上海市奉贤区部分学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年上海市奉贤区部分学校七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（3分）下列各数中是无理数的是（　　） A．0. B．0.5 C．面积为2的正方形边长 D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝4 B．＝ C．＝±5 D．＝﹣1 3．（3分）如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC 4．（3分）下列说法中，正确的是（　　） A．在同一平面内不相交的两条线段必平行 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形的任意两边之和大于第三边 5．（3分）等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该三角形的周长为（　　） A．15 B．18 C．15或18 D．18或23 6．（3分）冰壶，被喻为冰上的“国际象棋”，它考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧，属于冬奥会比赛项目．冰壶运动的计分方法是：图中最大圆及其内部为有效圈，点P为有效圈中心；一队每颗位于有效圈中且位置较另一队所有冰壶都更接近点P的冰壶皆可获计一分．在图中，分别以水平向右、竖直向上的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，下列选项对各冰壶位置描述正确的是（　　） A．若得分壶A的坐标为（0，1），得分壶B的坐标为（1，2），则冰壶C的坐标约为（0.5，4） B．若得分壶A的坐标为（0，﹣2），得分壶B的坐标为（2，0），则冰壶C的坐标约为（3，3） C．若得分壶A的坐标为（﹣2，0），得分壶B的坐标为（0，2），则冰壶C的坐标约为（1，8） D．若得分壶A的坐标为（0，0），得分壶B的坐标为（1，1），则冰壶C的坐标约为（4，1.5） 二.填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分） 7．（2分）36的平方根是 　 　． 8．（2分）把方根化成幂的形式是　 　． 9．（2分）比较大小：　 　﹣4．（填“＞”、“＝”或“＜”） 10．（2分）对于近似数8.10×10﹣3，它有　 　个有效数字． 11．（2分）点P（2﹣a，a+3）在x轴上，则a＝　 　． 12．（2分）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：3：4，那么△ABC是 　 　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 13．（2分）直角坐标平面内，经过点A（2，﹣3）并且垂直于y轴的直线可以表示为直线　 　． 14．（2分）如图，直线AC和直线BD相交于点M，ME平分∠BMC，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为 　 　°． 15．（2分）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　 　cm． 16．（2分）如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD∥AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为 　 　． 17．（2分）如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是 　 　． 18．（2分）在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的角平分线，直线BE与高AD交于点F，若∠ABC＝50°，∠CAD＝20°，则∠FEC的度数为 　 　度． 三.解答题（本大题共8题，满分58分） 19．（6分）计算：﹣+． 20．（6分）计算：． 21．（6分）利用幂的性质进行计算（写出计算过程）：． 22．（6分）已知点A（1，0），点B（﹣3，0），点C在y轴上，如果△ABC的面积是8，求点C的坐标． 23．（8分）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E． （1）AD与BC平行吗？请说明理由； （2）AB与EF的位置关系如何？请说明理由． 解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵∠ADE+∠ADF＝180°（ 　 　）， ∠ADE+∠BCF＝180°（已知）， ∴∠ADF＝∠　 　． ∴AD∥BC（ 　 　）． （2）AB与EF的位置关系是：（ 　 　）． 请完成说理过程： 24．（8分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，ED＝FD，DG⊥EF，垂足为点G，∠EDG＝∠B． （1）说明∠EDF＝∠B的理由； （2）若AB＝AC，请说明BE＝CD的理由． 25．（8分）平面直角坐标系中，点A在第二象限，点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，点B在第三象限，点B到x轴的距离是4，到y轴的距离是3． （1）直接写出A，B两点的坐标：A　 　，B　 　； （2）在平面直角坐标系中描出A，B两点的位置，O是原点，连接OA，OB，请说明OA＝OB的理由； （3）连接AB，判断△AOB是什么三角形？请说明理由． 26．（10分）已知在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，联结AC、BC、OC，OA＝OC． （1）如图1，点O在△ABC的内部． ①当∠ACO＝20°，求∠OBC的度数； ②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）． 2023-2024学年上海市奉贤区部分学校七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（3分）下列各数中是无理数的是（　　） A．0. B．0.5 C．面积为2的正方形边长 D． 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解答】解：A．0.是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意； B．0.5是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意； C．面积为2的正方形边长为，是无理数，故本选项符合题意； D．是分数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：C． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．＝4 B．＝ C．＝±5 D．＝﹣1 【分析】根据二次根式的性质以及立方根的性质即可求出答案． 【解答】解：A、原式＝2，故A不符合题意． B、原式＝＝，故B符合题意． C、原式＝5，故C不符合题意． D、原式＝1，故D不符合题意． 故选：B． 3．（3分）如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC 【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中C、AB＝AC与∠1＝∠2、AD＝AD组成了SSA是不能由此判定三角形全等的． 【解答】解：A、加∠ADB＝∠ADC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA），是正确选法； B、加∠B＝∠C∵∠1＝∠2，AD＝AD，∠B＝∠C，∴△ABD≌△ACD（AAS），是正确选法； C、加DB＝DC，满足SSA，不能得出△ABD≌△ACD，是错误选法； D、加AB＝AC，∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD（SAS），是正确选法． 故选：C． 4．（3分）下列说法中，正确的是（　　） A．在同一平面内不相交的两条线段必平行 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．三角形的任意两边之和大于第三边 【分析】根据平行线的定义，点到直线的距离定义，三角形外角的性质，三角形的三边关系判断即可． 【解答】解：在同一平面内不相交的两条直线平行， 故A选项不符合题意； 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长， 故B选项不符合题意； 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角， 故C选项不符合题意； 三角形的任意两边之和大于第三边， 故D选项符合题意， 故选：D． 5．（3分）等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该三角形的周长为（　　） A．15 B．18 C．15或18 D．18或23 【分析】分为两种情况4为底或7为底，还要注意是否符合三角形三边关系． 【解答】解：∵等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7， ∴有两种情况： ①7为底，4为腰，4+4＞7，符合题意， ∴该三角形的周长是4+4+7＝15； ②4为底，7为腰，7+4＞7，符合题意， ∴该三角形的周长是7+7+4＝18． 故选：C． 6．（3分）冰壶，被喻为冰上的“国际象棋”，它考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧，属于冬奥会比赛项目．冰壶运动的计分方法是：图中最大圆及其内部为有效圈，点P为有效圈中心；一队每颗位于有效圈中且位置较另一队所有冰壶都更接近点P的冰壶皆可获计一分．在图中，分别以水平向右、竖直向上的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，下列选项对各冰壶位置描述正确的是（　　） A．若得分壶A的坐标为（0，1），得分壶B的坐标为（1，2），则冰壶C的坐标约为（0.5，4） B．若得分壶A的坐标为（0，﹣2），得分壶B的坐标为（2，0），则冰壶C的坐标约为（3，3） C．若得分壶A的坐标为（﹣2，0），得分壶B的坐标为（0，2），则冰壶C的坐标约为（1，8） D．若得分壶A的坐标为（0，0），得分壶B的坐标为（1，1），则冰壶C的坐标约为（4，1.5） 【分析】先根据点A、B的坐标建立坐标系，再根据图确定点C的坐标，逐项分析即可得到结论． 【解答】解：A．若得分壶A的坐标为（0，1），得分壶B的坐标为（1，2），则冰壶C的坐标约为（1.5，5），故本选项不符合题意； B．若得分壶A的坐标为（0，﹣2），得分壶B的坐标为（2，0），则冰壶C的坐标约为（3，6），故本选项不符合题意； C．若得分壶A的坐标为（﹣2，0），得分壶B的坐标为（0，2），则冰壶C的坐标约为（1，8），故本选项符合题意； D．若得分壶A的坐标为（0，0），得分壶B的坐标为（1，1），则冰壶C的坐标约为（1.5，4），故本选项不符合题意； 故选：C． 二.填空题（本大题共12题，每小题2分，满分24分） 7．（2分）36的平方根是 　±6　． 【分析】根据平方根的计算得出结论即可． 【解答】解：36的平方根是±6， 故答案为：±6． 8．（2分）把方根化成幂的形式是　　． 【分析】根据分数指数次幂的意义即可求解． 【解答】解：把方根化成幂的形式是． 故答案为：． 9．（2分）比较大小：　＞　﹣4．（填“＞”、“＝”或“＜”） 【分析】先把根号去掉，然后根据实数大小的方法比较即可． 【解答】解：先去掉根号，再根据绝对值大的反而小得， ﹣＞﹣4， 故答案为＞． 10．（2分）对于近似数8.10×10﹣3，它有　3　个有效数字． 【分析】根据有效数字的定义可以得到题目中的数有几个有效数字，从而可以解答本题． 【解答】解：近似数8.10×10﹣3，它有3个有效数字， 故答案为：3． 11．（2分）点P（2﹣a，a+3）在x轴上，则a＝　﹣3　． 【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出a+3＝0，进而得出答案． 【解答】解：∵点P（2﹣a，a+3）在x轴上， ∴a+3＝0， 解得：a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 12．（2分）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝1：3：4，那么△ABC是 　直角　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【分析】根据三角形内角和、三个内角比计算出每个内角度数即可判断． 【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝3x，∠C＝4x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴x+3x+4x＝180°， ∴x＝22.5°， ∴∠A＝22.5°，∠B＝67.5°，∠C＝90°， 故答案为：直角． 13．（2分）直角坐标平面内，经过点A（2，﹣3）并且垂直于y轴的直线可以表示为直线　y＝﹣3　． 【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等，都为﹣3，所以为直线：y＝﹣3． 【解答】解：由题意得：经过点A（2，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线为：y＝﹣3， 故答案为：y＝﹣3． 14．（2分）如图，直线AC和直线BD相交于点M，ME平分∠BMC，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为 　65　°． 【分析】根据对顶角和邻补角的定义即可得到∠BOC的度数，再根据角平分线即可得出∠3的度数． 【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝100°， ∴∠1＝∠2＝50°， ∴∠BMC＝180°﹣∠1＝130°， 又∵OE平分∠BMC， ∴． 故答案为：65． 15．（2分）将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　2　cm． 【分析】先由平行线的性质可得∠ACB的度数，根据等边三角形的判定和性质定理可得AB＝BC，则可得出AB的长． 【解答】解：∵直尺的两对边相互平行， ∴∠ACB＝∠α＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）． 故答案为：2． 16．（2分）如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，过点B作BD∥AC交A'C于点D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，则∠A的度数为 　130°　． 【分析】根据翻折变换得出∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，根据平行线的性质得出∠ACD+∠BDC＝180°，求出∠ACD＝40°，求出∠ACB＝∠A′CB＝20°，再根据三角形内角和定理求出答案即可． 【解答】解：∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A'处，∠A'BC＝30°， ∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB， ∵BD∥AC， ∴∠ACD+∠BDC＝180°， ∵∠BDC＝140°， ∴∠ACD＝40°， ∴∠ACB＝∠A′CB＝20°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣20°＝130°， 故答案为：130°． 17．（2分）如图，工人师傅在贴长方形的瓷砖时，为了保证所贴瓷砖的外缘边与上一块瓷砖的两边互相平行，一般将两块瓷砖的一边重合，然后贴下去．这样做的数学依据是 　平行于同一条直线的两条直线平行　． 【分析】由平行线的判定与性质即可求解． 【解答】解：这样做的数学依据是平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 18．（2分）在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的角平分线，直线BE与高AD交于点F，若∠ABC＝50°，∠CAD＝20°，则∠FEC的度数为 　85或135　度． 【分析】分两种情况讨论，第一种情况：∠ACB为锐角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出∠ABE＝25°，∠BAD＝40°，再由三角形外角定理即可求解；第二种情况，∠ACB为钝角：先由角平分线的意义及直角三角形两锐角互余，求出∠ABE＝25°，∠BAE＝20°，再由三角形内角和定理求出∠AEB＝135°，即可求解． 【解答】解：第一种情况：∠ACB为锐角，如图示： ∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝50°， ∴， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BAE＝40°+20°＝60°， ∵∠FEC＝∠ABF+∠BAE， ∴∠FEC＝60°+25°＝85°； 第二种情况，∠ACB为钝角，如图示： ∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝50°， ∴， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BAE＝40°﹣20°＝20°， ∵∠ABE+∠BAE+∠AEB＝180°， ∴∠AEB＝180°﹣25°﹣20°＝135°， ∴∠FEC＝135°， 故答案为：85或135． 三.解答题（本大题共8题，满分58分） 19．（6分）计算：﹣+． 【分析】先根据平方根和立方根的定义去根号，再进行加减运算即可． 【解答】解：原式＝4﹣（﹣2）+ ＝4+2+ ＝． 20．（6分）计算：． 【分析】直接利用分数指数幂的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝﹣3+2﹣1+ ＝﹣3+2﹣1+ ＝﹣． 21．（6分）利用幂的性质进行计算（写出计算过程）：． 【分析】先把开方运算表示成分数指数幂的形式，再根据同底数乘法、除法法则计算即可． 【解答】解：原式＝＝＝22＝4． 22．（6分）已知点A（1，0），点B（﹣3，0），点C在y轴上，如果△ABC的面积是8，求点C的坐标． 【分析】首先设点C的坐标（0，a），然后确定AB的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：设点C的坐标（0，a）， ∵点A（1，0），点B（﹣3，0）， ∴AB＝4， ∵△ABC的面积是8， ∴×4×|a|＝8， 解得：a＝±4， 故设点C的坐标（0，4）或（0，﹣4）． 23．（8分）如图，已知点E、D、C、F在一条直线上，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E． （1）AD与BC平行吗？请说明理由； （2）AB与EF的位置关系如何？请说明理由． 解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵∠ADE+∠ADF＝180°（ 　平角定义　）， ∠ADE+∠BCF＝180°（已知）， ∴∠ADF＝∠　BCF　． ∴AD∥BC（ 　同位角相等，两直线平行　）． （2）AB与EF的位置关系是：（ 　平行　）． 请完成说理过程： 【分析】（1）根据平角定义可得∠ADE+∠ADF＝180°，从而利用同角的补角相等可得∠ADF＝∠BCF，然后根据同位角相等，两直线平行可得AD∥BC，即可解答； （2）根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，从而可得∠ABE＝∠E，然后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，即可解答． 【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵∠ADE+∠ADF＝180°（平角定义）， ∠ADE+∠BCF＝180°（已知）， ∴∠ADF＝∠BCF． ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角定义；BCF；同位角相等，两直线平行； （2）AB与EF的位置关系是：（平行）， 请完成说理过程：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE， ∵∠ABC＝2∠E， ∴∠ABE＝∠E， ∴AB∥EF， 故答案为：平行． 24．（8分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，ED＝FD，DG⊥EF，垂足为点G，∠EDG＝∠B． （1）说明∠EDF＝∠B的理由； （2）若AB＝AC，请说明BE＝CD的理由． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠EDF＝2∠EDG，且∠EDG＝∠B．可得结论； （2）由外角性质可得∠EDC＝∠BED，由“AAS”可证△BDE≌△CFD，可得BE＝CD． 【解答】解：（1）∵DE＝DF，DG⊥EF， ∴∠EDF＝2∠EDG，且∠EDG＝∠B． ∴∠EDF＝∠B； （2）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，且∠EDF＝∠B， ∴∠EDC＝∠BED，且∠B＝∠C，DE＝DF， ∴△BDE≌△CFD（AAS） ∴BE＝CD． 25．（8分）平面直角坐标系中，点A在第二象限，点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，点B在第三象限，点B到x轴的距离是4，到y轴的距离是3． （1）直接写出A，B两点的坐标：A　（﹣4，3）　，B　（﹣3，﹣4）　； （2）在平面直角坐标系中描出A，B两点的位置，O是原点，连接OA，OB，请说明OA＝OB的理由； （3）连接AB，判断△AOB是什么三角形？请说明理由． 【分析】（1）根据点A，B所在的象限及到各对称轴的距离，可求出点A，B的坐标； （2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，根据点A，B的坐标可得出AM＝BN，OM＝ON，结合∠AMO＝∠BNO＝90°即可证出△AOM≌△BON，再利用全等三角形的性质即可得出OA＝OB； （3）由△AOM≌△BON，利用全等三角形的性质可得出∠AOM＝∠BON，进而可得出∠AOB＝90°，再结合OA＝OB可得出△AOB是等腰直角三角形． 【解答】解：（1）依题意，得：点A的坐标为（﹣4，3）；点B的坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案为：（﹣4，3）；（﹣3，﹣4）． （2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，如图所示． ∵点A的坐标为（﹣4，3）；点B的坐标为（﹣3，﹣4）， ∴AM＝BN＝3，OM＝ON＝4． 在△AOM和△BON中，， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴OA＝OB． （3）△AOB是等腰直角三角形，理由如下： ∵△AOM≌△BON， ∴∠AOM＝∠BON， ∴∠AOB＝∠AOM+∠BON＝∠BON+∠BOM＝90°． 又∵OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形． 26．（10分）已知在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，点C是平面内一点，联结AC、BC、OC，OA＝OC． （1）如图1，点O在△ABC的内部． ①当∠ACO＝20°，求∠OBC的度数； ②当CO平分∠ACB，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，求∠OCB的度数（直接写出答案）． 【分析】（1）①根据OA＝OC，∠ACO＝20°得∠CAO＝∠ACO＝20°，则∠AOC＝140°，进而得∠BOC＝100°，再根据OA＝OB，OA＝OC得OB＝OC，进而得∠OBC＝∠OCB＝40°，然后根据OA＝OB，∠AOB＝120°得∠OBA＝∠OAB＝30°，由此可得∠ABC的度数； ②根据CO平分∠ACB，设∠OCA＝∠OCB＝α，则∠ACB＝2α，根据OA＝OC得∠OAC＝∠OCA＝α，根据OB＝OC得∠OBC＝∠OCB＝α，则∠CAB＝30°+α，∠CBA＝30°+α，再根据三角形内角和定理得2α+30°+α+30°+α＝180°，则α＝30°，进而得∠ACB＝2α＝60°，∠CAB＝30°+α＝60°，∠CBA＝30°+α＝60°，由此可判定△ABC的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线BC与线段AO交于点D时，设∠OCB＝β，则∠DOC＝∠OCB＝β，∠COB＝β+120°，再根据OB＝OC得∠OBC＝∠OCB＝β，再根据三角形内角和定理得β+β+120°+β＝180°，则β＝20°，②当直线BC与AO的延长线交于点D时，设∠OCB＝θ，则∠DOC＝∠OCB＝θ，再求出∠BOD＝60°，得∠COB＝θ+60°，根据OB＝OC得∠OBC＝∠OCB＝θ，再根据三角形内角和定理得θ+θ+θ+60°＝180°，则θ＝40°，综上所述即可得出∠OCB的度数． 【解答】解：（1）①在△OAC中，OA＝OC，∠ACO＝20°， ∴∠CAO＝∠ACO＝20°， ∴∠AOC＝180°﹣（∠CAO+∠ACO）＝140°， 又∵∠AOB＝120°， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOC+∠AOB）＝100°， ∵OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， 在△BOC中，OB＝OC，∠BOC＝100°， ∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝40°； ②△ABC为等边三角形，理由如下： 如图1所示： ∵CO平分∠ACB， ∴设∠OCA＝∠OCB＝α，则∠ACB＝2α， 在△OAC中，OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝α， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝α， 在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OBA＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝30°， ∴∠CAB＝∠OAB+∠OAC＝30°+α，∠CBA＝∠OBA+∠OBC＝30°+α， 在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°， ∴2α+30°+α+30°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠ACB＝2α＝60°，∠CAB＝30°+α＝60°，∠CBA＝30°+α＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）∠OCB的度数为20°或40°，理由如下： ∵直线BC与直线AO相交于点D，且△COD是以DO为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当直线BC与线段AO交于点D时，如图2①所示： 设∠OCB＝β， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝β， ∵∠AOB＝120°， ∴∠COB＝∠DOC+∠AOB＝β+120°， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝β， ∵∠OCB+∠COB+∠OBC＝180°， ∴β+β+120°+β＝180°， ∴β＝20°， 即∠OCB＝β＝20°， ②当直线BC与AO的延长线交于点D时，如图2②所示： 设∠OCB＝θ， ∵∠AOB＝120°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝60°， ∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO＝DC， ∴∠DOC＝∠OCB＝θ， ∴∠COB＝∠DOC+∠BOD＝θ+60°， 在△OBC中，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝θ， ∵∠OBC+∠OCB+∠COB＝180°， ∴θ+θ+θ+60°＝180°， ∴θ＝40°， ∴∠OCB＝θ＝40°， 综上所述：∠OCB的度数为20°或40°． 学科网（北京）股份有限公司 $$