第01讲 2.1等式性质与不等式性质（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 2.1等式性质与不等式性质 课程标准 学习目标 ①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。 ②会利用不等式性质比较大小。 ③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。 1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围. 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 题型01由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）对于任意实数，命题①若，，则；②若，则； ③若，则 ；④若，则；⑤若，，则． 其中真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知是实数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（多选）（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（多选）（23-24高一上·云南德宏·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若 ，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 题型02由不等式的性质比较数（式）大小 【典例1】（2024高二上·福建）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（2024高二下·湖南娄底）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 题型03作差法比大小 【典例1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【变式1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 题型04利用不等式求值或取值范围 【典例1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【变式1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 题型05用不等式表示不等关系 【典例1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 【典例2】（23-24高一上·福建福州·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220，则这所公寓的地板面积至多为 平方米；若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是 （填写“变好了”或者“变坏了”） 【变式1】（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【变式2】（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 8．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·安徽·竞赛）若实数，满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2024高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 . 12．（23-24高一上·全国·期末）已知，，则的取值范围是 . 四、解答题 13．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 14．（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. B能力提升 1．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）已知甲､乙､丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（    ） A．1080 B．900 C．810 D．540 3．（23-24高一上·天津·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 4．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·吉林·阶段练习）阅读材料： （1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.    在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸 （2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质． 解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． C新定义题型 1．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 2.1等式性质与不等式性质 课程标准 学习目标 ①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。 ②会利用不等式性质比较大小。 ③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。 1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围. 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 题型01由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例1】（23-24高一上·北京·期中）对于任意实数，命题①若，，则；②若，则； ③若，则 ；④若，则；⑤若，，则． 其中真命题的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】命题①，若，当时，，当时，，故①错误； 命题②，若，当时，，当时，，，故②错误； 命题③，若，则，，故，故③正确； 命题④，若，当，或时，，当时，，故④错误； 命题⑤，若，当时，，当时，和大小不确定，当时，，故⑤错误； 故选：A 【典例2】（多选）（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知是实数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质以及特殊值检验求解. 【详解】对于选项，当时，，故A错误； 对于选项B，当时，两边同乘得，则B正确； 对于选项，当，则，显然成立，则C正确； 对于选项，若，当，所以，则D错误． 故选：. 【变式1】（多选）（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）若，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】 根据题意，举出反例即可判断ABC，由作差法即可判断D 【详解】令，满足，但是，故A错误； 令，满足，但是，故B错误； 令，满足，但是，故C错误； 因为，所以，故D正确； 故选：ABC 【变式2】（多选）（23-24高一上·云南德宏·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若 ，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BC 【分析】根据不等式的性质，差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以A选项错误. B选项，若，，则， 则，所以B选项正确. C选项，若，则， 所以，所以C选项正确. D选项，若，，如， 则，所以D选项错误. 故选：BC 题型02由不等式的性质比较数（式）大小 【典例1】（2024高二上·福建）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A，当，时，满足，但是，故A错误； 对于B，当，时，满足，但是，故B错误； 对于C，当，时，满足，但是，故C错误； 对于D，因为，所以，即，故D正确. 故选：D 【典例2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 【变式2】（2024高二下·湖南娄底）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解. 【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变， 所以，故A正确； 对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变， 所以，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变， 所以，故C错误； 对于D，若，，此时，故D错误. 故选：A. 【变式3】（多选）（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD． 题型03作差法比大小 【典例1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】， ∵，为正数，且，，则， ∴， ∴， 故选：C 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 【变式1】（23-24高一上·江苏常州·期末）设a，b，m都是正数，且，记，则（    ） A． B． C． D．与的大小与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意通过作差比较大小，得出的大小关系，从而判断出正确答案. 【详解】由，且，即， 可得，即， 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·云南昆明·期中）设，，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为 ． 【答案】a＜b 【详解】 解析：因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b. 【考查意图】 作差比较法比较大小． 题型04利用不等式求值或取值范围 【典例1】（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 【典例2】（23-24高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用已知式子表示，并利用不等式的性质求的范围，验证最大值取到即可. 【详解】， 由不等式的性质，，所以 所以，所以， 当且仅当时，且已知，解得， 即的最大值为. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可 【详解】由，， 得，即， ， 所以，即， 故选：D 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 【变式3】（2024高一上·全国·专题练习）已知且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件推导出，，，再分别由与求得的取值范围，从而得解. 【详解】因为，， 则，且，即，，， 由得，则，即，即， 又，则， 因此的取值范围是. 故答案为：. 题型05用不等式表示不等关系 【典例1】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨某商场举办优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元； 优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%. 如果顾客购买商品后，使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元. 【答案】201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 【分析】设购买的商品的标价为元，根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】设购买的商品的标价为元，， 使用优惠券1时减免元；使用优惠券2时减免20元；使用优惠券3时减免元， 由题意，且，解得． 故答案为：201.（答案不唯一，在开区间中任取一个实数作为答案即可） 【典例2】（23-24高一上·福建福州·期中）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220，则这所公寓的地板面积至多为 平方米；若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是 （填写“变好了”或者“变坏了”） 【答案】 200 变好了 【分析】设这所公寓的地板面积为，则这所公寓窗户面积为（），然后根据题意列不等式可求出的范围，设窗户面积与地板面积分别为，（），设同时增加相同的面积为（），然后作差判断. 【详解】设这所公寓的地板面积为，则这所公寓窗户面积为（）， 所以，解得， 所以这所公寓的地板面积至多为200平方米， 设窗户面积与地板面积分别为，（），设同时增加相同的面积为（），则 ， 所以， 所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了， 故答案为：200，变好了 【变式1】（23-24高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为： 【变式2】（23-24高三上·河南洛阳·阶段练习）某杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2000本.设提价后该杂志的单价为x元，则用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元为 . 【答案】 【分析】根据已知条件列出不等式. 【详解】若提价后该杂志的单价为x元，则销售量为万本， 则提价后销售的总收入为万元， 所以不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以用不等式表示为： . 故答案为： A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质或反例可得选项. 【详解】因为，所以，D正确； 当时，满足，但是，A,C不正确； 当时，满足，但是，B不正确； 故选：D 2．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 3．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论. 【详解】由于，则成立，等价于成立， 充分性：若，且，则，则， 所以成立，满足充分性； 必要性：若，则成立， 其中，且， 则可得成立，即成立，满足必要性； 故选：C. 4．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质判断A，举反例排除BCD，从而得解. 【详解】对于A，因为，，所以，故A正确； 对于B，取，，则，故B错误； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，取，，则， 故D错误. 故选：A. 5．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，且，根据不等式的加法和乘法法则可得，且，即必要性成立； 当，满足，且，但是，故充分性不成立， 所以“，且”是“，且”的必要不充分条件. 故选：B 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可结论. 【详解】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（    ） A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低 B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低 C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样 D．丙次购买葡萄的平均价格无法比较 【答案】A 【分析】 根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可. 【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且， 则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克， 小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元． 因为， 所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低． 故选：A. 8．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质即可得解. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于AD，举例判断，对于B，利用不等式的性质分析判断，对于C，利用作差法分析判断 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确， 对于C，因为，，，所以，， 所以， 所以，所以C正确， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：BC 10．（2024高一上·安徽·竞赛）若实数，满足，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A选项，举出反例；B选项，由同向可加性得到结果；CD选项，由不等式性质得到. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，因为，根据同向可加性可知，故B正确； CD选项，因为，所以，， 则，故C错误，D正确. 故选：BD. 三、填空题 11．（2024高一上·全国·专题练习）已知且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可. 【详解】设，可得， 解得，， 因为可得， 所以. 故答案为：. 12．（23-24高一上·全国·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则， 所以，解得， 于是. 又，， 所以，即. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一上·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用作差法，化简后和0比较，即可判断大小关系. 【详解】（1）， . （2）， ， ， 则， . 14．（22-23高一上·山东淄博·阶段练习）（1）如果，，求，，的取值范围. （2）已知，满足，，求的取值范围. 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的基本性质即可得解； （2）利用待定系数法求得，再利用不等式的基本性质即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，， 所以，； （2）设，， 则，解得， 所以， 又，， 所以，则， 所以的取值范围是. B能力提升 1．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】由题意可得，，，， ，， ， ． 故选：C． 2．（23-24高三上·北京东城·阶段练习）已知甲､乙､丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（    ） A．1080 B．900 C．810 D．540 【答案】C 【分析】每人最多带36天的水和食物，按乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙先后不同时把水和食物交给甲两种情况分别计算甲行驶的总天数即可判断. 【详解】甲、乙、丙三人一起出发，设天后，乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙分别给甲天的水和食物， 于是，解得，甲全程共有水和食物的天数， 因此从出发点甲最多往前走天，最远能深入沙漠公里； 甲、乙、丙三人一起出发，设天后乙丙之一独自返回，不妨令丙返回，丙扣除天的水和食物后， 把剩余的水和食物的一半分别分给甲乙，则由，得， 从出发甲乙带的水和食物的天数都为，当且仅当时取等号， 要使前行天数最多，则取，甲乙均有36天的水和食物，甲乙继续前行，再行天后，乙独自返回， 乙扣除天的水和食物后，把剩余的水和食物给甲，则由，解得， 此时甲全程共有水和食物的天数是， 因此从出发点甲最多往前走27天，最远能深入沙漠公里，显然， 所以甲最远能深入沙漠公里数为810. 故选：C 【点睛】方法点睛：分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 3．（23-24高一上·天津·期中）已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【分析】根据题意先对进行化简后，然后解不等式后进行求解. 【详解】由题意得，从而可知：， 化简得：，解之得：或， 故解集为：，故D项正确. 故选：D 4．（23-24高一上·上海·期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求解含绝对值的不等式，再结合恰有3个整数解可得不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】因为，所以，即， 由于不等式恰有3个整数解，则这三个整数解分别是2，3，4， 所以，解得， 故答案为：. 5．（23-24高一上·吉林·阶段练习）阅读材料： （1）如图图片中为初中化学实验试题，请用数学中不等式知识解释题中“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，用a代替溶质，b代替溶液，c代替添加的溶质并证明.    在氯化钠能全部溶解的情况下：氯化钠加的越多，溶液越咸 （2）结合（1）中的不等式关系与，，则有的不等式性质． 解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）假定，，再根据作差法证明即可； （2）结合（1）与三角形三边性质可得，同理，，再根据，，则有证明即可. 【详解】（1）依题意，得，， 要证“氯化钠加的越多，溶液越咸”这句话，即证成立， 即证成立，整理得，即证， ，显然成立，不等式成立，即“氯化钠加的越多，溶液越咸”. （2）因为a，b，c是三角形的三边，则， 由材料（1）知，， 同理，，由材料（2）得： ，，所以原不等式成立． C新定义题型 1．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”. (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由 【答案】(1)“上位点”，“下位点”（答案不唯一） (2)“下位点”，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标. （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”. （3）依题意可得，从而得到，即可得解. 【详解】（1）因为， 根据题设中的定义可得点的一个 “上位点坐标”和一个“下位点”坐标分别为和， 即“上位点”，“下位点”（答案不唯一）； （2）点是点的“下位点”. 证明：点是点的“上位点”，     ， 又均大于，      ，       ， ，即， 所以点是点的“下位点”. （3）若点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”； 即； 所以对任意的都有， ， 所以当时，对任意的存在， 使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”. 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$