精品解析：山东省淄博市桓台县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

初三数学练习题 一、选择题（请把正确的选项填在下面的表格中） 1. 下列式子化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下列条件中不能使成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 两个相似多边形的周长之比为 ，则它们的面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 若=，则的值等于（ ） A. B. C. D. 1 6. 如果关于 的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 7. 如图，正方形的边长为，将正方形沿对角线 向右平移，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 10. 已知Rt，过点作一条射线，使其将 分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题 11. 若一元二次方程x2﹣2mx+m2＝0的一根为x＝﹣1，则m的值为__． 12. 计算 的结果是___． 13. 如图， 与 位似，点是它们的位似中心，其中 ，若 的面积是3，则 的面积是__________． 14. 如图，在平面直角坐标系 中，菱形的面积为48，顶点，则顶点B的坐标为__________． 15. 已知，P是正方形内一点，， ，则的面积为__________． 三、解答题 16. 如图，点D，E分别在 的边 ， 上， ．求证： ． 17. 已知：． （1）直接写出的值为______， 的值为______； （2）求的值． 18. 如图， 和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，和的交点为M． （1）若，，求点M离地面的高度； （2）若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由． 19. 随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，熊猫相应的文创物品类型更加丰富．某店有A、B两种熊猫玩偶，已知每个A款熊猫玩偶的售价是每个B款熊猫玩偶售价的倍，顾客用150元购买A款熊猫玩偶的数量比用150元购买B款熊猫玩偶的数量少1个． （1）求每个B款熊猫玩偶的售价为多少元？ （2）经统计，该店每月卖出A款熊猫玩偶100个，每个A款熊猫玩偶的利润为16元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款熊猫玩偶的售价每降低2元，那么平均每月可多售出20个．该店想每月销售A款熊猫玩偶的利润达到1200元，每个A款熊猫玩偶应降价多少元？ 20. 如图，在中， 于点 ， 于点 ， 与、 分别交于点 ， ． （1）求证： （2）若，求证四边形是菱形 21. 如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，A，B，C都在格点上，边与y轴交于点M． （1）以点M为位似中心，在x轴的上方将 放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为2），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； （2）直接写出四边形的面积：__________． 22. 某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度． 【测量方案】在地面上选一点 ，垂直地面竖立标杆 ，后退2m到 处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到 处，此时三点也在一直线上． 【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为 m，且在同一直线上． 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度． 23. 如图，在矩形中，点E，F分别为对边的中点，线段交 于点O，延长于点G，连接 并延长交 于点Q，连结交 于点P，连结． （1）求证：O是的中点； （2）求证：平分； （3）若，求．（结果用含m的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学练习题 一、选择题（请把正确的选项填在下面的表格中） 1. 下列式子化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式、二次根式的性质．先根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断． 【详解】解：A、，不能与合并，本选项不符合题意； B、，能与合并，本选项符合题意； C、，不能与合并，本选项不符合题意； D、，不能与合并，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，下列条件中不能使成为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、 四边形是平行四边形，且， ∴是菱形，故不符合题意； B、 四边形是平行四边形，且， ∴是菱形，故不符合题意； C、 四边形是平行四边形，且 ， ∴是菱形，故不符合题意； D、 四边形是平行四边形，且 ，不能判定是菱形，故符合题意， 故选：D． 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是立方根的定义、算术平方根的定义根据立方根的定义、算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 因为，所以，故该选项不正确，不符合题意； B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 两个相似多边形的周长之比为 ，则它们的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长之比为 ， ∴两个相似多边形的相似比为 ， ∴它们的面积之比为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 5. 若=，则的值等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是分式的求值，比例的性质，学会变形已知条件，使变形所得到的式子在所求的式子中能用得上是解题的关键． 我们可以用设参数法，设，然后用k表示出a和b，再代入到中进行计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 将，代入可得： = =， 故选：A． 6. 如果关于 的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程有实数根， ∴且 ， 即且 ， 解得：且 ， 故选： ． 7. 如图，正方形的边长为，将正方形沿对角线向右平移，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，平移的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据正方形的性质结合勾股定理可求出，再根据平移的性质得出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴． ∵将正方形沿对角线向右平移得到正方形， ∴， ∴． 故选：D． 8. 在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P，Q，则PQ=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP=BQ=AB，再根据PQ=AP+BQ-AB，即可得出结果． 【详解】解：根据黄金分割点的概念，可知AP=BQ=， 则PQ=AP+BQ-AB= 故选C 【点睛】此题主要是考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系，能够熟练求解． 9. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 10. 已知Rt，过点作一条射线，使其将 分成两个相似的三角形．观察图中尺规作图的痕迹，作法正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 根据尺规作图及相似三角形的判定方法即可一一判断 【详解】解：①由作图可知： ，，又 ，故 与相似，故本图符合题意； ②由作图可知： ,，又 ，故 与相似，故本图符合题意； ③由作图可知：以 为直径的圆与 交于点D,即,，又 ，故 与相似，故本图符合题意； 故选：D． 二、填空题 11. 若一元二次方程x2﹣2mx+m2＝0的一根为x＝﹣1，则m的值为__． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于m的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】把代入得 解得 即m的值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程，掌握方程的解法是解题关键． 12. 计算 的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式和计算二次根式的除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为： 13. 如图， 与 位似，点 是它们的位似中心，其中 ，若 的面积是3，则 的面积是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到， ，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 与 位似， ，， ， ， ， 的面积是3， 的面积是12， 故答案为：12． 14. 如图，在平面直角坐标系 中，菱形的面积为48，顶点，则顶点B的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，根据菱形的面积为48，求出即可求解． 【详解】由题意得 ∵ ∴ ∴ ∴顶点B的坐标为 故答案为：． 15. 已知，P是正方形内一点，， ，则的面积为__________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，过B作 于E，证明得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过B作 于E，则 ， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，又， 在 和 中， ， ∴， ∴， 又 ， ∴， 故答案为：32． 三、解答题 16. 如图，点D，E分别在 的边 ， 上， ．求证： ． 【答案】 证明： ， ， ， 在 和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据同角的补角相等可得 ，结合 为公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明 ； 【详解】略 17. 已知：． （1）直接写出的值为______， 的值为______； （2）求的值． 【答案】（1），2 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，计算求解即可； （2）根据，代值求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ， 故答案为：，2； 【小问2详解】 解：， ∴的值为． 【点睛】本题考查了代数式求值，平方差公式，二次根式的乘法，分式的化简求值．熟练掌握代数式求值，平方差公式，二次根式的乘法，分式的化简求值是解题的关键． 18. 如图， 和表示两根直立于地面的柱子， 和表示起固定作用的两根钢筋， 和的交点为M． （1）若，，求点M离地面的高度； （2）若，，，请判断a，b，l三者之间的关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用． （1）根据题意得到，，证明，，分别得到①，②，两式相加，即可得出结果； （2）同理（1）解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴① ∵， ， ∴ ∴② ∴①②得，， ∴解得； 【小问2详解】 解：∵， ， ∴① ∵， ， ∴ ∴②， ∴①②得， ∴． 19. 随着重庆动物园的熊猫新馆建成和使用，熊猫相应的文创物品类型更加丰富．某店有A、B两种熊猫玩偶，已知每个A款熊猫玩偶的售价是每个B款熊猫玩偶售价的倍，顾客用150元购买A款熊猫玩偶的数量比用150元购买B款熊猫玩偶的数量少1个． （1）求每个B款熊猫玩偶的售价为多少元？ （2）经统计，该店每月卖出A款熊猫玩偶100个，每个A款熊猫玩偶的利润为16元．为了尽快减少库存，该店决定采取适当的降价措施．调查发现，每个A款熊猫玩偶的售价每降低2元，那么平均每月可多售出20个．该店想每月销售A款熊猫玩偶的利润达到1200元，每个A款熊猫玩偶应降价多少元？ 【答案】（1）每个B款熊猫玩偶的售价为25元 （2）每个A款熊猫玩偶应降价10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据顾客用1500元购买A款电器的数量比用1500元购买B款电器的数量少1台，列出分式方程求解即可； （2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 解：设每个B款熊猫玩偶的售价为x元，则A款熊猫玩偶的售价为， 由题意，得 ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 每个B款熊猫玩偶的售价为25元； 【小问2详解】 设每个A款熊猫玩偶应降价m元， ， 解得：（舍去），， 答：每个A款熊猫玩偶应降价10元． 20. 如图，在中， 于点 ， 于点 ， 与、 分别交于点 ， ． （1）求证： （2）若，求证四边形是菱形 【答案】（1） 证明：∵ ， ， ∴， 又是平行四边形， ∴ ， ∴； （2） 证明：∵， ∴ ， 又, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形． 【解析】 【分析】（1）先利用已知里的两个垂直，可证一对角相等，都等于，再利用平行四边形的性质，对角相等，那么可证； （2）由，可得，那么，可得，即证四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题利用了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定知识，掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键． 21. 如图，已知点O是坐标原点，小方格的边长为1，A，B，C都在格点上，边与y轴交于点M． （1）以点M为位似中心，在x轴的上方将 放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为2），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； （2）直接写出四边形的面积：__________． 【答案】（1）见解析 （2）33 【解析】 【分析】本题考查基本作图-位似变换，熟练掌握位似变换的性质，正确作出图形 是解答的关键． （1）根据位似变换的性质，找到对应点，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 【小问2详解】 解：四边形的面积为 ． 故答案为：33． 22. 某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度． 【测量方案】在地面上选一点 ，垂直地面竖立标杆 ，后退2m到 处，此时在一直线上；另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4m到 处，此时三点也在一直线上． 【测量数据】两次测量标杆之间的距离是为50m，两个标杆的高度均为 m，且在同一直线上． 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出古塔的高度． 【答案】古塔的高度为39米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．先证明得，即，再证明得，即，解出 即可． 【详解】解：由题可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， 同理， ∴， 即：， 解得：，， ∴古塔的高度为39米． 23. 如图，在矩形中，点E，F分别为对边的中点，线段 交 于点O，延长于点G，连接 并延长交 于点Q，连结交 于点P，连结． （1）求证：O是 的中点； （2）求证：平分； （3）若，求．（结果用含m的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，根据该相似三角形的对应边成比例得到：，结合中点的性质推知，，最后根据等量代换推知 为 的中点； （2）如图2，延长与 的延长线交于点 ．构造相似三角形：，．根据该相似三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推知． （3）首先证得，则，同理，故．作于点 ，于点 ，构造，再次由相似三角形的对应边成比例推知． 【小问1详解】 证明： 四边形是矩形， ， ， 点E，F分别为对边的中点， ， ， 在 和中， ， ， ， O是 的中点； 【小问2详解】 证明：如图2，延长与 的延长线交于点 ． 点E，F分别为对边的中点， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 所以，； 且，． ， ， ． 又， ， ， 则， 平分； 【小问3详解】 解：因为， 由 ，得， ， 同理， ． 作于点 ，于点 ， 又由（2），得， ， ． 即． 【点睛】本题考查的是相似综合题，主要涉及到了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，解题的难点是作出辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $