2.2 基本不等式（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修第一册）

人教版2019高一数学（必修一）第一章 一元二次函数、方程和不等式 第二课时 基本不等式的应用 2.2 基本不等式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。 3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。 情景导入 根据上一节课的知识，我们了解了基本不等式与最值的关系， 如下：已知x，y都是正数，则 ①如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值. 本节课我们来学习基本不等式的应用 基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具. 1.基本不等式的应用 新知探究 例1.（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为. （1）由已知得. 由，可得， 所以，当且仅当时，上式等号成立. 故当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时， 所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m. （2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ （2）由已知得，矩形菜园的面积为. 由，可得， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时， 菜园的面积最大，最大面积是. 6 例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3 m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m， 水池的总造价为z元. 根据题意，有 . 由容积为，可得， 因此. 课本例题 7 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3 m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 所以，当时，上式等号成立， 此时. 所以将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低， 最低总造价是297600元. 课本例题 8 典例剖析 探究一 利用基本不等式求最值 典例剖析 概念归纳 1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条件进行, 若具备这些条件,则可直接运用基本不等式, 若不具备这些条件,则应进行适当的变形. 2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件. 具体可归纳为三句话: 一不正,用其相反数,改变不等号方向; 二不定,应凑出定和或定积; 三不等,一般用函数的图象或性质. 练一练 典例剖析 探究二 两个变量的最值问题 分析:从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件,但根据已知变形,消去一个变量,可构造成能使用基本不等式的形式,也可使用“1”的代换尝试解决. 练一练 练一练 概念归纳 1.本题给出的方法,用到了均值不等式,并且对式子进行了变形,配凑出满足基本不等式的条件,这是经常使用的方法,要学会观察、学会变形. 2.常见的变形技巧有: (1)配凑系数; (2)变符号; (3)拆补项. 常见形式有 型和y=ax(b-ax)型. 典例剖析 探究三 基本不等式的实际应用 【例3】 围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元). (1)将y表示为x的函数; (2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 典例剖析 概念归纳 应用基本不等式解决实际问题的方法一般分四步: (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数; (2)构造相应的函数解析式,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题; (3)求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,若将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用 练一练 因此,当x=15时,y取最小值2 000,即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层. 练一练 随堂练 A C 随堂练 随堂练 大 -1 随堂练 随堂练 故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时， 菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2． 当且仅当a＝2b＝15时取等号． 则由题意得a＋2b＝30，所以 ， 1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m． 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 课本练习 则由题意得2ab＝32，即ab＝16． 当且仅当a＝b＝4时取等号． 即当底面的长和宽均为4时，用纸最少． 所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥32＋ ＝64 ， 2.做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？ 解：设底面的长为a，宽为b， 课本练习 则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18． 所以要求侧面积最大，即求ab的最大值， 因为旋转形成的圆柱的侧面积为： ， 故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大． 由基本不等式得： ，当且仅当a＝b＝9时取等号． 3.已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 解：设矩形的长为a，宽为b， 课本练习 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正? 你如何防范? 错因分析 忽视基本不等式求最值的条件致错 错因分析 1.在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其多次使用基本不等式时,等号成立的条件必须相同,否则会造成错误. 2.尽量对式子进行化简、变形,利用一次基本不等式求最值. 3.培养逻辑推理素养和数学运算素养. 错因分析 练一练 C 分层练习-基础 A C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 A B 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 B B 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 ABC 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 4 分层练习-基础 2 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 56 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-基础 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 C C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-巩固 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂小结 基本不等式的应用 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 求最值 证明不等式 实际应用 (1)整体代换求最值 ①根据变形确定定值；②把定值变形为1；③构造和或积的形式；④利用基本不等式求解最值. （2）证明不等式的方法与特征： ①方法：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所求问题， ②特征：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知” （1）证明不等式： ①多次使用基本不等式，要注意等号能否成立; ②注意使用;累加法和拼凑法 （2）用基本不等式解决实际问题时，注意变量的取值范围、等号能否取到，最终结果要转化为实际意义 数学建模：通过基本不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养 逻辑推理：通过不等式的证明，培养逻辑推理的核心素养 解:(1)∵x<,∴5-4x>0, ∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立, 故当x=1时,ymax=1. 【例1】 (1)已知x<,求y=4x-2+的最大值; (2)已知0<x<,求y=x(1-2x)的最大值; (3)已知x>0,求y=的最大值. (2)∵0<x<,∴1-2x>0, ∴y=×2x(1-2x)≤ =. 当且仅当2x=1-2x,即x=时,ymax=. (3)y=. ∵x>0,∴x+≥2=2, ∴y≤=1,当且仅当x=,即x=1时,等号成立,ymax=1. (1)已知x>3,求y=x+的最小值; (2)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值. 解:(1)∵x>3,∴x-3>0,>0, ∴y=x+=x-3++3≥2+3=7, 当且仅当x-3=,即x=5时,y取到最小值7. (2)∵x>0,y>0,2x+3y=6, ∴xy=(2x·3y)≤=, 当且仅当2x=3y,即x=,y=1时,xy取到最大值. 【例2】 已知x>0,y>0,且满足=1,求x+2y的最小值. 解:∵x>0,y>0,=1, ∴x+2y=(x+2y)=10+ ≥10+2=18, 当且仅当时,等号成立, ∴当x=12,y=3时,x+2y取得最小值18. 【例2】 已知x>0,y>0,且满足x+2y,求=1的最小值. 解:∵x>0,y>0,x+2y=1, ∴=(x+2y) =8++2 =10+≥10+2=18, 当且仅当时,取等号. 结合x+2y=1,得x=,y=. ∴当x=,y=时,取到最小值18. 【例2】 已知x>0,y>0,且满足=1,求2x+3y的最小值. 解:2x+3y=1·(2x+3y) =(2x+3y)=2++18 ≥2+2+18=2+12+18=32, 当且仅当y=2x,且=1时,取等号, 即x=4,y=8时取等号,故2x+3y的最小值为32. y=ax+ 解:(1)设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360. 由已知得xa=360,得a=, 故y=225x+-360(x>0). (2)∵x>0, ∴225x+≥2=10 800. ∴y=225x+-360≥10 440. 当且仅当225x=时,等号成立. 即当x=24时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10 440元. = 解:设楼房每平方米的平均综合费用为y元, 则y=(560+48x)+ =560+48x+(x≥10,x∈N*). 所以y=560+48x+≥560+2=2 000, 当且仅当48x=,即x=15时,等号成立. 1.若x>0,则函数y=-x-(　　) A.有最大值-2 B.有最小值-2 C.有最大值2 D.有最小值2 解析:∵x>0,∴x+≥2.∴-x-≤-2. 当且仅当x=1时,等号成立,故函数y=-x-有最大值-2. 2.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=的最小值是(　　) A. B.4 C. D.5 解析:∵a+b=2, ∴y=+2≥+2, 当且仅当,且a+b=2时,取“=”. 3.若0<x<,则函数y=2x(1-3x)的最大值为　　　　　.  解析:∵0<x<,∴1-3x>0, ∴y=2x(1-3x)=·3x(1-3x)≤, 当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立. ∴当x=时,函数取最大值. 4.若a<1,则a+有最　　　　　值,为　　　　　.  解析:∵a<1,∴a-1<0, ∴-=(1-a)+≥2, ∴a-1+≤-2,∴a+≤-1. 5.一批货物随17列货车从A市以v km/h的速度匀速直达B 市.已知两地路线长为400 km,为了安全,两列货车的间距不得 小于 km(货车长度忽略不计),那么这批货物全部运到B 市最快需要多少小时? 解:这批货物从A市全部运到B市的时间至少为 t=≥2=8(h), 等号成立的条件是, 即v=100. 故这批货物全部运到B市最快需要8 h. 【典例】 设x,y为正数,求(x+y)的最小值. 错解:因为x,y为正数, 所以x+y≥2≥2, 即, 从而(x+y)≥2=8. 提示:在x+y≥2中等号成立的条件为x=y, 在中等号成立的条件为, 即y=4x,要使两个等号同时成立,必有x=y=0,这与题设矛盾. 正解:(x+y)=1+4·+4=5+≥5+2=9, 当且仅当4·,即y=2x时等号成立. 所以(x+y)的最小值为9. 已知x,y>0,且x+y=1,则p=x++y+的最小值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:x++y+=3+≥3+2=5.故选C. 2．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是(　　) A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5 一、选择题(每小题5分，共35分)　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　 1．已知正数x，y满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值是(　　) A．18 B．16 C．8 D．10 4．已知eq \f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于(　　) A．1＋eq \r(2) B．2 C．3 D．4 3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v<eq \r(ab) B．v＝eq \r(ab) C.eq \r(ab)<v<eq \f(a＋b,2) D．v＝eq \f(a＋b,2) 5．已知x，y是正数，且xy＝4，则eq \f(y,\r(x))＋eq \f(x,\r(y))取得最小值时，x的值是(　　) A．1 B．2 C．2eq \r(2) D.eq \r(2) 6．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则(　　) A．x＝eq \f(a＋b,2) B．x≤eq \f(a＋b,2) C．x>eq \f(a＋b,2) D．x≥eq \f(a＋b,2) 7．【多选题】已知a>0，b>0，则下列四个不等式中正确的是(　　) A．a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2) B．(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4 C.eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b D．a＋eq \f(1,a＋4)≥－2 9．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药品后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq \f(20t,t2＋4)，则经过________ h后池水中该药品的浓度达到最大． 二、填空题(每小题5分，共15分) 8．已知正数a，b满足eq \f(9,a)＋eq \f(1,b)＝3，则ab的最小值为________． 10.如右图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________ dm2. 三、解答题(本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 11．(10分)(1)已知a，b，c∈R，求证： a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8. 证明　(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 当且仅当a＝b＝c时取等号， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 另外本题也可以两边同乘以2，用比较法证明． (2)∵a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， ∴eq \f(1,a)－1＝eq \f(1－a,a)＝eq \f(b＋c,a)＝eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)≥eq \f(2\r(bc),a)， 同理eq \f(1,b)－1≥eq \f(2\r(ac),b)，eq \f(1,c)－1≥eq \f(2\r(ab),c)， 以上三个不等式两边分别相乘得 (eq \f(1,a)－1)(eq \f(1,b)－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)－1))≥8， 当且仅当a＝b＝c时取等号． 12．(10分)如右图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成． (1)现有可围36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 解析　设每间虎笼长为x m，宽为y m. (1)则由条件得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为S，则S＝xy. 方法一：由于2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)， ∴2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)， 即S≤eq \f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4.5，,y＝3.)) 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大． 方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq \f(3,2)y. ∵x>0，y>0，∴0<y<6. ∴S＝xy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(3,2)y))y＝eq \f(3,2)(6－y)y. ∵0<y<6，∴6－y>0. ∴S≤eq \f(3,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（6－y）＋y,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(27,2)， 当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5. 故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大． (2)由条件知S＝xy＝24. 设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y. 方法一：∵2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)＝24， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立． 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4.)) 故每间虎笼长为6 m，宽为4 m时，可使钢筋网总长最小． 方法二：由xy＝24，得x＝eq \f(24,y). ∴l＝4x＋6y＝eq \f(96,y)＋6y＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,y)＋y))≥6×2eq \r(\f(16,y)·y)＝48. 当且仅当eq \f(16,y)＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6. 故每间虎笼长为6 m，宽为4 m时，可使钢筋网总长最小． 2．已知a>0，b>0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)的最小值是(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．5 1．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m 3．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab )≥8； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9. 证明　(1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(a＋b,ab)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2＝4， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当a＝b＝\f(1,2)时等号成立)). (2)∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋eq \f(1,a)＝1＋eq \f(a＋b,a)＝2＋eq \f(b,a)， 同理，1＋eq \f(1,b)＝2＋eq \f(a,b)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥5＋4＝9. ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9(当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时等号成立)． 4．已知a，b，c为不相等的正数，且abc＝1，求证：eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)<eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c). 证明　方法一：∵a，b，c为不相等的正数，且abc＝1， ∴eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)＝eq \r(\f(1,bc))＋eq \r(\f(1,ca))＋eq \r(\f(1,ab))<eq \f(\f(1,b)＋\f(1,c),2)＋eq \f(\f(1,c)＋\f(1,a),2)＋eq \f(\f(1,a)＋\f(1,b),2) ＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c). 故原不等式成立． 方法二：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1， ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝bc＋ca＋ab ＝eq \f(bc＋ca,2)＋eq \f(ca＋ab,2)＋eq \f(ab＋bc,2)>eq \r(abc2)＋eq \r(a2bc)＋eq \r(ab2c) ＝eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c). 故原不等式成立． 【解析】(1)因为正实数x，y满足x＋y＝4， 所以4＝x＋y≥2 eq \r(xy) ，所以xy≤4， 故不存在正实数x，y，使得xy＝5. 1.(2021·石家庄高一检测)已知正实数x，y满足x＋y＝4. (1)是否存在正实数x，y，使得xy＝5？若存在，求出x，y的值； 若不存在，请说明理由． (2)求证： eq \f(1,x＋1) ＋ eq \f(4,y＋2) ≥ eq \f(9,7) ，并说明等号成立的条件． (2)由x＋y＝4得(x＋1)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋2)) ＝7， 又因为x，y都是正实数， 所以 eq \f(1,x＋1) ＋ eq \f(4,y＋2) ＝ eq \f(1,7) [(x＋1)＋(y＋2)] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)＋\f(4,y＋2))) ＝ eq \f(1,7) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋\f(y＋2,x＋1)＋\f(4（x＋1）,y＋2))) ≥ eq \f(1,7) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(y＋2,x＋1)·\f(4（x＋1）,y＋2)))) ＝ eq \f(9,7) ， 当且仅当 eq \f(y＋2,x＋1) ＝ eq \f(4（x＋1）,y＋2) ，等号成立． 又因为x＋y＝4，所以x＝ eq \f(4,3) ，y＝ eq \f(8,3) 时等号成立． 2.某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝60 m，AB＝40 m，且在△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝10 m，EF＝20 m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m). (1)试用x表示五边形MBCDN的面积y，并求出取值范围； (2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积． 【解析】(1)作GH⊥EF，垂足为H. 因为DN＝x，所以NH＝40－x，NA＝60－x， 因为 eq \f(NH,HG) ＝ eq \f(NA,AM) ，所以 eq \f(40－x,10) ＝ eq \f(60－x,AM) ，所以AM＝ eq \f(600－10x,40－x) . y＝S五边形MBCDN＝S矩形ABCD－S△AMN＝40×60－ eq \f(1,2) ·AM·AN＝2 400－ eq \f(5（60－x）2,40－x) . 因为N与F重合时，AM＝AF＝30适合条件，所以0＜x≤30. (2)令y＝2 400－ eq \f(5（60－x）2,40－x) ＝2 400－5 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（40－x）＋\f(400,40－x)＋40)) ， 当且仅当40－x＝ eq \f(400,40－x) ， 即x＝20时，y取得最大值2 000， 所以当DN＝20 m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2 000 m2. $$