精品解析：山东省青岛市市北区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

七年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 科克曲线 C. 阿基米德螺线 D. 斐波那契螺旋线 2. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.0000000017s．把0.0000000017s用科学记数法可表示为（　　） A. 0.17×10﹣8 B. 1.7×10﹣9 C. 1.7×10﹣8 D. 17×10﹣9 3. 如图，在长方形的纸片上画出，按下列方式折叠，能得到边上的高的是（ ） A. 对折边，使点B与点C重合，则高在折痕上 B. 沿着过A点的直线对折，使点C落在直线上，则高在折痕上 C. 沿着过B点的直线对折，使得边与边重合，则高在折痕上 D. 延长，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线上，则高在折痕上 4. 下列运算正确的是（ ） A. x2＋x2＝x4 B. （a－b）2＝a2－b2 C. （－a2）3＝－a6 D. 3a2·2a3＝6a6 5. 将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 6. 下列说法正确的是（ ） A. “400人中有两人生日在同一天”是随机事件 B. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C. “长度为，，三条线段可以构成三角形”是必然事件 D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是质数 7. 如图，下列各组条件中，不能得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图所示、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片有1张，长为a，宽为b的矩形卡片有4张，边长为b的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（　　） A. a+2b B. 2a+2b C. 2a+b D. a+b 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，已知：与交于O点，，请添加一个你认为合适的条件：_________，使． 10. 如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 11. 等腰三角形的一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是________． 12. 科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录，如果这种数量关系不变，则当室外温度为F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是___________次． 温度/°F 76 78 80 82 84 … 每分钟鸣叫的次数/次 144 152 160 168 176 … 13. 如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是___________． 14. 按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次输出的结果是1，第二次输出的结果为4，…，第2024次输出的结果为___________． 15. 如图，把图①中七巧板，拼成图②的长方形，如果图①中阴影部分是边长为1的正方形，则图②中长方形的周长为___________． 16. 如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为___________． 三、作图题：（本题满分4分） 17. 已知：线段和 求作：，使得，，． 四、解答题（本题满分68分，共有8道小题） 18. 计算题： （1）； （2）； （3）运用整式乘法公式简便计算：． 19. 先化简再求值：，其中，． 20. 请你利用转盘设计一个双人游戏，使游戏对双方是公平的，并说明游戏公平的理由． 21. 根据要求，填空完成下面证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：． 证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 22. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 23. 王强同学用10块高度都是2相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 24. 【问题情境】 我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对儿童公园内的摩天轮进行实地调研．摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图①． 图① 【问题研究】 请根据图①中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）摩天轮最高点距地面 （米），摩天轮最低点距地面 （米）； 【问题解决】 （3）如图②，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需5分钟，求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度．（结果保留π） 图② 25. 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合． （1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由； （2）请在下面的A，B两题中任选一题解答． A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由； B：如图3，在图1基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由． 我选择：_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 科克曲线 C. 阿基米德螺线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形故选项符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.0000000017s．把0.0000000017s用科学记数法可表示为（　　） A. 0.17×10﹣8 B. 1.7×10﹣9 C. 1.7×10﹣8 D. 17×10﹣9 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：0.0000000017＝1.7×10﹣9， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，理解和掌握科学记数法的方法是解决本题的关键． 3. 如图，在长方形的纸片上画出，按下列方式折叠，能得到边上的高的是（ ） A. 对折边，使点B与点C重合，则高在折痕上 B. 沿着过A点的直线对折，使点C落在直线上，则高在折痕上 C. 沿着过B点的直线对折，使得边与边重合，则高在折痕上 D. 延长，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线上，则高在折痕上 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质与三角形的相关知识，根据折叠的性质与三角形的高，角平分线等知识一一判断即可． 【详解】解：．对折边，使点B与点C重合，则的垂直平分线在折痕上，故该选项不符合题意； ．沿着过A点的直线对折，使点C落在直线上，则边上的高在折痕上 ，故该选项不符合题意； ．沿着过B点的直线对折，使得边与边重合，则的平分线在折痕上，故该选项不符合题意； ．延长，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线上，则上的高在折痕上 ，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. x2＋x2＝x4 B. （a－b）2＝a2－b2 C. （－a2）3＝－a6 D. 3a2·2a3＝6a6 【答案】C 【解析】 【详解】A、x2＋x2＝2x2，故此选项不符合题意； B、（a－b）2＝a2－2ab＋b2，故此选项不符合题意； C、（－a2）3＝－a6，此选项符合题意； D、3a2·2a3＝6a5，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 对顶角相等 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确理解三角形的稳定性是解题的关键．． 根据三角形具有稳定性即可求解． 【详解】解：钉在墙上的方法是构造三角形支架，这种方法应用的数学知识是：三角形具有稳定性． 故选：A． 6. 下列说法正确的是（ ） A. “400人中有两人生日在同一天”是随机事件 B. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C. “长度为，，的三条线段可以构成三角形”是必然事件 D. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是质数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，等腰三角形三线合一，三角形三边关系，事熟练掌握相关概念和性质，是解题的关键 根据事件的分类，等腰三角形三线合一，三角形三边关系，逐项进行判断即可． 【详解】A． 一年365天，所以400人中肯定有两人的生日是在同一天，是必然事件，故该选项错误，不符合题意； B． 等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线才互相重合，所以原说法错误，故该选项不符合题意； C．因为，，所以一定能构成三角形，所以是必然事件，故该选项是说法正确，符合题意； D．抛掷一枚硬币，可能是1、2、3、4、5、6，当是1、2、4时，就不是质数，故该选项是说法错误，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，下列各组条件中，不能得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的判定定理，对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由，，AB=AB，满足SAS能证明，故A不符合题意； B、，，AB=AB，满足SSS能证明，故B不符合题意； C、，，AB=AB，满足SAS能证明，故C不符合题意； D、，，AB=AB，满足SSA，不能证明，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 8. 如图所示、有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片有1张，长为a，宽为b的矩形卡片有4张，边长为b的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（　　） A. a+2b B. 2a+2b C. 2a+b D. a+b 【答案】A 【解析】 【分析】可以得出拼成的正方形的面积为a2+4ab+4b2，将a2+4ab+4b2写成（a+2b）2的形式，即可得出正方形的边长． 【详解】解：这9张卡片拼成一个正方形的面积为a2+4ab+4b2， ∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2， ∴这个正方形的边长为（a+2b）， 故选：A． 【点睛】考查完全平方公式的几何意义，把面积写成完全平方式的形式是得出正确答案的关键． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，已知：与交于O点，，请添加一个你认为合适的条件：_________，使． 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 可以添加，根据，或添加根据，添加根据可证明△AOC≌△BOD，从而得到答案． 【详解】解：①添加，理由如下： 在和中， ， ， ②添加，理由如下： 在和中， ， ， ③添加，理由如下： 在和中， ， ， 故答案为：（或或）（答案不唯一）． 10. 如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用阴影部分÷总面积=飞镖落在阴影区域的概率，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：阴影部分有4个小扇形，总的有10个小扇形， 故飞镖落在阴影区域的概率是：． 故答案为． 【点睛】题目主要考查几何概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题关键． 11. 等腰三角形一条边长为4cm，另一条边长为6cm，则它的周长是________． 【答案】16cm或14cm##14cm或16cm 【解析】 【分析】根据题意分腰为6cm和底为6cm两种情况，分别求出即可． 【详解】解：①当腰为6cm时，它的周长为6+6+4＝16（cm）； ②当底为6cm时，它的周长为6+4+4＝14（cm）； 故答案为：16cm或14cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的两腰相等，注意分类讨论． 12. 科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录，如果这种数量关系不变，则当室外温度为F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是___________次． 温度/°F 76 78 80 82 84 … 每分钟鸣叫的次数/次 144 152 160 168 176 … 【答案】192 【解析】 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表中的数据可知，温度每升高F，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次，据此列式计算即可． 【详解】解：根据蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系表格可知：温度每升高F， 蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次， 故当室外温度为F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数为：次， 故答案为：192． 13. 如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是___________． 【答案】85 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 14. 按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2，第一次输出的结果是1，第二次输出的结果为4，…，第2024次输出的结果为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查的是数字变化规律，一元一次方程，熟练掌握相关方法是解题的关键； 将代入，然后依据程序进行计算，依据计算结果得到其中的规律，然后依据规律求解即． 【详解】解∶第一次时，代入，输出结果， 第二次，代入，输出结果， 第三次，代入，输出结果， 第四次，代入，输出结果， …… ， 所以第2024次得到的结果为4， 故答案为∶4． 15. 如图，把图①中的七巧板，拼成图②的长方形，如果图①中阴影部分是边长为1的正方形，则图②中长方形的周长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键；根据阴影部分的边长得出大长方形的长和宽即可． 【详解】∵阴影部分是边长为1的正方形， ∴拼成的大长方形的长为4，宽为2 ∴长方形的周长为 故答案为：12． 16. 如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为___________． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 三、作图题：（本题满分4分） 17. 已知：线段和 求作：，使得，，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作三角形，熟练掌握作三角形的尺规作图是解题关键．先作，再作，然后作，最后连接即可得． 【详解】解：即为所求． 四、解答题（本题满分68分，共有8道小题） 18. 计算题： （1）； （2）； （3）运用整式乘法公式简便计算：． 【答案】（1）10 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、乘方、零指数幂和负整数指数幂，后计算加减法即可； （2）先计算积的乘方，再按照单项式除以单项式和单项式乘 单项式法则进行计算即可； （3）先将原式写成，再利用平方差公式计算即可． 本题考查了绝对值的计算、零指数幂，负整数指数幂，积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式、平方差公式，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 19. 先化简再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先利用完全平方公式以及平方差公式对整式展开，再合并同类项，最后再代入x，y的值计算即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式 20. 请你利用转盘设计一个双人游戏，使游戏对双方是公平的，并说明游戏公平的理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了公平性游戏的设计，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：游戏设计：将一个圆形转盘平均分成四个大小一样的扇形，其中两块涂成红色，两块涂成蓝色，随机转动一次转盘，若指针落在红色区域则甲获胜，落在蓝色区域则乙获胜． 理由：因为P（甲获胜），P（乙获胜），，所以游戏公平． 21. 根据要求，填空完成下面的证明过程． 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，，交于O．求证：． 证明： 因为 所以，（ ） 在与中 （ ）， 所以（ ）； 所以，（ ） 又因为， 所以 ， 所以， 在与中 所以（ ）； 所以 ， 所以（ ）． 【答案】见详解． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，通过全等三角形判定定理，证得，则全等三角形的对应边相等，再证明，则全等三角形的对应角相等，则可得出． 【详解】证明：因为 所以，(两直线平行，内错角相等) 在与中 （对顶角相等）， 所以（）； 所以，（全等三角形对应边相等） 又因为， 所以， 所以， 在与中 所以； 所以， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；全等三角形对应边相等；；；；； 内错角相等，两直线平行． 22. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，可以将盒子中的白球拿出3个． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解； （2）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：（个）， ∴盒子中黑球个数为：（个）； ∴任意摸出一个球是黑球的概率为：； 小问2详解】 解：∵任意摸出一个球是红球的概率为 ∴盒子中球的总量为：， ∴可以将盒子中的白球拿出3个． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率求解是解题的关键． 23. 王强同学用10块高度都是2的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1）见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再利用“”证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答即可； 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【小问1详解】 证明：由题意可得，，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得（），（）， ∵， ∴，， ∴（）， 答：两堵木墙之间的距离为20． 24. 【问题情境】 我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对儿童公园内的摩天轮进行实地调研．摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟． 【实践过程】 小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图①． 图① 问题研究】 请根据图①中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； （2）摩天轮最高点距地面 （米），摩天轮最低点距地面 （米）； 【问题解决】 （3）如图②，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需5分钟，求出这个吊舱从点A顺时针旋转到点B所走的路径的长度．（结果保留π） 图② 【答案】（1）所用时间x，距地面的高度h；（2）103，3；（3）米 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据自变量和因变量求解； （2）根据图象求解； （3）根据用圆的周长除以20分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以6分钟即可求解． 【详解】解：问题研究： （1）在这个变化过程中，吊舱距地面的高度随着所用的时间的变化而变化，所以，自变量是x，因变量是h； 故答案为：x，h； （2）由图象可知：摩天轮最高点距地面103米，摩天轮最低点距地面3米； 故答案为：103，3； 问题解决： （3）∵摩天轮最高点距地面103米，最低点距离地面3米，20分钟一周 ∴摩天轮的直径是100米， 顺时针旋转一周需要20分钟． ∴（米）， 答：所走的路径的长度是米． 25. 如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合． （1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE=DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由； （2）请在下面的A，B两题中任选一题解答． A：如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由； B：如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由． 我选择：_______． 【答案】（1）DE⊥DA，详见解析 （2）A、DB=DP；B、DB=DP．详见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质，得到∠B=∠C=45°，再利用平行线的性质，得到∠DAE=∠B=45°，再利用等腰三角形的性质，即可得出结论． （2）A：首先根据题意，得到∠BDE=∠ADP，再根据（1）可得∠BED=∠PAD=135°，DE=DA，利用AAS证明，再利用三角形全等其对应边相等，即可得到DB=DP． B：首先延长AB至F，连接DF，使DF=DA，由（1）中的∠DFA=∠DAF=45°，得到∠ADF=90°，再根据DP⊥DB，得到∠FDB=∠ADP，然后再根据∠BAC=90°，∠DAF=45°，得到∠PAM=45°，又因为DF=DA，所以∠DFA =∠PAM，然后利用ASA证明△DFB≌△DAP，最后利用三角形全等其对应边相等，即可得到DB=DP． 【小问1详解】 解：（1）DE⊥DA； 证明：∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵MNBC， ∴∠DAE=∠B=45°（两直线平行，内错角相等）， 又∵DA=DE， ∴∠DEA=∠DAE=45°， ∴∠ADE=90°，即DE⊥DA； 【小问2详解】 A：DB=DP； 证明：∵DP⊥DB， ∴∠BDE+∠EDP=90°， 又∵DE⊥DA， ∴∠ADP+∠EDP=90°， ∴∠BDE=∠ADP， ∵∠DEA=∠DAE=45°， ∴∠BED=135°，∠PAD=135°， ∴∠BED=∠PAD， 在△DEB和△DAP中， ， ∴（AAS）， ∴DB=DP（三角形全等其对应边相等）． B：DB=DP； 证明：如图3，延长AB至F，连接DF，使DF=DA， 由（1）得，∴∠DFA=∠DAF=45°， ∴∠ADF=90°， 又∵DP⊥DB， ∴∠FDB=∠ADP， ∵∠BAC=90°，∠DAF=45°， ∴∠PAD=45°， ∴∠DFA =∠PAD， 在△DFB和△DAP中， ， ∴△DFB≌△DAP（ASA）， ∴DB=DP（三角形全等其对应边相等）． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$