1.5 三角形全等的判定（第2课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第一章 三角形的初步认识 1.5 认识三角形 第二课时 利用“SAS”定理证明三角形全等 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握三角形“SAS”判定方法. （重点） 2.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题. （难点） 3.灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等， 从而解决线段或角相等问题. 情景导入 小王是一名玻璃安装工人，他不小心打碎了顾客的一块三角形状的玻璃，如果他想去玻璃店重新配一块，请你帮帮忙，他应该带上右图的哪一块玻璃呢？ 1.判定两三角形全等的基本事实:“边角边” 新知探究 如果两组三角形中有三组对应相等的元素（边或角），那么会有哪几种可能的情况？ 两边一角、两角一边、三角、三边． 如果两个三角形有两条边以及夹角对应相等，那么这两个三角形是否全等？或有哪几种可能的情况 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′ =AB，∠A′=∠A，C′A′= CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？ A′ D E B′ C′ 现象：两个三角形放在一起 能完全重合． 说明：这两个三角形全等． 　　画法： （1） 画∠DA′E =∠A； （2）在射线A′D上截取 A′B′=AB，在射线 A′E上截取A′C′=AC； （3）连接B′C′． 试一试 几何语言： 在△ABC 和△ A′B′ C′中， ∴　△ABC ≌△ A′B′ C′（SAS）． 　　归纳概括“SAS”判定方法: 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）． AB = A′B′， ∠A =∠A′， AC =A′C′ ， 概念归纳 1.下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由． 8 cm 9 cm 8 cm 9 cm 8 cm 9 cm 30° 30° 30° 练一练 图A与图C全等，依据就是“SAS”，而图B中30°的角不是已知两边的夹角，所以不与另外两个三角形全等． A B C 典例剖析 课本例3 已知：如右图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD. 求证：△AOB≌△COD. 证明 在△AOB ≌ △COD 中， OA=OC（已知）， ∠AOB=∠COD（对顶角相等）， OB=OD（已知）， ∴△AOB≌△COD（SAS）.    例1. (2021四川宜宾中考)如图,已知OA=OC,OB=OD,∠AOC=∠BOD. 求证:△AOB≌△COD.   典例剖析 分析     观察图形,已知两边分别相等,只要再证得这两边所夹的角相等,即∠COD=∠AOB,然后根据“SAS”即可证明△AOB≌△COD. 证明     ∵∠AOC=∠BOD, ∴∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD, 即∠COD=∠AOB, 在△AOB和△COD中, ∴△AOB≌△COD(SAS). 证三角形全等时,常见的隐含的等角有:(1)公共角相等;(2)对顶角相 等;(3)等角加(或减)等角仍得等角;(4)角平分线得两等角;(5)同角(或等 角)的余角、补角相等;(6)平行线得同位角、内错角相等;(7)垂直定义得 两角相等. 2.已知：如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB， 求证：△ACB≌△ADB. AC=AD（已知）， ∠CAB=∠DAB（已知）， AB=AB（公共边）， ∴△ACB≌△ADB（SAS）. 证明：在△ACB和△ADB中， 练一练 3.如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，AC＝AD，且∠1＝∠2. 求证：△ABC≌△AED. 解析： 由已知条件，需证夹角∠ABC＝∠AED，由已知∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC即可得到，再利用“SAS”定理证明. 证明： ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠DAC＝∠2＋∠DAC AB＝AE ∠BAC＝∠EAD AC＝AD， ∴∠BAC＝∠EAD. 在△ABC和△AED中， ∴△ABC≌△AED（SAS）. 练一练 回归最初的问题，有一块三角形的玻璃打碎成如图的三块，如果要到玻璃店去照样配一块，应带哪一块去？ 2.全等三角形判定“边角边”的简单应用 新知探究 　　利用我们今天所学“SAS”（边角边）知识，我们可以告诉小王他可以带①的那块．因为它完整地保留了三角形两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了． 例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连结BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么? C · A E D B 分析： 如果能证明△ABC≌ △DEC, 就可以得出AB=DE.由题意知， △ABC和△DEC具备“边角边”的条件. 典例剖析 证明：在△ABC 和△DEC 中， ∴△ABC ≌△DEC（SAS）. ∴AB =DE （全等三角形的对应边相等）. AC = DC（已知）， ∠1 =∠2 （对顶角相等）， CB=EC（已知） ， C · A E D B 1 2 归纳：证明线段相等或者角相等时，常常通过证明三角形全等来解决. 　　如图，在△ABC 和△ABD 中， AB =AB，AC = AD，∠B =∠B， 但△ABC 和△ABD 不全等．　 两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的条件能判定两个三角形全等吗？ A B C D 探索“SSA”能否识别两三角形全等 3.探索“SSA”能否识别两三角形全等 新知探究 画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？ 两边和其中一边的对角对应相等这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC 和△DEF 不一定全等． 概念归纳 在直线上任意取一点 P，用圆规比较点 P 到点 A，B的距离.你发现了什么？ 4.线段垂直平分线的定义及性质 新知探究 线段垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平方这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 如右图，直线于点D，且AD=BD，直线就是线段AB的垂直平分线. 那线段垂直平分线有什么性质？ 如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3、…是l 上的点，请你量一量线段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1、P2、P3、… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 猜想： 点P1、P2、P3、… 到点A 与点B 的距离分别相等． 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 ∴线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 例3 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　) A．5cm B．10cm C．15cm D．17.5cm C 典例剖析 解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).故选C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． B 随堂练 B 随堂练 35° 随堂练 ① 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 随堂练 随堂练 随堂练 1.(2023福建厦门实验学校月考)如图,AC与BD相交于点P,AP=DP,若用“SAS”证明△APB≌△DPC,则还需添加的条件是 (　　) A.BA=CD　　　　　B.PB=PC C.∠A=∠D　　　　　D.∠APB=∠DPC 分层练习-基础 　在△APB和△DPC中,AP=DP,∠APB=∠DPC, ∴当PB=PC时,可利用“SAS”证明△APB≌△DPC,故选B. B 2.如图,已知AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=100°,∠BAE=60°,则∠CAE的度数为　　　　.  分层练习-基础 40° ∵∠1=∠2=100°,∴∠ADE=∠AED=80°, ∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=20°, ∵AE=AD,∠AEB=∠ADC,BE=CD, ∴△AEB≌△ADC(SAS),∴∠CAD=∠BAE=60°, ∴∠CAE=∠CAD-∠DAE=40°. 3.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AF=DE,∠AFB=∠DEC,AF与DE相交于点O,请判断∠B、∠C的大小关系,并说明理由 分层练习-巩固 ∠B=∠C. 理由:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE. 在△ABF与△DCE中, 𝐴𝐹=𝐷𝐸, ∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐸𝐶, 𝐵𝐹=𝐶𝐸, ∴△ABF≌△DCE(SAS),∴∠B=∠C. 4. 在台风来临之前,园林管理人员用钢管加固树木(如图),树干固定点为P点,树干PO垂直于地面AB,地面固定点A、B到树干底部点O的距离相等,此时两钢管PA、PB的长度相等吗?为什么? 分层练习-巩固 PA=PB. 理由:在△POA和△POB中, ∴△POA≌△POB(SAS),∴PA=PB. 5. 如图,在△ABC和△DBE中,DB=AB,∠DBA=∠EBC,BE=BC. 求证:△DBE≌△ABC. 分层练习-巩固 证明　∵∠DBA=∠EBC, ∴∠DBA+∠ABE=∠EBC+∠ABE, 即∠DBE=∠ABC. 在△DBE和△ABC中, ∴△DBE≌△ABC(SAS). 6.如图,在△ABC和△DBE中,AC=DE,∠ACB=∠DEB,BC=BE.若EF⊥BC于F,∠BEF=60°,求∠ABD的度数. 分层练习-巩固 解析　在△DBE和△ABC中, ∴△DBE≌△ABC(SAS), ∴∠DBE=∠ABC, ∴∠DBE-∠ABE=∠ABC-∠ABE, 即∠ABD=∠EBF, ∵EF⊥BC,∴∠BFE=90°, ∵∠BEF=60°,∴∠EBF=90°-∠BEF=30°, ∴∠ABD=∠EBF=30°. 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 全等 全等 SAS 课堂反馈 5 课堂反馈 易错点：误用“SSA”判定三角形全等． 3. 在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，BC＝EF，根据“SAS”判定△ABC≌△DEF，还需要的条件是(　　) A．∠A＝∠D　　　　　 B．∠B＝∠E C．∠C＝∠F　　　　　 D．以上三个均可 B 课堂反馈 如图，AC是线段BD的垂直平分线，△ABC与AADC全等吗？请说明理由。 课堂反馈 用线段垂直平分线的性质证明三角形全等 解：∵A是线段BD垂直平分线上的点 ∴AB = AD 同理可得 CB=CD 在△ ABC和△ ADC和中 ∴ΔABC ≌ ADC（SSS） AB=AD CB=CD AC=AC 两边及其夹角分别相等的两个三角形 三角形全等的“SAS”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 “SSA”不能判定两个三角形全等 注意：1.已知两边，必须找“夹角”； 2.已知一角和这角的一夹边，必 须找这角的另一夹边 课堂小结