21.5 反比例函数（第2课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.5 反比例函数 第二课时 反比例函数的图象和性质（1） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的 图象特征和性质的过程 (重点、难点) 2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质. (重点) 3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、 难点) 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 情景导入 4 1.反比例函数图象和性质 例 1 画反比例函数 y＝ 和 y＝－ 的图象. 解：列表 x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 … y＝ … … y＝- … … 6 3 2 1.5 1.2 1 -6 -3 -1.5 -2 -1.2 -1 -6 6 3 -3 2 -2 1.5 -1.5 1.2 -1.2 1 -1 新知探究 描点、连线 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 O x y 5 6 -5 -6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 O x y 5 6 -5 -6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 y＝ y＝－ 观察图形，回答下列问题： 解：用描点法画出反比例函数图象，注意x≠0，其图象有两个分支，分别在第一和第三象限内． 1．如何画出反比例函数 y＝ 的图象，其图象是怎样的？ 想一想 解：反比例函数y＝ 是中心对称图形， 取点 P(x0，y0)在y＝ 图象上， ∵y0＝ ，则－y0＝ ， 即可知点P′(－x0，－y0)也在图象上， 所以 y＝ 是中心对称图形． 2．反比例函数y＝ 是否为中心对称图形？如何验证？ 3．对比 y＝ 和y＝－ 图象特征，归纳反比例函数图象性质？ 解：反比例函数 y＝ (k≠0)的图象叫作双曲线． 1．当k>0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小； 2．当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大。 y = x k x y O x k y= y x O 反比例函数的图象和性质： 概念归纳 函数 正比例函数 反比例函数 解析式 图象 x取值范围 图象的位置 性质 正比例函数与反比例函数的对比 全体实数 x≠0的一切实数 当k>0时，y随x的增大而增大 当k<0时，y随x的增大而减小 k<0 x y O x y O k>0 k<0 y x O y O k>0 x 当k>0时，在一、三象限； 当k<0时，在二、四象限． 当k>0时，在一、三象限； 当k<0时，在二、四象限． 在每一个象限， 当k>0时，y随x的增大而减小 当k<0时，y随x的增大而增大 y＝kx (k≠0) y＝ 或 y＝kx－1 (k≠0) k x 总结归纳 课本例题 例 5.已知反比例函数 （1）如果这个函数图象经过点（-3，5），求k的值； （2）如果这个函数图象在它所处的象限内，函数y随x的增大而减小，求 k 的范围. 解（1）因为函数图象经过点（-3，5），代入函数的表达式，得. 解方程，得k=-7. （2）根据题意，有2k-1>0. 解不等式，得 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 练一练 2．如果反比例函数 y＝ 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数 k 的值是_______． 3．已知直线 y＝kx＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 y＝ 的图象在第________象限． 4．在反比例函数 y＝ 的图象的每一条曲线上，y都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是________． 1、2 二、四 k＜1 练一练 < 5.点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2(填“>”“<”或“=”). 6. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函 数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2 的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系. 练一练 2.反比例函数图象性质的应用 1．反比例函数解析式需要几个点确定？ 回答下面的问题： 一个点． 2．反比例函数图象性质运用应注意什么？ (1)必须注意强调在每一象限内； (2)其性质与正比例函数的区别与联系． 如k＞0或k＜0所处象限相同，但增减性不同． 新知探究 解：由题意得 a2＋a－7＝－1，且a－1＜0． 解得 a＝－3. 例 2：已知反比例函数 y＝(a－1) ，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 典例剖析 例 3：已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 典例剖析 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. (2) 点B(3，4)，C(－2 ，－4 )，D(2，5)是否在这个函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 y＝ ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 6＝ ，解得 k＝12. 所以反比例函数的解析式为 y＝ . O x y 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m－5＞0， 解得m＞5. 例 4：如图，是反比例函数 y＝ 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ 典例剖析 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 解：∵ m－5＞0， ∴在这个函数图象的任一支上， y 都随 x 的增大而减小， ∴当x1＞x2时， y1＜y2. O x y 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得 m=3. 练一练 双曲线 中心 坐标轴 一、三 减小 二、四 增大 分层练习-基础 D A 分层练习-基础 B 三 减小 分层练习-基础 分层练习-基础 面积 B 分层练习-基础 －4 分层练习-基础 D C 分层练习-巩固 D 分层练习-巩固 A 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 y2＞y1＞y3 课堂反馈 A 课堂反馈 形 状 图象是双曲线 增减性 变化趋势 反比例函数 当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内 当k<0时,双曲线分别位于第二,四象限内 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大 位 置 双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交 课堂小结 对称性 由定义 求面积 反比例函数 双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形； 任意一组变量的乘积是一个定值， 即 xy＝k . 反比例函数的图象是轴对称图形，直线 y＝x 和 y＝－x 都是它的对称轴； 反比例函数 y＝ 与 y＝－ 的图象关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称. 课堂小结 知识点一：反比例函数的图象和性质 反比例函数y＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象是　 　，且关于原点成　 　对称，两个分支都不会与　 　相交．反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象在k＞0时，两个分支分别位于第　 　象限，在每个象限内，y随x的增大而 　 　；当k＜0时，两个分支分别位于第　 　象限，在每个象限内，y随x的增大而　 　. 1．(海南中考)已知反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象经过点P(－1,2)，则这个函数的图象位于(　　) A．第二、三象限　　　　　　　 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 2．(扬州中考)已知点A(x1,3)、B(x2,6)都在反比例函数y＝－eq \f(3,x)的图象上，则下列关系式一定正确的是(　　) A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1 3．(大庆中考)在同一直角坐标系中，函数y＝eq \f(k,x)和y＝kx－3的图象大致是(　　) 4．当x＜0时，y＝eq \f(1,x)的图象在第 象限，函数y的值随x增大而 ． 5．已知反比例函数y＝eq \f(k,x)(k是常数，k≠0)，在其图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是 　 　(只需写一个)． 答案不唯一，y＝－eq \f(1,x) 知识点二：反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)中k的几何意义 反比例函数的比例系数|k|等于图象上任意一点向坐标轴作垂线构成的矩形的　 　. 6．如图，点B在反比例函数y＝eq \f(2,x)(x＞0)的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、C，则矩形OABC的面积为(　　) A．1　　　　　 B．2　　　　　 C．3　　　　　 D．4 7如图，点A在双曲线y＝eq \f(k,x)上，AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积是2，则k的值是　 　. 8．(威海中考)若点(－2，y1)、(－1，y2)、(3，y3)在双曲线y＝eq \f(k,x)(k＜0)上，则y1、y2、y3的大小关系是(　　) A．y1＜y2＜y3　　　　　 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 9．在反比例函数y＝eq \f(1－2m,x)的图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是(　　) A．m＜0 B．m＞0 C．m＜eq \f(1,2) D．m＞eq \f(1,2) 10．如图，A、B两点在双曲线y＝eq \f(4,x)上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1＋S2＝(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6 11．(黑龙江中考)如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y＝eq \f(3,x)(x＞0)、y＝eq \f(k,x)(x＜0)的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k的值为(　　) A．－1 B．1 C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2) 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2,0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，若S△AOB＝4. (1)求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式； (2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积． 解：(1)y＝eq \f(8,x)，y＝x＋2； (2)S△OCB＝2. 13．(泰安中考)如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝eq \f(m,x)的图象经过点E，与AB交于点F. (1)若点B坐标为(－6,0)，求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； (2)若AF－AE＝2，求反比例函数的表达式． 解：(1)点B坐标为(－6,0)，AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，∴点A(－6,8)、E(－3,4)，函数图象经过E点，∴m＝－3×4＝－12，设AE的解析式为y＝kx＋b，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－6k＋b＝8,－3k＋b＝4))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－\f(4,3),b＝0))，一次函数的解析式为y＝－eq \f(4,3)x；　 (2)AD＝3，DE＝4，∴AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝5，∵AF－AE＝2，∴AF＝7，BF＝1，设E点坐标为(a,4)，则F点坐标为(a－3,1)，∵E、F两点在函数y＝eq \f(m,x)图象上，∴4a＝a－3，解得a＝－1，∴E(－1,4)，∴m＝－1×4＝－4，∴y＝－eq \f(4,x). 14．如图，已知反比例函数y1＝eq \f(k1,x)的图象与一次函数y2＝k2x＋b的图象交于A(1，n)、B(－eq \f(1,2)，－2)两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)y1＝eq \f(1,x)，y2＝2x－1； (2)存在，点P的坐标为(eq \r(2)，0)、(－eq \r(2)，0)、(2,0)、(1,0)． 反比例函数的性质 1.在反比例函数y＝eq \f(－a2－1,x)的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是 . 【思路分析】　∵k＝－a2－1＜0，故其草图如图所示，由图可知y2＞y1＞y3. 【方法归纳】　反比例函数的增减性与一次函数不同，需界定在各自象限内增减，这是一个极易出错的地方．解此类题通常先画出函数的草图，再由横坐标确定三点大致位置，最后看其对应的纵坐标大小关系即可. 反比例函数中比例系数k的几何意义 2.如图，在反比例函数y＝eq \f(2,x)(x＞0)的图象上有三点A、B、C，经过此三点分别向x轴引垂线，交x轴于A1、B1、C1三点，连接OA、OB、OC，设△OA1A、△OB1B、△OC1C的面积分别为S1、S2、S3，则有(　　) A．S1＝S2＝S3 B．S1＜S3＜S2 C．S1＜S2＜S3 D．S1＞S2＞S3 【思路分析】　可设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则x1y1＝2，x2y2＝2，x3y3＝2，又∵S1＝eq \f(1,2)x1y1＝eq \f(|k|,2)＝1，S2＝eq \f(1,2)x2y2＝eq \f(|k|,2)＝1，S3＝eq \f(1,2)x3y3＝eq \f(|k|,2)＝1，∴S1＝S2＝S3. 【方法归纳】　过反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)图象上任意一点P向x轴、y轴作垂线，两垂线段与x轴、y轴围成的矩形面积都等于|k|，以点P、原点及一个垂足为顶点的直角三角形的面积都等于eq \f(|k|,2). $$