1.1 集合的概念（分层作业）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.1 集合的概念 分层作业 1、 题型研究 题组一　集合的概念与元素的特性 【例题1】已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝ . 【答案】-1 【详解】当时，解得，与集合元素的互异性矛盾，故不成立； 当时，解得，结合互异性可得； 当时，解得或，不满足元素的互异性，舍去． 综上． 答案：-1 点睛： （1）根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验． （2）利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 题组二　元素与集合的关系 【例题2】（多选题）下列选项中是集合中的元素是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】利用选项回代验证，求出是相同的整数即可． 【详解】解：集合 、当时，时，，，，，相同，满足题意． 、当，时，，，，，不相同，不满足题意． 、当，时，，，，；不相同，不满足题意． 、当，时，，，，，相同，满足题意． 故选：． 【点睛】本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查，属于基础题． 题组三　集合的表示方法 【例题3】用列举法表示集合， ． 【答案】 【解析】先求解，得集合，然后再列举集合A. 【详解】由可得，因为在内包含的整数由：0,1,2，所以集合. 故答案为：. 【点睛】本题考查了用列举法表示集合的形式，属于基础题. 2、 基础达标 1.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素和集合的关系得到答案. 【详解】，则，，，. 故选：. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题. 2.下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2024年高考数学难题 D．所有无理数 【答案】C 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，2024年高考数学难题模棱两可，给定一个2024年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合； 对于D，无理数明确可知，可以构成集合. 故选：C 3.若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】计算出集合后可求其含有的元素的个数. 【详解】依题意可得，则中的元素个数为5. 故选：B. 4.设集合，，则集合B中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据x∈B，－x∈A，可得x只可能是0，－1，－2，－3，逐一检验x的各个可能值，即可得答案. 【详解】因为x∈B，－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，又1－x∉A，则 当0∈B时，1－0＝1∈A，不符合题意； 当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A，不符合题意； 当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A，不符合题意； 当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，符合题意. 所以，故集合B中元素的个数为1. 故选：A 【点睛】本题考查元素与集合的关系，属基础题. 5.方程组的解构成的集合是 A．（1，1） B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的列举法求解. 【详解】解：由方程组， 解得x=1，y=1． 所以方程组的解构成的集合是， 故选：C． 6.下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 7.集合的另一种表示形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，利用列举法求解即可. 【详解】因为， 又， 得， 故的可能取值为. 故选：B. 8.设集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】按照集合的定义求得它的元素． 【详解】∵A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，∴，共4个元素． 故选：B. 【点睛】本题考查集合的定义，考查求集合中的元素．属于基础题． 9.下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,构成的集合 B．P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合 C．P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D．P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集 【答案】A 【详解】对于A,集合P,Q中的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,对于B,C,D,集合P,Q中的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合. 选A 10.已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 3、 能力提升 1.已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　) A．-1 B．1 C．0 D．±1 【答案】B 【分析】根据题意，令代入进行求解，依次赋值代入进行化简，把集合A中运算的所有形式全部求出，再求出它们的乘积即可. 【详解】由题意，当时，， 令替换中的a，则， 则，则， 即，所以，故选B. 【点睛】 本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用问题，其中解答中正确理解题意，合作选择解答的方法是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 2.若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】D 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解. 【详解】当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足， 解得. 综上，实数的取值为0或1. 故选：D 3.方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出方程的解，再用列举法表示即可. 【详解】解：，解得或， 故方程组的解集为. 故选：. 4.给出下列说法： ①任意一个集合的正确表示方法是唯一的； ②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集； ③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}； ④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合． 其中正确说法的序号是（    ） A．①② B．②③ C．② D．①③④ 【答案】B 【分析】①一个集合的表示方法不唯一；②集合P={x|0≤x≤1}有无穷多个元素，故是无限集；③集合{x|x∈N ，x<5}={0,1,2,3,4}正确；④显然集合{(1，2)}≠{(2,1)}. 【详解】①一个集合的表示方法不唯一，如{0,1,2}={x|-1<x<3,x∈Z}，错误； ②集合P＝{x|0≤x≤1}有无穷多个元素，故是无限集，正确； ③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}，正确； ④集合{(1，2)}≠{(2,1)}，错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的概念，集合的表示方法，集合的分类，属于容易题. 5.已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由已知可得，可取-1，0，1.分别令、、，求解出即可. 【详解】因为，，，所以，可取-1，0，1. 当时，原式为，又，所以； 当时，原式为，又，所以或或； 当时，原式为，又，所以. 所以，，共有5个元素. 故选：B． 6.(多选题）集合，集合A还可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】用列举法表示集合及各选项的集合，对比即可得出答案. 【详解】， 选项A，不符合； 选项B，，符合； 选项C，符合； 选项D，，符合， 故选：BCD. 7.已知集合至多有一个元素，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】通过讨论当时，当时，结合二次函数的性质求出实数的取值范围. 【详解】当时，可得，解得，符合题意； 当时，要使集合至多一个元素，则，即. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意二次项的系数为字母时，一定讨论系数为0时的情况． 8.下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得. 【详解】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误； 对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误； 对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误； 对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确. 故选：D. 4、 直击高考 1.（2016·湖南长沙·一模） 已知集合，则的元素的个数为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由题意可知，即集合中有三个元素，故选B. 考点：集合的表示及运算. 2.（2023·贵州黔东南·三模）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【详解】因为， 所以A、C错误， 因为，所以，所以B错误， 又，所以，所以D正确， 故选:D． 3.（2011高三·广东肇庆·专题练习）设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，定义集合运算：A⊙B＝｛z︳z= xy(x+y)，x∈A， y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为． A．0 B．6 C．12 D．18 【答案】D 【详解】∵集合A={0，1}，B={2，3}， A⊙B={z|z=xy（x+y），x∈A，y∈B}， ∴A⊙B={0，6，12}， 0+6+12=18， ∴集合A⊙B中的所有元素之和为18， 故选D． 4.（2019高三上·全国·专题练习）已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】解指数不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得集合的元素个数. 【详解】由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有个元素. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查指数不等式、分式不等式的解法，考查集合元素的判断，属于基础题. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 分层作业 1、 题型研究 题组一　集合的概念与元素的特性 【例题1】已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝ . 题组二　元素与集合的关系 【例题2】（多选题）下列选项中是集合中的元素是（    ） A． B． C． D． 题组三　集合的表示方法 【例题3】用列举法表示集合， ． 2、 基础达标 1.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2.下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手 B．小于5的正整数 C．2024年高考数学难题 D．所有无理数 3.若集合，则中的元素个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4.设集合，，则集合B中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.方程组的解构成的集合是 A．（1，1） B． C． D． 6.下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 7.集合的另一种表示形式是（    ） A． B． C． D． 8.设集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则集合C中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9.下列各组中的集合P与Q表示同一个集合的是(　　) A．P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,构成的集合 B．P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合 C．P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合 D．P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集 10.已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 3、 能力提升 1.已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　) A．-1 B．1 C．0 D．±1 2.若集合中只有一个元素，则实数（    ） A．1 B．0 C．2 D．0或1 3.方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 4.给出下列说法： ①任意一个集合的正确表示方法是唯一的； ②集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集； ③集合{x|x∈N ，x<5}＝{0,1,2,3,4}； ④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合． 其中正确说法的序号是（    ） A．①② B．②③ C．② D．①③④ 5.已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．8 D．9 6.(多选题）集合，集合A还可以表示为（    ） A． B． C． D． 7.已知集合至多有一个元素，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 8.下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4、 直击高考 1.（2016·湖南长沙·一模） 已知集合，则的元素的个数为 A． B． C． D． 2.（2023·贵州黔东南·三模）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2011高三·广东肇庆·专题练习）设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，定义集合运算：A⊙B＝｛z︳z= xy(x+y)，x∈A， y∈B｝，则集合A⊙B中的所有元素之和为． A．0 B．6 C．12 D．18 4.（2019高三上·全国·专题练习）已知集合，，则集合的元素个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$