专题01 有理数（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、程序流程图 【解惑】如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为5，y的值为，则输出的结果为（   ） A． B．15 C． D．16 【融会贯通】 1．按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 2．按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ． 3．已知为两个不相等的有理数，根据流程图中的程序，当输出数值y为时，所输入的较大的数是 ．    类型二、幻方幻圆 【解惑】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 【融会贯通】 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为 . 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 类型三、循环小数化为分数 【解惑】循环小数的小数点右边第2022位上的数字是（    ）． A．1 B．2 C．5 D．7 【融会贯通】 1．已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为（    ） A．1或3 B．– 1或– 3 C．±1或±3 D．0或3 2．循环小数可化分数为 ． 3．阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，由，可知，，得，于是．解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，），n的式子表示纯循环小数＿＿＿＿＿． 类型四、绝对值的”1“与”-1“的化简 【解惑】a，b，c的大小关系如图所示，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【融会贯通】 1．x是数轴上一点表示的数，则的最小值是（    ） A．1 B．5 C．7 D．8 2．若，则的所有可能值 ． 3．【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 例2、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 请根据以上知识解决下列问题 【应用新知】（1）把化成分数为_______； （2）把循环小数  化成分数．（注：．）． 【拓展提升】请用一元一次方程把循环小效化为分数． 类型五、绝对值最值 【解惑】的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【融会贯通】 1．乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 2．如果表示一个有理数，那么的最小值为 ． 3．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值． 请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ． （2）请仿照解答过程完成下列问题： ①若a，b，c均不为零，求的值． ②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值． 类型六、裂项求和 【解惑】（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【融会贯通】 1．观察下列等式的规律 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)计算的值. (2)计算的值. 2．观察下面的一组等式完成练习： ； ； ；…… (1)按照以上规律，请写出第n个等式：______ (2)计算： 3．观察下列算式： ① ② ③ ④…… (1)根据规律，第5个式子是__________； (2)猜想第n个式子为__________，请证明你的猜想成立； (3)计算_______． 类型七、数列求和 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：；…… 根据发现的规律，解答下列各题； 【填空】直接写出第5个等式：________； 【猜想】请写出第个等式（用含的式子表示），并证明； 【应用】计算：． 【融会贯通】 1．（1）知识探究：，，，……，上述括号按顺序填写为_____、______、_____； （2）发现规律：试写出第n个等式，并证明此等式成立； （3）拓展应用：计算． 2．综合与实践 问题情境 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事难”.在学完乘方运算后，老师在数学活动课上把一个面积为的长方形对折，让两部分完全重叠，那么折叠后图形的面积是原来的二分之一即，沿着折痕剪开得到的长方形，把再按刚才的方法对折．得到第个长方形的面积又是长方形的面积的一半即，依次操作下去…，（此题结果可用类似的形式表示） 规律发现 操作第次后，剪下的第个长方形的面积是________； 知识应用 操作第次后，通过面积割补形数结合，把这十个长方形的面积加起来应该是________； 知识迁移 （1）如图，请你用“数形结合”的思想.求的值为________；    （2）请你利用（1）的结论，求下列式子的值：. 3．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是1；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②如果欲求的值，可令 ……………① 将①式右边顺序倒置，得 ……………② 由②加上①式，得 ； ∴ ； 由结论求 ； （2）为了求的值，可令，则，因此，所以， 即． 仿照以上推理，计算：． 类型八、数轴动点求t 【解惑】看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去…… (1)试利用图形揭示的规律计算：＝_______． 并使用代数方法证明你的结论． (2)请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形． 【融会贯通】 1．已知点M、N在数轴上，点M对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度．    (1)直接写出点N所对应的有理数； (2)点P是数轴上一动点，请直接写出点P到点M和点N的距离和的最小值； (3)若点P到点M、N的距离之和是6个单位长度： ①求点P所对应的有理数是多少？ ②如果点Q从点N出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，t秒后P、Q两点相距4个单位长度，求t． 2．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，满足，．    (1)______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． 则______，______，______．（用含的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 3．阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 类型九、数轴新定义 【解惑】如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1) ， ； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示 的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为； (3)若点M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，N到点A后立刻按原速向左运动，设运动时间为（ ）秒． ①点M表示的数是（用含t的代数式表示）； ②求t为何值时，； ③求t为何值时，点M与N相距3个单位长度． 【融会贯通】 1．对于数轴上的线段与不在线段上的点，给出如下定义：若点与线段上的一点的距离等于，则称点为线段的“距点”．已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是， (1)当时，在，，三个数中，______是线段的“2距点”所表示的数； (2)若数轴上的点为线段的“距点”，则的最大值与最小值的差为______； (3)若数轴上所对应的点是线段的“距点”，且的最大值与最小值的比为，求的值． 2．阅读理解，完成下列各题．定义：已知A、、 为数轴上任意三点，若点到A的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A是 的倍点，点是 的倍点；（选用A、、、表示，不能添加其他字母） (2)如图，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是 ． (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示） 3．在数轴上，为原点，点，对应的数分别是，，为线段的中点．给出如下定义：若，则称是的“正比点”；若，则称是的“反比点”．例如，时，是的“正比点”； ，时，是的“反比点”． (1)若，则M对应的数为_______，下列说法正确的是______（填序号）． ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”． (2)若，且是的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值． 类型十、有理数的圈次方 【解惑】定义：若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点.已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为. （1）若点为线段的中点，则点对应的数为______.若为线段的中点时则点对应的数为______. （2）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒向右运动. ①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空 ______；______. ②经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？ 【融会贯通】 1．【概念学习】 现规定：求若干个相同且都不等于0的有理数的商的运算叫做除方，例如：，类比有理数的乘方，我们把，写作：，读作“2的圈4次方”，，写作：，读作“（－3）的圈3次方”，一般地把，写作：，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_________；_________． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①__________________； ②__________________． （3）算一算： 2．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． (1)直接写出计算结果：______； (2)若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有____；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1     B．任何非零数的圈3次方都等它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或    D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)计算：． 3．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作；，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______；（填写正确的序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算：． 【一览众山小】 1．若，那么的取值可能是（    ） A． B．1 C．或3 D．1或 2．已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 3．若，则自然数 ． 4．若a、b、c是整数，且，则 ． 5．下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 6．【概念学习】类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于圈n次方，下列说法错误的是______ A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，也可以转化为乘方运算写成幂的形式． （1）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　 　； （2）算一算：． 7．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 8．距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则 ． 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 ，此时x的值为 ． ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为 ，如果，那么x的值为 ； ③式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 9．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 10．【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、程序流程图 【解惑】如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为5，y的值为，则输出的结果为（   ） A． B．15 C． D．16 【答案】D 【分析】此题考查有理数的混合运算，理解运算的顺序与方法是解决问题的关键．根据运算的程序转化为有理数的混合运算，按照运算顺序计算即可． 【详解】解： ， 输出的结果为16． 故选D． 【融会贯通】 1．按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 2．按照以下程序图输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题中图形给出的计算程序．由于将开始代入计算是6，不是负数，返回继续计算，要平方后再代入，这是本题易出错的地方． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．已知为两个不相等的有理数，根据流程图中的程序，当输出数值y为时，所输入的较大的数是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，本题是操作性题目，正确利用程序图中的程序列出式子是解题的关键．利用分类讨论的方法，根据程序图中的程序列式计算即可． 【详解】解：当时， 输出数值为， 当时， 输出数值为， 综上，中较大的数为 故答案为∶ 类型二、幻方幻圆 【解惑】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或10． 故选：B． 【融会贯通】 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中的值为 . 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是理解题意和掌握有理数的加减运算的运算法则．先计算出第一列的和为，结合题意即得各行各列以及对角线上的三个数字之和均为，则，，，解出a、b、c的值，再代入中求值即可． 【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， 又∵， ∴，，， 解得：，，， ∴． 故答案为：． 3．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ． 【答案】 【分析】设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q，根据题意可知：，，变形可得：，，即可求出的值． 【详解】解：设中间四个的右上的数字为p，左下的数字为q， ∴根据题意可知：，， ∴将上式变形可得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了幻方的特征和应用和有理数的乘方的运算，理解题目中幻方的概念并求出，的值是解答本题的关键． 类型三、循环小数化为分数 【解惑】循环小数的小数点右边第2022位上的数字是（    ）． A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】D 【分析】此题重点考查循环节的理解，以及推断能力．是一个循环小数，每6个数字一循环，计算第2022位数字是第几组循环余几个数字，即可判断是几． 【详解】解：， ； 所以循环小数的小数点右边第2022位上的数字是7． 故选：D． 【融会贯通】 1．已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为（    ） A．1或3 B．– 1或– 3 C．±1或±3 D．0或3 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质化，即正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0，求值即可． 【详解】解：分情况讨论： 当时，； 当时，； 当中有一个小于0时，； 当中有两个小于0时，； 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是掌握绝对值的性质，分情况讨论，找出所有情况． 2．循环小数可化分数为 ． 【答案】 【分析】x＝，方程两边都乘以100，转化为15＋x＝100x，求出其解即可． 【详解】设x＝，即x＝0.1515…， 将方程两边都乘以100，得100x＝15.1515…， 即100x＝15＋0.1515…，又因为x＝0.1515…， 所以100x＝15＋x，所以99x＝15，即x＝， 所以＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查了无限循环小数转化为分数，运用一元一次方程解实际问题的应用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键． 3．阅读材料： 把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例，由，可知，，得，于是．解决问题： (1)请把无限循环小数化为分数； (2)我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，），n的式子表示纯循环小数＿＿＿＿＿． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，正确理解把无限循环小数化为分数过程是解题的关键． （1）模仿题意的把无限循环小数化为分数过程来把无限循环小数化为分数，即可作答． （2）若是一个整数部分为0，小数部分都是循环的无限循环小数，得到关于的与有关的一元一次方程，解之即可． 【详解】（1）解：设， 由 所以 解得： ， 于是； （2）解：∵我们把纯循环小数x（从有循环节小数部分第一位开始的循环小数）循环节的数字组成的数记作m，循环节的位数记作n（例如对而言，）， ∴ 解得： ． 故答案为：． 类型四、绝对值的”1“与”-1“的化简 【解惑】a，b，c的大小关系如图所示，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】B 【分析】先根据数轴分别判断出的符号，然后根据绝对值的性质去绝对值，化简即可． 【详解】解：由数轴可知∶ ，，， ∴ = = = 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是数轴的比较大小和去绝对值，掌握利用数轴比较大小和绝对值的性质是解决此题的关键． 【融会贯通】 1．x是数轴上一点表示的数，则的最小值是（    ） A．1 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，分情况根据绝对值的意义进行化简，即可求出结果． 【详解】解：当时， ， 代数式的值随x的增大而减小， 当时， ， 当时， ， 代数式的值随x的增大而增大， 则的最小值是5， 故选：B． 2．若，则的所有可能值 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，有理数的除法，分类讨论是解题的关键．分为；；；四种情况讨论即可． 【详解】解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：或． 3．【阅读理解】我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），运用方程思想可以将无限循环小数表示为分数形式．请看以下示例： 例1、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 例2、将化为分数形式：由于，设①则②，②-①得，解得，于是得． 请根据以上知识解决下列问题 【应用新知】（1）把化成分数为_______； （2）把循环小数  化成分数．（注：．）． 【拓展提升】请用一元一次方程把循环小效化为分数． 【答案】（1）；（2），；[拓展提升] 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意的解答过程并转化运用到循环小数的转化过程中是解决本题的关键． （1）根据题干示例进行推导求解即可得解； （2）根据题干示例进行推导求解即可得解． [拓展提升]根据题干示例进行推导求解即可得解． 【详解】解：（1）设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； 故答案为：； （2）设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； 设， 则， 两式相减，得， 解得， ∴； [拓展提升] 设， 则，， 两式相减，得， 解得， ∴． 类型五、绝对值最值 【解惑】的最小值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和，当x在-1和3之间的1时距离的和最小． 【详解】解：表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和， 当x在-1和3之间的1时距离的和最小，是4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，是解决本题的关键． 【融会贯通】 1．乘积的末两位数字是（    ） A．25 B．45 C．75 D．95 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，数字规律问题，掌握数字规律探索的方法是解答本题的关键．通过计算，，，，的结果的末两位数字，归纳得到当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25，即可得到答案． 【详解】计算的末两位数字是05， 的末两位数字是55， 的末两位数字是15， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 的末两位数字是25， 的末两位数字是25， 的末两位数字是75， 的末两位数字是75， 依次类推，可知当算式的最后一个数的尾数是5时，乘积结果的末两位数字为25， 所以乘积的末两位数字是25． 故选A． 2．如果表示一个有理数，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，原式表示点到的距离的和的最小值，根据题意画出数轴，即可求解． 【详解】解：依题意，表示点到的距离的和的最小值， ∴当时，取得最小值， ∴ 故答案为：．    【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 3．（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值． 请补充以下解答过程（直接填空） ①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ． （2）请仿照解答过程完成下列问题： ①若a，b，c均不为零，求的值． ②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值． 【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1 【分析】（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案； ②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案； ③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案； 综合上面三个的结果得到答案； （2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案； ②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可. 【详解】（1）①∵a、b都是正数， ∴=a， =b， ∴=1+1=2， 故答案为：2； ②设a是负数，b是正数， ∴=-a，=b， ∴=-1+1=0， 故答案为：0； ③∵a、b都是负数， ∴=-a， =-b， ∴=-1-1=-2， 故答案为：-2； 综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2； （2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况： 当a、b、c都是正数时，=1+1-1=1， 当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，=1+1+1=3， 当a、b、c为一正两负且a、b为负c为正时，=-1-1-1=-3, 当a、b、c都是负数时，=-1-1+1=-1， 综上，的值为1或3或-3,或-1； ②∵a，b，c均不为零，且a+b+c=0， ∴=， ∴当a、b、c为两正一负时，=-1-1+1=-1， 当a、b、c为一正两负=-1+1+1=1， 综上，的值为-1或1. 【点睛】此题考查绝对值的性质，根据绝对值的符号化简绝对值，熟记性质特征是解题的关键. 类型六、裂项求和 【解惑】（1）探索材料（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为； ①数轴上表示数3和的两点距离为 ； ②则的意义可理解为数轴上表示数 和 这两点的距离． （2）实际应用（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小； ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）结论应用（填空）； ①代数式的最小值是 ； ②代数式的最小值是 ； ③代数式的最小值是 ． 【答案】（1）①4；②x，；（2）①点A、点B之间；②点B；③点B、点C之间；（3）①7；②8；③18 【分析】（1）①按照化简绝对值的求法即可； ②，根据数轴上两点间的距离的意义可知表示哪两个点之间的距离； （2）①通过观察，比较可得点在点、之间时，可使到的距离与到的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点在点处时，到，，三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：（1）①； 故答案为：4； ②， 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，； （2）①点可能在点的左边，点和点之间，点的右边； 当点在点的左边或点的右边时，的长度均大于的长度； 当点在点和点之间时，的长度等于的长度． 当材料供应点在点和点之间时，到的距离与到的距离之和最小． 故答案为：点、点之间； ②当点在点处时，到，，三点的距离之和为的长度； 当点在除点外的任意位置时，到，，三点的距离之和均大于的长度． 材料供应点应设在点，才能使到，，三点的距离之和最小； 故答案为：点； ③当点在点、之间时，到，，，四点的距离之和为的长度； 当点在除点、之间的任意位置时，到，，，四点的距离之和均大于的长度； 材料供应点应设在点、之间，才能使到，，，四点的距离之和最小； 故答案为：点、点之间； （3）①， 在点和4之间．代数式的最小值； 故答案为：7； ②， 时．代数式的最小值； 故答案为：8； ③， 在2和之间，代数式的最小值； 故答案为：18． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离的意义；通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 【融会贯通】 1．观察下列等式的规律 请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)计算的值. (2)计算的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，总结规律利用规律化简是解题的关键． （1）根据规律裂项相消即可； （2）将式子变形为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．观察下面的一组等式完成练习： ； ； ；…… (1)按照以上规律，请写出第n个等式：______ (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律第n个等式为是解题的关键． （1）根据题意可得两个相邻正整数的倒数之差（大数减小数）等于这两个正整数的倒数之积，据此可得答案； （2）根据（1）的规律通过对所求式子裂项化简求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； ……， 以此类推可知，， 故答案为：； （2）解： ． 3．观察下列算式： ① ② ③ ④…… (1)根据规律，第5个式子是__________； (2)猜想第n个式子为__________，请证明你的猜想成立； (3)计算_______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题中的规律可得到第5个式子； （2）根据（1）中的规律可得到第n个式子，然后计算等式的左边，即可； （3）利用（2）中的规律把原式变形为，即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ① ② ③ ④ ⑤ 故答案为： （2）解：由（1）发现第n个式子为， 证明：左边 右边； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 类型七、数列求和 【解惑】观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：；…… 根据发现的规律，解答下列各题； 【填空】直接写出第5个等式：________； 【猜想】请写出第个等式（用含的式子表示），并证明； 【应用】计算：． 【答案】填空：；猜想：，证明见解析；应用：． 【分析】填空：根据规律计算即可求解； 猜想：根据规律即可求解； 应用：利用规律拆项，再合并即可求解； 本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，掌握拆项法是解题的关键． 【详解】解：填空：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； 猜想： ， 证明： ∵， ∴； 应用：根据题意，得 ， ， ． 【融会贯通】 1．（1）知识探究：，，，……，上述括号按顺序填写为_____、______、_____； （2）发现规律：试写出第n个等式，并证明此等式成立； （3）拓展应用：计算． 【答案】（1）0，1，2；（2），证明见解析；（3）． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）计算出各个式子的值即可； （2）根据（1）中式子的特点，可以写出第个等式，然后再计算，即可说明第个等式成立； （3）先设，则，然后错位相减，即可得到所求式子的值． 【详解】解：（1），，，， 故答案为：0，1，2； （2）第个等式是， 理由： ， 第个等式是； （3）设，则， ， 即． 2．综合与实践 问题情境 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事难”.在学完乘方运算后，老师在数学活动课上把一个面积为的长方形对折，让两部分完全重叠，那么折叠后图形的面积是原来的二分之一即，沿着折痕剪开得到的长方形，把再按刚才的方法对折．得到第个长方形的面积又是长方形的面积的一半即，依次操作下去…，（此题结果可用类似的形式表示） 规律发现 操作第次后，剪下的第个长方形的面积是________； 知识应用 操作第次后，通过面积割补形数结合，把这十个长方形的面积加起来应该是________； 知识迁移 （1）如图，请你用“数形结合”的思想.求的值为________；    （2）请你利用（1）的结论，求下列式子的值：. 【答案】规律发现：；知识应用：；知识迁移：（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的运算，规律性问题的求解，解题的关键是数形结合，找到长方形面积的变化规律． 规律发现：由长方形面积的变化规律可知，折叠次，长方形的面积为，由此即可求解； 知识应用：把这十个长方形的面积加起来相当于从第一个长方形的面积中减去最后一个长方形的面积，由此即可求解； 知识迁移：（1）利用“数形结合”即可求解；（2）将所求的式子变形，再利用（1）中的方法即可求解． 【详解】解：规律发现： 折叠次，长方形的面积为：， 折叠次，长方形的面积为：， 折叠次，长方形的面积为：， 折叠次，长方形的面积为：， 操作第次后，则， 剪下的第个长方形的面积是， 故答案为：； 知识应用：把这十个长方形的面积加起来应该是：， 故答案为：； 知识迁移： （1）由问题情境得： ， 故答案为：； （2） ． 3．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差是1；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么 ， ； ②如果欲求的值，可令 ……………① 将①式右边顺序倒置，得 ……………② 由②加上①式，得 ； ∴ ； 由结论求 ； （2）为了求的值，可令，则，因此，所以， 即． 仿照以上推理，计算：． 【答案】（1）①18，n；②，，1540；（2） 【分析】（1）①由一列数1，2，3，4，5，…，可得，；②由题意知，，即，解得，根据，计算求解即可； （2）令，则，，即，解得，，进而可求的值． 【详解】（1）①解：∵一列数1，2，3，4，5，…， ∴，； 故答案为：18，n； ②解：由题意知，，即， ∴， ∴， 故答案为：，，1540； （2）解：令，则， ∴，即， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数的运算，数字规律探究，解题的关键在于根据题意确定求和的方法． 类型八、数轴动点求t 【解惑】看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去…… (1)试利用图形揭示的规律计算：＝_______． 并使用代数方法证明你的结论． (2)请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形． 【答案】(1) ，证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据图形可知用正方形面积减去最后一个小长方形面积即可求解；②设，再算出，两式相减即可证明； （2）用正方形的对角线将面积为1正方形分成两个面积为的三角形，然后再作三角形的高，将其面积平分，如此进行下去即可． 【详解】（1）解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为时 ， 的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即： ， ； ②设 ， ， ， 即， ； （2）如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为的三角形，接着把面积为的三角形等分成两个面积为的三角形，再把面积为的三角形等分成面积为的三角形，如此进行下去， 则的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积： 【点睛】本题考查了图形的规律，数字的规律，图形的面积，有理数的乘方；分析、总结、归纳的能力是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知点M、N在数轴上，点M对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度．    (1)直接写出点N所对应的有理数； (2)点P是数轴上一动点，请直接写出点P到点M和点N的距离和的最小值； (3)若点P到点M、N的距离之和是6个单位长度： ①求点P所对应的有理数是多少？ ②如果点Q从点N出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，t秒后P、Q两点相距4个单位长度，求t． 【答案】(1)1 (2)4 (3)①或；②或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离及用数轴表示有理数： （1）根据两点间的距离得点N表示的有理数； （2）点P在和1之间时得点P到点M和点N的距离和的最小值； （3）①利用分类讨论思想：当点P在点M的左侧时和当点P在点N的右侧时，利用两点间的距离公式即可；②分三种情况：当点P表示的有理数是时：点Q未追上点P时和当点Q超过点P时及当点P表示的有理数是2时，利用数量间的关系即可求解； 掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 则点N所对应的有理数为1． （2）点P到点M和点N的距离和， 即：点P到和到1的距离和， 则点P到点M和点N的距离和的最小值，即点P在和1之间时， 即：点P到点M和点N的距离和的最小值为：． （3）①设点P所表示的有理数为， 由题意得：点P只能在点M的左侧或点N的右侧， 当点P在点M的左侧时： ， 解得：， 当点P在点N的右侧时： ， 解得：， 综上所述，点P所对应的有理数是或； ②由①得：点P所对应的有理数是或， 当点P表示的有理数是时， 分两种情况： 点Q未追上点P时： ， 解得：； 当点Q超过点P时： ， 解得：； 当点P表示的有理数是2时， ， 解得：， 综上所述，或或． 2．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．    请用上面的知识解答下面的问题： 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，满足，．    (1)______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． 则______，______，______．（用含的代数式表示） (4)请问，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)， (2) (3)，， (4)的值是定值，不随着时间的变化而改变，理由见详解 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解； （2）根据折叠的性质，中点的计算方法“”即可求解； （3）根据数轴上点的运动规律和数的表示方法“点的移动规律是左减右加，两点之间的距离是用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数”即可求解； （4）根据（3）中的值进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：点表示数，点表示数，点表示数，折叠使得点与点重合， ∴折点为， ∴， ∴点与数表示的点重合， 故答案为：． （3）解：点表示的数为，以每秒2个单位长度的速度向左运动，点表示的数为，以每秒个单位长度向右运动，点表示的数为，以每秒个单位长度向右运动，运动时间为t秒， ∴运动后点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，，， 故答案为：，，． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，平方数的非负性，数轴上有理数的表示，折叠的性质，中点的计算，两点之间距离的计算方法，理解并掌握数轴的特点，中点的计算，两点之间距离的计算方法是解题的关键． 3．阅读下面材料：若已知点A表示数a，点B表示数b，则A、B两点之间的距离表示为，则．    回答下列问题： (1)①点A表示数x，点B表示数1，则A、B两点之间的距离表示为 ； ②点A表示数x，点B表示数1，如果，那么x的值为 ； (2)①时，那么 ， ； ②代数式取最小值时，相应的整数x的个数为 个； (3)在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． ①当 时，； ②在整个运动过程中，请用含t的式子表示． 【答案】(1)①；②或3； (2)①；2；②4； (3)①2或4；②当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （1）①根据A、B两点之间的距离公式即可求解； ②根据及A、B两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （2）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和2的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数x的值，即可求解； （3）①先求出点D、点E所表示的数，分当点P还没到达E点时、当点P到达E点返回时两种情况讨论，可得t的值； ②根据P点位置分情况讨论，用含t的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）∵点A表示数x，点B表示数1， ∴A、B两点之间的距离表示为； ②点A表示数x，点B表示数1， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或3； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和2的距离之和， ∴当x的值为这4个值时，的最小值为3， 即相应的整数x的个数为4个； 故答案为：①；2；②4； （3）①在数轴上，点D表示的数是最大的负整数、O是原点、E在O的右侧且到O的距离是5， ∴点D表示的数是，点E表示的数是5，D、E之间的距离， ∵点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度，动点P沿数轴从点D开始运动，到达E点后立刻返回，再回到D点时停止运动， ∴ ∵ ∴点P还没到达E点时，（秒）， 当点P到达E点返回时，（秒）， 故答案为：2或4； ②当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，；当时，；当时，；当时，． 类型九、数轴新定义 【解惑】如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1) ， ； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示 的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为； (3)若点M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，N到点A后立刻按原速向左运动，设运动时间为（ ）秒． ①点M表示的数是（用含t的代数式表示）； ②求t为何值时，； ③求t为何值时，点M与N相距3个单位长度． 【答案】(1) (2)5 (3)①；②或；③或6或12或18； 【分析】（1）根据与互为相反数列式计算得出与； （2）先计算得出点与表示的点重合时的折叠点，再根据对称性得到答案； （3）①根据点左右平移的规律即可解答； ②分两种情况，点在之间，点在点左侧，根据分别计算得出的值即可； ③先计算出点表示的数，再分三种情况求出的值． 【详解】（1）∵与互为相反数， 故答案为：； （2）∵点表示的数是9， ∴当折叠，使得点与表示的点重合时的折叠点是， ∴此时与点重合的点所表示的数为， 故答案为：5； （3）①点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：； ②∵， ∴当点在之间时，即，解得； 当点在点左侧时，，解得； ∴当或时，， ③由题意知，， 当点床到达点，且与点床相遇时，，得； 当点床到达点，且与点相遇后，，得； 当点到达点后，，得， 当点到达点停止运动，时，， 综上，当或6或12或18时，点与相距3个单位长度． 【点睛】此题考查绝对值、平方的非负性，两点间的中点，利用线段的数量关系列方程，（3）是难点，注意题中点与点的运动条件，分情况解决问题． 【融会贯通】 1．对于数轴上的线段与不在线段上的点，给出如下定义：若点与线段上的一点的距离等于，则称点为线段的“距点”．已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是， (1)当时，在，，三个数中，______是线段的“2距点”所表示的数； (2)若数轴上的点为线段的“距点”，则的最大值与最小值的差为______； (3)若数轴上所对应的点是线段的“距点”，且的最大值与最小值的比为，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或 【分析】（1）根据题意可得，线段的“2距点”所表示的数在点A的左边或点B的右边，根据题意，分别求出与，，三个数距离两个单位长度的点，再判断是否在线段上即可； （2）根据“距点”的定义，可得点P到线段上的点距离最大值和最小值分别为和之间的距离，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：当时，点A表示1，点B表示2， 与距离为2的点表示的数为：或，都不在线段上，不符合题意； 与距离为2的点表示的数为：或，1在线段上，符合题意，故是线段的“2距点”所表示的数； 与距离为2的点表示的数为：或，都不在线段上，不符合题意； 故答案为：． （2）∵点P到点A的距离为，点P到点B的距离为， ∴． 故答案为：1． （3）设为点Q所表示的数， 当点Q在点A左侧时： ， ∵的最大值与最小值的比为 ∴，解得：， ∴； 当点Q在点B右侧时： ， ∵的最大值与最小值的比为 ∴，解得：， ∴，解得：， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上点与线段的距离，解题的关键是正确理解题意，根据题意和图形进行解答． 2．阅读理解，完成下列各题．定义：已知A、、 为数轴上任意三点，若点到A的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图中，点A是 的倍点，点是 的倍点；（选用A、、、表示，不能添加其他字母） (2)如图，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是 ． (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示） 【答案】(1)，； (2)2或； (3)当或或时，点H恰好是P和Q两点的2倍点． 【分析】（1）根据图形可直接解得； （2）由点E是的2倍点构建方程，求解即可； （3）对动点H的位置分两种情况讨论：当点在之间时：，①若点H是的2倍点，②若点H是的2倍点，当点在点左侧时：，此时仅可能点H是的2倍点，对于三种情况分别构建方程求解． 【详解】（1）∵，，， ∴点A是的2倍点， ∵，，， ∴点B是的2倍点， 故答案是，． （2）设点表示的数是，则，， ∵E是的2倍点， ∴. ∴． 得或 解得，或 ∴点E表示的数是2或． （3）由题知，， 当点在之间时： ①若点H是的2倍点，则,得， 解得； ②若点H是的2倍点，则,得， 解得； 当点在点左侧时：，此时仅可能点H是的2倍点，则,得， 解得． 综上，或或时，点H恰好是P和Q两点的2倍点． 【点睛】本题主要考查了数轴两点间距离的表示、一元一次方程求解；掌握两点间距离的表示是解题的关键． 3．在数轴上，为原点，点，对应的数分别是，，为线段的中点．给出如下定义：若，则称是的“正比点”；若，则称是的“反比点”．例如，时，是的“正比点”； ，时，是的“反比点”． (1)若，则M对应的数为_______，下列说法正确的是______（填序号）． ①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”． (2)若，且是的“正比点”，求的值； (3)若，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值． 【答案】(1)2；③ (2) (3)或 【分析】（1）由，得，，则中点对应的数为：，利用“正比点”，“反比点”的定义直接判断即可； （2）先表示出点对应的数为：，分析出，，都同号，根据定义得，得，化简即可求解； （3）利用定义可得，得，分两种情况：①，得，解方程即可；②，得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 为线段的中点． 对应的数为：， ①， 不是的“正比点”； ②， 不是的“反比点”； ③， 是的“正比点”； ④， 是的“反比点”； 故答案为：2；③； （2）为线段的中点， 点对应的数为：， ， ，，都同号， 是的“正比点”， ， ， ， ； （3）， ，异号， 既是，其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”， ，或，， 化简都得出：， ， 分两种情况：①， ， 或， 解得：（舍去）或， ； ②， ， 或， 解得：（舍去）或， ， 的值为或． 【点睛】本题考查了阅读理解能力，非负数的性质，解决问题关键是分类讨论思想． 类型十、有理数的圈次方 【解惑】定义：若线段上有一点，当时，则称点为线段的中点.已知数轴上，两点对应数分别为和，，为数轴上一动点，对应数为. （1）若点为线段的中点，则点对应的数为______.若为线段的中点时则点对应的数为______. （2）若点、点同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点从-16处以2个单位长度/秒向右运动. ①设运动的时间为秒，直接用含的式子填空 ______；______. ②经过多长时间后，点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点？ 【答案】（1）1 ，10；（2）①或（或者写），或（或者写），②或或 【分析】(1)根据线段中点的定义得出规律,再利用规律解答即可. (2)①根据题意得出A、B、P表示的数,从而得出结论; ②分三种情况讨论:若P为AB的中点,若A为BP的中点,若B为AP的中点,根据(1)所得结论列方程求解即可. 【详解】(1)∵P为线段AB的中点,∴AP=PB, ∴x-a=b-x,2x=a+b, ∴x=; 若B为线段AP的中点,则2b=a+x,解得:x=2b-a=8-(-2)=10. 故答案为:1,10. (2)由题意得:A表示的数为-2-t,B表示的数为:4-t,P表示的数为:-16+2t. ①AP=|(-16+2t)-(-2-t)=|14-3t|,BP=|(-16+2t)-(4-t)|=|20-3t|,∴AP=-3t+14或14-3t; BP=20-3t或3t-20. 故答案为:-3t+14或14-3t;20-3t或3t-20. ②分三种情况讨论: 若P为AB的中点,则:2(-16+2t)=(-2-t)+(4-t),解得:t=; 若A为BP的中点,则:2(-2-t)=(-16+2t)+(4-t),解得:t=; 若B为AP的中点,则:2(4-t)=(-2-t)+(-16+2t),解得:t=. 综上所述:t的值为: 或或时, 点、点、点三点中其中一点是另外两点的中点.【点睛】本题考查了非负数的性质,数轴,两点间的距离,一元一次方程的应用,运用方程思想、分类讨论思想结合是解题关键. 【融会贯通】 1．【概念学习】 现规定：求若干个相同且都不等于0的有理数的商的运算叫做除方，例如：，类比有理数的乘方，我们把，写作：，读作“2的圈4次方”，，写作：，读作“（－3）的圈3次方”，一般地把，写作：，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_________；_________． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： ①__________________； ②__________________． （3）算一算： 【答案】（1）1，－2；（2）①② （3） 【分析】对于（1），根据除方的定义解答即可； 对于（2），将除方转化为乘方，再计算即可； 对于（3），将除方转化为乘方，再将除法转化为乘法，然后计算． 【详解】解：（1）1，. ；． 故答案为：1，； （2）①； ②； ； ． 故答案为：①； ②； （3）原式 ． 2．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． (1)直接写出计算结果：______； (2)若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有____；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1     B．任何非零数的圈3次方都等它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或    D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)计算：． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，可以分别计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：1； （2）解：A、任何非零数的圈2次方都等于1，正确，符合题意； B、任何非零数的圈3次方都等它的倒数，正确，符合题意； C、圈n次方等于它本身的数是1，的圈偶数次方等于1，的圈奇数次方等于，错误，不符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确，符合题意； 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值． 3．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作；，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______；（填写正确的序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）①②④；（3）；（4）12 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）， ； （2）①因为，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③圈n次方等于它本身的数是1或，说法错误，； ④根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 故答案为：①②④； （3）， 故答案为：； （4） ． 【一览众山小】 1．若，那么的取值可能是（    ） A． B．1 C．或3 D．1或 【答案】C 【分析】分为，；，；，；，四种情况化简计算即可． 【详解】解：当，时，原式； 当，时，原式； ，时，原式； 当，时，原式． 综上所述，的值是3或． 故选：． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的化简、有理数的除法，分类讨论是解题的关键． 2．已知，且．则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】由，，可得、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值，由此可得、、的符号有三种情况（，，或，，或，，），再根据绝对值的性质分三种情况求得的值即可解答 【详解】∵，， ∴、、三个数中有一个负因数，且正因数绝对值的和大于负因数的绝对值， ∴，，或，，或，，， 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ ； 当，，时，，，， ∴ 综上，当，时， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的运算法则及绝对值的性质，正确得到、、的符号有三种情况（，，或，，或，，）是解决问题的关键 3．若，则自然数 ． 【答案】402 【分析】本题主要考查了估算计算．熟练掌握缩放原数据估算计算，是解决问题的关键． 设，缩放数据得到， 得到即得． 【详解】设， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：402． 4．若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 5．下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或． 其中，正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，不符合题意； ②若，则，原结论不正确，符合题意； ③若，则，原结论不正确，符合题意； ④若，当时，则，原结论不正确，符合题意； ⑤∵a、b、c均为非零有理数，若，，， ∴a、b、c有四种情形：，，或，，或，，或，，， 当，，时，原式； 当，，时，原式， 当，，时，原式， 当，，时，原式． 综上，已知a、b、c均为非零有理数，若，，，则的值为2或．正确，不符合题意； 故答案为：①⑤． 6．【概念学习】类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（）记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于圈n次方，下列说法错误的是______ A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，也可以转化为乘方运算写成幂的形式． （1）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　 　； （2）算一算：． 【答案】初步探究：（1）1；9；（2）C；深入思考：（1）；（2） 【分析】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力． 初步探究：（1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； 深入思考：（1）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则； （2）将深入思考第（1）问的规律代入计算，注意运算顺序． 解决问题的关键在于，负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 【详解】解：初步探究：（1），， 故答案为：1；9； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 深入思考：（1）， 故答案为：； （2） 7．用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3)1 (4)5050 【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1； （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为，然后首尾依次相加，将算式变为进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 8．距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则 ． 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 ，此时x的值为 ． ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为 ，如果，那么x的值为 ； ③式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 【答案】概念延伸：①3，3；②3，3；③4，4 归纳总结： 拓展应用：①0，1；②，或1；③有最小值，最小值为3 【分析】 本题为新定义问题，考查了绝对值概念的进一步理解．理解题意，根据绝对值的概念，结合题目的概念延伸，逐步理解即可求解． 概念延伸：①根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； ②根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； ③根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； 归纳总结：根据概念延伸规律可以得到数轴上两点间的距离等于表示这两个点的有理数的差的绝对值，据此即可求解； 拓展应用 ①根据绝对值的非负性可以得到的最小值为0，进而即可求出x的值为1； ②根据归纳总结的内容即可得到，根据绝对值的化简即可求出x的值为或1； ③根据绝对值的意义得到表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和，据此即可求出当时， 最小值为3． 【详解】解：概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3，； 故答案为：3，3； ②数轴上表示和的两点之间的距离是3，； 故答案为：3，3； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是4，． 故答案为：4，4； 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则． 故答案为：； 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 0，此时x的值为1． 故答案为：0，1 ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为，如果，那么x的值为或1； 故答案为：，或1； ③∵， ∴表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和， 所以当时，此时的值最小，最小值为3． 9．分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1， (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的应用解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数由个，式子中由个正1，个，相加得答案． 【详解】（1）解： ，，， 故答案为：，1，． （2）， ∴， ，， ，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式， 原式或3． （3）个正数，负数的个数为， ． 故答案为：． 10．【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”． 【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商” (1)【概念理解】直接写出结果：_______________． (2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号） ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式： ____________________；__________． (4)计算：． 【答案】(1) (2)①④ (3)， (4) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、有理数的混合运算： （1）根据所给的例子进行计算即可； （2）结合除方的定义进行分析即可； （3）根据除方的运算方式进行求解即可； （4）结合除方的运算方式运算即可； 解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）解：①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确， ②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误， ③，，则，原说法错误， ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确， 故答案为：①④； （3）解：由题意可得： =， =， 故答案为：，； （4）解： = = = = = =． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$