压轴题01 空间向量和立体几何（五大题型+知识必备）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第一册）

专题01 空间向量与立体几何 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、空间向量基本定理 8 类型二、空间直角坐标系的应用 14 类型三、斜面图形建立空间直角坐标系 21 类型四、空间几何动点问题 27 类型五、空间几何翻折图形建立空间直角坐标系 33 压轴能力测评（6题） 41 1.空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2.空间位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； 线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R. (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； 面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0. 3.两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝ 4.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝. 5.求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2) 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 6.空间两点间的距离公式 若，，则 =. 7.点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 类型一、空间向量的基本定理 【例题讲解】 例1.在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】C 【详解】因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 且平面，可得， 又因为N在侧面上（包含边界），设，且， 可得 ， 又因为，可得，且. 对于选项A：若，则，可得点即为点， 显然平面，故A错误； 对于选项B：若，则，可得点在线段上（包括端点）， 由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误； 过作，垂足为，可得，，        因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 可得， 对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时， 可得，故C正确； 对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时， 可得，故D错误； 故选：C. 【变式训练】 1.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 2.（多选）如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．当时，若，则 C．当时，直线与直线所成角的大小为 D．当时，三棱锥的体积的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点， 所以也是的中点，所以，故A正确； 对于B，当时，， 所以，，，满足，故B正确； 对于C，过作交于，      可知面，与直线成角即为， 当时，，在中， 则， 所以，所以，故C错误； 对于D，易知是正三角形， 三棱锥体积为 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD. 3.（多选）下列说法正确的是（     ） A．若向量，，共面，则它们所在的直线共面 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BD 【详解】对于选项A：根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上， 故A错误； 对于选项B：设，，，， 则，，， 又因为是底面的重心，则， 所以成立，故B正确； 对于选项C：因为，但， 所以A，B，C，G四点不共面，故C错误； 对于选项D：设在基底下的坐标为， 则， 因为在基底下的坐标为，所以，解得， 所以在基底下的坐标为，即D正确. 故选：BD. 4．（多选）已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为 【答案】BC 【详解】对于A中，由于时，则，此时为的中点， 在正方体中，由平面，所以直线不会垂直平面，所以A错误； 对于B中，在上取点，使，在上取点，使， 因为，即，可得点在上， 将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图（1）（2）所示， 连接交于，此时三点共线，取到最小值即的长， 由于，所以，则， 所以，所以， 即此时的最小值为，所以B正确； 对于C中，当时，可得点的轨迹在平面内（包括边界）， 在正方形中，可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以，又由， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，当时，可得点的轨迹在内（包括边界）， 由于平面，平面，可得， 又因为平面，故平面， 因为平面，可得，同理可证， 又因为平面，所以平面， 设与平面交于点，由于， 为边长为的正三角形，则点到平面的距离为， 若，则，即点落在以为圆心，为半径的圆上， 此时点到三边的距离均为， 即点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分， 又由，其轨迹长度为3倍的弧长，所以D错误． 故选：BC. 类型二、空间直角坐标系的应用 【例题讲解】 例1.在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，球心为正方体对角线的交点，   ，，，，，， 设三棱锥外接球的半径为，，则， ， ， ，，， ，， ， 所以， 当时，取得最大值. 故选：C 【变式训练1】 1.已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为 ． 【答案】 【详解】因为、，，平面， 所以平面，以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为、、为空间中三个单位向量，与夹角为，即，则，，，即，，， 设，则， 因为， 所以， 所以且， 所以，即， 当时，解得；当时，解得； 所以，即， ，解得， 故， 则最大值为. 2.（多选）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（    ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 【答案】ABC 【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，故A正确； 设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，故B正确； 由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量， 则，故C正确； 设直线在平面内的投影与直线所成的角为， 则，故D错误. 故选：ABC. 2.正方体中，点P满足，且，直线与平面所成角为，则 ． 【答案】 【详解】因为，且， 所以，点在平面上， 设，连接，且，如图1所示， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理可证得，，又，平面， 所以平面， 设正方体的棱长为1，则可知为棱长为的正四面体， 所以，为等边三角形的中心， 由正弦定理知，，得到， 在中，， 连接，则为直线与平面所成的角，即， 所以，，即点在以为圆心，半径的圆上，且圆在平面内， 如图2，把平面抽象出来，以中点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，故易知，，，， 又为等边三角形的中心，由重心性质知，， 所以，圆为， 设， 则，， 则， 所以， 故答案为：. 3.点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】取底面的中心， 因为，所以点在平面上，且， 所以点在线段上， 由得， 所以由，得， 由，得，又平面， 所以平面. 因为Q是平面BC₁D上的动点，满足， 所以当在点时，点Q在点；当在点时，点Q在点为圆心，半径为2的圆上； 所以点在线段上运动时，点Q的运动范围是以点为圆心，半径为2的圆面， 以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设,，R， 过点作于点，，则点为的中点，所以,， ，,， ， 当时，取最小，为最小值， 因为，所以，设，R， ，当时，取最大值， 所以取最小值. 故答案为：.    类型三、斜面图形建立空间直角坐标系 【例题讲解】 例1.如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.    (1)证明：OD∥平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2). 【详解】（1）连接，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点， 所以∥，又平面，平面，所以∥平面.    （2）因为，又，，平面，所以平面， 因为平面，所以，又，，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面，取的中点， 因为，所以，因为平面平面，平面平面， 所以平面，，建立如图所示空间直角坐标系，，   由得，则， 设平面的法向量为，则，令，所以 ， 因为平面，所以可取平面的法向量为.设平面与平面所成角为，由图可知为锐角，则，故平面与平面所成角为. 【变式训练】 1.如图，在三棱锥中，分别是侧棱的中点，，平面.    (1)求证：平面平面； (2)如果，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明过程详见解析. (2)二面角的余弦值为. 【详解】（1）分别是侧棱的中点， ， ， 平面，平面， ， 又平面， 平面， 又平面， 平面平面. （2）平面，平面， ， ， 又由题意得是等腰直角三角形， ，此时易算三棱锥体积为：， 故符合题意. 平面，， 平面， 又平面， ， 两两垂直， 如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系， 则， 故 设平面的法向量为， 则有，可取， 平面， 即为平面的一条法向量， 故， 由三棱锥的体积和法向量的方向可知，二面角为锐二面角， 故二面角的余弦值为.    2.如图，已知三棱台，，，点O为线段的中点，点D为线段的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成线面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取AB中点M，连接，则，故O，M，C，共面， 由AM与OD平行且相等得，ODAM为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面. （2）法1（建系）：连接，因为，且， 所以为平行四边形，故， 又点D为线段的中点，所以，由得， 故以O为原点，，为x，y轴正方向，垂直于平面向上为z轴正方向， 建立空间直角坐标系Oxyz.    则， 因为，AB的中点M，所以， 又，,平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 设，，则， 设平面的法向量为， ， 则，取，则， 则平面的法向量为； 设平面的法向量为， ， 则，取，则， 则平面的法向量为， 因为平面平面，所以 ，即， 即，解得或（舍去）， 故，， 记直线与平面所成线面角为，， 则，故， 即直线与平面所成线面角. 3.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）底面是菱形，， 平面，且平面，. 又，平面,平面， 平面，，又，且平面，， 平面，平面，， ，，即，又平面， 且，平面． （2）以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ,,又, 在中由勾股定理得, 即,. ，， ，，平面， 与平面所成的角为，平面， 是平面的一个法向量，平面，平面， 平面平面，设，只需，则平面， 则， 令，则， ，. 4.如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，点在线段上． （1）当是中点时，求点到平面的距离； （2）当二面角的正弦值为时，求的值． 【解答】解：（1）因为平面，，平面， 所以，． 在平面内作，又， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为，，，是中点， 则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，， ，，， 设平面的法向量， 则，即，取， 所以点到平面的距离； （2）因为是的中点，所有，1，，设，0，， 则，，， 设平面的法向量， 则，即，取， 设平面的法向量， 则，即，取， 设二面角的大小为， 则， 设，因为二面角的正弦值为， 所以，解得，此时， 所以． 类型四、空间几何动点问题 【例题讲解】 例1.如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，且是边长为2的等边三角形，且平面平面为中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1） 证明：在中，由， 得， 即，所以 由平面，平面平面，且平面平面 得平面 （2） 由（1）得平面，所以， 在等边三角形中，为中点，所以， 即两两互相垂直，则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，又，所以， 则， 所以，设， 则，得到， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，又， 由，令，得， 所以， 又一面角的大小为， 所以，得到， 又，解得， 所以存在点使二面角的大小为，且 【变式训练】 1.如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因是正方形，则,因,故. 由,则.因,则平面， 又平面,故平面平面. （2）    如图，取的中点，连接,易得,因， 故即二面角的平面角，即， 易得,取中点，连接,过点作,交于， 因,故得正三角形，则, 由（1）得平面平面，且平面平面，平面， 故得平面. 因此可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 则, 依题意，设,， 则， 因，设平面的法向量为， 则，故可取. 设直线与平面所成的角为， 则，解得或， 因，故，即, 故当点是的一个四等分点（靠近点）时，直线与平面所成角的正弦值为,此时 2.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l． (1)证明：平面PBC； (2)直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积； (3)点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）∵E，F分别为PA，PC的中点，∴． 又平面，平面，∴平面ABC． 又平面BEF，平面平面，∴． 平面平面． 又，，平面， ∴平面，从而平面； （2），由（1）得，从而， 从而四边形ABCD为矩形．由于平面ABC， 从而． （3）以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图，则，，，，，， 由于，设，则．，， 设平面BEF的一个法向量， 则，取 由题意，， 即，解得，从而符合题意的点存在，． 3.如图，已知四边形是直角梯形，，平面是的中点，E是的中点，的面积为，四棱锥的体积为． (1)求证：平面; (2)若P是线段上一动点，当二面角的大小为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）因为平面，所以． 因为N是的中点，所以，故． 又因为，所以是等边三角形． 因为的面积为，所以． 如图1，过点D作交于点M，四边形是直角梯形， 且，，则， 故四边形为平行四边形． 因此． 又，因此． 因为四棱锥的体积为， 所以， 解得． 连接，在中，． 连接，在中，． 因为， 则． 因为平面，所以， 而平面平面， 所以平面． （2）以N为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图2所示． 则． 因为P是线段上一动点， 所以设，其中． 故． 设平面的一个法向量， 则，令，得，， 所以． 设平面的一个法向量， 则有，令，得，， 可取． 因为二面角的大小为， 所以，即，解得，即． 因为， 所以． 类型五、空间几何翻折图形建立空间直角坐标系 【例题讲解】 例1.图1是由正方形ABCD和两个正三角形组成的一个平面图形，其中，现将沿AD折起使得平面平面，将沿CD折起使得平面平面，连接EF，BE，BF，如图2. (1)求证:平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）分别取棱的中点，连接， 由是边长为2正三角形，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，同理平面， 于是，即四边形为平行四边形，， 而平面平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接，由四边形为正方形，得， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 由，平面平面，平面平面平面， 得平面，则为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为 则，而，解得， 所以平面与平面的夹角为. 【变式训练】 1.己知如图，在矩形中，，将沿着翻折至处，得到三棱锥，过M作的垂线，垂足为．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结， 由，，， 得，，，， 在中，由余弦定理得, ， ， ，又平面，， 平面，又平面， ； （2）过点作于点，在平面内作与点，交于点，连结，    则为二面角的平面角， 在中，由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由余弦定理得：, ， 即二面角的余弦值为. 2.如图1，在平面四边形中，，，，，点在上，且满足．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列问题．      (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）因为，，，所以四边形为菱形， 因为，，，所以，， 又因为，所以，即， 在中，由，可得， 因为，，所以，即， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）设，过作，则以为原点，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    可得，， 因为，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 3.如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.    (1)当时，证明并求四棱锥的体积； (2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析，(2) 【详解】（1）如图，取的中点，连结，，   因为为等边三角形，且，则，.因为，，，， 所以，，那么，则也是等边三角形，所以，. 因为，，平面，所以平面，因为平面，所以. 因为，所以，所以，因为，，平面， 所以平面.所以. （2）由（1）知平面，以､所在直线分别为轴､轴，在平面内过作的垂线作为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.   则，，在中，因为，所以，由则，过点作直线的垂线，垂足为，则，所以，，所以设，因为，所以，所以，，，即 所以，，设平面的法向量为， 则，不妨令，则，，所以 不妨设平面的法向量为，设平面与平面的夹角为 则，所以平面与平面夹角的余弦值是. 1.（多选）如图，点是正四面体底面的中心，过点的直线分别交于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（    ） A．存在点与直线，使 B．存在点与直线，使平面 C．若，其中，，则的最小值是 D． 【答案】BCD 【详解】对于选项A， ，故A错误； 对于选项，当直线平行于直线为线段上靠近的三等分点， 即，此时平面，以下给出证明： 在正四面体中，设各棱长为， 均为正三角形，点为的中心，， 由正三角形中的性质，易得， 在中，， 由余弦定理得，， ，则， 同理，，又平面平面， 平面存在点与直线，使平面，故B正确； 对于选项C，，，， 根据三点共线有，， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于选项D，设为的中点，则， 又三点共线，三点共线， 三点共线，， 设，则， 四点共面，，又， ，即，故D正确. 故选:BCD. 2.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1)(2)为定值 【详解】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 3.如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）．    (1)求证：． (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)在线段上是否存在点，使得，二面角的正弦值为. 【详解】（1）依题意可知点为的中点，，所以， 又，，平面，所以平面. 又平面，所以. 依题意可知，，，平面， 所以平面，又平面，所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以. （2）由题意，得，，由（1）， 所以. 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，， ，，. 所以，， . 设，即， 则，， 若存在点，使得，则， 解得，则， 设平面的法向量为， 则，，令，得， 所以， 设平面的法向量为， 则，，令，得， 所以， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的正弦值为. 4.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，M为侧棱PD上的点，平面. (1)证明：. (2)若，求二面角的大小. (3)在（2）的前提下，在侧棱PC上是否存在一点N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）记，连接OP，由四边形是正方形，得О是AC的中点， 由，得，又，平面，， 则平面，又平面，所以. （2）由（1）知，，由，得，即两两垂直， 以О为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 由平面，得是平面的一个法向量， 显然是平面的一个法向量， 设二面角为θ，由图知θ为锐角， 则，解得， 所以二面角的大小为. （3）假设在侧棱PC上存在一点N，使得平面，且（）， 由（2）知，，， 则，， 平面的一个法向量是，由平面，得， 即，则，解得，即，则， 所以在侧棱PC上存在一点N，使得平面，此时. 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为菱形，平面PAB底面ABCD，M为棱BC上异于点C的一点，O为棱AB的中点，且，． (1)若，求证：M为BC的中点； (2)若平面POM与平面PAC所成的锐二面角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，为的中点，所以， 又平面底面，平面底面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且底面，所以， 又因为为的中点，所以为的中点． （2）解：连接，因为，所以为正三角形，所以， 以为原点，分别以向量，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以，，，， 设是平面PAC的一个法向量，则， 取，可得，所以， 设，则，即， 设是平面POM的一个法向量，则， 取，可得，所以， 因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为， 所以， 整理得，解得，或（舍去），所以． 6.如图，在三棱台中，，平面平面，． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 用锥体体积公式得，再通过建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量即可求出面面角余弦值, 【详解】（1）如图，在等腰梯形中，连接， 又，可以解得， 在三角形中，， 又平面平面，且平面平面， ，且平面， 平面． 又，且平面， 平面． （2）由（1）可知，， ． 以为原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 可得：． 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又， 由 令，解得平面的一个法向量为， ． 平面与平面的夹角的余弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量与立体几何 目录 解题知识必备 2 压轴题型讲练 2 类型一、空间向量基本定理 4 类型二、空间直角坐标系的应用 4 类型三、斜面图形建立空间直角坐标系 7 类型四、空间几何动点问题 9 类型五、空间几何翻折图形建立空间直角坐标系 11 压轴能力测评（6题） 14 1.空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2.空间位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； 线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R. (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； 面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0. 3.两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝. 4.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝. 5.求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2) 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 6.空间两点间的距离公式 若，，则 =. 7.点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 类型一、空间向量的基本定理 【例题讲解】 例1.在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 【变式训练】 1.正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（多选）如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．当时， B．当时，若，则 C．当时，直线与直线所成角的大小为 D．当时，三棱锥的体积的最大值为 3.（多选）下列说法正确的是（     ） A．若向量，，共面，则它们所在的直线共面 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则A，B，C，G四点共面 D．若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 4．（多选）已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为 类型二、空间直角坐标系的应用 【例题讲解】 例1.在三棱锥中，，，两两垂直，且.若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练1】 1.已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为 ． 2.（多选）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（    ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 2.正方体中，点P满足，且，直线与平面所成角为，则 ． 3.点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是 . 类型三、斜面图形建立空间直角坐标系 【例题讲解】 例1.如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.    (1)证明：OD∥平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小. 【变式训练】 1.如图，在三棱锥中，分别是侧棱的中点，，平面.    (1)求证：平面平面； (2)如果，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值. 2.如图，已知三棱台，，，点O为线段的中点，点D为线段的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成线面角的大小. 3.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求． 4.如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，点在线段上． （1）当是中点时，求点到平面的距离； （2）当二面角的正弦值为时，求的值． 类型四、空间几何动点问题 【例题讲解】 例1.如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，且是边长为2的等边三角形，且平面平面为中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 【变式训练】 1.如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．    (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在一个点，使直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 2.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，平面ABC，，，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l． (1)证明：平面PBC； (2)直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥的体积； (3)点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为，是否存在点Q，使得？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由． 3.如图，已知四边形是直角梯形，，平面是的中点，E是的中点，的面积为，四棱锥的体积为． (1)求证：平面; (2)若P是线段上一动点，当二面角的大小为时，求的值． 类型五、空间几何翻折图形建立空间直角坐标系 【例题讲解】 例1.图1是由正方形ABCD和两个正三角形组成的一个平面图形，其中，现将沿AD折起使得平面平面，将沿CD折起使得平面平面，连接EF，BE，BF，如图2. (1)求证:平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 【变式训练】 1.己知如图，在矩形中，，将沿着翻折至处，得到三棱锥，过M作的垂线，垂足为．    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 2.如图1，在平面四边形中，，，，，点在上，且满足．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列问题．      (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 3.如图，平面五边形由等边三角形与直角梯形组成，其中，，，，将沿折起，使点到达点的位置，且.    (1)当时，证明并求四棱锥的体积； (2)已知点为棱上靠近点的三等分点，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 1.（多选）如图，点是正四面体底面的中心，过点的直线分别交于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（    ） A．存在点与直线，使 B．存在点与直线，使平面 C．若，其中，，则的最小值是 D． 2.如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 3.如图（1），在中，，，点为的中点．将沿折起到的位置，使，如图（2）．    (1)求证：． (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，说明理由． 4.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，M为侧棱PD上的点，平面. (1)证明：. (2)若，求二面角的大小. (3)在（2）的前提下，在侧棱PC上是否存在一点N，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为菱形，平面PAB底面ABCD，M为棱BC上异于点C的一点，O为棱AB的中点，且，． (1)若，求证：M为BC的中点； (2)若平面POM与平面PAC所成的锐二面角的余弦值为，求的值． 6.如图，在三棱台中，，平面平面，． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$