甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

兰州一中2023-2024-2学期期末考试题 高一数学 答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. C 2. B 3. A 4. D 5. D 6. B 7. C 8. C 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. BCD 10. AB 11. BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 13. 14. 四、解答题(本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（13分） 解：（1）在正方体，且， ∴为平行四边形，∴， ∵平面，平面, ∴平面. .................................................................................6分 （2）∵在正方形ABCD中，设，连接， ∴，， ∵中，，∴为等腰三角形，∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴，即二面角的正弦值为. ..................................13分    16．（15分） 解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以； 平均数为， .....................................................7分 （2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有，，，，，．，，，，共有10种情况， 其中选出的两人来自同一组的有，，，，，共6种情况， 故选出的两人来自同一组的概率为． .....................................................15分 注：第(2)问若用计数原理，排列组合计数也给分. 17.（15分） 解：（1）因为，， 所以. 所以，得，即. .....................................................7分 （2）因为， 所以，解得， 因为，且A为三角形的内角，所以，， 又因为，所以. 因为，∴. 所以， 所以， 所以. .....................................................15分 18.（17分） 解：（1）点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， 又，平面， 平面， 平面， . .....................................................................................4分 （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得，即，解得. 故点到平面的距离为. .....................................................10分 （3）设直线与平面所成的角为， . 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由，得，解得：， 综上，点在线段上靠近点的4分点处时，直线与平面所成的角最大，此时最大角的正弦 注：第(1)问用三垂线定理证明也给分；各问用坐标法也给分. 19.（17分） 解： （1）设成公差为r的等差数列，显然r>0， 则由得， 由得，解得， 数列为所求3阶“归化”数列. .....................................................4分 (2) 设等差数列的公差为， 因为，所以，所以，即. 当时,与归化数列的条件相矛盾. 当时，由，得 联立解得，所以 当时，由，同理解得， 所以. 综上，当， .............10分 (3)由已知可得：必有 也必有. 设为诸中所有大于0的数，为诸中所有小于0的数， 由已知得. 所以 .....................................................17分 兰州一中高一年级期末数学试卷答案 第 3 页 共 3 页 兰州一中高一年级期末数学试卷答案 第 3 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单选题（共40分） 二、多选题（共18分） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 . 13． 14． 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤）15.(13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填途。 正确填涂示例 班 级 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 兰州一中2023-2024-2学期期末考试答题卡 高一数学 姓 名 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 考生请勿在此区域内答题 18.（17分） 19.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $$ 兰州一中2023-2024-2学期期末考试题 高一数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．样本数据2，3，4，5，6，8，9的第30百分位数是（ ） A．3 B．3.5 C．4 D．5 2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若则S9＝（ ） A．-5 B．0 C．5 D．9 3．下列说法中： （1）某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 （2）做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 （3）若事件两两互斥，则 （4）若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件 正确的说法有（ ）个 A.0 B.1 C.2 D.3 4. 已知数列的通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是（ ） 5．设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（ ） A．若m上有两个点到平面的距离相等，则m // B．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若，，，则 D．若m、n是异面直线，，，，，则 6．在四面体ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为50°，M，N分别是边BC，AD的中点，则异面直线MN和AB所成的角为（ ） A. 25°或50° B. 25°或65° C. 50° D. 65° 7．圆台的上､下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法不正确的是（ ） A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是 C．圆台的高是 D．圆台的体积是 8．已知是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知复数，则下列结论不正确的是（        ） A．在复平面对应的点位于第二象限 B．的虚部是 C． D． 10．将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”. 则（        ） A．事件甲与事件丙是互斥事件 B．事件甲与事件丁是相互独立事件 C．事件乙包含于事件丙 D．事件丙与事件丁是对立事件 11. 如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则（        ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点与点到平面的距离相等 第Ⅱ卷(非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为 ． 13．已知，则 ． 14．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体. 若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是 .      四、解答题(本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（13分）如图，正方体的棱长为2． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 16．（15分）某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数； （2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然 后再从这5人中选出2人，求选出的两个人来自同一组的概率． 17. （15分）已知△ABC的面积为12，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若D在边BC上且，，求AD的长. 18. （17分）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，△PDB是等边三角形. （1）求证：； （2）求点到平面的距离； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与 平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值 时线段的长. 19. （17分）如果数列满足：且 则称为n阶“归化”数列. （1）若某3阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项； （2）若某11阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式； （3）若为n阶“归化”数列，求证 答案第1页，共2页 兰州一中高一年级期末数学试卷 第 3 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$