专题01 有理数（中等类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、利用数轴比较有理数的大小 【解惑】如图，下列四个数中，比数轴上点表示的数小的数是(    ) A． B． C．0 D．1 【融会贯通】 1．已知、两个点在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 3．如图，A，B，C三点所表示的有理数分别为a，b，c，那么，，c的大小关系是 ．（用“”连接）    类型二、数轴上两点之间的距离 【解惑】在数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【融会贯通】 1．点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 2．点A、B是数轴上的两点，且点A表示的数是，点A与点B之间的距离是6，则点B表示的数是 ． 3．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段；线段．如果数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2．则另一个点表示的数为m，则m的值为 ． 类型三、化简多重符号 【解惑】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【融会贯通】 1．下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（1） ；                 （2） ； （3） ；             （4） ． 3．化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 类型四、绝对值的非负性 【解惑】若，则（　　） A． B． C．5 D．3 【融会贯通】 1．若，则的值为（    ）． A．9 B．5 C． D． 2．若，那么 ， ． 3．如果，那么的值为 ． 类型五、化简绝对值 【解惑】已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果为（　　） A． B． C． D． 2．如图，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则的结果为 ． 3．如图，a、b、c是数轴上点表示的有理数计算： ． 类型六、有理数的分类 【解惑】把下列各数填在相应的大括号里： 1，，，，，，，，0，，． 正整数集合：{                             …}； 非负数集合：{                             …}； 负分数集合：{                             …}． 【融会贯通】 1．请把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，，，． 正数集合：{________________________…} 负数集合：{________________________…} 整数集合：{________________________…} 分数集合：{________________________…} 2．如图，把下列各数填入相应的各圈里． ，，，，，，，， 3．把下列各数填在相应的集合内． ，2，，，，0，，， 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 非负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}． 类型七、有理数的乘方混合运算 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．计算： (1)． (2)． (3) 2．计算 (1) (2) (3) 3．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 类型八、有理数加减法的实际应用 【解惑】某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【融会贯通】 1．某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 2．甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为 分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是 ． 3．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超 产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 (1)根据记录的数据求出小明妈妈星期三生产玩具的个数； (2)根据记录的数据求小明妈妈本周实际生产玩具多少个； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ 类型九、有理数乘除法的实际应用 【解惑】快递员开摩托车从总部A地出发，在一条东西走向的街道上来回收取包裹，现记录下他连续行驶的情况如下：（规定向东为正方向，单位：千米） 5，2，，，3，，6    请问： (1)他最后一次收取包裹后在总部A的什么位置？ (2)如果摩托车每千米耗油30毫升，出发前摩托车有油900毫升，快递员在收完包裹后能回到总部吗？ 【融会贯通】 1．社区超市以每斤8元的价格，新进了200斤菠萝．为了合理定价，在前五天试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录这五天菠萝的售价情况和售出情况： 第几天 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 15 18 22 26 34 (1)这五天里超市售出的菠萝，单价最高的是第_____天，最高单价是______元． (2)这五天超市出售此种菠萝的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)五天后，部分菠萝开始出现变质，超市选取五天中单日销售量最高的那天的售价，卖掉剩余的菠萝，因为变质而扔掉的菠萝占全部菠萝的．这次菠萝生意的总收益是多少元？ 2．出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？ (2)若汽车耗油量为7升/千米，这天上午小李共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为10元，起步里程为3千米（包括3千米），超过部分每千米2.6元．问小李今天上午共得出租款多少元？ 3．一辆货车从仓库O出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为A，B，C，D，E，货车行驶的记录（单位：千米）如下：． (1)计算当火车到达销售地E时，在仓库O的什么位置； (2)该货车共行驶了多少千米？ (3)如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往A，B，C，D，E五个地点的水果质量（单位：千克）可记为：，则该货车运送的水果总质量是多少千克？ 类型十、有理数的乘方的实际应用 【解惑】如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 2．十进制是用～这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．    (1)根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．根据图，计算采集到的野果数量． 3．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【一览众山小】 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 2．已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中，．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 3．下面大长方形的面积都是，用阴影部分表示，错误的是（    ） A． B． C． D． 4．定义一种新运算：，例如，则 ． 5．规定，例如，则 ． 6．“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 7．计算 8．已知，且，求的值． 9．计算： (1)； (2)． 10．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、利用数轴比较有理数的大小 【解惑】如图，下列四个数中，比数轴上点表示的数小的数是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，据数轴得出点表示的数，再根据有理数的大小比较方法即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得点表示的数是， ∴比数轴上点表示的数小的数是， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知、两个点在数轴上的位置如图所示，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和绝对值，有理数的大小比较，根据实数，在数轴上的位置关系可得：，，再逐项判断即可得到答案，熟练掌握利用数轴比较有理数大小的方法是解题关键． 【详解】解：由数轴上点的位置关系，得，， A、，故本选项结论正确，不符合题意； B、，故本选项结论正确，不符合题意； C、，故本选项结论错误，符合题意； D、，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知、所表示的数如图所示，下列结论正确的有 ．（只填序号）①；②；③；④；⑤ 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查了数轴．数轴上右边的点对应的数大于左边的点对应的数，离原点远的点所对应的数的绝对值大，数轴上两点之间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值， 根据以上知识逐个判断即可． 【详解】由图知：，故①错误； 由图知：，故②正确； 由图知：，故③错误； 由图知： ，故④正确； ，表示b到的距离，表示a到的距离．由图知，b到的距离大于a到的距离， ，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 3．如图，A，B，C三点所表示的有理数分别为a，b，c，那么，，c的大小关系是 ．（用“”连接）    【答案】 【分析】由题意可得，，且，据此解答即可． 【详解】解：由题意得，且， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数在数轴上的表示、绝对值以及有理数大小比较，掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键． 类型二、数轴上两点之间的距离 【解惑】在数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离计算方法直接计算即可求解，掌握数轴上两点间的距离计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， 故选：． 【融会贯通】 1．点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，以及用数轴上的点表示有理数，由“点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度”得到点A表示的数（注意考虑在原点左侧或右侧两种情况），再根据向右爬了2个单位长度到达B点，得到点B表示的数，即可解题． 【详解】解：因为点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度， 所以点A表示的数是4或， 又因为蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点， 所以点B表示的数是：或． 故选：C． 2．点A、B是数轴上的两点，且点A表示的数是，点A与点B之间的距离是6，则点B表示的数是 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 根据数轴上两点间距离，分别列式计算即可得解． 【详解】解：∵点A表示的数是，点A与点B之间的距离是6， ∴点B表示的数或， 故答案为：或2． 3．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段；线段．如果数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2．则另一个点表示的数为m，则m的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算方法，根据题意表示的两点之间长度的计算方法即可求解，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，当点在点的左边时， ，解得，； 当点在点的右边时， ，解得； 故答案为：或． 类型三、化简多重符号 【解惑】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴，故B不符合题意； ∵，，不互为相反数，故C不符合题意； ∵，， ∴与互为相反数，故D符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．（1） ；                 （2） ； （3） ；             （4） ． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了符号的化简，同号得正，异号得负． 根据化简符号的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 3．化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 【答案】 3 【分析】根据多重符号的化简，绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； 故答案为：；3；；． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟知：正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；是解本题的关键． 类型四、绝对值的非负性 【解惑】若，则（　　） A． B． C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据可知，可得，从而可得答案． 【详解】解：由得： 得： 故选：B 【点睛】此题考查绝对值的性质和偶次方非负数的性质，两个非负数的和为零，则这两非负数均等于零是解题关键． 【融会贯通】 1．若，则的值为（    ）． A．9 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后相加即可得解． 【详解】解：根据题意得，，， 解得， 所以，． 故选：B． 【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”是解题的关键． 2．若，那么 ， ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性和解一元一次方程，熟练掌握任何数的绝对值都是非负数是解题的关键，据此作答即可． 【详解】∵， ∴， 解得， 故答案为：1，5． 3．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 类型五、化简绝对值 【解惑】已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减和去绝对值，根据数轴分别判断出，，，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】由数轴可得，，，， ∴ ， ， 故选：． 【融会贯通】 1．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，理解绝对值的意义是解答此题的关键． 先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：由图可知， 所以，， 所以，原式 ． 故选：C． 2．如图，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，根据题意可得，进而得到，据此化简绝对值即可． 【详解】解；由题意得，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．如图，a、b、c是数轴上点表示的有理数计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴和绝对值，正确得出各式的符号是解题关键．直接利用数轴得出，，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得： ， 所以，，， 故： ． 故答案为：． 类型六、有理数的分类 【解惑】把下列各数填在相应的大括号里： 1，，，，，，，，0，，． 正整数集合：{                             …}； 非负数集合：{                             …}； 负分数集合：{                             …}． 【答案】，，；，，，，0，；，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：正整数集合：{ ，，…}； 非负数集合：{，，，，0，…}； 负分数集合：{，，…}． 【融会贯通】 1．请把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，，，，． 正数集合：{________________________…} 负数集合：{________________________…} 整数集合：{________________________…} 分数集合：{________________________…} 【答案】，，，，；， ，， ；，，，，；，，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类填写即可求解． 【详解】解：正数集合：{，，，，，…} 负数集合：{， ，， ，…} 整数集合：{，，，，…} 分数集合：{，，，，，…} 故答案为：，，，，；， ，， ；，，，，；，，，，． 2．如图，把下列各数填入相应的各圈里． ，，，，，，，， 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类，即可求解． 【详解】解：整数为：，，，； 负数为：，，，； 则负整数为：； 3．把下列各数填在相应的集合内． ，2，，，，0，，， 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 非负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 正有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 【详解】解：整数集合：{，2，，0}； 负数集合：{，，，，}； 分数集合：{，，，，}； 非负数集合：{2，0，，}； 正有理数集合：{2，，}． 类型七、有理数的乘方混合运算 【解惑】计算：． 【答案】55 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【融会贯通】 1．计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据有理数的乘除法法则计算即可． （3）按照有理数混合运算的顺序，先乘方再乘除最后算加减的顺序进行计算； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)0 (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法运算法则及交换律与结合律进行简便计算，即可得出结果； （2）根据有理数四则运算法则进行计算，即可得出结果； （3）根据有理数混合运算法则进行计算，即可得出结果； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 3．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 类型八、有理数加减法的实际应用 【解惑】某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)84675 【分析】本题考查了正数和负数，有理数混合运算的应用，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据表格中的数据可以解答本题； （2）根据表格中的数据可知周六生产的最多，周五生产的最少，从而可以解答本题； （3）根据题意和表格中的数据可以解答本题． 【详解】（1）解：（辆）， 故答案为：599； （2）（辆）， 故答案为：26； （3）， （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是84675元． 【融会贯通】 1．某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【答案】(1)千克 (2)不足千克 (3)元 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解，然后作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：千克， 答：第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）解：千克， 答：10筐白萝卜总计不足千克． （3）元， 答：售出这筐白萝卜可得元． 2．甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为 分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是 ． 【答案】 35 【分析】本题主要考查最优化时间的使用的有理数加减运算， 根据甲乙各自的拼装和上色所需时间进行分解，求出对应的用时再求得总时长即可； 由于甲乙开始都需要时间，为甲选择B，再结合各自所需时间排序即可． 【详解】解：（1）甲先拼装A需9分钟，乙开始上色A，与此同时甲可以拼装B和2分钟的C，乙给B上色时，甲可以继续拼装C和3分钟D，乙为C上色5分钟时甲可以完成D的拼装，此时乙还需要4分钟为C上色，接着为D上色3分钟，时间分解如图，（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间） 故总时长最少为分钟， 故答案为35； （2）甲先拼装B需5分钟，乙开始上色B，与此同时甲可以拼装C和1分钟的A，乙给C上色时，甲可以继续拼装A和1分钟D，乙为A上色7分钟时甲可以完成D的拼装，此时乙还需要3分钟为D上色，时间分解如图，选择这种方案即可用时最少．（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间） 故答案为． 3．小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超 产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 (1)根据记录的数据求出小明妈妈星期三生产玩具的个数； (2)根据记录的数据求小明妈妈本周实际生产玩具多少个； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)小明妈妈星期三生产玩具的个数为个； (2)小明妈妈本周实际生产玩具为个； (3)小明妈妈这一周的工资总额是元． 【分析】此题考查了正负数的应用能力，有理数的加减混合运算，关键是能准确问题间的数量关系和该知识， 并能正确列式、计算． （1）用星期三的生产情况记录结果—4加上平均每天生产量20进行求解； （2）用厂里规定的每个工人每周的生产量加上实际每天生产量与计划量相比有出入之和即可； （3）用这周每生产一个玩具可得工资数加上超额完成量的奖励即可． 【详解】（1）解：小明妈妈星期三生产玩具的个数为： (个)， （2）解：小明妈妈本周实际生产玩具为： (个)． （3）解： (元)， ∴小明妈妈这一周的工资总额是元． 类型九、有理数乘除法的实际应用 【解惑】快递员开摩托车从总部A地出发，在一条东西走向的街道上来回收取包裹，现记录下他连续行驶的情况如下：（规定向东为正方向，单位：千米） 5，2，，，3，，6    请问： (1)他最后一次收取包裹后在总部A的什么位置？ (2)如果摩托车每千米耗油30毫升，出发前摩托车有油900毫升，快递员在收完包裹后能回到总部吗？ 【答案】(1)在出发点的正东边6千米处 (2)快递员在收完包裹后不能回到出发点 【分析】本题考查了正数和负数、绝对值的定义，有理数四则运算的实际应用．用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示． （1）将行驶的情况相加，再根据正、负数的定义来确定最后一次收取包裹后的位置； （2）利用摩托车所走的路程乘以油耗，再比较即可． 【详解】（1）解：（1） （千米）． 故最后一次收取包裹后在出发点的东边6千米处． （2）解： 千米， 回到出发点共耗油：（毫升）， ， 所以快递员在收完包裹后不能回到出发点． 【融会贯通】 1．社区超市以每斤8元的价格，新进了200斤菠萝．为了合理定价，在前五天试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录这五天菠萝的售价情况和售出情况： 第几天 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 15 18 22 26 34 (1)这五天里超市售出的菠萝，单价最高的是第_____天，最高单价是______元． (2)这五天超市出售此种菠萝的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)五天后，部分菠萝开始出现变质，超市选取五天中单日销售量最高的那天的售价，卖掉剩余的菠萝，因为变质而扔掉的菠萝占全部菠萝的．这次菠萝生意的总收益是多少元？ 【答案】(1)1，13 (2)盈利299元 (3)370元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键． （1）根据表格中的数据求解即可； （2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）由表格可得，单价最高的是第1天，最高单价是元； （2） （元） ∴这五天超市出售此种菠萝盈利299元； （3）（千克） （元） ∴（元） ∴这次菠萝生意的总收益是370元． 2．出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，行车里程（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？ (2)若汽车耗油量为7升/千米，这天上午小李共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为10元，起步里程为3千米（包括3千米），超过部分每千米2.6元．问小李今天上午共得出租款多少元？ 【答案】(1)小李距出发地8千米 (2)这天上午小李共耗油252升 (3)小李今天上午共得出租款109.4元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把这些正数和负数全部相加，进行计算即可解答； （2）把这些数的绝对值全部相加，进行计算即可解答； （3）根据这天上午每次的行车里程计算出每次的收入，然后相加进行计算，即可解答． 【详解】（1）， ∴将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地8千米； （2）（千米）， ∴（升）， ∴这天上午小李共耗油252升； （3）由题意得：每次行车里程的收入分别为：10元，（元），（元），（元）， （元），10元， ∴（元）， ∴小李今天上午共得出租款109.4元． 3．一辆货车从仓库O出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为A，B，C，D，E，货车行驶的记录（单位：千米）如下：． (1)计算当火车到达销售地E时，在仓库O的什么位置； (2)该货车共行驶了多少千米？ (3)如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往A，B，C，D，E五个地点的水果质量（单位：千克）可记为：，则该货车运送的水果总质量是多少千克？ 【答案】(1)货车在仓库0的东边3千米处 (2)货车共行驶了21千米 (3)货车运送的水果总重量是535千克 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数四则运算的实际应用，正确列出算式并掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）把记录的数相加，再结合向东为正方向即可得出结论； （2）求出行驶记录的数据的绝对值的和即可； （3）根据超出和不足的数据和加上5次的标准质量进行计算即可． 【详解】（1）解：（千米） 答：货车在仓库0的东边3千米处； （2）解： （千米） 答：货车共行驶了21千米； （3）解： （千克）， 答：货车运送的水果总重量是535千克． 类型十、有理数的乘方的实际应用 【解惑】如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）． (1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？ (2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度． 【答案】(1)层数 (2)6.4毫米 【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键． （1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系； （2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵对折1次，层数， 对折2次，层数， 对折3次，层数， ∴对折n次，层数； （2）解： （毫米）， 答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 2．十进制是用～这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用和两个数来表示数，满二进一，例：二进制数转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法．    (1)根据以上信息，将二进制数“”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量．根据图，计算采集到的野果数量． 【答案】(1) (2)采集到的野果数量为个 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用； （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满六进一，类似于六进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【详解】（1）解： 101110转化为十进制数是： ， 故答案为：； （2）由于满六进一，类似于六进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 3．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： 例：①； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ． (1)计算：①；                      ②； (2)归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得 ，异号得 ，并把两数的 ； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的 ． (3)是否存在整数 ，使得 ，若存在，求出 的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)正，负，平方相加；平方 (3)存在，当，时，；当，时， 【分析】本题考查了新定义的运算及规律探究，根据已知等式正确归纳出运算法则是解题关键． （1）根据已知新定义运算法则计算即可； （2）根据题干已知运算等式，归纳运算法则即可； （3）由判断得到或，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ① ； ② ； （2）解：由题意得 归纳*运算的法则：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加； 特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，结果等于这个数的平方． 故答案：正，负，平方相加；平方． （3）解：存在，理由如下 ， 或； ， ， 是整数， ①当，时， 此时，，符合题意； ； ②当，时， ， 此时，，不符合题意； ③当，时， ， 此时，，符合题意； ； ④当，时， ， 此时，，不符合题意； 综上所述：当，时，；当，时，． 【一览众山小】 1．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．2024和 C．和2024 D．和 【答案】A 【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意； B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意； C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意； D、和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中，．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴与有理数，根据，可得，排除选项A，C，再根据可得，由此可解． 【详解】解：，， ，排除选项A，C； 选项B、D中，根据点A，B的位置可得， ， 排除选项B， 故选D． 3．下面大长方形的面积都是，用阴影部分表示，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分数的认识，能够理解题意是解题的关键．根据图像所代表的意义进行逐项列式进行判断即可． 【详解】解：A、阴影部分占，则阴影部分的面积为，故该项正确，不符合题意； B、阴影部分占，则阴影部分的面积为，故该项正确，不符合题意； C、阴影部分占，则阴影部分的面积为，故该项不正确，符合题意； D、由题可知，阴影部分的面积，故该项正确，不符合题意； 故选：C． 4．定义一种新运算：，例如，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据已知新运算法则，先计算乘方，再作差即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：3． 5．规定，例如，则 ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． 【详解】 解：由题意可得： ， ， 故答案为：． 6．“二十四点游戏”的规则为：给出个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的个有理数算成，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数，，，，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于，你的运算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】 解：根据有理数的运算可得：，，等． 故答案为：（答案不唯一）． 7．计算 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，利用乘法运算律计算即可． 【详解】解： 8．已知，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握其运算规则，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据，求出的值，再根据分情况讨论计算即可． 【详解】解：， ，， ， 当时，； 当时，； 故的值为：或． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算括号中的运算，以及除法化为乘法运算，约分即可得到结果； （2）原式先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果． 【详解】（1） ； （2） ． 10．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 6 学科网（北京）股份有限公司 $$