1.1 集合的概念 （导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 导学案 1、 学习目标 1.通过实例了解集合的含义，理解集合以及有关概念。 2.初步体会“属于”关系的意义，掌握元素与集合关系的表示方法，及熟悉常用数集的专用符号。 3.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 2、 重点难点 1.教学重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合.； 2.教学难点：集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 3、 学习新知 1. 认识新知 初中阶段，我们学习过哪些集合？ 代数方面：自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合； 几何方面：点的集合等． 在初中学习中，我们用集合描述过什么？ 圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． （1） 元素和集合的含义 1.考察下列问题： （1）1～10以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有的点; （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 思考: 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？ 2、归纳新知 （1）集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）. （2）集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素. 集合中元素的性质 （2） 元素、集合及其关系的表示 1.已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 2.元素与集合的“属于”关系 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA. ③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 2.由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？ 师生共同总结出集合中元素的基本性质： 1.确定性： 集合的元素必须是确定的。一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，则某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一。这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合。 2.互异性： 集合的元素一定是互不相同的。集合中的元素必须是互异的。对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素。 3.无序性： 集合的元素没有先后顺序。集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合。这个特性通常被用来判断两个集合的关系。 4.构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. （3） 集合的表示：列举法和描述法 1.列举法 思考1：方程的所有实数根组成的集合如何表示？ 思考2：地球上的四大洋组成的集合如何表示？ 问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？ 思考3：a与{a}有什么区别？ 2. 描述法 思考4：能否用列举法表示不等式x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？ 思考5：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？ 问题2：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？ 4、 应用新知 例1用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 变式：集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______. 【师生活动】师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 例2试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 变式:用列举法表示集合　　. 思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？ 5、 能力提升 题型一：集合含义有关问题 【练习1】设,集合,则　　　　.  题型二：元素与集合的关系 【练习2】已知集合，若，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． 练习2.1(多选题)已知集合,若,则满足条件的实数可能为( )。 A.2 B.-2 C.-3 D.1 题型三：两个集合相等 【练习3】下列集合中表示同一集合的是 A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)} 题型四：元素与集合的关系 【练习4】若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 6、 课堂总结 练习 1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）与定点A，B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手. 2.用符号“”或“”填空： 0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R. 3.用适当的方法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； （2）一次函数与图象的交点组成的集合； （3）不等式的解集. 习题1.1 复习巩固 4.用符号“”或“”填空： （1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A； （2）若，则-1_____________A； （3）若，则3________________B； （4）若，则8_______________C，9.1____________C. 5.用列举法表示下列集合： （1）大于1且小于6的整数； （2）； （3）． 综合运用 6.把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）中国古代四大发明 7.用适当的方法表示下列集合： （1）二次函数的函数值组成的集合； （2）反比例函数的自变量组成的集合； （3）不等式的解集 拓广探索 8．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识． 康托尔（GeorgCantor，1845—1918） 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 导学案 1、 学习目标 1.通过实例了解集合的含义，理解集合以及有关概念。 2.初步体会“属于”关系的意义，掌握元素与集合关系的表示方法，及熟悉常用数集的专用符号。 3.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 2、 重点难点 1.教学重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合.； 2.教学难点：集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 3、 学习新知 1. 认识新知 初中阶段，我们学习过哪些集合？ 代数方面：自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合； 几何方面：点的集合等． 在初中学习中，我们用集合描述过什么？ 圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． （1） 元素和集合的含义 1.考察下列问题： （1）1～10以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有的点; （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 思考: 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？ 2、归纳新知 （1）集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）. （2）集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素. 集合中元素的性质 （2） 元素、集合及其关系的表示 1.已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素. 2.元素与集合的“属于”关系 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA. ③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 不能.其中的元素不确定集合中的元素是确定的 2.由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5. 集合中的元素是互异的 3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 集合没有变化集合中的元素是没有顺序的 归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？ 师生共同总结出集合中元素的基本性质： 1.确定性： 集合的元素必须是确定的。一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，则某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一。这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合。 2.互异性： 集合的元素一定是互不相同的。集合中的元素必须是互异的。对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素。 3.无序性： 集合的元素没有先后顺序。集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合。这个特性通常被用来判断两个集合的关系。 4.构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. （3） 集合的表示：列举法和描述法 1.列举法 思考1：方程的所有实数根组成的集合如何表示？ 思考2：地球上的四大洋组成的集合如何表示？ 问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？ 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意：⑴大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开； ⑵元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。 思考3：a与{a}有什么区别？ 【答案】a是一个元素，{a}是集合。 使用列举法表示集合时需注意的几点 (1)元素之间用“，”隔开； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性； (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号． 2. 描述法 思考4：能否用列举法表示不等式x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？ 【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1）集合中的元素都小于10.（2）集合中的元素都是实数． 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示， 写作: 思考5：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？ ，或； 问题2：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？ 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：或或。 注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}. 4、 应用新知 例1用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么. （2）设方程所有实数根组成的集合为B，那么. 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）的集合还可以写成等. 注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，②用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。 变式：集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______. 【答案】         【分析】 根据集合的描述法可得A中的代表元素为y，再结合满足条件即得，B中代表元素为结合满足的条件即得. 【详解】 由，，，知x可取的值为0，，， 当时，，当时，，当时，， 所以集合；由题知集合B表示点集，所以. 故答案为：，. 【师生活动】师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 例2试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解：（1）设，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为. 方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为. （2）设，则x一个整数，即，且.因此，用描述法表示为. 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19， 因此，用列举法表示为. 变式:用列举法表示集合　　. 【解析】根据,且可得: 时,时,时,; 时,时,时,; 故. 【点拨】 1 看集合先确定元素类型(本题中元素是，而不是，再看元素需要满足的条件； ②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合. 思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？ 自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法. 5、 能力提升 题型一：集合含义有关问题 【练习1】设,集合,则　　　　.  【解析】由题意知,因为. 所以,则,所以,. 故. 【答案】0 总结：解决与集合含义有关问题的关键有三点：一是确定集合的类型是点集、数集，还是其它类型的集合；二是确定元素的一般特征；三是根据元素的限制条件（满足的条件）构造关系式解决相应问题. 提醒　集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意. 题型二：元素与集合的关系 【练习2】已知集合，若，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【详解】若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故， 解得（舍）或， 故，元素之和为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍. 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 练习2.1(多选题)已知集合,若,则满足条件的实数可能为( )。 A.2 B.-2 C.-3 D.1 【答案】AC 【解析】由题意得或。 若,即,则或。 检验:当时,,与元素互异性矛盾,舍去。 当时,,与元素互异性矛盾,舍去。 若,即,则或, 经验证或为满足条件的实数。故选AC。 题型三：两个集合相等 【练习3】下列集合中表示同一集合的是 A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)} 【答案】B 【解析】选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合； 选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合； 选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合． 故选B． 题型四：元素与集合的关系 【练习4】若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 【答案】实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 【解析】若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个相等的实根． 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根， 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 6、 课堂总结 练习 1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）与定点A，B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）与定点A，B等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断； （2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性. 【详解】（1）与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的. （2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的. 【点睛】本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题. 2.用符号“”或“”填空： 0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R. 【答案】①.②.③.④.⑤.⑥. 【解析】 【分析】 根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断. 【详解】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则； 是有理数，则；是无理数，则 故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题. 3.用适当的方法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； （2）一次函数与图象的交点组成的集合； （3）不等式的解集. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）求出方程的根，用列举法表示即可； （2）求出交点，用列举法表示即可； （3）化简不等式，用描述法表示即可. 【详解】（1），则该方程所有实数根组成的集合为； （2）由解得：，则图象的交点组成的集合为； （3）不等式可化为，则该集合为 【点睛】本题主要考查了用列举法以及描述法表示集合，属于基础题. 习题1.1 复习巩固 4.用符号“”或“”填空： （1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A； （2）若，则-1_____________A； （3）若，则3________________B； （4）若，则8_______________C，9.1____________C. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】 （1）根据国家的地理位置直接得到答案. （2）计算得到，再判断关系. （3）计算得到，再判断关系. （4）计算得到，再判断关系. 【详解】（1）根据国家的地理位置直接得到答案：中国，美国，印度，英国； （2），故； （3），故； （4），故； 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4） 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题. 5.用列举法表示下列集合： （1）大于1且小于6的整数； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据描述直接列举出集合中的元素即可； （2）求出一元二次方程的解，即可得出结果； （3）解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果. 【小问1详解】 大于1且小于6的整数组成的集合为； 【小问2详解】 【小问3详解】 综合运用 6.把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）中国古代四大发明 【答案】（1）{且} （2） （3） （4）{造纸术，印刷术，指南针，火药} 【解析】 【分析】 （1）用描述法写出集合得到答案. （2）用列举法写出集合得到答案. （3）用列举法写出集合得到答案. （4）用列举法写出集合得到答案. 【详解】（1）{且}. （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数： . （3）. （4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药} 【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握. 7.用适当的方法表示下列集合： （1）二次函数的函数值组成的集合； （2）反比例函数的自变量组成的集合； （3）不等式的解集 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）求二次函数的值域得到答案. （2）求反比例函数的定义域得到答案. （3）解不等式得到答案. 【详解】（1）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为. （2）反比例函数的自变量为x ∴反比例函数的自变量组成的集合为. （3）由，得，∴不等式的解集为. 【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用. 拓广探索 8．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识． 康托尔（GeorgCantor，1845—1918） 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$