精品解析：山西省大同市2025届高三第一次学情调研监测数学试题

大同市2025届高三年级第一次学情调研测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 5.本试题共6页，满分150分，考试时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则下面图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，若，则等于（ ） A. 1或 B. C. 或 D. 3. 已知，且满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数，若实数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（ ） A. 360 B. 640 C. 1350 D. 1440 6. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线与所成角正切值为2 D. 直线与所成角正切值为 11. 某商场在店庆期间举行有奖促销活动，凡购买商品超过1000元的顾客就可参加活动.主办方在一个不透明的盒子中放入形状大小完全一样的四个红球和四个白球，充分摇晃后，由顾客（遮盖双眼）从中取出一个小球丢掉，再从剩下的7个小球中取出两个小球，若第二次取出的两个小球都是红球，则可获得一份价值100元的纪念品；若第二次取出的两个小球一红一白，则可获得一份价值50元的纪念品，其余结果没有奖品，则以下说法正确的是（ ） A. 顾客甲获得100元纪念品的概率为 B. 顾客甲获得50元纪念品的概率为 C. 已知顾客甲获得了100元纪念品，则他丢掉的小球也是红球的概率为 D. 已知顾客甲获得了50元纪念品，则他丢掉的小球为红球的概率为. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到如图的统计图表，则样本中人数最多的是__________层，样本中层的男生人数为__________人. 13. 展开式中的系数为__________. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为.已知，点是边的中点， （1）证明：； （2）求. 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. （1）求证：； （2）若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 17. 为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行为期一周体验式活动.结合平时训练的成绩，红星中学的甲､乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲､乙两人解答每道题目相互独立，现甲､乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答： （1）求甲､乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对的题目个数为，求的分布列及数学期望； （3）从期望和方差角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？ 18. 平面直角坐标系中，已知椭圆离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点. （i）求的值； （ⅱ）求面积的最大值. 19. 已知函数，记. （1）当时，判断函数的单调性； （2）当时，求证：； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大同市2025届高三年级第一次学情调研测试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上相应的位置. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 5.本试题共6页，满分150分，考试时间120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则下面图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断即可． 【详解】图中阴影部分表示的集合为， 又， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：B. 2. 已知向量，若，则等于（ ） A. 1或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，从而可求． 【详解】解：由向量垂直的坐标表示得， 解得或， 故选：A． 3. 已知，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简得出正弦值，再求出角最后求正切即可. 【详解】因为, 整理得,又,所以. 故选：D. 4. 函数，若实数满足，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】判断的单调性可得，所以，求得的值即可求解. 【详解】由题意可得的定义域为， 上单调递增，在上单调递增， 若，所以，可得， 由可得，解得：， 所以， 故选：D. 5. 五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（ ） A. 360 B. 640 C. 1350 D. 1440 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意按照或分类分组，结合排列组合求出种类，最后相加即可. 【详解】解析：将2名金牌导游分配到3个景区，有种分配方法， 若每个风景区都要有银牌导游，则将银牌导游分成三组，各组人数分别为或. 当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种； 当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种分配方法. 所以不同分配方法有种. 故选:C. 6. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数化成，运用整体思想，结合正弦函数图像性质得解. 【详解】， 因为，所以时，. 因为函数在区间内有最大值，无最小值， 结合正弦函数图像得，解得， 故选：A. 7. 等比数列中，为其前项和，，且成等差数列，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差中项及等比数列得通项求出公比，再根据等比数列的前项和公式求出，判断出数列的单调性即可得解. 【详解】设公比为， 由成等差数列，得， 又数列为等比数列，所以得，解得， 所以， 令， 则， 所以数列递增数列， 所以当时，取得最小值1. 故选：D. 8. 已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性得出，再构造函数结合函数单调性求解即可. 【详解】因为，又函数单调递增，所以，即， 对于不等式，移项整理得， 构造函数，由于单调递减，所以，即， 故选:C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD. 【详解】对于A，设，显然， 但，故A错； 对于B，设， 则， ， ， 所以，故B对； 对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量， 复数对应向量，复数加减法对应向量加减法， 故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度， 所以，，故C对，D对. 故选：BCD. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 直线与所成角正切值为2 D. 直线与所成角正切值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用补形思想，在正方体的左侧补一个全等的正方体，则P点位置即可直接确定，结合P点位置所有选项都可直接验证. 【详解】解析：如图，利用补形思想，在正方体的左侧 补一个全等的正方体，并平移到， 则平面为过且与平行的平面， 显然平面交于点， 为的中点，故对，错； 由于直线与 所成角为，且， 故正切值为2，故C对，D错， 故选：AC. 11. 某商场在店庆期间举行有奖促销活动，凡购买商品超过1000元的顾客就可参加活动.主办方在一个不透明的盒子中放入形状大小完全一样的四个红球和四个白球，充分摇晃后，由顾客（遮盖双眼）从中取出一个小球丢掉，再从剩下的7个小球中取出两个小球，若第二次取出的两个小球都是红球，则可获得一份价值100元的纪念品；若第二次取出的两个小球一红一白，则可获得一份价值50元的纪念品，其余结果没有奖品，则以下说法正确的是（ ） A. 顾客甲获得100元纪念品概率为 B. 顾客甲获得50元纪念品的概率为 C. 已知顾客甲获得了100元纪念品，则他丢掉的小球也是红球的概率为 D. 已知顾客甲获得了50元纪念品，则他丢掉的小球为红球的概率为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出事件，根据全概率和条件概率公式，结合古典概型和组合公式求解即可. 【详解】解析：设事件“丢掉一个小球后任取两个小球均为红球”，事件“丢掉的小球为红球”， 事件“丢掉的小球为白球”，事件“丢掉一个小球后任取两个小球为一红一白”， 则， ，由全概率公式可得 .故A对； ，故B错； ，故C对； ，故D对， 故选:ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在五个层次内，根据抽样结果得到如图的统计图表，则样本中人数最多的是__________层，样本中层的男生人数为__________人. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用条形统计图得到女生人数，进而得到男生人数，最后按照比例求出各层人数即可. 【详解】解析：由图可知女生人数为60，则男生人数为40， 样本中层的人数为；样本中层的人数为； 样本中层的人数为；样本中层的人数为； 样本中层人数为.故样本中层的人数最多． 样本中层的男生人数为. 故答案为：；6. 13. 展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将看作6个相乘，结合组合的知识即可直接求得答案. 【详解】由题可得含的项为， 故答案为：. 14. 设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式列出方程组，即可解出． 【详解】解析：设为双曲线右支上一点， 因为面积，所以得， 因为， 所以得 ， 即， 因为，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为.已知，点是边的中点， （1）证明：； （2）求. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用求出结果； （2）利用余弦定理和三角函数的关系式的变换求出结果. 【小问1详解】 由题意得： 由正弦定理得：，即， 所以， 由于，所以：. 【小问2详解】 由题意知：， 所以， 同理 由于， 所以整理得， 由余弦定理：. 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线. （1）求证：； （2）若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）首先证得线面平行，然后利用线面平行的性质定理即可证得线线平行； （2）先确定为与底面所成角，当时，结合（1）的结论以及线面垂直的判定定理即可得答案. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接， 分别为的中点， ， 为的中点，且为矩形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面， 又平面，平面平面， . 【小问2详解】 底面， 为与底面所成角， 当时，由（1）有， ， 且，平面， 平面， 因为平面， ， ，面，面， 由（1）有， 平面 17. 为普及人工智能相关知识，发展青少年科技创新能力，并为中学生生涯规划提供方向，某知名高校联合当地十所中学举办了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，并将最终从每所中学中各选拔一人进入高校进行为期一周的体验式活动.结合平时训练的成绩，红星中学的甲､乙两名学生进入校内最终选拔，组委会为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲､乙两人解答每道题目相互独立，现甲､乙从这6道题目中分别随机抽取3题进行解答： （1）求甲､乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对的题目个数为，求的分布列及数学期望； （3）从期望和方差的角度进行分析，红星中学应选拔哪个学生代表学校参加体验活动？ 【答案】（1） （2）分布列见解析，2 （3）甲代表学校参加体验训练. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率和公式及互斥事件概率和公式计算； （2）应用超几何求出概率再写出分布列最后求出数学期望即得； （3）先根据二项分布得出数学期望和方差，再应用已知做出判断即可. 【小问1详解】 甲､乙两人共答对2道题目的情况分为：甲2乙0，甲1乙1， 所以甲､乙共答对2道题目的概率为. 【小问2详解】 依题意，的可能取值为1，2，3. 则，， X的分布列为 1 2 3 所以. 【小问3详解】 设乙答对的题目个数为，则. 所以. 因为， 可知甲乙答对题目的均值是一样的，而甲的方差小于乙的方差， 所以甲的发挥较稳定，所以可以选拔甲代表学校参加体验训练. 18. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点. （i）求的值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）2；（ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定的值，从而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设，，由题意知，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值; （ⅱ）设，利用方程组结合韦达定理求出弦长，选将的面积表示成关于的表达式，然后，令，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出的面积的最大值，并结合（i）的结果求出面积的最大值. 试题解析：（Ⅰ）由题意知，则,又可得, 所以椭圆C的标准方程为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为, （i）设，，由题意知因为, 又，即,所以，即. （ⅱ）设 将代入椭圆E的方程， 可得 由，可得① 则有 所以 因为直线与轴交点的坐标为 所以的面积 令,将代入椭圆C的方程可得 由，可得② 由①②可知 因此,故 当且仅当，即时取得最大值 由（i）知，面积为,所以面积的最大值为. 考点：1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题. 19. 已知函数，记. （1）当时，判断函数的单调性； （2）当时，求证：； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再求导探讨单调性并确定零点，进而求出的单调区间. （2）把代入，求出函数并探讨其奇偶性，把证不等式，转化为证对成立，再构造函数，利用导数证明不等式. （3）由（2）的结论，构造函数，利用导数按分段讨论求出范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 令，求导得， 而，则，函数即在上单调递增， 又，则当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 而，即函数为偶函数， 要证，只需证明当时，，即证明在时成立， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， ， 则，即函数在上单调递增，于是， 即，又，所以. 【小问3详解】 由（2）知，要使恒成立，只需保证在时成立， 令，求导得， 若，则有，符合题意； 若，令，则，令， 则当时，，即函数在上单调递减，， 于是在单调递减，且，与题意矛盾， 若，则当时，，于是， 则在上单调递减，，与题意矛盾， 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$