1.2 集合间的基本关系 （导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.2 集合间的基本关系 导学案 1、 学习目标 1、理解集合之间包含与相等的含义； 2、理解子集、真子集的概念； 3、能利用韦恩图表达集合间的关系； 4、了解空集的含义． 2、 重点难点 1、重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念； 2、难点：属于关系与包含关系的区别． 3、 导入新知 问题1：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？ 观察 问题2：观察下面几个例子,类比实数之间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗? (1); (2)为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,为这个班全体学生组成的集合; (3)是两条边相等的三角形是等腰三角形. 一般地,对于两个集合,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集(subset),记作读作“包含于”(或“包含”). 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.这样,上述集合与集合的包含关系,可以用图1.2-1表示. 【师生活动】教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处。 请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例. 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作. 与实数中的结论“若,且,则”相类比,你有什么体会? 也就是说,若,且,则.如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的真子集(propersubset),记作 例如（1）,但,且,所以集合是集合的真子集. 我们知道,方程没有实数根,所以方程2的实数根组成的集合中没有元素. 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(emptyset),记为,并规定:空集是任何集合的子集. 你能举出几个空集的例子吗? 【师生活动】根据学生举例的情况，教师可以补充一些例子，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“{0}”是否为空集等例子.根据追问的问题（4），教师可以引导学生获得教科书第8页的两个结论. 思考 包含关系与属于关系有什么区别?试结合实例作出解释. 由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论: 4、 应用新知 例题1. 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【分析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 变式1：满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个． 【师生活动】学生分析解题思路，教师给出解答示范. 例题2. 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1），是8的约数}； （2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}. (2)根据平行四边形的特殊性质判断即可. 变式2:指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 判断集合间关系的常用方法 【师生活动】学生判断，教师给出解答示范. 5、 能力提升 题型一：集合间的基本关系 【练习1】 下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1　　　　　　　　 　B．2 C．3 D．4 题型二：由集合间的关系解决参数问题 【练习2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 若B⊆A，求实数m的取值范围． 6、 课堂总结 1.本节知识框图 2．知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质． (2)子集的个数． (3)由集合间的关系求参数范围． 3．方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论． 4．常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论． 7、 作业布置 教科书习题1.2第1,2,3,4,5题 教科书第8页练习 1. 写出集合的所有子集. 2. 用适当的符号填空： （1）a_____；（2）0____；（3）____； （4）____N；（5）____；（6）____. 3. 判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 习题1．2 复习巩固 1. 选用适当的符号填空： （1）若集合，， 则______， ______ ，______ ， ______ （2）若集合，则______，______ ，______ ，______； （3）是菱形______是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形 2. 指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 综合运用 3. 举出下列各集合的一个子集： （1）A={是立德中学的学生}； （2）B={是三角形}； （3）； （4）. 【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题. 4. 在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 拓广探索 5. 请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的基本关系 导学案 1、 学习目标 1、理解集合之间包含与相等的含义； 2、理解子集、真子集的概念； 3、能利用韦恩图表达集合间的关系； 4、了解空集的含义． 2、 重点难点 1、重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念； 2、难点：属于关系与包含关系的区别． 3、 学习新知 问题1：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？ 问题2：观察下面几个例子,类比实数之间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗? (1); (2)为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,为这个班全体学生组成的集合; (3)是两条边相等的三角形是等腰三角形. 可以发现,在(1)中,集合的任何一个元素都是集合的元素.这时我们说集合包含于集合,或集合包含集合.(2)中的集合与集合也有这种关系. 一般地,对于两个集合,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集(subset),记作读作“包含于”(或“包含”). 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.这样,上述集合与集合的包含关系,可以用图1.2-1表示. 【师生活动】教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处。 请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例. 总结：判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴． 提示：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 在(3)中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,因此,集合都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合中任何一个元素都是集合中的元素,同时,集合中任何一个元素也都是集合中的元素.这样,集合的元素与集合的元素是一样的 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作. 与实数中的结论“若,且,则”相类比,你有什么体会? 也就是说,若,且,则.如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的真子集(propersubset),记作 例如（1）,但,且,所以集合是集合的真子集. 我们知道,方程没有实数根,所以方程2的实数根组成的集合中没有元素. 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(emptyset),记为,并规定:空集是任何集合的子集. 你能举出几个空集的例子吗? 【师生活动】根据学生举例的情况，教师可以补充一些例子，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“{0}”是否为空集等例子.根据追问的问题（4），教师可以引导学生获得教科书第8页的两个结论. 思考 包含关系与属于关系有什么区别?试结合实例作出解释. 由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论: (1)任何一个集合是它本身的子集,即 （2）对集合如果,且,那么. 4、 应用新知 例题1. 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【分析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 【解析】 集合的所有子集为,,,.真子集为,,. 【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型. 变式1：满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个． 【解析】 由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有7个． 子集和真子集的区别与联系是什么？ 总结： 1.假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集有2n个； (2)A的非空子集有(2n－1)个； (3)A的真子集有(2n－1)个； (4)A的非空真子集有(2n－2)个． 2．求给定集合的子集的两个注意点： (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身． 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【师生活动】学生分析解题思路，教师给出解答示范. 例题2. 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1），是8的约数}； （2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}. 【分析】 (1)根据8的约数判断即可. (2)根据平行四边形的特殊性质判断即可. 【解析】 （1）因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集. （2）因为若x是长方形,则x一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集. 【点睛】本题主要考查了子集的辨析与约数和特殊平行四边形的性质,属于基础题型. 变式2:指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 【解析】　(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 判断集合间关系的常用方法 【师生活动】学生判断，教师给出解答示范. 5、 能力提升 题型一：集合间的基本关系 【练习1】 下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1　　　　　　　　 　B．2 C．3 D．4 解析：选B　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的． 1.空集是任何集合的子集 2.空集是任何非空集合的真子集 3.任何一个集合是它本身的子集 4.当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 题型二：由集合间的关系解决参数问题 【练习2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 若B⊆A，求实数m的取值范围． 【解析】因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 则解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}． 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 6、 课堂总结 1.本节知识框图 2．知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质． (2)子集的个数． (3)由集合间的关系求参数范围． 3．方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论． 4．常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论． 7、 作业布置 教科书习题1.2第1,2,3,4,5题 教科书第8页练习 1. 写出集合的所有子集. 【分析】 根据子集的定义枚举列出即可. 【解析】集合的所有子集有： ,,,,,,,. 【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型. 2. 用适当的符号填空： （1）a_____；（2）0____；（3）____； （4）____N；（5）____；（6）____. 【分析】 根据元素与集合,集合与集合的关系填空即可. 【解析】(1)元素属于集合,故. (2)元素满足,故. (3)因为在时无解,故 (4)因为0,1均属于自然数,故集合 (5)因为,故. (6)因为的根为.故. 【点睛】本题主要考查了元素与集合和集合与集合间的基本关系,属于基础题型. 3. 判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 【分析】 (1)根据数轴上的范围判断即可. (2)根据集合表示的数分析即可. (3)根据集合表示的数分析即可. 【解析】(1)根据数轴可知, 表示左边的数的集合, 表示左边的数的集合,故. (2) 表示3的整数倍 , 表示6的整数倍.故. (3) 是4与10的公倍数}即 20的正整数倍, 也表示20的正整数倍.故 【点睛】本题主要考查了对集合的范围的理解,属于基础题型. 习题1．2 复习巩固 1. 选用适当的符号填空： （1）若集合，， 则______， ______ ，______ ， ______ （2）若集合，则______，______ ，______ ，______； （3）是菱形______是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形 【分析】（1）求出集合，，由此能求出结果．（2）求出集合，由此能求出结果．（3）利用菱形与平行四边形的关系和等腰三角形与等边三角形的关系进行求解． 【解析】（1）∵集合， ∴．故答案为：． （2）∵集合，∴，故答案为：． （3）是菱形是平行四边形；是等边三角形是等腰三角形}．故答案为：． 2. 指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 【分析】 根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的范围关系得到答案. 【解析】各集合之间的关系为DCBA用Venn图表示如图所示： 【点睛】本题考查了集合的包含关系，韦恩图，意在考查学生对于集合的理解和掌握. 综合运用 3. 举出下列各集合的一个子集： （1）A={是立德中学的学生}； （2）B={是三角形}； （3）； （4）. 【分析】 根据子集的定义写出一个子集即可. 【解析】（1）{是立德中学的女生} （2）{是直角三角形} （3） （4） 【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题. 4. 在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 【分析】 集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系. 【解析】集合表示直线与直线交点的集合， 即. DC 【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握. 拓广探索 5. 请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【分析】 （1）直接根据集合相等得到答案. （2）根据集合的包含关系得到得到答案. 【解析】（1）由于，所以，且，. （2），且， 如图所示. 【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$