高二开学学情调研卷01（高一下学期内容）-【学情调研】2024年高二数学秋季开学考试（安徽专用）

2024年高二数学秋季开学考试（安徽专用） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知正实数m，n满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 5．已知的重心为O，若向量，则（    ） A． B． C． D． 6．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B．事件与事件B相互独立 C． D． 7．已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   8．已知是方程的两个解，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．在平行四边形中，与共线 B．若均为非零向量，且，则 C．若为三条中线的交点，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 10．已知函数，.记，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时， B．函数的最小值为 C．函数在上单调递增 D．若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，，，则a，b，c的从小到大依次 ． 13．某单位名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取名职工作样本，采用系统抽样方法，按编号分为组，分别为，，，，第组抽取号码为，第组抽取号码为 .若采用分层抽样，岁以下年龄段应抽取 人. 14．如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．当最小时，BD的长为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内，居皖南旅游带中部，风景奇特，文化底蕴深厚，素有“皖南张家界，江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平，对当日购票的40名游客进行满意度调查问卷，根据所得评分，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值； (2)景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品，由于纪念品数量有限，只对评分排在前13%的游客赠送，求收到纪念品的游客分数不低于多少? (3)若从评分在的游客中随机抽出两位游客，求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率. 16．（15分）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围： 17．（15分）记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 18．（17分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 19．（17分）如图，在四面体P-ABC中，△ABC是等腰三角形AB⊥BC，.    (1)证明：PB⊥AC； (2)若AB=2，，PA⊥AB. （ⅰ）求点A到平面PBC的距离； （ⅱ）求二面角的正弦值. 试卷第2页，共18页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学秋季开学考试（安徽专用） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再判断其虚部即可. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：B 2．如图所示，，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，，则为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求出集合,,确定，，再根据韦恩图分析，由此求结果. 【详解】根据题意有 ， ， 所以， ， 则 或. 故选：D 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倍角公式，即得. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 4．已知正实数m，n满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选:B． 5．已知的重心为O，若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的重心性质，将表示为，对照系数即可求得. 【详解】    如图，设E是的中点，由于O是三角形的重心， 所以 ． 则. 故选:D． 6．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ） A． B．事件与事件B相互独立 C． D． 【答案】D 【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项； B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确； C选项，利用条件概率公式求解即可. 【详解】由题意得，所以A错误； 因为， ，所以，即， 故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确； ，所以C错误； 故选：D 7．已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】则，从而， 当时，函数与函数在定义域内都是单调递增； 当时，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同. 故选：C. 8．已知是方程的两个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出两个函数的图象，可得，把代入方程得到的两个式子相减，进一步分析可得，结合函数图象得到的函数值的范围，进一步分析即可求解. 【详解】设，分别作出两个函数的图像，如图所示： 不妨设，则由图像知， 则， 两式相减得， 因为为减函数，所以， 即0，则. 因为，所以， 可得， 则，即， 因为，所以. 故选：. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．在平行四边形中，与共线 B．若均为非零向量，且，则 C．若为三条中线的交点，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】AC 【分析】根据共线向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，根据重心的性质及平面向量线性运算法则判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：在平行四边形中，，所以与共线，故A正确； 对于B：若均为非零向量，且，则， 所以，无法得到，故B错误； 对于C：若为三条中线的交点，则为的重心， 所以，所以， 所以，故C正确； 对于D：因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为，故D错误. 故选：AC 10．已知函数，.记，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．当时， B．函数的最小值为 C．函数在上单调递增 D．若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或 【答案】BCD 【分析】由已知求出函数的解析式，作出函数的图像，利用数形结合思想，依次判断各选项. 【详解】当，即，解得或，此时； 当，即，解得或，此时 所以，作出函数的图像，如下：      对于A，当时，，故A错误； 对于B，由图知函数的最小值为，故B正确； 对于C，由图知函数在上单调递增，故C正确； 对于D，关于x的方程恰有两个不相等的实数根，由图知，或，故D正确. 故选：BCD 11．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，，，则a，b，c的从小到大依次 ． 【答案】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断实数a，b，c所在的范围，即得到大小关系. 【详解】对数函数在上单调递增，故， 指数函数在上单调递增，，即， 指数函数在上单调递减，，即，所以. 故答案为：. 13．某单位名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取名职工作样本，采用系统抽样方法，按编号分为组，分别为，，，，第组抽取号码为，第组抽取号码为 .若采用分层抽样，岁以下年龄段应抽取 人. 【答案】 【分析】计算出分段间隔，可计算出第组抽取的号码；利用岁以下年龄段的频率乘以可得出采用分层抽样，岁以下年龄段应抽取的人数. 【详解】若采取系统抽样，分段间隔为，由于第组抽取号码为，则第组抽取号码为； 若采取分层抽样，岁以下年龄段应抽取. 故答案为：；. 【点睛】本题考查系统抽样中样本编号的计算，以及分层抽样样本容量的计算，同时也考查了扇形统计图的应用，考查计算能力，属于基础题. 14．如图，在△ABC中，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．当最小时，BD的长为 ． 【答案】 【分析】设，余弦定理表示出，结合基本不等式求最小值和最小值成立的条件. 【详解】设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故，即的最小值为， 此时也取最小值，有，即此时. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）马仁奇峰位于安徽省芜湖市繁昌县境内，居皖南旅游带中部，风景奇特，文化底蕴深厚，素有“皖南张家界，江滨小黄山”之称.现景区为提高服务水平，对当日购票的40名游客进行满意度调查问卷，根据所得评分，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值； (2)景区准备对本次评分较高的游客赠送小纪念品，由于纪念品数量有限，只对评分排在前13%的游客赠送，求收到纪念品的游客分数不低于多少? (3)若从评分在的游客中随机抽出两位游客，求抽出的两位游客中至少有一位评分来自的概率. 【答案】(1) (2)88 (3) 【分析】（1）根据直方图的长方形面积之和为1计算即可； （2）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率为0.13对应的分数即可； （3）根据古典概型的概率公式，结合列举法可解. 【详解】（1）由，解得； （2）设收到纪念品的游客评分不低于x分 因为，对应的频率分别为0.15，0.1 所以，解得 故收到纪念品的游客评分不低于88. （3）有人，分别记为a，b 有人，分别记为1，2，3，4，5，6 记事件A为“在评分在中随机抽两人，至少一人评分在”，则 所以. 16．（15分）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数得，再根据即可求解； （2）由（1）知，，可得，由为锐角三角形，可求出角的范围，由正弦定理，可得，再利用两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系可得，最后结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为， 所以, 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以. （2）由（1）知，， 所以， 因为角，为锐角， 所以， 解得， 由正弦定理， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 17．（15分）记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题意，求得，利用余弦定理列出方程，得到，即可求解； （2）由（1）和，得到，则周长为，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 18．（17分）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】 （1）由奇函数性质即可得解，并注意检验； （2）结合指数函数单调性以及单调性的定义即可得证； （3）由奇函数的性质、以及函数单调性可等价转换表达式为一元二次不等式，由此即可顺利得解. 【详解】（1）由题意，函数定义域为R，则，解得， 当时，，定义域为全体实数，且， 所以函数是奇函数，满足题意； （2）由（1）可知单调递增，理由如下： 不妨设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数单调递增； （3）由题意 ， 所以实数的取值范围为. 19．（17分）如图，在四面体P-ABC中，△ABC是等腰三角形AB⊥BC，.    (1)证明：PB⊥AC； (2)若AB=2，，PA⊥AB. （ⅰ）求点A到平面PBC的距离； （ⅱ）求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明； （2）根据题意将三棱锥转化为直三棱柱. （ⅰ）根据线面垂直的判定定理分析求解；（ⅱ）利用二面角的平面角的概念结合条件即得. 【详解】（1）由题意可得：， 所以≌，则， 取的中点，连接，则， 且，平面，所以平面， 由于平面，可得PB⊥AC. （2）（ⅰ）由题意可得：， 因为平面，且平面，平面平面， 过作平面，垂足为，连接， 在中，由余弦定理可得， 即为钝角，则点在的延长线上， 可得，则， 即，且，则为正方形， 以为底面作直三棱柱，可得， 过作，垂足为， 因为平面，平面，则， ，平面，则平面， 利用等面积法，即，解得， 所以点A到平面PBC的距离； （ⅱ）过作//，交于点，连接， 因为平面，平面，可得， 又因为平面，平面，可得， 且//，则， ，平面，所以平面， 平面，则， 所以二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值.    试卷第2页，共18页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$