂·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：计算：；． (1)填空：____，____． (2)用运算律计算：①____；②____． (3)解方程：． 34．（21-22七年级下·广西百色·期末）阅读下面材料：形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，例如：． 利用上面法则，解答下列问题： (1)计算：． (2)若关于x的不等式的负整数解为，，，求k的取值范围． 35．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在学习完有理数后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)若的值与的值相等，求的值； (3)请你验证一下交换律即在这一运算中是否成立？请写出你的探究过程． 36．（23-24八年级上·山东日照·期末）对于任意实数，我们规定：，例如：． (1)填空： ①______， ②若，则______； (2)若，且，求与的值； 37．（23-24八年级上·吉林长春·期末）对定义一种新运算：．如：． (1)计算：__________． (2)计算：． (3)计算：． 38．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“差积连续有理数对”，记为，如数对，，都是“差积连续有理数对”． (1)判断数对是否为“差积连续有理数对”，并说明理由； (2)若是“差积连续有理数对”，则当时，是“差积连续有理数对”吗？请说明理由． 39．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①_____； ②_____； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 40．（23-24七年级上·广东深圳·期中）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把（）记作，读作“的圈次方”．    【初步探究】 （）直接写出计算结果： ， ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（此处不用作答） （）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 ；   ； ． （）算一算：． 【经典例题五 与实数相关的规律计算题】 41．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 42．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 43．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 44．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 45．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 46．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 47．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）数学运算中，我们发现：两个数的和与这两个数的差的积．等于这两个数的平方差，即．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．比如： ， ， ， ， …… 利用你发现的规律解答下列问题： (1)已知，试比较与的大小； (2)计算：． 48．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 49．（21-22七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 50．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 【经典例题六 二次根式的加减计算】 51．（23-24八年级下·陕西安康·期末）计算：． 52．（23-24八年级下·河南信阳·期末）计算： (1)； (2)． 53．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）计算： ． 54．（23-24七年级下·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)． 55．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）计算： 56．（23-24八年级下·云南昆明·期末）计算 (1)； (2)． 57．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）计算：． 58．（23-24八年级下·吉林·期末）计算：． 59．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）计算：． 60．（23-24七年级下·福建福州·期末）计算：． 【经典例题七 二次根式的乘除计算】 61．（23-24八年级下·山东德州·期末）（1）； （2）． 62．（23-24八年级下·河南商丘·期末）计算： (1) (2) 63．（23-24八年级下·河南周口·期末）（1） 计算：； （2）． 64．（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算下列各小题． (1) (2) 65．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1) (2) 66．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1) (2) 67．（23-24八年级下·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 68．（23-24八年级下·河南信阳·期末）计算： (1)； (2)． 69．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 70．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【经典例题八 二次根式的混合运算】 71．（23-24八年级下·山东聊城·期末）计算： (1) (2) 72．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 73．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1) (2) 74．（23-24八年级下·云南迪庆·期末）计算： (1) (2) 75．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）计算 (1) (2) 76．（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 77．（23-24八年级下·山东东营·期末）计算： (1)； (2)． 78．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) 79．（23-24八年级下·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 80．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【经典例题九 二次根式的化简求值】 81．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 82．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 83．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)阅读下列材料，已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． 按材料上提供的方法，求解下列问题： 已知，求的值． 84．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，求下列各式的值； (1)； (2)． 85．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 86．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 87．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 88．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 89．（20-21八年级上·湖南常德·阶段练习）已知，求的值．小明同学是这样分析与解答的： ∵． ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 90．（21-22八年级下·广东江门·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． (1)例如，∵， ∴______，请完成填空． (2)仿照上面的例子，请化简； (3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平方根、立方根、实数的计算与二次根式的化简求值90道计算题专项训练（9大题型） 题型一 平方根的相关计算题 题型二 立方根的相关计算题 题型三 实数的计算题 题型四 新定义下的实数计算 题型五 与实数相关的规律计算题 题型六 二次根式的加减计算 题型七 二次根式的乘除计算 题型八 二次根式的混合运算 题型九 二次根式的化简求值 【经典例题一 平方根的相关计算题】 1．（2024·广西南宁·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】先计算平方、算术平方根，再计算有理数乘除法，最后利用有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及平方运算、有理数除法运算、算术平方根、有理数乘法运算及有理数加减混合运算等知识，熟练掌握相关计算的运算法则求解是解决问题的关键． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查零次幂、负整数次幂、算术平方根，根据相关运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（2024·吉林·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的化简求值，平方差公式，先利用平方差公式化简，再进行合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 4．（23-24八年级下·吉林·期末）实数m，n满足，求的值． 【答案】36 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质； 首先根据完全平方公式可得，再根据非负数的性质可得，，据此求出m、n的值，接下来将m、n的值代入即可求得结果． 【详解】， ， ，，                                                 ，，    解得，， ． 5．（23-24八年级下·北京通州·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程，根据平方根的意义可得，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： 开平方得，， 则或， 解得或． 6．（23-24七年级下·新疆喀什·阶段练习）分求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用算术平方根和平方根的定义化简，熟练掌握概念是解决此题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行化简即可． （1）根据平方根的定义即可得； （2）根据算术平方根的定义即可得； （3）根据算术平方根的相反数定义即可得； 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴． 7．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得或； （3）解： 解得 （4）解： 解得或． 8．（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求a的值； (2)求这个正数． 【答案】(1)1 (2)49 【分析】本题考查了平方根的性质． （1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数求出a，即可求出答案； （2）将a的值代入，再平方即可求出结果． 【详解】（1）解：一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 则这个正数为． 9．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是1，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查已知平方根和立方根求未知数，求一个数的平方根，根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是1， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 10．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）若m，n满足等式． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质、算术平方根等知识点，利用完全平方公式将等式进行变形是解题的关键． （1）直接利用完全平方公式，算术平方根以及绝对值的性质分析得出答案； （2）结合（1）中所求，结合算术平方根的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ，，要使它们的和为0， 则且． ，， 解得：，． （2）解：， 算术平方根为2． 【经典例题二 立方根的相关计算题】 11．（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程的知识， （1）原方程变型为，再利用平方根求解方程的根即可； （2）原方程变型为，再利用立方根求解方程的根即可． 【详解】（1） ； （2）， ． 12．（23-24七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知，求x的值． 【答案】 【分析】此题考查了利用立方根解方程的性质，根据立方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ∴ 13．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 14．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）计算：． 【答案】4 【分析】先根据立方根、算术平方根、负整数指数幂、零指数幂化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．（23-24七年级下·江西上饶·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先计算立方根，算术平方根，最后再计算加减法即可． 【详解】解：原式 16．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 先计算开方与乘方，并去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 17．（贵州省铜仁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）若的平方根为，． (1)求的立方根； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根以及代数式求值． （1）根据平方根的定义和立方根的定义得出a，b的值，代入代数式求值，然后再根据立方根的定义求解即可． （2）将a，b的值，代入代数式求值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意有：，， 解得：，， 则， ∴的立方根为3． （2）由（1）知，， ∴， ∴的算术平方根为： 18．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解： 19．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据算术平方根和立方根的定义即可求出的值； （）根据（）中的结果求出的值，再根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根、立方根、平方根，掌握算术平方根、立方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 20．（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程， （1）根据立方根的性质求解即可； （2）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【经典例题三 实数的计算题】 21．（23-24七年级下·云南昭通·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，先去算术平方根和立方根，化简绝对值，乘方，再加减即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 22．（23-24七年级下·河南周口·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键．直接利用立方根和算术平方根的性质分别化简进而得出答案． 【详解】解：原式． 23．（23-24七年级下·湖北宜昌·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，立方根，乘方运算，开平方，绝对值化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方运算，开平方，以及绝对值化简，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义与性质解方程，以及实数的运算等知识点，熟练掌握相关定义、性质并正确化简是解题的关键． （1）首先，将原方程移项得：；然后，利用立方根的定义将方程转化为：；接着，利用立方根的性质将方程简化为：；最后，移项可得方程的解； （2）直接利用二次根式的性质、立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 变形，得：， 整理，得：， 移项，得：； （2）解： ． 25．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的混合运算，包括平方根，立方根，乘方，绝对值的运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算被开方数的减法运算，再求解算术平方根即可； （2）先计算乘方，求解立方根，算术平方根，再合并即可； （3）先化简绝对值，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 26．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算，算术平方根以及立方根性质． （1）原式利用乘方的意义，算术平方根和立方根定义，以及乘法法则计算即可求出值； （2）直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．（23-24七年级下·北京·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查实数的混合运算，先去绝对值，进行开方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 28．（23-24七年级下·云南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据算术平方根定义和立方根定义进行求解即可； （2）根据立方根定义和绝对值意义进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（23-24七年级下·广西玉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．首先计算开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：原式 ． 30．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2)13 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根，再运算加减，即可作答． （2）先化简负整数指数幂，零次幂，算术平方根，再运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 【经典例题四 新定义下的实数计算】 31．（23-24七年级下·江西宜春·期中）对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下：，如，，如． 请你计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算的计算，理解计算方法是解题的关键． （1）把，代入求解； （2）把，代入求解； （3）先计算，再计算． 【详解】（1）解：， 又， 故； （2）解：∵， 故； （3）解：∵， 故， ． 32．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）给出定义如下：若点满足，（，），则称这个点为“秀点”如：，故点是“秀点”． (1)点，点，点中，是“秀点“的是 ； (2)若点是“秀点”，求的值； (3)是否存在点，使点是“秀点”，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“秀点”的定义是解题的关键． （1）根据“秀点”的定义，计算即可判断； （2）根据“秀点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“秀点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， 又∵， ∴点不是 “秀点”； ∵，， ∴点是“秀点”． 故答案为：； （2）∵点是“秀点”， ∴， ∴， 解得； （3）∵点是“秀点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 33．（23-24七年级下·山东临沂·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：计算：；． (1)填空：____，____． (2)用运算律计算：①____；②____． (3)解方程：． 【答案】(1)， (2)5； (3)或 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，利用平方根的定义解方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，进行求解即可； （2）①利用平方差公式进行求解即可；②利用完全平方公式进行求解即可； （3）利用平方根的定义结合，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：①； 故答案为：5； ②， 故答案为：； （3）解： 或， 或． 34．（21-22七年级下·广西百色·期末）阅读下面材料：形如的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为，例如：． 利用上面法则，解答下列问题： (1)计算：． (2)若关于x的不等式的负整数解为，，，求k的取值范围． 【答案】(1)17； (2)． 【分析】本题主要考查了求算术平方根和立方根，定义新运算，解一元一次不等式， 对于（1），直接利用公式计算即可； 对于（2），先根据给出的二阶行列式的运算法则列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）原式 ； （2）∵， ∴， 解得， ∵负整数解为，，， ∴， 解得， ∴k的取值范围为． 35．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在学习完有理数后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值； (2)若的值与的值相等，求的值； (3)请你验证一下交换律即在这一运算中是否成立？请写出你的探究过程． 【答案】(1)2 (2) (3)不具有交换律，举例见解析 【分析】本题主要考查了新定义下的的实数运算、有理数的混合运算： （1）将，代入计算可得； （2）根据法则，先计算，再计算，，继而可得关于的方程，解之即可； （3）计算和即可得出答案． 解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解：，，， ， ； （3）解：不具有交换律， 例如：， ， ， 不具有交换律． 36．（23-24八年级上·山东日照·期末）对于任意实数，我们规定：，例如：． (1)填空： ①______， ②若，则______； (2)若，且，求与的值； 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，完全平方公式的变形求值： （1）①根据新定义可得；②根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义得到，即，再根据完全平方公式的变形求出，则． 【详解】（1）解；①由题意得，， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 37．（23-24八年级上·吉林长春·期末）对定义一种新运算：．如：． (1)计算：__________． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，涉及整式加减乘法运算，读懂题意，准确掌握新定义的运算法则是解决问题的关键． （1）根据新定义运算法则，代值求解即可得到答案； （2）根据新定义运算法则，利用整式乘法运算及整式加减运算法则计算即可得到答案； （3）根据新定义运算法则，利用整式乘法运算及整式加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 38．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“差积连续有理数对”，记为，如数对，，都是“差积连续有理数对”． (1)判断数对是否为“差积连续有理数对”，并说明理由； (2)若是“差积连续有理数对”，则当时，是“差积连续有理数对”吗？请说明理由． 【答案】(1)数对是“差积连续有理数对”，理由见解析 (2)数对不是“差积连续有理数对”，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答，需要较好的运算能力． （1）根据定义使等式成立的一对有理数、为“差积连续有理数对”，代入即可． （2）首先根据条件算出，再根据定义算出左边和右边，让他们相等，得出，，和已知产生矛盾，所以不成立． 【详解】（1）解：是， 理由如下： ，， 满足， 数对是“差积连续有理数对”； （2）解：不是， 理由如下： 是“差积连续有理数对”， ，即， ，， 若，则， ， 不是“差积连续有理数对”． 39．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． (1)填空： ①_____； ②_____； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；② (2)； (3)． 【分析】本题主要是考查新定义运算问题及完全平方公式． （1）按照定义及积的乘方计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：∵， 又是的共轭复数， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， 有2019个加数，， ∴， ∴． 40．（23-24七年级上·广东深圳·期中）（概念学习） 规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把（）记作，读作“的圈次方”．    【初步探究】 （）直接写出计算结果： ， ． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？（此处不用作答） （）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式 ；   ； ． （）算一算：． 【答案】（），；（），，；（）． 【分析】（）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （）根据的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果； 本题考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解：（）， ， ， ， 故答案为：，； （）， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （）由的圈次方， ∴原式， ， ， ． 【经典例题五 与实数相关的规律计算题】 41．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 42．（23-24七年级下·广西崇左·期中）阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 43．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2）， 故答案为：； （3） ． 44．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 45．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； (3)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用（为正整数）表示的等式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与实数运算相关的规律；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． （1）由所给等式得到规律不难写出第6个式子； （2）利用上述规律可知即可求值； （3）分析所给的等式的形式即可得出第n个等式 【详解】（1）解：①； ②； ③； …… 可得第6个等式为： （2）解： ； （3）解：用（为正整数）表示的等式为： 46．（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）阅读理解题 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为________ (2)猜想：第n个等式为________（n为正整数） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 47．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）数学运算中，我们发现：两个数的和与这两个数的差的积．等于这两个数的平方差，即．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．比如： ， ， ， ， …… 利用你发现的规律解答下列问题： (1)已知，试比较与的大小； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方差公式，数字类的规律探索： （1）根据题意，结合平方差公式和实数的运算法则求出和的结果即可得到结论； （2）先根据题意得到规律，进而得到，据此化简所求式子即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ……， 以此类推，可知 ， ∴， ∴ ． 48．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 49．（21-22七年级下·安徽六安·阶段练习）观察下列算式： ①；②；③；④；… (1)写出第⑥个等式； (2)猜想第n个等式_；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察可得第个等式为； （3）利用（2）的规律，将所求的式子化为，再运算即可． 【详解】（1）解：第⑥个等式为， 故答案为：； （2）第个等式为， 故答案为：； （3） ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律运算是解题的关键． 50．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）归纳总结得到一般性规律，利用其规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）由观察可知：， 则： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． 【经典例题六 二次根式的加减计算】 51．（23-24八年级下·陕西安康·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算、二次根式的性质及化简，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算． 根据二次根式的化简和加减运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 52．（23-24八年级下·河南信阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先分别化简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先利用二次根式的性质，零指数幂和负整数指数幂进行化简，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 53．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；根据分别化简二次根式、按单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 54．（23-24七年级下·河南商丘·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的加减运算； （1）先计算算术平方根，立方根，再计算乘法运算，最后合并即可； （2）先化简绝对值，再合并即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； 55．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，先分别求出立方根，绝对值，算术平方根，再合并同类项即可，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 56．（23-24八年级下·云南昆明·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）首先化简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算法则求解即可； （）首先化简绝对值，二次根式，负整数指数幂和零指数幂，然后计算加减； 此题考查了二次根式的加减混合运算，负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 57．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算出各项的结果后再进行加减运算即可 【详解】解： 58．（23-24八年级下·吉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减法计算法则，先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 59．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的加减法，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 60．（23-24七年级下·福建福州·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，根据绝对值的代数意义化简，算术平方根定义，立方根定义计算即可． 【详解】解：原式 ． 【经典例题七 二次根式的乘除计算】 61．（23-24八年级下·山东德州·期末）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，二次根式的乘法和除法运算，分母有理化，即可． （1）根据二次根式的加减运算，即可； （2）先对二次根式分母有理化，然后根据二次根式的乘除运算，即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 62．（23-24八年级下·河南商丘·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据二次根式的乘除法法则计算即可； （2）先化成最简二次根式，同时去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 63．（23-24八年级下·河南周口·期末）（1） 计算：； （2）． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查绝对值、二次根式的加减混合计算、二次根式的乘法混合计算 （1）先计算绝对值，再根据二次根式的加减运算法则进行求解即可； （2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 64．（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算下列各小题． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，二次根式的混合计算： （1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可； （2）先去括号，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 65．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先算除法，再算乘法即可； （2）先去括号，再将各式化为最简二次根式，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 66．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有关二次根式的化简与计算，解题的关键是熟知相关运算法则． （1）先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最 （2）先利用多项式乘多项式展开，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 67．（23-24八年级下·山东济南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的乘除混合运算计算即可； （2）结合负指数幂、绝对值进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 68．（23-24八年级下·河南信阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先根据二次根式的性质化简，再合并即可求解； （）先计算乘除，再计算加减即可求解； 本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 69．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式性质化简，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式性质化简，再合并同类项即可； （2）先计算二次根式乘除法，再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 70．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． （1）先化简二次根式，再计算乘除，最后计算加减即可； （2）先化简乘方，零指数幂，负整数幂，绝对值化简，立方根，再计算即加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 【经典例题八 二次根式的混合运算】 71．（23-24八年级下·山东聊城·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）第一项根据二次根式的性质化简，第二项和第三项根据乘法公式计算； （2）先把括号里根据二次根式的性质化简，再算二次根式的除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 72．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 73．（23-24八年级下·山东济宁·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解； （2）先根据二次根式的性质化简，再合并，然后计算除法，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 74．（23-24八年级下·云南迪庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）直接利用平方差公式进行计算即可； （2）先计算乘除法，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 75．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 76．（23-24八年级下·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，绝对值化简，负整数幂，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再利用二次根式的加减法运算法则计算得出答案； （2）先化简二次根式，利用完全平方公式去掉括号，再计算加减即可得出答案； （3）先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂，再计算二次根式乘法，最后计算加减即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 77．（23-24八年级下·山东东营·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算乘除法，最后计算加减法即可． （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，在合并同类二次根式即可； 【详解】（1） ； （2） ； 78．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据二次根式的混合运算的法则来计算． （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 79．（23-24八年级下·山东临沂·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简各数，然后先算乘法，再算加减法即可； （2）利用平方差公式和二次根式的乘除法计算法则先算乘方和乘除，然后再算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 80．（23-24八年级下·河南濮阳·期末）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）先计算乘除法，再合并同类二次根式即可求解； （2）先运用完全平方公式及平方差公式化简，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】（1）原式 （2）原式 【经典例题九 二次根式的化简求值】 81．（23-24八年级下·山东淄博·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，再根据进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：，， ； ． 82．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）已知，求下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，掌握公式是解题的关键． （1）将代入中即可求解； （2）利用完全平方公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵， ∴． 83．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)阅读下列材料，已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴． 按材料上提供的方法，求解下列问题： 已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式去括号，再根据二次根式的混合运算法则计算即可； （3）根据题干解题步骤和完全平方公式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，代数式求值，平方差公式和完全平方公式的应用．掌握二次根式的混合运算和读懂（3）解答步骤是解题关键． 84．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘法计算法则求解即可，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∴． 85．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）仿照已知化简即可； （）求出、的值，再把它们代入代数式计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ， ． 86．（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 87．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化： （1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ，， ∴； （2）解： ． 88．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)121 (3) 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可； （3）求出的值，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ ； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 89．（20-21八年级上·湖南常德·阶段练习）已知，求的值．小明同学是这样分析与解答的： ∵． ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)4 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：； （2）解：原式=== ； （3）解：∵． ∴． ∴，即． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 90．（21-22八年级下·广东江门·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，将变成，即变成，从而使得以化简． (1)例如，∵， ∴______，请完成填空． (2)仿照上面的例子，请化简； (3)利用上面的方法，设，，求A＋B的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质：，即可得出相应结果． （2）根据（1）中“”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果． （3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值． 【详解】（1）∵ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴． （3）∵ ∴ ∵ ∴ ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题，完全平方公式．解本题的关键在熟练掌握二次根式的性质：和熟练运用完全平方公式． 学科网（北京）股份有限公司 $$