第14讲 探索三角形相似的条件、判定与性质 （2个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第14讲 探索三角形相似的条件、判定与性质 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【例1】（2023秋•仁寿县期末）如图，下列条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•锦江区校级模拟）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•青海）如图，和相交于点，请你添加一个条件 　　，使得． 【变式3】（2024•永安市二模）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；；；；⑤．其中正确的是 　　． 【变式4】（2023秋•阳江期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在正方形的边上，并且使一条直角边经过点．另一条直角边与交于点． 求证：． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【例2】（2024•船营区校级模拟）如图，在矩形中，点是的中点，连接交于点，若，则的长度是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【变式1】（2024•滨江区二模）如图，是对角线上一点，满足，连结并延长交于点，则　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•泽州县二模）如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点，为边的中点，连接交于点．若，则的长为 　　． 【变式3】（2024•封开县一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，且，．连接与相交于．则图中四边形的面积为 　　． 【变式4】（2024春•宝安区校级月考）（定理证明）小明在课外数学书中看到一条有意思的结论：三角形一个内角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则． （1）若，，，请利用上述结论直接写出的长　　； （2）请帮助小明证明这一结论； （3）若，平分，，，求的长． 经典题型汇编 题型一、证明两三角形相似 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 2．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 3．（2024·湖北武汉·二模）如图，相交于点．求证∶ 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 4．（2024·云南昆明·二模）如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 题型三、相似三角形判定定理的证明 7．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，是的高，，点在边上，点在边上，，垂足为当时，则 ． 9．（21-22九年级上·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，点、、分别在边、、上，，． （1）求证：． （2）若、的面积分别为和，则的值为______． 【拓展】如图②，在中，点、分别在边、上，点、在边上，且，．若、、的面积分别为，，，则的面积为______． 试题练习 一、单选题 1．在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组． ①； ②； ③；④． A． B． C． D． 2．如图，点是的边上一点，添加一个条件，不能使与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，下列添加的条件不能使的是（    ）．    A． B． C． D． 4．如图，在中，下列给出的条件，其中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 7．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是 （    ） A． B． C． D． 8．如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 9．如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 二、填空题 11．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 12．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 13．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 14．如图，已知，添加一个条件使，你添加的条件是 ．(写出一个即可)    15．如图，在中，、分别是、上的点，，且，则的周长与的周长的比为 ． 16．如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 18．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：；；；；．其中正确的是 ．    三、解答题 19．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    20．已知：在△ABC和中，， ，求证：． 21．已知：在△ABC和△A′B′C′中， ．求证：△ABC∽△A′B′C′． 22．如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 23．求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在△ABC和△A'B'C'中，，求证：． 24．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 25．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 26．如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 探索三角形相似的条件、判定与性质 （2个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 【例1】（2023秋•仁寿县期末）如图，下列条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：．，， 与相似，故本选项不符合题意； ．，， 与相似，故本选项不符合题意； ．根据可得，，结合能判断与相似， 故本选项不符合题意； ．， ，结合，不能判定与相似，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，①有两角对应相等的两三角形相似，②有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，③有三边对应成比例的两三角形相似． 【变式1】（2024•锦江区校级模拟）如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【解答】解：， ， ， 当添加条件时，则，故选项不符合题意； 当添加条件时，则，故选项不符合题意； 当添加条件时，则，故选项不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答． 【变式2】（2024•青海）如图，和相交于点，请你添加一个条件 　　，使得． 【分析】由，（或，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，也可以由，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明，于是得到问题的答案． 【解答】解：，， ， 故答案为：． 注：答案不唯一，如：、． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． 【变式3】（2024•永安市二模）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；；；；⑤．其中正确的是 　①③④　． 【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断②；利用勾股定理求出，再分别求出、及，即可判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤； 【解答】解：由折叠性质可得，，，，，，，，， ，， ， ，故①正确； 设，，则，， ， 在中，， ， 解得， ，故②错误； 在中，设，则， ， 解得， ，， 在中， ， ，，故③④正确； ， ， 又， ， 与不相似，故⑤错误； 综上，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式4】（2023秋•阳江期末）如图，一块直角三角板的直角顶点放在正方形的边上，并且使一条直角边经过点．另一条直角边与交于点． 求证：． 【分析】由余角的性质可证，由相似三角形的判定可得结论． 【解答】证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【例2】（2024•船营区校级模拟）如图，在矩形中，点是的中点，连接交于点，若，则的长度是　　 A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】根据矩形和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：在矩形中，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式1】（2024•滨江区二模）如图，是对角线上一点，满足，连结并延长交于点，则　　 A． B． C． D． 【分析】通过证明，可得，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式2】（2024•泽州县二模）如图，菱形的边长为5，对角线、相交于点，为边的中点，连接交于点．若，则的长为 　　． 【分析】根据菱形的性质，勾股定理求得，进而证明得出，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【解答】解：菱形的边长为5，， ，，，， ， 为边的中点， ， ， ， ， ，则， 在中，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角形相似的性质是关键． 【变式3】（2024•封开县一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，且，．连接与相交于．则图中四边形的面积为 　18　． 【分析】由，，证明四边形是平行四边形，则，可证明，则，所以，由，，，求得，则，，再证明，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：四边形是矩形，对角线，相交于点，且，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：18． 【点评】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出是解题的关键． 【变式4】（2024春•宝安区校级月考）（定理证明）小明在课外数学书中看到一条有意思的结论：三角形一个内角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，的角平分线交于点，则． （1）若，，，请利用上述结论直接写出的长　4　； （2）请帮助小明证明这一结论； （3）若，平分，，，求的长． 【分析】（1）由图可知，，然后直接代入，即可求出的长； （2）过点作交延长线于点．由平行和角平分线的定义可得，所以，由，可得，所以，即； （3）过点作交于，可证是等边三角形，所以．设，由，可得，即，解之即可． 【解答】解：（1）由图可知，， 的角平分线交于点，，， ，即， 解得． 故答案为：4； （2）如图，过点作交延长线于点． ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作交于． 则， 是等边三角形， ． 设， ， ，即， ； 的长为． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的性质等相关知识，作平行线构造平行线解题关键． 经典题型汇编 题型一、证明两三角形相似 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ） A．，， B．，，， C．，，；，， D．，，；，， 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，则，故选项A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故选项B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故选项C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故选项D不符合要求； 故选：C． 2．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个． 【答案】7 【分析】本题考查相似三角形的判定．根据题意，可分情况讨论，具体见详解． 【详解】解：如图所示，当时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，； 如图所示，当，时，． 综上所述，符合题意的点的位置有7个． 故答案为：7． 3．（2024·湖北武汉·二模）如图，相交于点．求证∶ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． 【详解】证明∶， ， ． 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 4．（2024·云南昆明·二模）如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意． 故选：C． 5．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解  不一定相似，因为，不是成比例的两边的夹角， 可添加：或或． 题型三、相似三角形判定定理的证明 7．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点，分别在，边上，，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是根据，则，则，求出，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 8．（22-23九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，是的高，，点在边上，点在边上，，垂足为当时，则 ． 【答案】2 【分析】根据，可得出，故，再由相似三角形的性质可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：，，，， ， ∴， ，即． 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键． 9．（21-22九年级上·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，点、、分别在边、、上，，． （1）求证：． （2）若、的面积分别为和，则的值为______． 【拓展】如图②，在中，点、分别在边、上，点、在边上，且，．若、、的面积分别为，，，则的面积为______． 【答案】（1）见解析；（2）；拓展：27 【分析】（1）根据已知条件可以判定四边形BFED是平行四边形，得出BF=DE，由EF∥AB证出，从而得出，由DE∥BC得出∠AED=∠C，根据SAS判定两个三角形相似； （2）根据相似三角形的性质，相似比的平方等于面积比，求出对应边的比值； 拓展 过D作DM∥AC交BC于点M，先证明△ADE≌△EGC，求出△BDM的面积，在证明△ADE∽△BDM，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出AD与BD的比值，最后求出△ABC的面积． 【详解】（1）∵EF∥AB，DE∥BC， ∴四边形BFED是平行四边形，∠AED=∠C， ∴BF=DE， ∵EF∥AB， ∴， ∴， ∵∠AED=∠C， ∴△ADE∽△EFC（SAS）． （2）∵△ADE∽△EFC， ∴． 【拓展】．如图，过点D作DM∥AC交BC于点M， ∴∠DMF=∠C， ∵DE∥BC，DF∥EG， ∴四边形DFGE是平行四边形， ∴DF=EG，∠DFM=∠EGC， ∵∠DFM=∠C， ∴△AFM≌△EGC（AAS）， ∴S△DFM=S△EGC=5， ∴S△BDM=S△DFM+S△DBF=12， ∵DE∥BC，DF∥EG， ∴∠ADE=∠DBM，∠BDM=∠A， ∴△DAE∽△BDM（AA）， ∴， ∴， ∴， 同理可证△ADE∽△ABC， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用三角形相似比的平方等于面积比求出答案即可． 试题练习 一、单选题 1．在与’中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（ ）组． ①； ②； ③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可． 【详解】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 2．如图，点是的边上一点，添加一个条件，不能使与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案． 【详解】解：A、当时，再由，可得出，故此选项不符合题意． B、当时，无法得出，故此选项符合题意． C、当时，再由，可得出，故此选项不符合题意． D、当时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．如图，，下列添加的条件不能使的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定．熟知相似三角形的判定方法把每个选项逐一分析即可得出． 【详解】A．，，，，，故该选项不合题意； B．，，，，，，故该选项不合题意； C．，，，，，理由同A选项，故该选项不符合题意； D．，，不能证明两三角形相似，故该选项符合题意； 故选：D 4．如图，在中，下列给出的条件，其中不一定能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线是判定，比例线段的性质，相似三角形的判定和性质，即可． 【详解】∵ ∴ ∴A正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴ ∴ ∴且是公共角 ∴ ∴ ∴ ∴B、D正确，不符合题意； ∵是公共角，但不是与，与的夹角 ∴与不一定相似 ∴不能确定、、、之间的关系 ∴与不一定平行 ∴C不能判定，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查比例线段的性质，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，解题的关键掌握比例线段的性质、相似三角形的判定． 5．如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 故A不符合题意； B、，， ， 故B不符合题意； C、由图形可知，， ， ，， ， 又， ， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似， 故D符合题意， 故选：D． 6．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意， 故选：B． 7．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项符合题意； 、添加，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 故选：． 8．如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形出的性质与判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定；先证明，根据全等三角形的性质，以及三角形的外角的性质即可得出的度数是，进而根据，证明，即可求解． 【详解】如图，在等边中，，， 在与中， ， ；故B选项正确 ， ， 即的度数是，故C选项正确， ， ，故D选项正确， 无法判断，故A选项错误 故选：A． 9．如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 10．如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（    ） A．1 B．4 C．8 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 二、填空题 11．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定即可判断． 【详解】图中三角形有：，，， ∵， ∴ 共有3个组合分别为：∴，， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 12．如图，与相交于点，连接，，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由图可知，所以要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键． 【详解】∵（对顶角相等）， ∴要使，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可， ∴可以添加， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 【答案】70 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 14．如图，已知，添加一个条件使，你添加的条件是 ．(写出一个即可)    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，利用相似三角形的判定方法即可解答本题，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴当，或时，， 故答案为：（答案不唯一）． 15．如图，在中，、分别是、上的点，，且，则的周长与的周长的比为 ． 【答案】 【分析】由于,易证得△ADE∽△ABC;已知了AD、AB的比例关系,即可得到两个三角形的相似比,根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解. 【详解】∵, ∴△ADE∽△ABC; ∴C△ADE∽C△ABC=AD:AB=1:3; 即△ADE的周长与△ABC的周长的比为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查的是相似三角形的判定与性质:相似三角形的一切对应线段(包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等)的比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 16．如图，在中，是斜边上的高，于点．除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ． 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，，为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和相似三角形的判定，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用两边比值以及夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：， 由题意可知：，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 18．如图，将矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：；；；；．其中正确的是 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据折叠的性质和矩形的性质分析判断；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断；利用勾股定理求出，再分别求出、及，即可判断和；根据相似三角形的判定分析判断；掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可得，，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴，故正确； 设，，则，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，故错误； 在中，设，则， ∴， 解得， ∴，， 在中， ，     ∴，，故正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与不相似，故错误； 综上，正确的是， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在和中，已知，请你添加一个条件：___________，使，并说明理由．    【答案】（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角对应相等的两三角形相似，两组边对应相等，且它们的夹角也相等的两三角形相似，据此添加条件并证明即可. 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 20．已知：在△ABC和中，， ，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取，过点D作BC的平行线，交AC于点E，根据两角分别相等的两个三角形相似，得出△ABC∽△ADE，得出，再根据，，得出，即可得出AE=A′C′，根据“SAS”证明△ADE≌△A′B′C′，即可证明△ABC∽△A′B′C′． 【详解】在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则∠B=∠ADE，∠C=∠AED， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴AE=A′C′， 而∠A=∠A′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，作出辅助线，证明△ADE≌△A′B′C′，是解题的关键． 21．已知：在△ABC和△A′B′C′中， ．求证：△ABC∽△A′B′C′． 【答案】证明见解析 【分析】先在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC∽△ADE，再△ADE≌△A′B′C′即可． 【详解】在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE． ∵，AD=A′B′，AE=A′C′， ∴ 而∠BAC=∠DAE， ∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴ 又，AD= A′B′， ∴ ∴ ∴DE=B′C′， ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 22．如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 23．求证：三边成比例的两个三角形相似． 如图：已知在△ABC和△A'B'C'中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】在线段AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E．先证△ADE∽△ABC，再根据已知条件证△ADE≌△A′B′C′（SSS），即可证明． 【详解】证明：在线段AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC，交AC于点E， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又，AD＝A′B′， ∴，， ∴DE＝B′C′，AE＝A′C′， 在△ADE和△A′B′C′中 ， ∴△ADE≌△A′B′C′（SSS）， ∴△ABC∽△A'B'C'． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定，添加辅助线构造△ADE与△A′B′C′全等是解题的关键． 24．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 25．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 26．如图，在平面直角坐标系内有两点，，所在直线的方程为，连接．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）把代入即可求解； （）由得直线的方程为，求出，从而得，，，然后根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可求证； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵在直线上， ∴， 解得：； （2）由（）得， ∴所在直线的方程为， 当时，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$