1.3 二次函数的性质（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

九年级浙教版数学上册 第一章 二次函数 1.3 二次函数的性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．辨析y＝ax2＋bx＋c的性质，并会灵活应用．（重点） 2. 理解二次函数与一元二次方程之间的联系.(难点） 3.掌握二次函数图象与x轴的交点个数问题 4.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.（重点） 运动员投篮后，篮球运动的路线是一条怎样的曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 情景导入 1.求一次函数解析式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写解析式） 旧知回顾 一般式y=ax2+bx+c（a≠0） 顶点式y=a(x-h)2+k 交点式y=a(x-x1)(x-x2) 配方 你知道是怎样配方的吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.（ y=a(x-h)2+k ） 旧知回顾 y=ax2+bx+c y=ax2+bx+c =a（x2+ x）+ c =a〔x2+ x+ – 〕+ c = a (x+ )2 + y=ax2+bx+c 1.二次函数y=ax2+bx+c的性质 新知探究 请你试着用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k 形式. y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 最小值 最大值 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小. 二次函数 (a≠0)的图象是一条抛物线， 对称轴是直线x= 顶点坐标是为（ ， ） 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 通过对二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质的学习，我们知道 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,1) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6 ( ,-6) 直线x= 练一练 以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系： h= 20t–5t2 . 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间? 2.二次函数与一元二次方程之间的联系 新知探究 分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t －5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得 到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解， 则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值． 解：（1）当h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0， t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20， 15m 3S 1S t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m. 20m 2S 20.5m （4）当h=0时，20t-5t2=0， t2-4t=0， t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m， 即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面. 0S 4S 0m 已知二次函数，求自变量的值 解一元二次方程的根 概念归纳 从以上可以看出： 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值， 就是求相应一元二次方程的解. 例如, 已知二次函数y=-x2+4x的值为3,求自变量x 的值. 就是求方程3=-x2+4x的解. 例如,解方程x2-4x+3=0， 就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0, 求自变量x的值. 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h (m)可以用公式h = －4.9t2 ＋19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间. (1)画出函数h = －4.9t2 ＋19.6t的图象； (2)当t=1, t=2时，足球距地面的高度分别是多少？ (3)方程－4.9t2 ＋19.6t = 0, －4.9t2 ＋19.6t = 14.7的根的 实际意义分别是什么？ 你能在图象上表示出来吗？ 练一练 (1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6. 解： 练一练 (3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距 地面的高度为0 m时经过的时间； 方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根的实际意义是当足球 距地面的高度为14.7 m时经过的时间． 方程－4.9t2＋19.6t＝0的根在图象上表示出来如图 中O，A两点； 方程－4.9t2＋19.6t＝14.7的根在图象上表示出来如 图中M，N两点． 练一练 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？ 二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示. （1） （2） （3） 与同伴交流并回答问题. 3.二次函数图象与x轴交点问题 新知探究 二次函数 的图象与x轴有几个交点？ 两个交点 一元二次方程 有几个根？ 两个根 二次函数 的图象与x轴有几个交点？ 一个交点 一元二次方程 有几个根？ 两个相同的根 二次函数 的图象与x轴有几个交点？ 没有交点 一元二次方程 有几个根？ 没有根 总结：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0无解 3 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 抛物线与x 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？ △=b2-4ac >0 △=b2-4ac =0 △=b2-4ac＜0 O x y 抛物线y=ax2+bx+c与x轴 ax2+bx+c = 0 的根 △= b2 – 4ac 有两个交点 有两个不同实根 △ > 0 有一个交点 有两个相同实根 △ = 0 没有交点 没有根 △ < 0 概念归纳 1.若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　) A．b＜1且b≠0 B．b＞1 C．0＜b＜1 D．b＜1 分析：混淆“与x轴交点”与“与坐标轴交点”而致错 A 练一练 2.如果函数y=kx2-kx+3x+1 的图象与x 轴有且只有一个交点，那么交点坐标是 . 分析：（1）当k=0时，函数为y=3x+1，其图象与x轴有且只有一个交点，是 （2）当k≠0时，原函数为二次函数. ∵其图象与x轴有且只有一个交点， ∴=b²-4ac=（3-k）²-4k=0，即k²-10k+9=0，解得k₁，=1 k₂=9. 当k=1时，y=x²+2x+1，与x轴交于点（-1，0）； 当k=9时，y=9x²-6x+1，与x轴交于点 练一练 问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y=k1x+b1 x y O y=k2x+b2 y=k3x+b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2 ___ 0 b2 ___ 0 ＜ ＞ ＞ ＜ k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＞ ＞ 4.二次函数系数与图像的关系 新知探究 x y O 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在y轴左侧， 对称轴在y轴右侧， x=0时，y=c. x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是y轴， 对称轴在y轴右侧， x=0时，y=c. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 概念归纳 1.已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，有下列结论：① a+b+c<0；② a-b+c>0；③ abc>0；④ b=2a. 其中正确的结论有（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 B 解析：当x=1时，对应的函数值y=a+b+c，观察图象可知此时y<0，即a+b+c<0，故①正确. 当x=-1时，对应的函数值y>0，即a-b+c>0，故②正确。 观察图象知抛物线过原点，c=0，故abc=0，故③错误. ∵此抛物线的对称轴是直线x=-1，∴=1，∴b=2a故④正确. 练一练 2.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．abc＜0，b2－4ac＞0 B．abc＞0，b2－4ac＞0 C．abc＜0，b2－4ac＜0 D．abc＞0，b2－4ac＜0 B 练一练 C A 随堂练 B C 随堂练 (－3,0)、(1,0) x＝－1 随堂练 A 随堂练 C 随堂练 C 1.25 m＞9 随堂练 ②③④ 随堂练 A B 分层练习-基础 0 －4 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 横 2 两个不相等 两个相等 1 无 无 课堂反馈 B 无 一 两 A 课堂反馈 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根，为交点的横坐标 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系（重点） 课堂小结 顶点坐标(－，) 1．对于二次函数y＝x2－2mx－3，下列结论错误的是(　 　) A．它的图象与x轴有两个交点 B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3 C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小 2．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(　 　) A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜－2 3．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是(　 　) A．－8 B．8 C．±8 D．6 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是(　 　) A．有两个不相等的同号的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 5．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的方程－x2＋2x＋m＝0的解为　 　. 6．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－3和1，则二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为　 　 ，对称轴为　 　. x1＝－1，x2＝3 1.根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，下列方程中，可以求出近似解的是( ) A.x2＋3x－1＝0　　　 B.x2＋3x＋1＝0 C.3x2＋x－1＝0 D.x2－3x＋1＝0 2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，－3.2)及部分图象如图所示，由图象可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2等于( ) A.－1.3　 B.－2.3　 C.－3.3　 D.－4.3 3.二次函数y＝x2－2qx－2的图象与x轴的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.无法判断 4.(襄阳中考)汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t(秒)的函数关系是s＝15t－6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 秒. 5.(青岛中考)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是 . 6.(烟台中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a＋b－1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根为1，另一个根为－eq \f(1,a).其中正确结论的序号是 . 7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a、b、c为常数)的图象如图，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是(　 　) A．m≥－2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4 8．(滨州中考)如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(－1,0)，则：①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3，其中正确的个数是(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y轴的直线，若点P(4,0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为　 　. 10．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，则eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)的值为　 　. 解：(1)x1＝1，x2＝3；(2)x＞2；(3)k＜2. 11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根？求k的取值范围． 12．已知抛物线y＝x2＋(k＋1)x＋eq \f(k－3,4). (1)求证：抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)设x1、x2是此抛物线与x轴两交点的横坐标，且满足xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝k2＋eq \f(5,2)，求此抛物线的解析式． (1)证明：∵Δ＝(k＋1)2－4·eq \f(k－3,4)＝k2＋2k＋1－k＋3＝k2＋k＋4＝(k＋eq \f(1,2))2＋eq \f(15,4)＞0，∴该二次函数图象与x轴总有两个不同的交点；　 (2)解：∵x1＋x2＝－(k＋1)，x1x2＝eq \f(k－3,4)，∴xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝k2＋2k＋1－eq \f(k－3,2)＝k2＋eq \f(3,2)k＋eq \f(5,2)，∵xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＝k2＋eq \f(5,2)，∴k2＋eq \f(3,2)k＋eq \f(5,2)＝k2＋eq \f(5,2)，∴k＝0.故抛物线的解析式为y＝x2＋x－eq \f(3,4). 13.已知抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋x＋c与x轴有两个不同的交点. (1)求c的取值范围； (2)抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋x＋c与x轴两交点的距离为2，求c的值. 解：(1)∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴Δ＞0，即1－2c＞0，解得c＜eq \f(1,2)； (2)设抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋x＋c与x轴的两交点的横坐标为x1、x2，∵两交点间的距离为2，∴x1－x2＝2，由题意得，x1＋x2＝－2，解得x1＝0，x2＝－2，∴2c＝x1·x2＝0，即c的值为0. 14．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2,0)和B(2m＋1,0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)、N(x2，y2)(x1＜x2)，当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标． 解：(1)∵抛物线的对称轴为x＝1，∴－eq \f(b,2×－1)＝1，∴b＝2，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2,0)和B(2m＋1,0)，即－x2＋bx＋c＝0的解为m－2和2m＋1，则有(m－2)＋(2m＋1)＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c，∴m＝1，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；　 (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2,y＝－x2＋2x＋3))，得x2＋(k－2)x－1＝0，∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2＝－1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4.∴当k＝2时，(x1－x2)2的最小值为4，即|x1－x2|的最小值为2，∴x2－1＝0，x1＝－1，x2＝1，∴y1＝0，y2＝4.∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)、N(1,4)． 15.(荆州中考)已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0(其中k为常数). (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根； (2)已知函数y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第三象限，求k的取值范围； (3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值. (1)证明：∵Δ＝(k－5)2－4(1－k)＝k2－6k＋21＝(k－3)2＋12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；　 (2)解：∵二次函数y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第三象限，二次项系数a＝1，∴抛物线开口方向向上，∵Δ＝(k－3)2＋12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1、x2，∴x1＋x2＝5－k＞0，x1·x2＝1－k＞0，解得k＜1，即k的取值范围是k＜1；　 (3)解：设方程的两个根分别是x1、x2，根据题意，得(x1－3)(x2－3)＜0，即x1·x2－3(x1＋x2)＋9＜0，又x1＋x2＝5－k，x1·x2＝1－k，代入得，1－k－3(5－k)＋9＜0，解得k＜eq \f(5,2).则k的最大整数值为2. 二次函数与一元二次方程的关系 1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的　 　坐标． 2．(1)当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有　 　实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有　 　个交点； (2)当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有　 　实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有　 　个交点； (3)当b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)　 　实数根，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴　 　交点． 1.已知抛物线y＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点坐标为(－1,0)和(－3,0)，则方程x2＋ax＋b＝0的解是(　 　) A．x1＝1，x2＝－3　　　　　 B．x1＝－1，x2＝－3　　　　 、C．x＝－3　　　　　　 D．x＝3 易错点：审题不严，把函数当做“二次函数”来做． 2.已知函数y＝kx2－7x－7与x轴有交点，则k的取值范围是 　 　. k≥－eq \f(7,4) 抛物线与x轴的交点个数 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点个数：当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴 交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有 个交点；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有 个交点. 2. 下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( ) A.y＝3x2－9x＋3　　　　　B.y＝2x2－4x＋12　　　　　 C.y＝x2－6x＋9　　　　　D.y＝5x2－3x＋9 $$